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概率與統(tǒng)計 開課系 非數(shù)學(xué)專業(yè)教師 葉梅燕e mail yemeiyan 教材 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 王松桂等編科學(xué)出版社2002 參考書 1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 浙江大學(xué)盛驟等編高等教育出版社2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 魏振軍編中國統(tǒng)計出版社 序言 概率論是研究什么的 隨機(jī)現(xiàn)象 不確定性與統(tǒng)計規(guī)律性 概率論 研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的科學(xué) 目錄 第一章隨機(jī)事件及其概率第二章隨機(jī)變量第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第四章樣本及抽樣分布第五章參數(shù)估計第六章假設(shè)檢驗 第一章隨機(jī)事件及其概率 隨機(jī)事件及其運算概率的定義及其運算條件概率事件的獨立性 1 1隨機(jī)事件及其概率一 隨機(jī)試驗 簡稱 試驗 隨機(jī)試驗的特點 p1 1 可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行 2 一次試驗之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn) 但能確定所有的可能結(jié)果 隨機(jī)試驗常用E表示 E1 拋一枚硬幣 分別用 H 和 T 表示出正面和反面 E2 將一枚硬幣連拋三次 考慮正反面出現(xiàn)的情況 E3 某城市某年某月內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù) E4 擲一顆骰子 可能出現(xiàn)的點數(shù) E5 記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點擊次數(shù) E6 在一批燈泡中任取一只 測其壽命 E7 任選一人 記錄他的身高和體重 隨機(jī)實驗的例子 隨機(jī)事件 二 樣本空間 p2 1 樣本空間 試驗的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間 記為 e 2 樣本點 試驗的單個結(jié)果或樣本空間的單元素稱為樣本點 記為e 3 由樣本點組成的單點集稱為基本事件 也記為e 幻燈片6 隨機(jī)事件 1 定義樣本空間的任意一個子集稱為隨機(jī)事件 簡稱 事件 記作A B C等任何事件均可表示為樣本空間的某個子集 稱事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗的結(jié)果是子集A中的元素 2 兩個特殊事件 必然事件S 不可能事件 p3 例如對于試驗E2 以下A B C即為三個隨機(jī)事件 A 至少出一個正面 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH B 兩次出現(xiàn)同一面 HHH TTT C 恰好出現(xiàn)一次正面 HTT THT TTH 再如 試驗E6中D 燈泡壽命超過1000小時 x 1000 x T 小時 三 事件之間的關(guān)系 既然事件是一個集合 因此有關(guān)事件間的關(guān)系 運算及運算規(guī)則也就按集合間的關(guān)系 運算及運算規(guī)則來處理 1 包含關(guān)系 p3 事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生 記為A BA B A B且B A 2 和事件 p3 事件A與事件B至少有一個發(fā)生 記作A B 2 n個事件A1 A2 An至少有一個發(fā)生 記作 3 積事件 p4 事件A與事件B同時發(fā)生 記作A B AB 3 n個事件A1 A2 An同時發(fā)生 記作A1A2 An 4 差事件 p5 A B稱為A與B的差事件 表示事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生 思考 何時A B 何時A B A 5 互斥的事件 也稱互不相容事件 p4 即事件與事件不可能同時發(fā)生 AB 6 互逆的事件 p5 A B 且AB 五 事件的運算 p5 1 交換律 A B B A AB BA2 結(jié)合律 A B C A B C AB C A BC 3 分配律 A B C AC BC AB C A C B C 4 對偶 DeMorgan 律 例 甲 乙 丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈 以A B C分別表示甲 乙 丙命中目標(biāo) 試用A B C的運算關(guān)系表示下列事件 1 2概率的定義及其運算 從直觀上來看 事件A的概率是描繪事件A發(fā)生的可能性大小的量 P A 應(yīng)具有何種性質(zhì) 拋一枚硬幣 幣值面向上的概率為多少 擲一顆骰子 出現(xiàn)6點的概率為多少 出現(xiàn)單數(shù)點的概率為多少 向目標(biāo)射擊 命中目標(biāo)的概率有多大 p10 若某實驗E滿足 1 有限性 樣本空間S e1 e2 en 2 等可能性 公認(rèn) P e1 P e2 P en 則稱E為古典概型也叫等可能概型 1 2 1 古典概型與概率 設(shè)事件A中所含樣本點個數(shù)為N A 以N 記樣本空間 中樣本點總數(shù) 則有 P A 具有如下性質(zhì) P7 1 0 P A 1 2 P 1 P 0 3 AB 則P A B P A P B 古典概型中的概率 P10 例 有三個子女的家庭 設(shè)每個孩子是男是女的概率相等 則至少有一個男孩的概率是多少 解 設(shè)A 至少有一個男孩 以H表示某個孩子是男孩 HHH HHT HTH THH HTT TTH THT TTT A HHH HHT HTH THH HTT TTH THT 二 古典概型的幾類基本問題 乘法公式 設(shè)完成一件事需分兩步 第一步有n1種方法 第二步有n2種方法 則完成這件事共有n1n2種方法 也可推廣到分若干步 復(fù)習(xí) 排列與組合的基本概念 加法公式 設(shè)完成一件事可有兩種途徑 第一種途徑有n1種方法 第二種途徑有n2種方法 則完成這件事共有n1 n2種方法 也可推廣到若干途徑 這兩公式的思想貫穿著整個概率問題的求解 有重復(fù)排列 從含有n個元素的集合中隨機(jī)抽取k次 每次取一個 記錄其結(jié)果后放回 將記錄結(jié)果排成一列 n n n n 