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生活中的圓周運(yùn)動(dòng) 知識(shí)回顧 物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí) 受力有何共同點(diǎn)物體要受到指向圓心的向心力向心力的特點(diǎn)方向 總是指向圓心大小 分析做圓周運(yùn)動(dòng)的物體受力情況 提供向心力 受力分析 Ff FN mg F 供需 平衡物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng) 向心力公式的理解 從 供 需 兩方面研究做圓周運(yùn)動(dòng)的物體 賽道的設(shè)計(jì) 列車速度過(guò)快 造成翻車事故 實(shí)例研究1 火車過(guò)彎 火車以半徑R在水平軌道上轉(zhuǎn)彎 火車質(zhì)量為M 速度為v 分析火車的向心力情況 實(shí)例研究1 火車轉(zhuǎn)彎 實(shí)例研究1 火車轉(zhuǎn)彎 FN 向心力由外側(cè)軌道對(duì)車輪輪緣的擠壓力提供 研究討論 1 如何減輕火車對(duì)軌道的側(cè)壓力 實(shí)際火車車輪與鐵軌模型 2 優(yōu)點(diǎn) 1 做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)向心力由哪些力提供 摩擦力 輪緣與鐵軌間的彈力的合力提供 3 缺點(diǎn) 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單 便于實(shí)現(xiàn) 輪緣與鐵軌有擠壓 車輪與鐵軌都有磨損 墊高外軌 利用支持力的分力提供一部分向心力 達(dá)到 供需 平衡 2 優(yōu)點(diǎn) 1 做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)向心力由哪些力提供 3 缺點(diǎn) 可以減少對(duì)摩擦力的需要 需要改造鐵路 設(shè)計(jì)施工難度大 實(shí)例研究1 火車過(guò)彎 火車以半徑R 300m在水平軌道上轉(zhuǎn)彎 火車質(zhì)量為8 105kg 速度為30m s 鐵軌與輪之間的動(dòng)摩擦因數(shù) 0 25 設(shè)向心力由軌道指向圓心的靜摩擦力提供 代入數(shù)據(jù)可得 Ff 2 4 106N 但軌道提供的靜摩擦力最大值 Ff靜m mg 1 96 106N 供需 不平衡 如何解決 研究與討論 1 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案讓火車沿軌道安全通過(guò)彎道 實(shí)際火車與軌道設(shè)計(jì)中 利用輪緣可增加小部分的向心力 墊高外軌可增加較多的向心力 2 最佳方案 火車以半徑R 900m轉(zhuǎn)彎 火車質(zhì)量為8 105kg 速度為30m s 火車軌距l(xiāng) 1 4m 要使火車通過(guò)彎道時(shí)僅受重力與軌道的支持力 軌道應(yīng)該墊的高度h 較小時(shí)tan sin 由力的關(guān)系得 由向心力公式得 由幾何關(guān)系得 解 0 14m 研究與討論 3 若火車速度與設(shè)計(jì)速度不同會(huì)怎樣 外側(cè) 內(nèi)側(cè) 過(guò)大時(shí) 外側(cè)軌道與輪之間有彈力 過(guò)小時(shí) 內(nèi)側(cè)軌道與輪之間有彈力 需要輪緣提供額外的彈力滿足向心力的需求 4 若火車車輪無(wú)輪緣 火車速度過(guò)大或過(guò)小時(shí)將向哪側(cè)運(yùn)動(dòng) 過(guò)大時(shí) 火車向外側(cè)運(yùn)動(dòng)過(guò)小時(shí) 火車向內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng) 向心 圓周 離心運(yùn)動(dòng) 供 需 是否平衡決定物體做何種運(yùn)動(dòng) 供 提供物體做圓周運(yùn)動(dòng)的力 需 物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的力 F F F 實(shí)例研究2 過(guò)拱橋 1 汽車過(guò)拱橋是豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的典型代表2 研究方法與水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)相同 比較在兩種不同橋面 橋面受力的情況 設(shè)車質(zhì)量為m 橋面半徑為R 此時(shí)速度為v 失重 超重 最高點(diǎn) 最低點(diǎn) 研究與討論 1 若速度過(guò)快 汽車做何種運(yùn)動(dòng) 提供的向心力不足 做離心運(yùn)動(dòng) 離開橋面做平拋運(yùn)動(dòng) 2 有無(wú)可能做這樣的運(yùn)動(dòng) 若可能應(yīng)滿足怎樣的條件 說(shuō)一說(shuō) 汽車不在拱形橋的最高或最低點(diǎn)時(shí) 它的運(yùn)動(dòng)能用上面方法求解嗎 R G 該 思考與討論 中描述的情景其實(shí)已經(jīng)實(shí)現(xiàn) 不過(guò)不是在汽車上 而是在航天飛機(jī)中 三 航天器中的失重現(xiàn)象 三 航天器中的失重現(xiàn)象 假設(shè)宇宙飛船總質(zhì)量為M 它在地球表面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng) 其軌道半徑近似等于地球半徑R 航天員質(zhì)量為m 宇宙飛船和航天員受到的地球引力近似等于他們?cè)诘孛嫔系闹亓?