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概率與統(tǒng)計(jì) 開(kāi)課系 非數(shù)學(xué)專業(yè)教師 葉梅燕e mail yemeiyan 教材 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 王松桂等編科學(xué)出版社2002 參考書(shū) 1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 浙江大學(xué)盛驟等編高等教育出版社2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 魏振軍編中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社 序言 概率論是研究什么的 隨機(jī)現(xiàn)象 不確定性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 概率論 研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的科學(xué) 目錄 第一章隨機(jī)事件及其概率第二章隨機(jī)變量第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第四章樣本及抽樣分布第五章參數(shù)估計(jì)第六章假設(shè)檢驗(yàn) 第一章隨機(jī)事件及其概率 隨機(jī)事件及其運(yùn)算概率的定義及其運(yùn)算條件概率事件的獨(dú)立性 1 1隨機(jī)事件及其概率一 隨機(jī)試驗(yàn) 簡(jiǎn)稱 試驗(yàn) 隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn) p1 1 可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行 2 一次試驗(yàn)之前無(wú)法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn) 但能確定所有的可能結(jié)果 隨機(jī)試驗(yàn)常用E表示 E1 拋一枚硬幣 分別用 H 和 T 表示出正面和反面 E2 將一枚硬幣連拋三次 考慮正反面出現(xiàn)的情況 E3 某城市某年某月內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù) E4 擲一顆骰子 可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) E5 記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù) E6 在一批燈泡中任取一只 測(cè)其壽命 E7 任選一人 記錄他的身高和體重 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的例子 隨機(jī)事件 二 樣本空間 p2 1 樣本空間 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間 記為 e 2 樣本點(diǎn) 試驗(yàn)的單個(gè)結(jié)果或樣本空間的單元素稱為樣本點(diǎn) 記為e 3 由樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為基本事件 也記為e 幻燈片6 隨機(jī)事件 1 定義樣本空間的任意一個(gè)子集稱為隨機(jī)事件 簡(jiǎn)稱 事件 記作A B C等任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子集 稱事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是子集A中的元素 2 兩個(gè)特殊事件 必然事件S 不可能事件 p3 例如對(duì)于試驗(yàn)E2 以下A B C即為三個(gè)隨機(jī)事件 A 至少出一個(gè)正面 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH B 兩次出現(xiàn)同一面 HHH TTT C 恰好出現(xiàn)一次正面 HTT THT TTH 再如 試驗(yàn)E6中D 燈泡壽命超過(guò)1000小時(shí) x 1000 x T 小時(shí) 三 事件之間的關(guān)系 既然事件是一個(gè)集合 因此有關(guān)事件間的關(guān)系 運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則也就按集合間的關(guān)系 運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則來(lái)處理 1 包含關(guān)系 p3 事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生 記為A BA B A B且B A 2 和事件 p3 事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生 記作A B 2 n個(gè)事件A1 A2 An至少有一個(gè)發(fā)生 記作 3 積事件 p4 事件A與事件B同時(shí)發(fā)生 記作A B AB 3 n個(gè)事件A1 A2 An同時(shí)發(fā)生 記作A1A2 An 4 差事件 p5 A B稱為A與B的差事件 表示事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生 思考 何時(shí)A B 何時(shí)A B A 5 互斥的事件 也稱互不相容事件 p4 即事件與事件不可能同時(shí)發(fā)生 AB 6 互逆的事件 p5 A B 且AB 五 事件的運(yùn)算 p5 1 交換律 A B B A AB BA2 結(jié)合律 A B C A B C AB C A BC 3 分配律 A B C AC BC AB C A C B C 4 對(duì)偶 DeMorgan 律 例 甲 乙 丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈 以A B C分別表示甲 乙 丙命中目標(biāo) 試用A B C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件 1 2概率的定義及其運(yùn)算 從直觀上來(lái)看 事件A的概率是描繪事件A發(fā)生的可能性大小的量 P A 應(yīng)具有何種性質(zhì) 拋一枚硬幣 幣值面向上的概率為多少 擲一顆骰子 出現(xiàn)6點(diǎn)的概率為多少 出現(xiàn)單數(shù)點(diǎn)的概率為多少 向目標(biāo)射擊 命中目標(biāo)的概率有多大 p10 若某實(shí)驗(yàn)E滿足 1 有限性 樣本空間S e1 e2 en 2 等可能性 公認(rèn) P e1 P e2 P en 則稱E為古典概型也叫等可能概型 1 2 1 古典概型與概率 設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為N A 以N 記樣本空間 中樣本點(diǎn)總數(shù) 則有 P A 具有如下性質(zhì) P7 1 0 P A 1 2 P 1 P 0 3 AB 則P A B P A P B 古典概型中的概率 P10 例 有三個(gè)子女的家庭 設(shè)每個(gè)孩子是男是女的概率相等 則至少有一個(gè)男孩的概率是多少 解 設(shè)A 至少有一個(gè)男孩 以H表示某個(gè)孩子是男孩 HHH HHT HTH THH HTT TTH THT TTT A HHH HHT HTH THH HTT TTH THT 二 古典概型的幾類(lèi)基本問(wèn)題 乘法公式 設(shè)完成一件事需分兩步 第一步有n1種方法 第二步有n2種方法 則完成這件事共有n1n2種方法 也可推廣到分若干步 復(fù)習(xí) 排列與組合的基本概念 加法公式 設(shè)完成一件事可有兩種途徑 第一種途徑有n1種方法 第二種途徑有n2種方法 則完成這件事共有n1 n2種方法 也可推廣到若干途徑 這兩公式的思想貫穿著整個(gè)概率問(wèn)題的求解 有重復(fù)排列 從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k次 每次取一個(gè) 記錄其結(jié)果后放回 將記錄結(jié)果排成一列 n n n n 共有nk種排列方式 無(wú)重復(fù)排列 從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k次 每次取一個(gè) 取后不放回 將所取元素排成一列 共有Pnk n n 1 n k 1 種排列方式 n n 1 n 2 n k 1 組合 從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k個(gè) 共有 種取法 1 抽球問(wèn)題例1 設(shè)合中有3個(gè)白球 2個(gè)紅球 現(xiàn)從合中任抽2個(gè)球 