共有nk種排列方式 無重復(fù)排列 從含有n個元素的集合中隨機(jī)抽取k次 每次取一個 取后不放回 將所取元素排成一列 共有Pnk n n 1 n k 1 種排列方式 n n 1 n 2 n k 1 組合 從含有n個元素的集合中隨機(jī)抽取k個 共有 種取法 1 抽球問題例1 設(shè)合中有3個白球 2個紅球 現(xiàn)從合中任抽2個球 求取到一紅一白的概率 解 設(shè)A 取到一紅一白 答 取到一紅一白的概率為3 5 一般地 設(shè)盒中有N個球 其中有M個白球 現(xiàn)從中任抽n個球 則這n個球中恰有k個白球的概率是 在實際中 產(chǎn)品的檢驗 疾病的抽查 農(nóng)作物的選種等問題均可化為隨機(jī)抽球問題 我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數(shù)學(xué)意義更加突出 而不必過多的交代實際背景 2 分球入盒問題例2 將3個球隨機(jī)的放入3個盒子中去 問 1 每盒恰有一球的概率是多少 2 空一盒的概率是多少 解 設(shè)A 每盒恰有一球 B 空一盒 一般地 把n個球隨機(jī)地分配到m個盒子中去 n m 則每盒至多有一球的概率是 P9 某班級有n個人 n 365 問至少有兩個人的生日在同一天的概率有多大 3 分組問題例3 30名學(xué)生中有3名運動員 將這30名學(xué)生平均分成3組 求 1 每組有一名運動員的概率 2 3名運動員集中在一個組的概率 解 設(shè)A 每組有一名運動員 B 3名運動員集中在一組 一般地 把n個球隨機(jī)地分成m組 n m 要求第i組恰有ni個球 i 1 m 共有分法 4隨機(jī)取數(shù)問題 例4從1到200這200個自然數(shù)中任取一個 1 求取到的數(shù)能被6整除的概率 2 求取到的數(shù)能被8整除的概率 3 求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率 解 N S 200 N 3 200 24 8 N 1 200 6 33 N 2 200 8 25 1 2 3 的概率分別為 33 200 1 8 1 25 某人向目標(biāo)射擊 以A表示事件 命中目標(biāo) P A 定義 p8 事件A在n次重復(fù)試驗中出現(xiàn)nA次 則比值nA n稱為事件A在n次重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻率 記為fn A 即fn A nA n 1 3頻率與概率 歷史上曾有人做過試驗 試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時 出現(xiàn)正反面的機(jī)會均等 實驗者nnHfn H DeMorgan204810610 5181Buffon404020480 5069K Pearson1200060190 5016K Pearson24000120120 5005 頻率的性質(zhì) 1 0 fn A 1 2 fn S 1 fn 0 3 可加性 若AB 則fn A B fn A fn B 實踐證明 當(dāng)試驗次數(shù)n增大時 fn A 逐漸趨向一個穩(wěn)定值 可將此穩(wěn)定值記作P A 作為事件A的概率 1 3 2 概率的公理化定義 注意到不論是對概率的直觀理解 還是頻率定義方式 作為事件的概率 都應(yīng)具有前述三條基本性質(zhì) 在數(shù)學(xué)上 我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā) 給出概率的公理化定義 1 定義 p8 若對隨機(jī)試驗E所對應(yīng)的樣本空間 中的每一事件A 均賦予一實數(shù)P A 集合函數(shù)P A 滿足條件 1 P A 0 2 P 1 3 可列可加性 設(shè)A1 A2 是一列兩兩互不相容的事件 即AiAj i j i j 1 2 有P A1 A2 P A1 P A2 1 1 則稱P A 為事件A的概率 2 概率的性質(zhì)P 10 13 1 有限可加性 設(shè)A1 A2 An 是n個兩兩互不相容的事件 即AiAj i j i j 1 2 n 則有P A1 A2 An P A1 P A2 P An 3 事件差A(yù) B是兩個事件 則P A B P A P AB 2 單調(diào)不減性 若事件A B 則P A P B 4 加法公式 對任意兩事件A B 有P A B P A P B P AB 該公式可推廣到任意n個事件A1 A2 An的情形 3 互補(bǔ)性 P A 1 P A 5 可分性 對任意兩事件A B 有P A P AB P AB 某市有甲 乙 丙三種報紙 訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30 其中有10 的人同時定甲 乙兩種報紙 沒有人同時訂甲乙或乙丙報紙 求從該市任選一人 他至少訂有一種報紙的概率 EX 解 設(shè)A B C分別表示選到的人訂了甲 乙 丙報 例1 3 2 在1 10這10個自然數(shù)中任取一數(shù) 求 1 取到的數(shù)能被2或3整除的概率 2 取到的數(shù)即不能被2也不能被3整除的概率 3 取到的數(shù)能被2整除而不能被3整除的概率 解 設(shè)A 取到的數(shù)能被2整除 B 取到的數(shù)能被3整除 故 袋中有十只球 其中九只白球 一只紅球 十人依次從袋中各取一球 不放回 問第一個人取得紅球的概率是多少 第二個人取得紅球的概率是多少 1 4條件概率 若已知第一個人取到的是白球 則第二個人取到紅球的概率是多少 已知事件A發(fā)生的條件下 事件B發(fā)生的概率稱為A條件下B的條件概率 記作P B A 若已知第一個人取到的是紅球 則第二個人取到紅球的概率又是多少 一 條件概率例1設(shè)袋中有3個白球 2個紅球 現(xiàn)從袋中任意抽取兩次 每次取一個 取后不放回 1 已知第一次取到紅球 求第二次也取到紅球的概率 2 求第二次取到紅球的概率 3 求兩次均取到紅球的概率 設(shè)A 第一次取到紅球 B 第二次取到紅球 S A B A 第一次取到紅球 B 第二次取到紅球 顯然 若事件A B是古典概型的樣本空間S中的兩個事件 其中A含有nA個樣本點 AB含有nAB個樣本點 則 稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率 p14 一般地 設(shè)A B是S中的兩個事件 則 條件概率 是 概率 嗎 概率定義若對隨機(jī)試驗E所對應(yīng)的樣本空間S中的每一事件A 均賦予一實數(shù)P A 集合函數(shù)P A 滿足條件 P A 0 2 P S 1 3 可列可加性 設(shè)A1 A2 是一列兩兩互不相容的事件 即AiAj i j i j 1 2 有P A1 A2 P A1 P A2 則稱P A 為事件A的概率 例2 p14 一盒中混有100只新 舊乒乓球 各有紅 白兩色 