試求 1 座艙對(duì)宇航員的支持力 2 此時(shí)飛船的速度多大 3 通過(guò)求解 你可以得出什么結(jié)論 怎樣理解失重現(xiàn)象 航天器繞地球做近似地勻速圓周運(yùn)動(dòng) 此時(shí)重力提供了向心力 航天器中的人隨航天器一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng) 其向心力也是由重力提供的 此時(shí)重力完全用來(lái)提供向心力 不對(duì)其他物體產(chǎn)生壓力 即里面的人和物處于完全失重狀態(tài) 離心運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用 四 離心運(yùn)動(dòng) 1 做圓周運(yùn)動(dòng)的物體一旦失去向心力的作用 它會(huì)怎樣運(yùn)動(dòng) 為什么 2 如果物體受到的合外力不足以提供向心力 它會(huì)怎樣運(yùn)動(dòng) 為什么 做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體 在所受合力突然消失 或者不足以提供圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力的情況下 就做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng) 這種運(yùn)動(dòng)叫做離心運(yùn)動(dòng) 1 離心運(yùn)動(dòng) 2 物體作離心運(yùn)動(dòng)的條件 離心運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用 1 離心干燥器的金屬網(wǎng)籠 利用離心運(yùn)動(dòng)把附著在物體上的水分甩掉的裝置 解釋 o F mr 2 F 當(dāng)網(wǎng)籠轉(zhuǎn)得比較慢時(shí) 水滴跟物體的附著力F足以提供所需的向心力F使水滴做圓周運(yùn)動(dòng) 當(dāng)網(wǎng)籠轉(zhuǎn)得比較快時(shí) 附著力F不足以提供所需的向心力F 于是水滴做離心運(yùn)動(dòng) 穿過(guò)網(wǎng)孔 飛到網(wǎng)籠外面 2 制作 棉花 糖的原理 內(nèi)筒與洗衣機(jī)的脫水筒相似 里面加入白砂糖 加熱使糖熔化成糖汁 內(nèi)筒高速旋轉(zhuǎn) 黏稠的糖汁就做離心運(yùn)動(dòng) 從內(nèi)筒壁的小孔飛散出去 成為絲狀到達(dá)溫度較低的外筒 并迅速冷卻凝固 變得纖細(xì)雪白 像一團(tuán)團(tuán)棉花 要使原來(lái)作圓周運(yùn)動(dòng)的物體作離心運(yùn)動(dòng) 該怎么辦 問(wèn)題一 A 提高轉(zhuǎn)速 使所需向心力增大到大于物體所受合外力 B 減小合外力或使其消失 離心運(yùn)動(dòng)的危害 高速轉(zhuǎn)動(dòng)的砂輪 飛輪等 都不得超過(guò)允許的最大轉(zhuǎn)速 轉(zhuǎn)速過(guò)高時(shí) 砂輪 飛輪內(nèi)部分子間的相互作用力不足以提供所需的向心力 離心運(yùn)動(dòng)會(huì)使它們破裂 釀成事故 問(wèn)題二 要防止離心現(xiàn)象發(fā)生 該怎么辦 A 減小物體運(yùn)動(dòng)的速度 使物體作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)所需的向心力減小 B 增大合外力 使其達(dá)到物體作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)所需的向心力 圓周運(yùn)動(dòng)基本問(wèn)題 例1 長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線 其一端拴一質(zhì)量為m的小球 另一端固定于O點(diǎn) 讓小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng) 圓錐擺 如圖示 當(dāng)擺線L與豎直方向的夾角為 時(shí) 求 線的拉力F 小球運(yùn)動(dòng)的線速度的大小 小球運(yùn)動(dòng)的角速度及周期 答案 分析解決圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的基本步驟 1 明確研究對(duì)象2 分析運(yùn)動(dòng) 確定圓周運(yùn)動(dòng)所在的平面 明確圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡 半徑 圓心位置及運(yùn)動(dòng)量 寫出運(yùn)動(dòng)需要的向心力 3 分析受力 沿半徑方向各個(gè)力的合力提供向心力 4 據(jù)牛頓第二定律列方程F供 F需 并求解 圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問(wèn)題 一 豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題 對(duì)于物體在豎直面內(nèi)做的圓周運(yùn)動(dòng)是一種典型的變速曲線運(yùn)動(dòng) 該類運(yùn)動(dòng)常有臨界問(wèn)題 題中常出現(xiàn) 最大 最小 剛好 等詞語(yǔ) 常分析兩種模型 輕繩模型和輕桿模型 分析比較如下 在最高點(diǎn)時(shí) 沒有物體支撐 只能產(chǎn)生拉力 輕桿對(duì)小球既能產(chǎn)生拉力 又能產(chǎn)生支持力 豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng) 1 輕繩模型 能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件 小球在最高點(diǎn)時(shí)繩子的拉力剛好等于0 小球的重力充當(dāng)圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力 1 小球能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件 受力 繩子和軌道對(duì)小球剛好沒有力的作用 2 小球能過(guò)最高點(diǎn)條件 運(yùn)動(dòng) 3 不能過(guò)最高點(diǎn)條件 實(shí)際上球還沒有到最高點(diǎn)時(shí) 就脫離了軌道 當(dāng)時(shí) 繩對(duì)球產(chǎn)生拉力 軌道對(duì)球產(chǎn)生壓力 歸納 圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題 豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng) 2 輕桿模型 