求取到一紅一白的概率 解 設(shè)A 取到一紅一白 答 取到一紅一白的概率為3 5 一般地 設(shè)盒中有N個(gè)球 其中有M個(gè)白球 現(xiàn)從中任抽n個(gè)球 則這n個(gè)球中恰有k個(gè)白球的概率是 在實(shí)際中 產(chǎn)品的檢驗(yàn) 疾病的抽查 農(nóng)作物的選種等問(wèn)題均可化為隨機(jī)抽球問(wèn)題 我們選擇抽球模型的目的在于是問(wèn)題的數(shù)學(xué)意義更加突出 而不必過(guò)多的交代實(shí)際背景 2 分球入盒問(wèn)題例2 將3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中去 問(wèn) 1 每盒恰有一球的概率是多少 2 空一盒的概率是多少 解 設(shè)A 每盒恰有一球 B 空一盒 一般地 把n個(gè)球隨機(jī)地分配到m個(gè)盒子中去 n m 則每盒至多有一球的概率是 P9 某班級(jí)有n個(gè)人 n 365 問(wèn)至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率有多大 3 分組問(wèn)題例3 30名學(xué)生中有3名運(yùn)動(dòng)員 將這30名學(xué)生平均分成3組 求 1 每組有一名運(yùn)動(dòng)員的概率 2 3名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組的概率 解 設(shè)A 每組有一名運(yùn)動(dòng)員 B 3名運(yùn)動(dòng)員集中在一組 一般地 把n個(gè)球隨機(jī)地分成m組 n m 要求第i組恰有ni個(gè)球 i 1 m 共有分法 4隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題 例4從1到200這200個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè) 1 求取到的數(shù)能被6整除的概率 2 求取到的數(shù)能被8整除的概率 3 求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率 解 N S 200 N 3 200 24 8 N 1 200 6 33 N 2 200 8 25 1 2 3 的概率分別為 33 200 1 8 1 25 某人向目標(biāo)射擊 以A表示事件 命中目標(biāo) P A 定義 p8 事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)nA次 則比值nA n稱為事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率 記為fn A 即fn A nA n 1 3頻率與概率 歷史上曾有人做過(guò)試驗(yàn) 試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí) 出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均等 實(shí)驗(yàn)者nnHfn H DeMorgan204810610 5181Buffon404020480 5069K Pearson1200060190 5016K Pearson24000120120 5005 頻率的性質(zhì) 1 0 fn A 1 2 fn S 1 fn 0 3 可加性 若AB 則fn A B fn A fn B 實(shí)踐證明 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí) fn A 逐漸趨向一個(gè)穩(wěn)定值 可將此穩(wěn)定值記作P A 作為事件A的概率 1 3 2 概率的公理化定義 注意到不論是對(duì)概率的直觀理解 還是頻率定義方式 作為事件的概率 都應(yīng)具有前述三條基本性質(zhì) 在數(shù)學(xué)上 我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā) 給出概率的公理化定義 1 定義 p8 若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間 中的每一事件A 均賦予一實(shí)數(shù)P A 集合函數(shù)P A 滿足條件 1 P A 0 2 P 1 3 可列可加性 設(shè)A1 A2 是一列兩兩互不相容的事件 即AiAj i j i j 1 2 有P A1 A2 P A1 P A2 1 1 則稱P A 為事件A的概率 2 概率的性質(zhì)P 10 13 1 有限可加性 設(shè)A1 A2 An 是n個(gè)兩兩互不相容的事件 即AiAj i j i j 1 2 n 則有P A1 A2 An P A1 P A2 P An 3 事件差A(yù) B是兩個(gè)事件 則P A B P A P AB 2 單調(diào)不減性 若事件A B 則P A P B 4 加法公式 對(duì)任意兩事件A B 有P A B P A P B P AB 該公式可推廣到任意n個(gè)事件A1 A2 An的情形 3 互補(bǔ)性 P A 1 P A 5 可分性 對(duì)任意兩事件A B 有P A P AB P AB 某市有甲 乙 丙三種報(bào)紙 訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30 其中有10 的人同時(shí)定甲 乙兩種報(bào)紙 沒(méi)有人同時(shí)訂甲乙或乙丙報(bào)紙 求從該市任選一人 他至少訂有一種報(bào)紙的概率 EX 解 設(shè)A B C分別表示選到的人訂了甲 乙 丙報(bào) 例1 3 2 在1 10這10個(gè)自然數(shù)中任取一數(shù) 求 1 取到的數(shù)能被2或3整除的概率 2 取到的數(shù)即不能被2也不能被3整除的概率 3 取到的數(shù)能被2整除而不能被3整除的概率 解 設(shè)A 取到的數(shù)能被2整除 B 取到的數(shù)能被3整除 故 袋中有十只球 其中九只白球 一只紅球 十人依次從袋中各取一球 不放回 問(wèn)第一個(gè)人取得紅球的概率是多少 第二個(gè)人取得紅球的概率是多少 1 4條件概率 若已知第一個(gè)人取到的是白球 則第二個(gè)人取到紅球的概率是多少 已知事件A發(fā)生的條件下 事件B發(fā)生的概率稱為A條件下B的條件概率 記作P B A 若已知第一個(gè)人取到的是紅球 則第二個(gè)人取到紅球的概率又是多少 一 條件概率例1設(shè)袋中有3個(gè)白球 2個(gè)紅球 現(xiàn)從袋中任意抽取兩次 每次取一個(gè) 取后不放回 1 已知第一次取到紅球 求第二次也取到紅球的概率 2 求第二次取到紅球的概率 3 求兩次均取到紅球的概率 設(shè)A 第一次取到紅球 B 第二次取到紅球 S A B A 第一次取到紅球 B 第二次取到紅球 顯然 若事件A B是古典概型的樣本空間S中的兩個(gè)事件 其中A含有nA個(gè)樣本點(diǎn) AB含有nAB個(gè)樣本點(diǎn) 則 稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率 p14 一般地 設(shè)A B是S中的兩個(gè)事件 則 條件概率 是 概率 嗎 概率定義若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間S中的每一事件A 均賦予一實(shí)數(shù)P A 集合函數(shù)P A 滿足條件 P A 0 2 P S 1 3 可列可加性 設(shè)A1 A2 是一列兩兩互不相容的事件 即AiAj i j i j 1 2 有P A1 A2 P A1 P A2 則稱P A 為事件A的概率 例2 p14 一盒中混有100只新 舊乒乓球 各有紅 白兩色 分類(lèi)如下表 從盒中隨機(jī)取出一球 若取得的是一只紅球 試求該紅球是新球的概率 設(shè)A 從盒中隨機(jī)取到一只紅球 B 從盒中隨機(jī)取到一只新球 A B 二 乘法公式 p15 設(shè)A B P A 0 則P AB P A P B A 1 4 2 式 1 4 2 就稱為事件A B的概率乘法公式 式 1 4 2 還可推廣到三個(gè)事件的情形 P ABC P A P B A P C AB 1 4 3 一般地 有下列公式 P A1A2 An P A1 P A2 A1 P An A1 An 1 1 4 4 例3合中有3個(gè)紅球 2個(gè)白球 每次從袋中任取一只 觀察其顏色后放回 并再放入一只與所取之球顏色相同的球 若從合中連續(xù)取球4次 試求第1 2次取得白球 第3 4次取得紅球的概率 解 設(shè)Ai為第i次取球時(shí)取到白球 則 三 全概率公式與貝葉斯公式 例4 p16 市場(chǎng)上有甲 乙 丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品 已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為1 4 1 4 1 2 且三家工廠的次品率分別為2 1 3 試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率 B 定義 p17 事件組A1 A2 An n可為 稱為樣本空間 的一個(gè)劃分 若滿足 A1 A2 An B 定理1 p17 設(shè)A1 An是 的一個(gè)劃分 且P Ai 0 i 1 n 則對(duì)任何事件B 有 式 1 4 5 就稱為全概率公式 例5 P17 有甲乙兩個(gè)袋子 甲袋中有兩個(gè)白球 1個(gè)紅球 乙袋中有兩個(gè)紅球 一個(gè)白球 這六個(gè)球手感上不可區(qū)別 今從甲袋中任取一球放入乙袋 攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∫磺?