分類如下表 從盒中隨機(jī)取出一球 若取得的是一只紅球 試求該紅球是新球的概率 設(shè)A 從盒中隨機(jī)取到一只紅球 B 從盒中隨機(jī)取到一只新球 A B 二 乘法公式 p15 設(shè)A B P A 0 則P AB P A P B A 1 4 2 式 1 4 2 就稱為事件A B的概率乘法公式 式 1 4 2 還可推廣到三個事件的情形 P ABC P A P B A P C AB 1 4 3 一般地 有下列公式 P A1A2 An P A1 P A2 A1 P An A1 An 1 1 4 4 例3合中有3個紅球 2個白球 每次從袋中任取一只 觀察其顏色后放回 并再放入一只與所取之球顏色相同的球 若從合中連續(xù)取球4次 試求第1 2次取得白球 第3 4次取得紅球的概率 解 設(shè)Ai為第i次取球時取到白球 則 三 全概率公式與貝葉斯公式 例4 p16 市場上有甲 乙 丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品 已知三家工廠的市場占有率分別為1 4 1 4 1 2 且三家工廠的次品率分別為2 1 3 試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率 B 定義 p17 事件組A1 A2 An n可為 稱為樣本空間 的一個劃分 若滿足 A1 A2 An B 定理1 p17 設(shè)A1 An是 的一個劃分 且P Ai 0 i 1 n 則對任何事件B 有 式 1 4 5 就稱為全概率公式 例5 P17 有甲乙兩個袋子 甲袋中有兩個白球 1個紅球 乙袋中有兩個紅球 一個白球 這六個球手感上不可區(qū)別 今從甲袋中任取一球放入乙袋 攪勻后再從乙袋中任取一球 問此球是紅球的概率 解 設(shè)A1 從甲袋放入乙袋的是白球 A2 從甲袋放入乙袋的是紅球 B 從乙袋中任取一球是紅球 甲 乙 定理2 p18 設(shè)A1 An是S的一個劃分 且P Ai 0 i 1 n 則對任何事件B S 有 式 1 4 6 就稱為貝葉斯公式 思考 上例中 若已知取到一個紅球 則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少 答 P22 22 商店論箱出售玻璃杯 每箱20只 其中每箱含0 1 2只次品的概率分別為0 8 0 1 0 1 某顧客選中一箱 從中任選4只檢查 結(jié)果都是好的 便買下了這一箱 問這一箱含有一個次品的概率是多少 解 設(shè)A 從一箱中任取4只檢查 結(jié)果都是好的 B0 B1 B2分別表示事件每箱含0 1 2只次品 已知 P B0 0 8 P B1 0 1 P B2 0 1 由Bayes公式 例6 p18 數(shù)字通訊過程中 信源發(fā)射0 1兩種狀態(tài)信號 其中發(fā)0的概率為0 55 發(fā)1的概率為0 45 由于信道中存在干擾 在發(fā)0的時候 接收端分別以概率0 9 0 05和0 05接收為0 1和 不清 在發(fā)1的時候 接收端分別以概率0 85 0 05和0 1接收為1 0和 不清 現(xiàn)接收端接收到一個 1 的信號 問發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少 0 067 解 設(shè)A 發(fā)射端發(fā)射0 B 接收端接收到一個 1 的信號 0 0 55 01不清 0 9 0 05 0 05 1 0 45 10不清 0 85 0 05 0 1 條件概率 條件概率小結(jié) 縮減樣本空間 定義式 乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式 1 5事件的獨立性一 兩事件獨立 P19 定義1設(shè)A B是兩事件 P A 0 若P B P B A 1 5 1 則稱事件A與B相互獨立 式 1 5 1 等價于 P AB P A P B 1 5 2 從一付52張的撲克牌中任意抽取一張 以A表示抽出一張A 以B表示抽出一張黑桃 問A與B是否獨立 定理 以下四件事等價 1 事件A B相互獨立 2 事件A B相互獨立 3 事件A B相互獨立 4 事件A B相互獨立 二 多個事件的獨立 定義2 p20 若三個事件A B C滿足 1 P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C 則稱事件A B C兩兩相互獨立 若在此基礎(chǔ)上還滿足 2 P ABC P A P B P C 1 5 3 則稱事件A B C相互獨立 一般地 設(shè)A1 A2 An是n個事件 如果對任意k 1 k n 任意的1 i1 i2 ik n 具有等式P Ai1Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik 1 5 4 則稱n個事件A1 A2 An相互獨立 思考 1 設(shè)事件A B C D相互獨立 則 2 一顆骰子擲4次至少得一個六點與兩顆骰子擲24次至少得一個雙六 這兩件事 哪一個有更多的機(jī)會遇到 答 0 518 0 496 三 事件獨立性的應(yīng)用 1 加法公式的簡化 若事件A1 A2 An相互獨立 則 1 5 5 2 在可靠性理論上的應(yīng)用P23 24 如圖 1 2 3 4 5表示繼電器觸點 假設(shè)每個觸點閉合的概率為p 且各繼電器接點閉合與否相互獨立 求L至R是通路的概率 設(shè)A L至R為通路 Ai 第i個繼電器通 i 1 2 5 由全概率公式 EX1 一個學(xué)生欲到三家圖書館借一本參考書 每家圖書館購進(jìn)這種書的概率是1 2 購進(jìn)這種書的圖書館中該書被借完了的概率也是1 2 各家圖書館是否購進(jìn)該書相互獨立 問該學(xué)生能夠借到書的概率是多少 第一章小結(jié)本章由六個概念 隨機(jī)試驗 事件 概率 條件概率 獨立性 四個公式 加法公式 乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式 和一個概型 古典概型 組成 第二章隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布多維隨機(jī)變量的邊緣分布與獨立性條件分布多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 關(guān)于隨機(jī)變量 及向量 的研究 是概率論的中心內(nèi)容 這是因為 對于一個隨機(jī)試驗 我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個或某些量 而這些量就是隨機(jī)變量 也可以說 隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機(jī)現(xiàn)象 而隨機(jī)變量則是一種動態(tài)的觀點 一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣 