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生活中的圓周運(yùn)動 知識回顧 物體做圓周運(yùn)動時 受力有何共同點物體要受到指向圓心的向心力向心力的特點方向 總是指向圓心大小 分析做圓周運(yùn)動的物體受力情況 提供向心力 受力分析 Ff FN mg F 供需 平衡物體做勻速圓周運(yùn)動 向心力公式的理解 從 供 需 兩方面研究做圓周運(yùn)動的物體 賽道的設(shè)計 列車速度過快 造成翻車事故 實例研究1 火車過彎 火車以半徑R在水平軌道上轉(zhuǎn)彎 火車質(zhì)量為M 速度為v 分析火車的向心力情況 實例研究1 火車轉(zhuǎn)彎 實例研究1 火車轉(zhuǎn)彎 FN 向心力由外側(cè)軌道對車輪輪緣的擠壓力提供 研究討論 1 如何減輕火車對軌道的側(cè)壓力 實際火車車輪與鐵軌模型 2 優(yōu)點 1 做圓周運(yùn)動時向心力由哪些力提供 摩擦力 輪緣與鐵軌間的彈力的合力提供 3 缺點 結(jié)構(gòu)簡單 便于實現(xiàn) 輪緣與鐵軌有擠壓 車輪與鐵軌都有磨損 墊高外軌 利用支持力的分力提供一部分向心力 達(dá)到 供需 平衡 2 優(yōu)點 1 做圓周運(yùn)動時向心力由哪些力提供 3 缺點 可以減少對摩擦力的需要 需要改造鐵路 設(shè)計施工難度大 實例研究1 火車過彎 火車以半徑R 300m在水平軌道上轉(zhuǎn)彎 火車質(zhì)量為8 105kg 速度為30m s 鐵軌與輪之間的動摩擦因數(shù) 0 25 設(shè)向心力由軌道指向圓心的靜摩擦力提供 代入數(shù)據(jù)可得 Ff 2 4 106N 但軌道提供的靜摩擦力最大值 Ff靜m mg 1 96 106N 供需 不平衡 如何解決 研究與討論 1 請設(shè)計一個方案讓火車沿軌道安全通過彎道 實際火車與軌道設(shè)計中 利用輪緣可增加小部分的向心力 墊高外軌可增加較多的向心力 2 最佳方案 火車以半徑R 900m轉(zhuǎn)彎 火車質(zhì)量為8 105kg 速度為30m s 火車軌距l(xiāng) 1 4m 要使火車通過彎道時僅受重力與軌道的支持力 軌道應(yīng)該墊的高度h 較小時tan sin 由力的關(guān)系得 由向心力公式得 由幾何關(guān)系得 解 0 14m 研究與討論 3 若火車速度與設(shè)計速度不同會怎樣 外側(cè) 內(nèi)側(cè) 過大時 外側(cè)軌道與輪之間有彈力 過小時 內(nèi)側(cè)軌道與輪之間有彈力 需要輪緣提供額外的彈力滿足向心力的需求 4 若火車車輪無輪緣 火車速度過大或過小時將向哪側(cè)運(yùn)動 過大時 火車向外側(cè)運(yùn)動過小時 火車向內(nèi)側(cè)運(yùn)動 向心 圓周 離心運(yùn)動 供 需 是否平衡決定物體做何種運(yùn)動 供 提供物體做圓周運(yùn)動的力 需 物體做勻速圓周運(yùn)動所需的力 F F F 實例研究2 過拱橋 1 汽車過拱橋是豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動的典型代表2 研究方法與水平面內(nèi)圓周運(yùn)動相同 比較在兩種不同橋面 橋面受力的情況 設(shè)車質(zhì)量為m 橋面半徑為R 此時速度為v 失重 超重 最高點 最低點 研究與討論 1 若速度過快 汽車做何種運(yùn)動 提供的向心力不足 做離心運(yùn)動 離開橋面做平拋運(yùn)動 2 有無可能做這樣的運(yùn)動 若可能應(yīng)滿足怎樣的條件 說一說 汽車不在拱形橋的最高或最低點時 它的運(yùn)動能用上面方法求解嗎 R G 該 思考與討論 中描述的情景其實已經(jīng)實現(xiàn) 不過不是在汽車上 而是在航天飛機(jī)中 三 航天器中的失重現(xiàn)象 三 航天器中的失重現(xiàn)象 假設(shè)宇宙飛船總質(zhì)量為M 它在地球表面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動 其軌道半徑近似等于地球半徑R 航天員質(zhì)量為m 宇宙飛船和航天員受到的地球引力近似等于他們在地面上的重力 試求 1 座艙對宇航員的支持力 2 此時飛船的速度多大 3 通過求解 你可以得出什么結(jié)論 怎樣理解失重現(xiàn)象 航天器繞地球做近似地勻速圓周運(yùn)動 此時重力提供了向心力 航天器中的人隨航天器一起做勻速圓周運(yùn)動 