問(wèn)此球是紅球的概率 解 設(shè)A1 從甲袋放入乙袋的是白球 A2 從甲袋放入乙袋的是紅球 B 從乙袋中任取一球是紅球 甲 乙 定理2 p18 設(shè)A1 An是S的一個(gè)劃分 且P Ai 0 i 1 n 則對(duì)任何事件B S 有 式 1 4 6 就稱為貝葉斯公式 思考 上例中 若已知取到一個(gè)紅球 則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少 答 P22 22 商店論箱出售玻璃杯 每箱20只 其中每箱含0 1 2只次品的概率分別為0 8 0 1 0 1 某顧客選中一箱 從中任選4只檢查 結(jié)果都是好的 便買(mǎi)下了這一箱 問(wèn)這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少 解 設(shè)A 從一箱中任取4只檢查 結(jié)果都是好的 B0 B1 B2分別表示事件每箱含0 1 2只次品 已知 P B0 0 8 P B1 0 1 P B2 0 1 由Bayes公式 例6 p18 數(shù)字通訊過(guò)程中 信源發(fā)射0 1兩種狀態(tài)信號(hào) 其中發(fā)0的概率為0 55 發(fā)1的概率為0 45 由于信道中存在干擾 在發(fā)0的時(shí)候 接收端分別以概率0 9 0 05和0 05接收為0 1和 不清 在發(fā)1的時(shí)候 接收端分別以概率0 85 0 05和0 1接收為1 0和 不清 現(xiàn)接收端接收到一個(gè) 1 的信號(hào) 問(wèn)發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少 0 067 解 設(shè)A 發(fā)射端發(fā)射0 B 接收端接收到一個(gè) 1 的信號(hào) 0 0 55 01不清 0 9 0 05 0 05 1 0 45 10不清 0 85 0 05 0 1 條件概率 條件概率小結(jié) 縮減樣本空間 定義式 乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式 1 5事件的獨(dú)立性一 兩事件獨(dú)立 P19 定義1設(shè)A B是兩事件 P A 0 若P B P B A 1 5 1 則稱事件A與B相互獨(dú)立 式 1 5 1 等價(jià)于 P AB P A P B 1 5 2 從一付52張的撲克牌中任意抽取一張 以A表示抽出一張A 以B表示抽出一張黑桃 問(wèn)A與B是否獨(dú)立 定理 以下四件事等價(jià) 1 事件A B相互獨(dú)立 2 事件A B相互獨(dú)立 3 事件A B相互獨(dú)立 4 事件A B相互獨(dú)立 二 多個(gè)事件的獨(dú)立 定義2 p20 若三個(gè)事件A B C滿足 1 P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C 則稱事件A B C兩兩相互獨(dú)立 若在此基礎(chǔ)上還滿足 2 P ABC P A P B P C 1 5 3 則稱事件A B C相互獨(dú)立 一般地 設(shè)A1 A2 An是n個(gè)事件 如果對(duì)任意k 1 k n 任意的1 i1 i2 ik n 具有等式P Ai1Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik 1 5 4 則稱n個(gè)事件A1 A2 An相互獨(dú)立 思考 1 設(shè)事件A B C D相互獨(dú)立 則 2 一顆骰子擲4次至少得一個(gè)六點(diǎn)與兩顆骰子擲24次至少得一個(gè)雙六 這兩件事 哪一個(gè)有更多的機(jī)會(huì)遇到 答 0 518 0 496 三 事件獨(dú)立性的應(yīng)用 1 加法公式的簡(jiǎn)化 若事件A1 A2 An相互獨(dú)立 則 1 5 5 2 在可靠性理論上的應(yīng)用P23 24 如圖 1 2 3 4 5表示繼電器觸點(diǎn) 假設(shè)每個(gè)觸點(diǎn)閉合的概率為p 且各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立 求L至R是通路的概率 設(shè)A L至R為通路 Ai 第i個(gè)繼電器通 i 1 2 5 由全概率公式 EX1 一個(gè)學(xué)生欲到三家圖書(shū)館借一本參考書(shū) 每家圖書(shū)館購(gòu)進(jìn)這種書(shū)的概率是1 2 購(gòu)進(jìn)這種書(shū)的圖書(shū)館中該書(shū)被借完了的概率也是1 2 各家圖書(shū)館是否購(gòu)進(jìn)該書(shū)相互獨(dú)立 問(wèn)該學(xué)生能夠借到書(shū)的概率是多少 第一章小結(jié)本章由六個(gè)概念 隨機(jī)試驗(yàn) 事件 概率 條件概率 獨(dú)立性 四個(gè)公式 加法公式 乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式 和一個(gè)概型 古典概型 組成 第二章隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布多維隨機(jī)變量的邊緣分布與獨(dú)立性條件分布多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 關(guān)于隨機(jī)變量 及向量 的研究 是概率論的中心內(nèi)容 這是因?yàn)?對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn) 我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問(wèn)題有關(guān)的某個(gè)或某些量 而這些量就是隨機(jī)變量 也可以說(shuō) 隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象 而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn) 一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣 變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念 同樣 概率論能從計(jì)算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個(gè)更高的理論體系 其基礎(chǔ)概念是隨機(jī)變量 2 1隨機(jī)變量的概念 p24 定義 設(shè)S e 是試驗(yàn)的樣本空間 如果量X是定義在S上的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)即對(duì)于每一個(gè)e S 有一實(shí)數(shù)X X e 與之對(duì)應(yīng) 則稱X為隨機(jī)變量 隨機(jī)變量常用X Y Z或 等表示 隨機(jī)變量的特點(diǎn) 1X的全部可能取值是互斥且完備的 2X的部分可能取值描述隨機(jī)事件 請(qǐng)舉幾個(gè)實(shí)際中隨機(jī)變量的例子 EX 引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下列事件 將3個(gè)球隨機(jī)地放入三個(gè)格子中 事件A 有1個(gè)空格 B 有2個(gè)空格 C 全有球 進(jìn)行5次試驗(yàn) 事件D 試驗(yàn)成功一次 F 試驗(yàn)至少成功一次 G 至多成功3次 隨機(jī)變量的分類(lèi) 隨機(jī)變量 2 2離散型隨機(jī)變量 P25 定義若隨機(jī)變量X取值x1 x2 xn 且取這些值的概率依次為p1 p2 pn 則稱X為離散型隨機(jī)變量 而稱P X xk pk k 1 2 為X的分布律或概率分布 可表為X P X xk pk k 1 2 或 Xx1x2 xK Pkp1p2 pk 1 pk 0 k 1 2 2 例1設(shè)袋中有5只球 其中有2只白3只黑 現(xiàn)從中任取3只球 不放回 求抽得的白球數(shù)X為k的概率 解k可取值0 1 2 2 分布律的性質(zhì) 例2 某射手對(duì)目標(biāo)獨(dú)立射擊5次 每次命中目標(biāo)的概率為p 以X表示命中目標(biāo)的次數(shù) 