變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念 同樣 概率論能從計算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系 其基礎(chǔ)概念是隨機(jī)變量 2 1隨機(jī)變量的概念 p24 定義 設(shè)S e 是試驗的樣本空間 如果量X是定義在S上的一個單值實值函數(shù)即對于每一個e S 有一實數(shù)X X e 與之對應(yīng) 則稱X為隨機(jī)變量 隨機(jī)變量常用X Y Z或 等表示 隨機(jī)變量的特點 1X的全部可能取值是互斥且完備的 2X的部分可能取值描述隨機(jī)事件 請舉幾個實際中隨機(jī)變量的例子 EX 引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下列事件 將3個球隨機(jī)地放入三個格子中 事件A 有1個空格 B 有2個空格 C 全有球 進(jìn)行5次試驗 事件D 試驗成功一次 F 試驗至少成功一次 G 至多成功3次 隨機(jī)變量的分類 隨機(jī)變量 2 2離散型隨機(jī)變量 P25 定義若隨機(jī)變量X取值x1 x2 xn 且取這些值的概率依次為p1 p2 pn 則稱X為離散型隨機(jī)變量 而稱P X xk pk k 1 2 為X的分布律或概率分布 可表為X P X xk pk k 1 2 或 Xx1x2 xK Pkp1p2 pk 1 pk 0 k 1 2 2 例1設(shè)袋中有5只球 其中有2只白3只黑 現(xiàn)從中任取3只球 不放回 求抽得的白球數(shù)X為k的概率 解k可取值0 1 2 2 分布律的性質(zhì) 例2 某射手對目標(biāo)獨立射擊5次 每次命中目標(biāo)的概率為p 以X表示命中目標(biāo)的次數(shù) 求X的分布律 解 設(shè)Ai 第i次射擊時命中目標(biāo) i 1 2 3 4 5則A1 A2 A5 相互獨立且P Ai p i 1 2 5 SX 0 1 2 3 4 5 1 p 5 幾個常用的離散型分布 一 貝努里 Bernoulli 概型與二項分布 1 0 1 分布 p26 若以X表示進(jìn)行一次試驗事件A發(fā)生的次數(shù) 則稱X服從 0 1 分布 兩點分布 X P X k pk 1 p 1 k 0 p 1 k 0 1或 P27 若以X表示n重貝努里試驗事件A發(fā)生的次數(shù) 則稱X服從參數(shù)為n p的二項分布 記作X B n p 其分布律為 2 p27 定義設(shè)將試驗獨立重復(fù)進(jìn)行n次 每次試驗中 事件A發(fā)生的概率均為p 則稱這n次試驗為n重貝努里試驗 例3 從某大學(xué)到火車站途中有6個交通崗 假設(shè)在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立 并且遇到紅燈的概率都是1 3 1 設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù) 求X的分布律 2 求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率 解 1 由題意 X B 6 1 3 于是 X的分布律為 例4 某人射擊的命中率為0 02 他獨立射擊400次 試求其命中次數(shù)不少于2的概率 泊松定理 p28 設(shè)隨機(jī)變量Xn B n p n 0 1 2 且n很大 p很小 記 np 則 解設(shè)X表示400次獨立射擊中命中的次數(shù) 則X B 400 0 02 故P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0 98400 400 0 02 0 98399 上題用泊松定理取 np 400 0 02 8 故近似地有 P X 2 1 P X 0 P X 1 1 1 8 e 8 0 996981 二 泊松 Poisson 分布P p28 X P X k k 0 1 2 0 泊松定理表明 泊松分布是二項分布的極限分布 當(dāng)n很大 p很小時 二項分布就可近似地看成是參數(shù) np的泊松分布 例5 設(shè)某國每對夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為 的泊松分布 且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e 2 求任選一對夫婦 至少有3個孩子的概率 解 由題意 例6 進(jìn)行獨立重復(fù)試驗 每次成功的概率為p 令X表示直到出現(xiàn)第m次成功為止所進(jìn)行的試驗次數(shù) 求X的分布律 解 m 1時 m 1時 X的全部取值為 m m 1 m 2 P X m 1 P 第m 1次試驗時成功并且在前m次試驗中成功了m 1次 想一想 離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計特征可以用分布律描述 非離散型的該如何描述 如 熊貓彩電的壽命X是一個隨機(jī)變量 對消費者來說 你是否在意 X 5年 還是 X 5年零1分鐘 2 3隨機(jī)變量的分布函數(shù)一 分布函數(shù)的概念 定義 P29 設(shè)X是隨機(jī)變量 對任意實數(shù)x 事件 X x 的概率P X x 稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù) 記為F x 即F x P X x 易知 對任意實數(shù)a b a b P a X b P X b P X a F b F a 二 分布函數(shù)的性質(zhì) P29 1 單調(diào)不減性 若x1 x2 則F x1 F x2 2 歸一性 對任意實數(shù)x 0 F x 1 且 3 右連續(xù)性 對任意實數(shù)x 反之 具有上述三個性質(zhì)的實函數(shù) 必是某個隨機(jī)變量的分布函數(shù) 故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì) 一般地 對離散型隨機(jī)變量X P X xk pk k 1 2 其分布函數(shù)為 例1設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如右表 解 試求出X的分布函數(shù) 例2向 0 1 區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點 以X表示質(zhì)點坐標(biāo) 假定質(zhì)點落在 0 1 區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比 求X的分布函數(shù)解 F x P X x 當(dāng)x1時 F x 1 當(dāng)0 x 1時 特別 F 1 P 0 x 1 k 1 