其向心力也是由重力提供的 此時重力完全用來提供向心力 不對其他物體產(chǎn)生壓力 即里面的人和物處于完全失重狀態(tài) 離心運(yùn)動的應(yīng)用 四 離心運(yùn)動 1 做圓周運(yùn)動的物體一旦失去向心力的作用 它會怎樣運(yùn)動 為什么 2 如果物體受到的合外力不足以提供向心力 它會怎樣運(yùn)動 為什么 做勻速圓周運(yùn)動的物體 在所受合力突然消失 或者不足以提供圓周運(yùn)動所需的向心力的情況下 就做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動 這種運(yùn)動叫做離心運(yùn)動 1 離心運(yùn)動 2 物體作離心運(yùn)動的條件 離心運(yùn)動的應(yīng)用 1 離心干燥器的金屬網(wǎng)籠 利用離心運(yùn)動把附著在物體上的水分甩掉的裝置 解釋 o F mr 2 F 當(dāng)網(wǎng)籠轉(zhuǎn)得比較慢時 水滴跟物體的附著力F足以提供所需的向心力F使水滴做圓周運(yùn)動 當(dāng)網(wǎng)籠轉(zhuǎn)得比較快時 附著力F不足以提供所需的向心力F 于是水滴做離心運(yùn)動 穿過網(wǎng)孔 飛到網(wǎng)籠外面 2 制作 棉花 糖的原理 內(nèi)筒與洗衣機(jī)的脫水筒相似 里面加入白砂糖 加熱使糖熔化成糖汁 內(nèi)筒高速旋轉(zhuǎn) 黏稠的糖汁就做離心運(yùn)動 從內(nèi)筒壁的小孔飛散出去 成為絲狀到達(dá)溫度較低的外筒 并迅速冷卻凝固 變得纖細(xì)雪白 像一團(tuán)團(tuán)棉花 要使原來作圓周運(yùn)動的物體作離心運(yùn)動 該怎么辦 問題一 A 提高轉(zhuǎn)速 使所需向心力增大到大于物體所受合外力 B 減小合外力或使其消失 離心運(yùn)動的危害 高速轉(zhuǎn)動的砂輪 飛輪等 都不得超過允許的最大轉(zhuǎn)速 轉(zhuǎn)速過高時 砂輪 飛輪內(nèi)部分子間的相互作用力不足以提供所需的向心力 離心運(yùn)動會使它們破裂 釀成事故 問題二 要防止離心現(xiàn)象發(fā)生 該怎么辦 A 減小物體運(yùn)動的速度 使物體作圓周運(yùn)動時所需的向心力減小 B 增大合外力 使其達(dá)到物體作圓周運(yùn)動時所需的向心力 圓周運(yùn)動基本問題 例1 長為L的細(xì)線 其一端拴一質(zhì)量為m的小球 另一端固定于O點 讓小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動 圓錐擺 如圖示 當(dāng)擺線L與豎直方向的夾角為 時 求 線的拉力F 小球運(yùn)動的線速度的大小 小球運(yùn)動的角速度及周期 答案 分析解決圓周運(yùn)動動力學(xué)問題的基本步驟 1 明確研究對象2 分析運(yùn)動 確定圓周運(yùn)動所在的平面 明確圓周運(yùn)動的軌跡 半徑 圓心位置及運(yùn)動量 寫出運(yùn)動需要的向心力 3 分析受力 沿半徑方向各個力的合力提供向心力 4 據(jù)牛頓第二定律列方程F供 F需 并求解 圓周運(yùn)動中的臨界問題 一 豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題 對于物體在豎直面內(nèi)做的圓周運(yùn)動是一種典型的變速曲線運(yùn)動 該類運(yùn)動常有臨界問題 題中常出現(xiàn) 最大 最小 剛好 等詞語 常分析兩種模型 輕繩模型和輕桿模型 分析比較如下 在最高點時 沒有物體支撐 只能產(chǎn)生拉力 輕桿對小球既能產(chǎn)生拉力 又能產(chǎn)生支持力 豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動 1 輕繩模型 能過最高點的臨界條件 小球在最高點時繩子的拉力剛好等于0 小球的重力充當(dāng)圓周運(yùn)動所需的向心力 1 小球能過最高點的臨界條件 受力 繩子和軌道對小球剛好沒有力的作用 2 小球能過最高點條件 運(yùn)動 3 不能過最高點條件 實際上球還沒有到最高點時 就脫離了軌道 當(dāng)時 繩對球產(chǎn)生拉力 軌道對球產(chǎn)生壓力 歸納 圓周運(yùn)動的臨界問題 豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動 2 輕桿模型 能過最高點的臨界條件 運(yùn)動 