求X的分布律 解 設(shè)Ai 第i次射擊時(shí)命中目標(biāo) i 1 2 3 4 5則A1 A2 A5 相互獨(dú)立且P Ai p i 1 2 5 SX 0 1 2 3 4 5 1 p 5 幾個(gè)常用的離散型分布 一 貝努里 Bernoulli 概型與二項(xiàng)分布 1 0 1 分布 p26 若以X表示進(jìn)行一次試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù) 則稱X服從 0 1 分布 兩點(diǎn)分布 X P X k pk 1 p 1 k 0 p 1 k 0 1或 P27 若以X表示n重貝努里試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù) 則稱X服從參數(shù)為n p的二項(xiàng)分布 記作X B n p 其分布律為 2 p27 定義設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次 每次試驗(yàn)中 事件A發(fā)生的概率均為p 則稱這n次試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn) 例3 從某大學(xué)到火車(chē)站途中有6個(gè)交通崗 假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立 并且遇到紅燈的概率都是1 3 1 設(shè)X為汽車(chē)行駛途中遇到的紅燈數(shù) 求X的分布律 2 求汽車(chē)行駛途中至少遇到5次紅燈的概率 解 1 由題意 X B 6 1 3 于是 X的分布律為 例4 某人射擊的命中率為0 02 他獨(dú)立射擊400次 試求其命中次數(shù)不少于2的概率 泊松定理 p28 設(shè)隨機(jī)變量Xn B n p n 0 1 2 且n很大 p很小 記 np 則 解設(shè)X表示400次獨(dú)立射擊中命中的次數(shù) 則X B 400 0 02 故P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0 98400 400 0 02 0 98399 上題用泊松定理取 np 400 0 02 8 故近似地有 P X 2 1 P X 0 P X 1 1 1 8 e 8 0 996981 二 泊松 Poisson 分布P p28 X P X k k 0 1 2 0 泊松定理表明 泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布 當(dāng)n很大 p很小時(shí) 二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù) np的泊松分布 例5 設(shè)某國(guó)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為 的泊松分布 且知一對(duì)夫婦有不超過(guò)1個(gè)孩子的概率為3e 2 求任選一對(duì)夫婦 至少有3個(gè)孩子的概率 解 由題意 例6 進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 每次成功的概率為p 令X表示直到出現(xiàn)第m次成功為止所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù) 求X的分布律 解 m 1時(shí) m 1時(shí) X的全部取值為 m m 1 m 2 P X m 1 P 第m 1次試驗(yàn)時(shí)成功并且在前m次試驗(yàn)中成功了m 1次 想一想 離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征可以用分布律描述 非離散型的該如何描述 如 熊貓彩電的壽命X是一個(gè)隨機(jī)變量 對(duì)消費(fèi)者來(lái)說(shuō) 你是否在意 X 5年 還是 X 5年零1分鐘 2 3隨機(jī)變量的分布函數(shù)一 分布函數(shù)的概念 定義 P29 設(shè)X是隨機(jī)變量 對(duì)任意實(shí)數(shù)x 事件 X x 的概率P X x 稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù) 記為F x 即F x P X x 易知 對(duì)任意實(shí)數(shù)a b a b P a X b P X b P X a F b F a 二 分布函數(shù)的性質(zhì) P29 1 單調(diào)不減性 若x1 x2 則F x1 F x2 2 歸一性 對(duì)任意實(shí)數(shù)x 0 F x 1 且 3 右連續(xù)性 對(duì)任意實(shí)數(shù)x 反之 具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù) 必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì) 一般地 對(duì)離散型隨機(jī)變量X P X xk pk k 1 2 其分布函數(shù)為 例1設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如右表 解 試求出X的分布函數(shù) 例2向 0 1 區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn) 以X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo) 假定質(zhì)點(diǎn)落在 0 1 區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長(zhǎng)成正比 求X的分布函數(shù)解 F x P X x 當(dāng)x1時(shí) F x 1 當(dāng)0 x 1時(shí) 特別 F 1 P 0 x 1 k 1 用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不如分布律直觀 對(duì)非離散型隨機(jī)變量 是否有更直觀的描述方法 a b 2 4連續(xù)型隨機(jī)變量一 概率密度 1 定義 p33 對(duì)于隨機(jī)變量X 若存在非負(fù)函數(shù)f x x 使對(duì)任意實(shí)數(shù)x 都有 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量 f x 為X的概率密度函數(shù) 簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù) 常記為X f x x 密度函數(shù)的幾何意義為 2 密度函數(shù)的性質(zhì) p34 1 非負(fù)性f x 0 x 2 歸一性 性質(zhì) 1 2 是密度函數(shù)的充要性質(zhì) EX 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 求常數(shù)a 答 3 若x是f x 的連續(xù)點(diǎn) 則 EX 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求f x 4 對(duì)任意實(shí)數(shù)b 若X f x x 則P X b 0 于是 P 35 例2 3 2 已知隨機(jī)變量X的概率密度為1 求X的分布函數(shù)F x 2 求P X 0 5 1 5 二 幾個(gè)常用的連續(xù)型分布 1 均勻分布 p36 若X f x 則稱X在 a b 內(nèi)服從均勻分布 記作X U a b 對(duì)任意實(shí)數(shù)c d a c d b 都有 例 長(zhǎng)途汽車(chē)起點(diǎn)站于每時(shí)的10分 25分 55分發(fā)車(chē) 設(shè)乘客不知發(fā)車(chē)時(shí)間 于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車(chē)站 求乘客候車(chē)時(shí)間超過(guò)10分鐘的概率 15 45 解 設(shè)A 乘客候車(chē)時(shí)間超過(guò)10分鐘X 乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá) 則X U 0 60 2 指數(shù)分布 p36 若X 則稱X服從參數(shù)為 0的指數(shù)分布 其分布函數(shù)為 例 電子元件的壽命X 年 服從參數(shù)為3的指數(shù)分布 1 求該電子元件壽命超過(guò)2年的概率 2 已知該電子元件已使用了1 5年 求它還能使用兩年的概率為多少 解 例 某公路橋每天第一輛汽車(chē)過(guò)橋時(shí)刻為T(mén) 設(shè) 0 t 時(shí)段內(nèi)過(guò)橋的汽車(chē)數(shù)Xt服從參數(shù)為 t的泊松分布 求T的概率密度 解 當(dāng)t 0時(shí) 當(dāng)t 0時(shí) 1 在t時(shí)刻之前無(wú)汽車(chē)過(guò)橋 