用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不如分布律直觀 對非離散型隨機(jī)變量 是否有更直觀的描述方法 a b 2 4連續(xù)型隨機(jī)變量一 概率密度 1 定義 p33 對于隨機(jī)變量X 若存在非負(fù)函數(shù)f x x 使對任意實數(shù)x 都有 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量 f x 為X的概率密度函數(shù) 簡稱概率密度或密度函數(shù) 常記為X f x x 密度函數(shù)的幾何意義為 2 密度函數(shù)的性質(zhì) p34 1 非負(fù)性f x 0 x 2 歸一性 性質(zhì) 1 2 是密度函數(shù)的充要性質(zhì) EX 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 求常數(shù)a 答 3 若x是f x 的連續(xù)點 則 EX 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求f x 4 對任意實數(shù)b 若X f x x 則P X b 0 于是 P 35 例2 3 2 已知隨機(jī)變量X的概率密度為1 求X的分布函數(shù)F x 2 求P X 0 5 1 5 二 幾個常用的連續(xù)型分布 1 均勻分布 p36 若X f x 則稱X在 a b 內(nèi)服從均勻分布 記作X U a b 對任意實數(shù)c d a c d b 都有 例 長途汽車起點站于每時的10分 25分 55分發(fā)車 設(shè)乘客不知發(fā)車時間 于每小時的任意時刻隨機(jī)地到達(dá)車站 求乘客候車時間超過10分鐘的概率 15 45 解 設(shè)A 乘客候車時間超過10分鐘X 乘客于某時X分鐘到達(dá) 則X U 0 60 2 指數(shù)分布 p36 若X 則稱X服從參數(shù)為 0的指數(shù)分布 其分布函數(shù)為 例 電子元件的壽命X 年 服從參數(shù)為3的指數(shù)分布 1 求該電子元件壽命超過2年的概率 2 已知該電子元件已使用了1 5年 求它還能使用兩年的概率為多少 解 例 某公路橋每天第一輛汽車過橋時刻為T 設(shè) 0 t 時段內(nèi)過橋的汽車數(shù)Xt服從參數(shù)為 t的泊松分布 求T的概率密度 解 當(dāng)t 0時 當(dāng)t 0時 1 在t時刻之前無汽車過橋 于是 正態(tài)分布是實踐中應(yīng)用最為廣泛 在理論上研究最多的分布之一 故它在概率統(tǒng)計中占有特別重要的地位 3 正態(tài)分布 A B A B間真實距離為 測量值為X X的概率密度應(yīng)該是什么形態(tài) 其中 為實數(shù) 0 則稱X服從參數(shù)為 2的正態(tài)分布 記為N 2 可表為X N 2 若隨機(jī)變量 1 單峰對稱密度曲線關(guān)于直線x 對稱 p38 f maxf x 正態(tài)分布有兩個特性 2 的大小直接影響概率的分布 越大 曲線越平坦 越小 曲線越陡峻 正態(tài)分布也稱為高斯 Gauss 分布 4 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 p38 參數(shù) 0 2 1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 記作X N 0 1 分布函數(shù)表示為 其密度函數(shù)表示為 一般的概率統(tǒng)計教科書均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱 x 的值 P226附表1 如 若Z N 0 1 0 5 0 6915 P 1 32 Z 2 43 2 43 1 32 0 9925 0 9066 注 1 x 1 x 2 若X N 2 則 正態(tài)分布表 EX 設(shè)隨機(jī)變量X N 1 22 P 2 45 X 2 45 P 39 例2 3 5 設(shè)X N 2 求P 3 X 3 本題結(jié)果稱為3 原則 在工程應(yīng)用中 通常認(rèn)為P X 3 1 忽略 X 3 的值 如在質(zhì)量控制中 常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值 3 作兩條線 當(dāng)生產(chǎn)過程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報 表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常 正態(tài)分布表 p67 14一種電子元件的使用壽命 小時 服從正態(tài)分布 100 152 某儀器上裝有3個這種元件 三個元件損壞與否是相互獨立的 求 使用的最初90小時內(nèi)無一元件損壞的概率 解 設(shè)Y為使用的最初90小時內(nèi)損壞的元件數(shù) 故 則Y B 3 p 其中 正態(tài)分布表 一 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律 2 5一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 p55 設(shè)X一個隨機(jī)變量 分布律為X P X xk pk k 1 2 若y g x 是一元單值實函數(shù) 則Y g X 也是一個隨機(jī)變量 求Y的分布律 例 已知 X Pk 101 求 Y X2的分布律 Y Pk 10 或Y g X P Y g xk pk k 1 2 其中g(shù) xk 有相同的 其對應(yīng)概率合并 一般地 X Pk Y g X 二 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù) 1 一般方法 p56 若X f x x Y g X 為隨機(jī)變量X的函數(shù) 則可先求Y的分布函數(shù)FY y P Y y P g X y 然后再求Y的密度函數(shù) 此法也叫 分布函數(shù)法 例1 設(shè)X U 1 1 求Y X2的分布函數(shù)與概率密度 當(dāng)y 0時 當(dāng)0 y 1時 當(dāng)y 1時 例2 設(shè)X的概率密度為fX x y g x 關(guān)于x處處可導(dǎo)且是x的嚴(yán)格單減函數(shù) 求Y g X 的概率密度 解 Y的分布函數(shù)為 FY y P Y y P g X y P X g 1 y 1 FX g 1 y Y的概率密度為fY y F g 1 y fX g 1 y g 1 y 2 公式法 一般地若X fX x y g x 是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù) 則 注 1只有當(dāng)g