歸納 桿與繩不同 它既能產(chǎn)生拉力 也能產(chǎn)生壓力 能過最高點v臨界 0 此時支持力N mg 當(dāng)時 N為支持力 有0 N mg 且N隨v的增大而減小 當(dāng)時 N 0 當(dāng) N為拉力 有N 0 N隨v的增大而增大 例1如圖4所示 細(xì)桿的一端與一小球相連 可繞過O的水平軸自由轉(zhuǎn)動 現(xiàn)給小球一初速度 使它做圓周運(yùn)動 圖中a b分別表示小球軌道的最低點和最高點 則桿對球作用力可能是 A a處為拉力 b處為拉力B a處為拉力 b處為推力C a處為推力 b處為拉力D a處為推力 b處為推力 a b A B 例2 長度為L 0 5m的輕質(zhì)細(xì)桿OA A端有一質(zhì)量為m 3 0kg的小球 如圖5所示 小球以O(shè)點為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動 通過最高點時小球的速率是2 0m s g取10m s2 則此時細(xì)桿OA受到 A 6 0N的拉力B 6 0N的壓力C 24N的拉力D 24N的壓力 B 例3如圖6 11 9所示 固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧形軌道ABCD 其A點與圓心等高 D點為軌道最高點 DB為豎直線 AC為水平線 AE為水平面 今使小球自A點正上方某處由靜止釋放 且從A點進(jìn)入圓形軌道運(yùn)動 通過適當(dāng)調(diào)整釋放點的高度 總能保證小球最終通過最高點D 則小球在通過D點后 A 會落到水平面AE上B 一定會再次落到圓軌道上C 可能會落到水平面AE上D 可能會再次落到圓軌道上 A 在水平面上做圓周運(yùn)動的物體 當(dāng)角速度 變化時 物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運(yùn)動的 半徑有變化 趨勢 這時 要根據(jù)物體的受力情況 判斷物體受某個力是否存在以及這個力存在時方向朝哪 特別是一些接觸力 如靜摩擦力 繩的拉力 接觸面的支持力等 二 在水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動的臨界問題 例4如圖細(xì)繩一端系著質(zhì)量M 0 6kg的物體 靜止在水平面上 另一端通過光滑的小孔吊著質(zhì)量m 0 3kg的物體 M與圓孔距離為0 2m 并知M和水平面的最大靜摩擦力為2N 現(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動 問角速度 在什么范圍m會處于靜止?fàn)顟B(tài) g 10m s2 解析 要使m靜止 m 也應(yīng)與平面相對靜止 而m 與平面靜止時有兩個臨界狀態(tài) 當(dāng) 為所求范圍最小值時 m 有向著圓心運(yùn)動的趨勢 水平面對m 的靜摩擦力的方向背離圓心 大小等于最大靜摩擦力2N 此時 對m 運(yùn)用牛頓第二定律 有T fmax m r 且T mg解得 1 2 9rad s 當(dāng) 為所求范圍最大值時 m 有背離圓心運(yùn)動的趨勢 水平面對m 的靜摩擦力的方向向著圓心 大小還等于最大靜摩擦力2N 再對m 運(yùn)用牛頓第二定律 有T fmax m r 且T mg解得 2 6 5rad s 所以 題中所求 的范圍是 2 9rad s 6 5rad s 答案 2 9rad s 6 5rad s 題后反思 一般求解 在什么范圍內(nèi) 這一類的問題就是要分析兩個臨界狀態(tài) 最大靜摩擦力的方向與物體的相對運(yùn)動趨勢方向有關(guān) 當(dāng)角速度最小時 有向著圓心的方向運(yùn)動的趨勢 當(dāng)角速度達(dá)到最大的時候 有遠(yuǎn)離圓心的方向運(yùn)動的趨勢 因此出現(xiàn)了極值情況 例題5 如圖所示 一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上 其軸線沿豎直方向 母線與軸線之間的夾角 300 一條長為L的繩 質(zhì)量不計 一端固定在圓錐體的頂點O處 另一端拴著一個質(zhì)量為m的小物體 物體可看作質(zhì)點 物體以速率v繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運(yùn)動 1 當(dāng)時 求繩對物體的拉力 2 當(dāng)時 求繩對物體的拉力