于是 正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛 在理論上研究最多的分布之一 故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特別重要的地位 3 正態(tài)分布 A B A B間真實(shí)距離為 測(cè)量值為X X的概率密度應(yīng)該是什么形態(tài) 其中 為實(shí)數(shù) 0 則稱X服從參數(shù)為 2的正態(tài)分布 記為N 2 可表為X N 2 若隨機(jī)變量 1 單峰對(duì)稱密度曲線關(guān)于直線x 對(duì)稱 p38 f maxf x 正態(tài)分布有兩個(gè)特性 2 的大小直接影響概率的分布 越大 曲線越平坦 越小 曲線越陡峻 正態(tài)分布也稱為高斯 Gauss 分布 4 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 p38 參數(shù) 0 2 1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 記作X N 0 1 分布函數(shù)表示為 其密度函數(shù)表示為 一般的概率統(tǒng)計(jì)教科書(shū)均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱 x 的值 P226附表1 如 若Z N 0 1 0 5 0 6915 P 1 32 Z 2 43 2 43 1 32 0 9925 0 9066 注 1 x 1 x 2 若X N 2 則 正態(tài)分布表 EX 設(shè)隨機(jī)變量X N 1 22 P 2 45 X 2 45 P 39 例2 3 5 設(shè)X N 2 求P 3 X 3 本題結(jié)果稱為3 原則 在工程應(yīng)用中 通常認(rèn)為P X 3 1 忽略 X 3 的值 如在質(zhì)量控制中 常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值 3 作兩條線 當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時(shí)發(fā)出警報(bào) 表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常 正態(tài)分布表 p67 14一種電子元件的使用壽命 小時(shí) 服從正態(tài)分布 100 152 某儀器上裝有3個(gè)這種元件 三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的 求 使用的最初90小時(shí)內(nèi)無(wú)一元件損壞的概率 解 設(shè)Y為使用的最初90小時(shí)內(nèi)損壞的元件數(shù) 故 則Y B 3 p 其中 正態(tài)分布表 一 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律 2 5一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 p55 設(shè)X一個(gè)隨機(jī)變量 分布律為X P X xk pk k 1 2 若y g x 是一元單值實(shí)函數(shù) 則Y g X 也是一個(gè)隨機(jī)變量 求Y的分布律 例 已知 X Pk 101 求 Y X2的分布律 Y Pk 10 或Y g X P Y g xk pk k 1 2 其中g(shù) xk 有相同的 其對(duì)應(yīng)概率合并 一般地 X Pk Y g X 二 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù) 1 一般方法 p56 若X f x x Y g X 為隨機(jī)變量X的函數(shù) 則可先求Y的分布函數(shù)FY y P Y y P g X y 然后再求Y的密度函數(shù) 此法也叫 分布函數(shù)法 例1 設(shè)X U 1 1 求Y X2的分布函數(shù)與概率密度 當(dāng)y 0時(shí) 當(dāng)0 y 1時(shí) 當(dāng)y 1時(shí) 例2 設(shè)X的概率密度為fX x y g x 關(guān)于x處處可導(dǎo)且是x的嚴(yán)格單減函數(shù) 求Y g X 的概率密度 解 Y的分布函數(shù)為 FY y P Y y P g X y P X g 1 y 1 FX g 1 y Y的概率密度為fY y F g 1 y fX g 1 y g 1 y 2 公式法 一般地若X fX x y g x 是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù) 則 注 1只有當(dāng)g x 是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時(shí) 才可用以上公式推求Y的密度函數(shù) 2注意定義域的選擇 其中h y 為y g x 的反函數(shù) 例3 已知X N 2 求 解 的概率密度 關(guān)于x嚴(yán)單 反函數(shù)為 故 例4設(shè)X U 0 1 求Y ax b的概率密度 a 0 解 Y ax b關(guān)于x嚴(yán)單 反函數(shù)為 故 而 故 小結(jié) 習(xí)題課 一 填空 1 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 2 p 的二項(xiàng)分布 隨機(jī)變量Y服從參數(shù) 3 p 的二項(xiàng)分布 若 則P Y 1 2 設(shè)隨機(jī)變量X服從 0 2 上的均勻分布 則隨機(jī)變量Y X2在 0 4 內(nèi)的密度函數(shù)為fY y 3 設(shè)隨機(jī)變量X N 2 2 且P 2 X 4 0 3 則P X 0 二 從某大學(xué)到火車(chē)站途中有6個(gè)交通崗 假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立 并且遇到紅燈的概率都是1 3 以Y表示汽車(chē)在第一次停止之前所通過(guò)的交通崗數(shù) 求Y的分布律 假定汽車(chē)只在遇到紅燈或到達(dá)火車(chē)站時(shí)停止 三 某射手對(duì)靶射擊 單發(fā)命中概率都為0 6 現(xiàn)他扔一個(gè)均勻的骰子 扔出幾點(diǎn)就對(duì)靶獨(dú)立射擊幾發(fā) 求他恰好命中兩發(fā)的概率 四 已知隨機(jī)變量X的概率密度為 求 Y 1 X2的概率密度 2 6二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布一 多維隨機(jī)變量 1 定義 p41 將n個(gè)隨機(jī)變量X1 X2 Xn構(gòu)成一個(gè)n維向量 X1 X2 Xn 稱為n維隨機(jī)變量 一維隨機(jī)變量X R1上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)二維隨機(jī)變量 X Y R2上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)n維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn Rn上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)多維隨機(jī)變量的研究方法也與一維類(lèi)似 用分布函數(shù) 概率密度 或分布律來(lái)描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律 p41 設(shè) X Y 是二維隨機(jī)變量 x y R2 則稱F x y P X x Y y 為 X Y 的分布函數(shù) 或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù) 二 聯(lián)合分布函數(shù) 幾何意義 分布函數(shù)F 表示隨機(jī)點(diǎn) X Y 落在區(qū)域中的概率 如圖陰影部分 對(duì)于 x1 y1 x2 y2 R2 x1 x2 y1 y2 則P x1 X x2 y1 y y2 F x2 y2 F x1 y2 F x2 y1 F x1 y1 x1 y1 x2 y2 x2 y1 x1 y2 分布函數(shù)F x y 具有如下性質(zhì) p41 42 且 1 歸一性對(duì)任意 x y R2 0 F x y 1 2 單調(diào)不減對(duì)任意y R 當(dāng)x1 x2時(shí) F x1 y F x2 y 對(duì)任意x R 當(dāng)y1 y2時(shí) F x y1 F x y2 3 右連續(xù)對(duì)任意x R y R 4 矩形不等式對(duì)于任意 x1 y1 x2 y2 R2 x1 x2 y1 y2 F x2 y2 F x1 y2 F x2 y1 F x1 y1 0 反之 任一滿足上述四個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)F