x 是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時 才可用以上公式推求Y的密度函數(shù) 2注意定義域的選擇 其中h y 為y g x 的反函數(shù) 例3 已知X N 2 求 解 的概率密度 關(guān)于x嚴(yán)單 反函數(shù)為 故 例4設(shè)X U 0 1 求Y ax b的概率密度 a 0 解 Y ax b關(guān)于x嚴(yán)單 反函數(shù)為 故 而 故 小結(jié) 習(xí)題課 一 填空 1 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 2 p 的二項分布 隨機(jī)變量Y服從參數(shù) 3 p 的二項分布 若 則P Y 1 2 設(shè)隨機(jī)變量X服從 0 2 上的均勻分布 則隨機(jī)變量Y X2在 0 4 內(nèi)的密度函數(shù)為fY y 3 設(shè)隨機(jī)變量X N 2 2 且P 2 X 4 0 3 則P X 0 二 從某大學(xué)到火車站途中有6個交通崗 假設(shè)在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立 并且遇到紅燈的概率都是1 3 以Y表示汽車在第一次停止之前所通過的交通崗數(shù) 求Y的分布律 假定汽車只在遇到紅燈或到達(dá)火車站時停止 三 某射手對靶射擊 單發(fā)命中概率都為0 6 現(xiàn)他扔一個均勻的骰子 扔出幾點就對靶獨立射擊幾發(fā) 求他恰好命中兩發(fā)的概率 四 已知隨機(jī)變量X的概率密度為 求 Y 1 X2的概率密度 2 6二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布一 多維隨機(jī)變量 1 定義 p41 將n個隨機(jī)變量X1 X2 Xn構(gòu)成一個n維向量 X1 X2 Xn 稱為n維隨機(jī)變量 一維隨機(jī)變量X R1上的隨機(jī)點坐標(biāo)二維隨機(jī)變量 X Y R2上的隨機(jī)點坐標(biāo)n維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn Rn上的隨機(jī)點坐標(biāo)多維隨機(jī)變量的研究方法也與一維類似 用分布函數(shù) 概率密度 或分布律來描述其統(tǒng)計規(guī)律 p41 設(shè) X Y 是二維隨機(jī)變量 x y R2 則稱F x y P X x Y y 為 X Y 的分布函數(shù) 或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù) 二 聯(lián)合分布函數(shù) 幾何意義 分布函數(shù)F 表示隨機(jī)點 X Y 落在區(qū)域中的概率 如圖陰影部分 對于 x1 y1 x2 y2 R2 x1 x2 y1 y2 則P x1 X x2 y1 y y2 F x2 y2 F x1 y2 F x2 y1 F x1 y1 x1 y1 x2 y2 x2 y1 x1 y2 分布函數(shù)F x y 具有如下性質(zhì) p41 42 且 1 歸一性對任意 x y R2 0 F x y 1 2 單調(diào)不減對任意y R 當(dāng)x1 x2時 F x1 y F x2 y 對任意x R 當(dāng)y1 y2時 F x y1 F x y2 3 右連續(xù)對任意x R y R 4 矩形不等式對于任意 x1 y1 x2 y2 R2 x1 x2 y1 y2 F x2 y2 F x1 y2 F x2 y1 F x1 y1 0 反之 任一滿足上述四個性質(zhì)的二元函數(shù)F x y 都可以作為某個二維隨機(jī)變量 X Y 的分布函數(shù) 例2 已知二維隨機(jī)變量 X Y 的分布函數(shù)為 1 求常數(shù)A B C 2 求P 0 X 2 0 Y 3 解 三 聯(lián)合分布律 P42 若二維隨機(jī)變量 X Y 只能取至多可列個值 xi yj i j 1 2 則稱 X Y 為二維離散型隨機(jī)變量 若二維離散型隨機(jī)變量 X Y 取 xi yj 的概率為pij 則稱P X xi Y yj pij i j 1 2 為二維離散型隨機(jī)變量 X Y 的分布律 或隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律 可記為 X Y P X xi Y yj pij i j 1 2 XYy1y2 yj p11p12 P1j p21p22 P2j pi1pi2 Pij 聯(lián)合分布律的性質(zhì) 1 pij 0 i j 1 2 2 x1x2xi 二維離散型隨機(jī)變量的分布律也可列表表示如下 P43 例3 P43 袋中有兩只紅球 三只白球 現(xiàn)不放回摸球二次 令 求 X Y 的分布律 X Y 10 10 四 二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù) 1 定義p44對于二維隨機(jī)變量 X Y 若存在一個非負(fù)可積函數(shù)f x y 使對 x y R2 其分布函數(shù) 則稱 X Y 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量 f x y 為 X Y 的密度函數(shù) 概率密度 或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù) 可記為 X Y f x y x y R2 2 聯(lián)合密度f x y 的性質(zhì) p44 1 非負(fù)性 f x y 0 x y R2 2 歸一性 反之 具有以上兩個性質(zhì)的二元函數(shù)f x y 必是某個二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù) 此外 f x y 還有下述性質(zhì) 3 若f x y 在 x y R2處連續(xù) 則有 4 對于任意平面區(qū)域G R2 EX 設(shè) 求 P X Y G 求 1 常數(shù)A 2 F 1 1 3 X Y 落在三角形區(qū)域D x 0 y 0 2X 3y 6內(nèi)的概率 例4 設(shè) 解 1 由歸一性 3 X Y 落在三角形區(qū)域D x 0 y 0 2X 3y 6內(nèi)的概率 解 3 兩個常用的二維連續(xù)型分布 1 二維均勻分布 p45 若二維隨機(jī)變量 X Y 的密度函數(shù)為則稱 X Y 在區(qū)域D上 內(nèi) 服從均勻分布 易見 若 X Y 在區(qū)域D上 內(nèi) 服從均勻分布 對D內(nèi)任意區(qū)域G 有 例5 設(shè) X Y 服從如圖區(qū)域D上的均勻分布 1 求 X Y 的概率密度 2 求P Y 2X 3 求F 0 5 0 5 其中 1 