能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件 運(yùn)動(dòng) 歸納 桿與繩不同 它既能產(chǎn)生拉力 也能產(chǎn)生壓力 能過(guò)最高點(diǎn)v臨界 0 此時(shí)支持力N mg 當(dāng)時(shí) N為支持力 有0 N mg 且N隨v的增大而減小 當(dāng)時(shí) N 0 當(dāng) N為拉力 有N 0 N隨v的增大而增大 例1如圖4所示 細(xì)桿的一端與一小球相連 可繞過(guò)O的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng) 現(xiàn)給小球一初速度 使它做圓周運(yùn)動(dòng) 圖中a b分別表示小球軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn) 則桿對(duì)球作用力可能是 A a處為拉力 b處為拉力B a處為拉力 b處為推力C a處為推力 b處為拉力D a處為推力 b處為推力 a b A B 例2 長(zhǎng)度為L(zhǎng) 0 5m的輕質(zhì)細(xì)桿OA A端有一質(zhì)量為m 3 0kg的小球 如圖5所示 小球以O(shè)點(diǎn)為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng) 通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)小球的速率是2 0m s g取10m s2 則此時(shí)細(xì)桿OA受到 A 6 0N的拉力B 6 0N的壓力C 24N的拉力D 24N的壓力 B 例3如圖6 11 9所示 固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧形軌道ABCD 其A點(diǎn)與圓心等高 D點(diǎn)為軌道最高點(diǎn) DB為豎直線 AC為水平線 AE為水平面 今使小球自A點(diǎn)正上方某處由靜止釋放 且從A點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道運(yùn)動(dòng) 通過(guò)適當(dāng)調(diào)整釋放點(diǎn)的高度 總能保證小球最終通過(guò)最高點(diǎn)D 則小球在通過(guò)D點(diǎn)后 A 會(huì)落到水平面AE上B 一定會(huì)再次落到圓軌道上C 可能會(huì)落到水平面AE上D 可能會(huì)再次落到圓軌道上 A 在水平面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體 當(dāng)角速度 變化時(shí) 物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運(yùn)動(dòng)的 半徑有變化 趨勢(shì) 這時(shí) 要根據(jù)物體的受力情況 判斷物體受某個(gè)力是否存在以及這個(gè)力存在時(shí)方向朝哪 特別是一些接觸力 如靜摩擦力 繩的拉力 接觸面的支持力等 二 在水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題 例4如圖細(xì)繩一端系著質(zhì)量M 0 6kg的物體 靜止在水平面上 另一端通過(guò)光滑的小孔吊著質(zhì)量m 0 3kg的物體 M與圓孔距離為0 2m 并知M和水平面的最大靜摩擦力為2N 現(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng) 問(wèn)角速度 在什么范圍m會(huì)處于靜止?fàn)顟B(tài) g 10m s2 解析 要使m靜止 m 也應(yīng)與平面相對(duì)靜止 而m 與平面靜止時(shí)有兩個(gè)臨界狀態(tài) 當(dāng) 為所求范圍最小值時(shí) m 有向著圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì) 水平面對(duì)m 的靜摩擦力的方向背離圓心 大小等于最大靜摩擦力2N 此時(shí) 對(duì)m 運(yùn)用牛頓第二定律 有T fmax m r 且T mg解得 1 2 9rad s 當(dāng) 為所求范圍最大值時(shí) m 有背離圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì) 水平面對(duì)m 的靜摩擦力的方向向著圓心 大小還等于最大靜摩擦力2N 再對(duì)m 運(yùn)用牛頓第二定律 有T fmax m r 且T mg解得 2 6 5rad s 所以 題中所求 的范圍是 2 9rad s 6 5rad s 答案 2 9rad s 6 5rad s 題后反思 一般求解 在什么范圍內(nèi) 這一類的問(wèn)題就是要分析兩個(gè)臨界狀態(tài) 最大靜摩擦力的方向與物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)方向有關(guān) 當(dāng)角速度最小時(shí) 有向著圓心的方向運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì) 當(dāng)角速度達(dá)到最大的時(shí)候 有遠(yuǎn)離圓心的方向運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì) 因此出現(xiàn)了極值情況 例題5 如圖所示 一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上 其軸線沿豎直方向 母線與軸線之間的夾角 300 一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的繩 質(zhì)量不計(jì) 一端固定在圓錐體的頂點(diǎn)O處 另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為m的小物體 物體可看作質(zhì)點(diǎn) 物體以速率v繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運(yùn)動(dòng) 1 當(dāng)時(shí) 求繩對(duì)物體的拉力 2 當(dāng)時(shí) 求繩對(duì)物體的拉力