x y 都可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量 X Y 的分布函數(shù) 例2 已知二維隨機(jī)變量 X Y 的分布函數(shù)為 1 求常數(shù)A B C 2 求P 0 X 2 0 Y 3 解 三 聯(lián)合分布律 P42 若二維隨機(jī)變量 X Y 只能取至多可列個(gè)值 xi yj i j 1 2 則稱 X Y 為二維離散型隨機(jī)變量 若二維離散型隨機(jī)變量 X Y 取 xi yj 的概率為pij 則稱P X xi Y yj pij i j 1 2 為二維離散型隨機(jī)變量 X Y 的分布律 或隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律 可記為 X Y P X xi Y yj pij i j 1 2 XYy1y2 yj p11p12 P1j p21p22 P2j pi1pi2 Pij 聯(lián)合分布律的性質(zhì) 1 pij 0 i j 1 2 2 x1x2xi 二維離散型隨機(jī)變量的分布律也可列表表示如下 P43 例3 P43 袋中有兩只紅球 三只白球 現(xiàn)不放回摸球二次 令 求 X Y 的分布律 X Y 10 10 四 二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù) 1 定義p44對(duì)于二維隨機(jī)變量 X Y 若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)f x y 使對(duì) x y R2 其分布函數(shù) 則稱 X Y 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量 f x y 為 X Y 的密度函數(shù) 概率密度 或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù) 可記為 X Y f x y x y R2 2 聯(lián)合密度f(wàn) x y 的性質(zhì) p44 1 非負(fù)性 f x y 0 x y R2 2 歸一性 反之 具有以上兩個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)f x y 必是某個(gè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù) 此外 f x y 還有下述性質(zhì) 3 若f x y 在 x y R2處連續(xù) 則有 4 對(duì)于任意平面區(qū)域G R2 EX 設(shè) 求 P X Y G 求 1 常數(shù)A 2 F 1 1 3 X Y 落在三角形區(qū)域D x 0 y 0 2X 3y 6內(nèi)的概率 例4 設(shè) 解 1 由歸一性 3 X Y 落在三角形區(qū)域D x 0 y 0 2X 3y 6內(nèi)的概率 解 3 兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布 1 二維均勻分布 p45 若二維隨機(jī)變量 X Y 的密度函數(shù)為則稱 X Y 在區(qū)域D上 內(nèi) 服從均勻分布 易見(jiàn) 若 X Y 在區(qū)域D上 內(nèi) 服從均勻分布 對(duì)D內(nèi)任意區(qū)域G 有 例5 設(shè) X Y 服從如圖區(qū)域D上的均勻分布 1 求 X Y 的概率密度 2 求P Y 2X 3 求F 0 5 0 5 其中 1 2為實(shí)數(shù) 1 0 2 0 1 則稱 X Y 服從參數(shù)為 1 2 1 2 的二維正態(tài)分布 可記為 2 二維正態(tài)分布N 1 2 1 2 若二維隨機(jī)變量 X Y 的密度函數(shù)為 P101 分布函數(shù)的概念可推廣到n維隨機(jī)變量的情形 事實(shí)上 對(duì)n維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn F x1 x2 xn P X1 x1 X2 x2 Xn xn 稱為的n維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn 的分布函數(shù) 或隨機(jī)變量X1 X2 Xn的聯(lián)合分布函數(shù) 定義2 4 6 n維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn 如果存在非負(fù)的n元函數(shù)f x1 x2 xn 使對(duì)任意的n元立方體 定義2 4 7 若 X1 X2 Xn 的全部可能取值為Rn上的有限或可列無(wú)窮多個(gè)點(diǎn) 稱 X1 X2 Xn 為n維離散型的 稱P X1 x1 X2 x2 Xn xn x1 x2 xn 為n維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn 的聯(lián)合分布律 則稱 X1 X2 Xn 為n維連續(xù)型隨機(jī)變量 稱f x1 x2 xn 為 X1 X2 Xn 的概率密度 求 1 P X 0 2 P X 1 3 P Y y0 EX 隨機(jī)變量 X Y 的概率密度為 x y D 答 P X 0 0 FY y F y P Y y 稱為二維隨機(jī)變量 X Y 關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù) 2 7 邊緣分布與獨(dú)立性一 邊緣分布函數(shù) p46 FX x F x P X x 稱為二維隨機(jī)變量 X Y 關(guān)于X的邊緣分布函數(shù) 邊緣分布實(shí)際上是高維隨機(jī)變量的某個(gè) 某些 低維分量的分布 例1 已知 X Y 的分布函數(shù)為 求FX x 與FY y 二 邊緣分布律 若隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為 p47 X Y P X xi Y yj pij i j 1 2 則稱P X xi pi i 1 2 為 X Y 關(guān)于X的邊緣分布律 P Y yj p j j 1 2 為 X Y 關(guān)于Y的邊緣分布律 邊緣分布律自然也滿足分布律的性質(zhì) 例2 已知 X Y 的分布律為x y1011 103 1003 103 10求X Y的邊緣分布律 解 x y10pi 11 103 1003 103 10p j 故關(guān)于X和Y的分布律分別為 X10Y10P2 53 5P2 53 5 2 5 3 5 2 5 3 5 三 邊緣密度函數(shù) 為 X Y 關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù) 設(shè) X Y f x y x y R2 則稱 p48 為 X Y 關(guān)于X的邊緣密度函數(shù) 同理 稱 易知N 1 2 12 22 的邊緣密度函數(shù)fX x 是N 1 12 的密度函數(shù) 而fX x 是N 2 22 的密度函數(shù) 故二維正態(tài)分布的邊緣分布也是正態(tài)分布 例3 設(shè) X Y 的概率密度為 1 求常數(shù)c 2 求關(guān)于X的邊緣概率密度 解 1 由歸一性 設(shè) X Y 服從如圖區(qū)域D上的均勻分布 求關(guān)于X的和關(guān)于Y的邊緣概率密度 x y x y EX 四 隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 定義2 4 1稱隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立 如果對(duì)任意實(shí)數(shù)a b c d 有 p49 p a X b c Y d p a X b p c Y d 即事件 a X b 與事件 c Y d 獨(dú)立 則稱隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立 定理2 4 2 隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立的充分必要條件是 p49 F x y FX x FY y 定理2 4 3 p50 設(shè) X Y 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量 X與Y獨(dú)立的充分必要條件是f x y fX x fY y 定理2 4 4 p50 設(shè) X Y 是二維離散型隨機(jī)變量 其分布律為Pi j P X xi Y yj i j 1 2 則X與Y獨(dú)立的充分必要條件是對(duì)任意i j Pi j Pi P j 由上述定理可知 要判斷兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y的獨(dú)立性 只需求出它們各自的邊緣分布 再看是否對(duì) X Y 的每一對(duì)可能取值點(diǎn) 邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可 