2為實數(shù) 1 0 2 0 1 則稱 X Y 服從參數(shù)為 1 2 1 2 的二維正態(tài)分布 可記為 2 二維正態(tài)分布N 1 2 1 2 若二維隨機(jī)變量 X Y 的密度函數(shù)為 P101 分布函數(shù)的概念可推廣到n維隨機(jī)變量的情形 事實上 對n維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn F x1 x2 xn P X1 x1 X2 x2 Xn xn 稱為的n維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn 的分布函數(shù) 或隨機(jī)變量X1 X2 Xn的聯(lián)合分布函數(shù) 定義2 4 6 n維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn 如果存在非負(fù)的n元函數(shù)f x1 x2 xn 使對任意的n元立方體 定義2 4 7 若 X1 X2 Xn 的全部可能取值為Rn上的有限或可列無窮多個點 稱 X1 X2 Xn 為n維離散型的 稱P X1 x1 X2 x2 Xn xn x1 x2 xn 為n維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn 的聯(lián)合分布律 則稱 X1 X2 Xn 為n維連續(xù)型隨機(jī)變量 稱f x1 x2 xn 為 X1 X2 Xn 的概率密度 求 1 P X 0 2 P X 1 3 P Y y0 EX 隨機(jī)變量 X Y 的概率密度為 x y D 答 P X 0 0 FY y F y P Y y 稱為二維隨機(jī)變量 X Y 關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù) 2 7 邊緣分布與獨立性一 邊緣分布函數(shù) p46 FX x F x P X x 稱為二維隨機(jī)變量 X Y 關(guān)于X的邊緣分布函數(shù) 邊緣分布實際上是高維隨機(jī)變量的某個 某些 低維分量的分布 例1 已知 X Y 的分布函數(shù)為 求FX x 與FY y 二 邊緣分布律 若隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為 p47 X Y P X xi Y yj pij i j 1 2 則稱P X xi pi i 1 2 為 X Y 關(guān)于X的邊緣分布律 P Y yj p j j 1 2 為 X Y 關(guān)于Y的邊緣分布律 邊緣分布律自然也滿足分布律的性質(zhì) 例2 已知 X Y 的分布律為x y1011 103 1003 103 10求X Y的邊緣分布律 解 x y10pi 11 103 1003 103 10p j 故關(guān)于X和Y的分布律分別為 X10Y10P2 53 5P2 53 5 2 5 3 5 2 5 3 5 三 邊緣密度函數(shù) 為 X Y 關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù) 設(shè) X Y f x y x y R2 則稱 p48 為 X Y 關(guān)于X的邊緣密度函數(shù) 同理 稱 易知N 1 2 12 22 的邊緣密度函數(shù)fX x 是N 1 12 的密度函數(shù) 而fX x 是N 2 22 的密度函數(shù) 故二維正態(tài)分布的邊緣分布也是正態(tài)分布 例3 設(shè) X Y 的概率密度為 1 求常數(shù)c 2 求關(guān)于X的邊緣概率密度 解 1 由歸一性 設(shè) X Y 服從如圖區(qū)域D上的均勻分布 求關(guān)于X的和關(guān)于Y的邊緣概率密度 x y x y EX 四 隨機(jī)變量的相互獨立性 定義2 4 1稱隨機(jī)變量X與Y獨立 如果對任意實數(shù)a b c d 有 p49 p a X b c Y d p a X b p c Y d 即事件 a X b 與事件 c Y d 獨立 則稱隨機(jī)變量X與Y獨立 定理2 4 2 隨機(jī)變量X與Y獨立的充分必要條件是 p49 F x y FX x FY y 定理2 4 3 p50 設(shè) X Y 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量 X與Y獨立的充分必要條件是f x y fX x fY y 定理2 4 4 p50 設(shè) X Y 是二維離散型隨機(jī)變量 其分布律為Pi j P X xi Y yj i j 1 2 則X與Y獨立的充分必要條件是對任意i j Pi j Pi P j 由上述定理可知 要判斷兩個隨機(jī)變量X與Y的獨立性 只需求出它們各自的邊緣分布 再看是否對 X Y 的每一對可能取值點 邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可 EX 判斷例1 例2 例3中的X與Y是否相互獨立 例 p50 已知隨機(jī)變量 X Y 的分布律為 且知X與Y獨立 求a b的值 例4 p51 甲乙約定8 00 9 00在某地會面 設(shè)兩人都隨機(jī)地在這期間的任一時刻到達(dá) 先到者最多等待15分鐘過時不候 求兩人能見面的概率 定義 設(shè)n維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn 的分布函數(shù)為F x1 x2 xn X1 X2 Xn 的k 1 k n 維邊緣分布函數(shù)就隨之確定 如關(guān)于 X1 X2 的邊緣分布函數(shù)是FX1 X2 x1 x2 F x1 x2 若Xk的邊緣分布函數(shù)為FXk xk k 1 2 n 五 n維隨機(jī)變量的邊緣分布與獨立性 p51 則稱X1 X2 Xn相互獨立 或稱 X1 X2 Xn 是獨立的 對于離散型隨機(jī)變量的情形 若對任意整數(shù)i1 i2 in及實數(shù)有 則稱離散型隨機(jī)變量X1 X2 Xn相互獨立 設(shè)X1 X2 Xn為n個連續(xù)型隨機(jī)變量 若對任意的 x1 x2 xn Rn f x1 x2 xn fX1 x1 fX2 x2 fXn xn 幾乎處處成立 則稱X1 X2 Xn相互獨立 定義2 4 6 設(shè)n維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn 的分布函數(shù)為FX x1 x2 xn m維隨機(jī)變量 Y1 Y2 Ym 的分布函數(shù)為FY y1 y2 ym X1 X2 Xn Y1 Y2 Ym組成的n m維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn Y1 Y2 Ym 的分布函數(shù)為F x1 x2 xn y1 y2 ym 如果F x1 x2 xn y1 y2 ym FX