EX 判斷例1 例2 例3中的X與Y是否相互獨(dú)立 例 p50 已知隨機(jī)變量 X Y 的分布律為 且知X與Y獨(dú)立 求a b的值 例4 p51 甲乙約定8 00 9 00在某地會(huì)面 設(shè)兩人都隨機(jī)地在這期間的任一時(shí)刻到達(dá) 先到者最多等待15分鐘過(guò)時(shí)不候 求兩人能見(jiàn)面的概率 定義 設(shè)n維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn 的分布函數(shù)為F x1 x2 xn X1 X2 Xn 的k 1 k n 維邊緣分布函數(shù)就隨之確定 如關(guān)于 X1 X2 的邊緣分布函數(shù)是FX1 X2 x1 x2 F x1 x2 若Xk的邊緣分布函數(shù)為FXk xk k 1 2 n 五 n維隨機(jī)變量的邊緣分布與獨(dú)立性 p51 則稱X1 X2 Xn相互獨(dú)立 或稱 X1 X2 Xn 是獨(dú)立的 對(duì)于離散型隨機(jī)變量的情形 若對(duì)任意整數(shù)i1 i2 in及實(shí)數(shù)有 則稱離散型隨機(jī)變量X1 X2 Xn相互獨(dú)立 設(shè)X1 X2 Xn為n個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量 若對(duì)任意的 x1 x2 xn Rn f x1 x2 xn fX1 x1 fX2 x2 fXn xn 幾乎處處成立 則稱X1 X2 Xn相互獨(dú)立 定義2 4 6 設(shè)n維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn 的分布函數(shù)為FX x1 x2 xn m維隨機(jī)變量 Y1 Y2 Ym 的分布函數(shù)為FY y1 y2 ym X1 X2 Xn Y1 Y2 Ym組成的n m維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn Y1 Y2 Ym 的分布函數(shù)為F x1 x2 xn y1 y2 ym 如果F x1 x2 xn y1 y2 ym FX x1 x2 xn FY y1 y2 ym 則稱n維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn 與m維隨機(jī)變量 Y1 Y2 Ym 獨(dú)立 定理2 4 7設(shè) X1 X2 Xn 與 Y1 Y2 Ym 相互獨(dú)立 則Xi i 1 2 n 與Yi i 1 2 m 相互獨(dú)立 又若h g是連續(xù)函數(shù) 則h X1 X2 Xn 與g Y1 Y2 Ym 相互獨(dú)立 設(shè)隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為 X Y P X xi Y yj pij i j 1 2 X和Y的邊緣分布律分別為 2 8條件分布一 離散型隨機(jī)變量的條件分布律 為Y yj的條件下 X的條件分布律 若對(duì)固定的j p j 0 則稱 同理 對(duì)固定的i pi 0 稱 為X xi的條件下 Y的條件分布律 EX 設(shè)某昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)X服從參數(shù)為50的泊松分布 又設(shè)一個(gè)蟲(chóng)卵能孵化成蟲(chóng)的概率為0 8 且各卵的孵化是相互獨(dú)立的 求此昆蟲(chóng)產(chǎn)卵數(shù)X與下一代只數(shù)Y的聯(lián)合分布律 二連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度 定義 給定y 設(shè)對(duì)任意固定的正數(shù) 0 極限 存在 則稱此極限為在條件條件下X的條件分布函數(shù) 記作 可證當(dāng)時(shí) 若記為在Y y條件下X的條件概率密度 則由 3 3 3 知 當(dāng)時(shí) 類(lèi)似定義 當(dāng)時(shí) 例2 已知 X Y 的概率密度為 1 求條件概率密度 2 求條件概率 x y 1 解 p55 2 8多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布一 二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 X Y X Y P X xi Y yj pij i j 1 2 則Z g X Y P Z zk pk k 1 2 或 EX設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立 且均服從0 1分布 其分布律均為X01Pqp 1 求W X Y的分布律 2 求V max X Y 的分布律 3 求U min X Y 的分布律 4 求w與V的聯(lián)合分布律 0 1 1 2 0 1 1 1 0 0 0 1 V W 01 012 0 0 0 二 多個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù) 1 一般的方法 分布函數(shù)法 p60 若 X1 X2 Xn f x1 x2 xn x1 x2 xn Rn Y g X1 X2 Xn 則可先求Y的分布函數(shù) 然后再求出Y的密度函數(shù) 2 幾個(gè)常用函數(shù)的密度函數(shù) 1 和的分布已知 X Y f x y x y R2 求Z X Y的密度 zx y zx y z 若X與Y相互獨(dú)立 則Z X Y的密度函數(shù) 例1 設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 求證 Z X Y服從N 0 2 分布 一般地 設(shè)隨機(jī)變量X1 X2 Xn獨(dú)立且Xi服從正態(tài)分布N i i2 i 1 n 則 p62 例2 卡車(chē)裝運(yùn)水泥 設(shè)每袋水泥的重量X kg 服從N 50 2 52 分布 該卡車(chē)的額定載重量為2000kg 問(wèn)最多裝多少袋水泥 可使卡車(chē)超載的概率不超過(guò)0 05 解 設(shè)最多裝n袋水泥 Xi為第i袋水泥的重量 則 由題意 令 查表得 2 商的分布已知 X Y f x y x y R2 求Z 的密度 yG10 xG2 特別 當(dāng)X Y相互獨(dú)立時(shí) 上式可化為 其中fX x fY y 分別為X和Y的密度函數(shù) 3 極大 小 值的分布設(shè)X1 X2 Xn相互獨(dú)立 其分布函數(shù)分別為F1 x1 F2 x2 Fn xn 記M max X1 X2 Xn N min X1 X2 Xn 則 M和N的分布函數(shù)分別為 FM z F1 z Fn z 特別 當(dāng)X1 X2 Xn獨(dú)立同分布 分布函數(shù)相同 時(shí) 則有FM z F z n FN z 1 1 F z n 進(jìn)一步地 若X1 X2 Xn獨(dú)立且具相同的密度函數(shù)f x 則M和N的密度函數(shù)分別由以下二式表出fM z n F z n 1f z fN z n 1 F z n 1f z 例3 設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成 聯(lián)接的方式分別為 i 串聯(lián) ii 并聯(lián) 如圖所示設(shè)L1 L2的壽命分別為X與Y 已知它們的概率密度分別為 其中 0 0 試分別就以上兩種聯(lián)結(jié)方式寫(xiě)出L的壽命Z的概率密度 小結(jié) 第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)大數(shù)定律中心極限定理 3 1數(shù)學(xué)期望一 數(shù)學(xué)期望的定義 例1設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)計(jì)成績(jī)及得分人數(shù)如下表所示 分?jǐn)?shù)4060708090100人數(shù)1691572則學(xué)生的平均成績(jī)是總分 總?cè)藬?shù) 分 即 數(shù)學(xué)期望 描述隨機(jī)變量取值的平均特征 定義1 若X P X xk pk k 1 2 n 則稱 定義2 p73 若X P X xk pk k 1 2 且 為r v X的數(shù)學(xué)期望 簡(jiǎn)稱期望或均值 則稱 為r v X的數(shù)學(xué)期望 例2擲一顆均勻的骰子 以X表示擲得的點(diǎn)數(shù) 求X的數(shù)學(xué)期望 定義3若X f x x 為X的數(shù)學(xué)期望 P 74 則稱 例3 若隨機(jī)變量X服從拉普拉斯分布 其密度函數(shù)為 試求E X 解 二 幾個(gè)重要r v 的期望 1 0 1分布的數(shù)學(xué)期望 EX p 2 二項(xiàng)分布B n p 3 泊松分布 4 均勻分布U a b 5 指數(shù)分布 6 正態(tài)分布N 2 EX1 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 解 求隨機(jī)變量Y X2的數(shù)學(xué)期望 X Pk 101 Y Pk 10 三 隨機(jī)變量函數(shù)的期望 定理1若X P X xk pk k 1 2 則Y g X 的期望E g X 為 p77 推論 若 X Y P X xi Y yj pij i j 1 2 則Z g X Y 的期望 例4設(shè)隨機(jī)變量 X Y 的分布律如下 求E XY 解 解 Y ax b關(guān)于x嚴(yán)單 反函數(shù)為 Y的概率密度為 EX2 設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 求隨機(jī)變量Y aX b的數(shù)學(xué)期望 其中a 0 p77 定理2若X f x x 則Y g X 的期望 推論若 X Y f x y x y 則Z g X Y 的期望 例2長(zhǎng)途汽車(chē)起點(diǎn)站于每時(shí)的10分 30分 55分發(fā)車(chē) 設(shè)乘客不知發(fā)車(chē)時(shí)間 于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車(chē)站 求乘客的平均候車(chē)時(shí)間 解 設(shè)乘客于某時(shí)X分到達(dá)車(chē)站 候車(chē)時(shí)間為Y 則 10分25秒 設(shè)X服從N 0 1 分布 求E X2 E X3 E X4 EX 1 E c c c為常數(shù) 2 E cX cE X c為常數(shù) 四 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) P78 證明 設(shè)X f x 則 3 E X Y E X E Y 證明 設(shè) X Y f x y 4 若X與Y獨(dú)立 則E XY E X E Y 證明 設(shè) X Y f x y 例2 設(shè)某種疾病的發(fā)病率為1 在1000個(gè)人中普查這種疾病 為此要化驗(yàn)每個(gè)人的血 方法是 每100個(gè)人一組 把從100個(gè)人抽來(lái)的血混在一起化驗(yàn) 如果混合血樣呈陰性 則通過(guò) 如果混合血樣呈陽(yáng)性 則再分別化驗(yàn)該組每個(gè)人的血樣 求平均化驗(yàn)次數(shù) 解 設(shè)Xj為第j組的化驗(yàn)次數(shù) Xj Pj 1101 X為1000人的化驗(yàn)次數(shù) 則 例3若X B n p 求E X 解 設(shè) 第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生 第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生 則 EX1設(shè)隨機(jī)變量X N 0 1 Y U 0 1 Z B 5 0 5 且X Y Z獨(dú)立 求隨機(jī)變量U 2X 3Y 4Z 1 的數(shù)學(xué)期望 EX2設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立 且均服從 分布 求隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望 答 答 3 2方差一 定義與性質(zhì) 方差是衡量隨機(jī)變量取值波動(dòng)程度的一個(gè)數(shù)字特征 如何定義 1 p82 定義若E X E X2 存在 則稱E X E X 2為r v X的方差 記為D X 或Var X 稱為r v X的標(biāo)準(zhǔn)差 可見(jiàn) 2 推論D X E X2 E X 2 證明 D X E X E X 2 例1 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 1 求D X 2 求 3 方差的性質(zhì) 1 D c 0反之 若D X 0 則存在常數(shù)C 使P X C 1 且C E X 2 D aX a2D X a為常數(shù) 證明 3 若X Y獨(dú)立 則D X Y D X D Y 證明 X與Y獨(dú)立 1 二項(xiàng)分布B n p 二 幾個(gè)重要r v 的方差 P86 解法二 設(shè) 第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生 第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生 則 2 泊松分布p 由于 兩邊對(duì) 求導(dǎo)得 或 或 3 均勻分布U a b 4 指數(shù)分布 5 正態(tài)分布N 2 思考 1 請(qǐng)給出一個(gè)離散型隨機(jī)變量X和一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量Y 使它們的期望都是2 方差都是1 2 已知隨機(jī)變量X1 X2 Xn相互獨(dú)立 且每個(gè)Xi的期望都是0 方差都是1 令Y X1 X2 Xn 求E Y2 三 切比雪夫不等式 P107 若r v X的期望和方差存在 則對(duì)任意 0 有 這就是著名的切比雪夫 Chebyshev 不等式 它有以下等價(jià)的形式 大數(shù)定律 已知某種股票每股價(jià)格X的平均值為1元 標(biāo)準(zhǔn)差為0 1元 求a 使股價(jià)超過(guò)1 a元或低于1 a元的概率小于10 解 由切比雪夫不等式 令 3 3協(xié)方差 相關(guān)系數(shù)一 協(xié)方差定義與性質(zhì) 1 協(xié)方差定義 P88 若r v X的期望E X 和Y的期望E Y 存在 則稱COV X Y E X E X Y E Y 為X與Y的協(xié)方差 易見(jiàn)COV X Y E XY E X E Y 當(dāng)COV X Y 0時(shí) 稱X與Y不相關(guān) X與Y獨(dú)立 和 X與Y不相關(guān) 有何關(guān)系 例2設(shè) X Y 在D X Y x2 y2 1 上服從均勻分布 求證 X與Y不相關(guān) 但不是相互獨(dú)立的 2 協(xié)方差性質(zhì) 1 COV X Y COV Y X 2 COV X X D X COV X c 0 3 COV aX bY abCOV X Y 其中a b為常數(shù) 4 COV X Y Z COV X Z COV Y Z 5 D XY D X D Y 2COV X Y EX 設(shè)隨機(jī)變量X B 12 0 5 Y N 0 1 COV X Y 1 求V 4X 3Y 1與W 2X 4Y的方差與協(xié)方差 二 相關(guān)系數(shù) 1 定義若r v X Y的方差和協(xié)方差均存在 且DX 0 DY 0 則 稱為X與Y的相關(guān)系數(shù) 注 若記 稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化 易知EX 0 DX 1 且 2 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) 1 XY 1 2 XY 1 存在常數(shù)a b使P Y aX b 1 3 X與Y不相關(guān) XY 0 1 設(shè) X Y 服從區(qū)域D 0 x 1 0 y x上的均勻分布 求X與Y的相關(guān)系數(shù) EX D 1 x y 解 以上EX的結(jié)果說(shuō)明了什么 EX2 解1 2 可見(jiàn) 若 X Y 服從二維正態(tài)分布 則X與Y獨(dú)立的充分必要條件是X與Y不相關(guān) 三 矩 p98 1 K階原點(diǎn)矩Ak E Xk k 1 2 而E X k 稱為X的K階絕對(duì)原點(diǎn)矩 2 K階中心矩Bk E X E X k k 1 2 而E X E X k稱為X的K階絕對(duì)中心矩 3 K l階混合原點(diǎn)矩E XkYl k l 0 1 2 4 K l階混合中心矩E X E X k Y E Y l k l 0 1 2 四 協(xié)方差矩陣 p98 1 定義設(shè)X1 Xn為n個(gè)r v 記cij cov Xi Xj i j 1 2 n 則稱由cij組成的矩陣為隨機(jī)變量X1 Xn的協(xié)方差矩陣C 即 P101n維正態(tài)分布 例4設(shè) X Y 服從N 1 0 32 42 0 5 分布 Z X 3 Y 21 求Z的概率密度2 求X與Z的相關(guān)系數(shù)3 問(wèn)X與Z是否相互獨(dú)立 為什么 六種常用隨機(jī)變量的期望與方差 小結(jié) 3 6大數(shù)定律與中心極限定理3 6 1大數(shù)定律一 依概率收斂 設(shè) Xn 為隨機(jī)變量序列 X為隨機(jī)變量 若任給 0 使得 則稱 Xn 依概率收斂于X 可記為 切比雪夫不等式 如 意思是 當(dāng) a 而 意思是 時(shí) Xn落在 內(nèi)的概率越來(lái)越大 當(dāng) 二 幾個(gè)常用的大數(shù)定律 1 切比雪夫大數(shù)定律設(shè) Xk k 1 2 為獨(dú)立的隨機(jī)變量序列