x1 x2 xn FY y1 y2 ym 則稱n維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn 與m維隨機(jī)變量 Y1 Y2 Ym 獨立 定理2 4 7設(shè) X1 X2 Xn 與 Y1 Y2 Ym 相互獨立 則Xi i 1 2 n 與Yi i 1 2 m 相互獨立 又若h g是連續(xù)函數(shù) 則h X1 X2 Xn 與g Y1 Y2 Ym 相互獨立 設(shè)隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為 X Y P X xi Y yj pij i j 1 2 X和Y的邊緣分布律分別為 2 8條件分布一 離散型隨機(jī)變量的條件分布律 為Y yj的條件下 X的條件分布律 若對固定的j p j 0 則稱 同理 對固定的i pi 0 稱 為X xi的條件下 Y的條件分布律 EX 設(shè)某昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)X服從參數(shù)為50的泊松分布 又設(shè)一個蟲卵能孵化成蟲的概率為0 8 且各卵的孵化是相互獨立的 求此昆蟲產(chǎn)卵數(shù)X與下一代只數(shù)Y的聯(lián)合分布律 二連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度 定義 給定y 設(shè)對任意固定的正數(shù) 0 極限 存在 則稱此極限為在條件條件下X的條件分布函數(shù) 記作 可證當(dāng)時 若記為在Y y條件下X的條件概率密度 則由 3 3 3 知 當(dāng)時 類似定義 當(dāng)時 例2 已知 X Y 的概率密度為 1 求條件概率密度 2 求條件概率 x y 1 解 p55 2 8多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布一 二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 X Y X Y P X xi Y yj pij i j 1 2 則Z g X Y P Z zk pk k 1 2 或 EX設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨立 且均服從0 1分布 其分布律均為X01Pqp 1 求W X Y的分布律 2 求V max X Y 的分布律 3 求U min X Y 的分布律 4 求w與V的聯(lián)合分布律 0 1 1 2 0 1 1 1 0 0 0 1 V W 01 012 0 0 0 二 多個隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù) 1 一般的方法 分布函數(shù)法 p60 若 X1 X2 Xn f x1 x2 xn x1 x2 xn Rn Y g X1 X2 Xn 則可先求Y的分布函數(shù) 然后再求出Y的密度函數(shù) 2 幾個常用函數(shù)的密度函數(shù) 1 和的分布已知 X Y f x y x y R2 求Z X Y的密度 zx y zx y z 若X與Y相互獨立 則Z X Y的密度函數(shù) 例1 設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 求證 Z X Y服從N 0 2 分布 一般地 設(shè)隨機(jī)變量X1 X2 Xn獨立且Xi服從正態(tài)分布N i i2 i 1 n 則 p62 例2 卡車裝運水泥 設(shè)每袋水泥的重量X kg 服從N 50 2 52 分布 該卡車的額定載重量為2000kg 問最多裝多少袋水泥 可使卡車超載的概率不超過0 05 解 設(shè)最多裝n袋水泥 Xi為第i袋水泥的重量 則 由題意 令 查表得 2 商的分布已知 X Y f x y x y R2 求Z 的密度 yG10 xG2 特別 當(dāng)X Y相互獨立時 上式可化為 其中fX x fY y 分別為X和Y的密度函數(shù) 3 極大 小 值的分布設(shè)X1 X2 Xn相互獨立 其分布函數(shù)分別為F1 x1 F2 x2 Fn xn 記M max X1 X2 Xn N min X1 X2 Xn 則 M和N的分布函數(shù)分別為 FM z F1 z Fn z 特別 當(dāng)X1 X2 Xn獨立同分布 分布函數(shù)相同 時 則有FM z F z n FN z 1 1 F z n 進(jìn)一步地 若X1 X2 Xn獨立且具相同的密度函數(shù)f x 則M和N的密度函數(shù)分別由以下二式表出fM z n F z n 1f z fN z n 1 F z n 1f z 例3 設(shè)系統(tǒng)L由兩個相互獨立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成 聯(lián)接的方式分別為 i 串聯(lián) ii 并聯(lián) 如圖所示設(shè)L1 L2的壽命分別為X與Y 已知它們的概率密度分別為 其中 0 0 試分別就以上兩種聯(lián)結(jié)方式寫出L的壽命Z的概率密度 小結(jié) 第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)大數(shù)定律中心極限定理 3 1數(shù)學(xué)期望一 數(shù)學(xué)期望的定義 例1設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)計成績及得分人數(shù)如下表所示 分?jǐn)?shù)4060708090100人數(shù)1691572則學(xué)生的平均成績是總分 總?cè)藬?shù) 分 即 數(shù)學(xué)期望 描述隨機(jī)變量取值的平均特征 定義1 若X P X xk pk k 1 2 n 則稱 定義2 p73 若X P X xk pk k 1 2 且 為r v X的數(shù)學(xué)期望 簡稱期望或均值 則稱 為r v X的數(shù)學(xué)期望 例2擲一顆均勻的骰子 以X表示擲得的點數(shù) 求X的數(shù)學(xué)期望 定義3若X f x x 為X的數(shù)學(xué)期望 P 74 則稱 例3 若隨機(jī)變量X服從拉普拉斯分布 其密度函數(shù)為 試求E X 解 二 幾個重要r v 的期望 1 0 1分布的數(shù)學(xué)期望 EX p 2 二項分布B n p 3 泊松分布 4 均勻分布U a b 5 指數(shù)分布 6 正態(tài)分布N 2 EX1 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 解 求隨機(jī)變量Y X2的數(shù)學(xué)期望 X Pk 101 Y Pk 10 三 隨機(jī)變量函數(shù)的期望 定理1若X P X xk pk k 1 2 則Y g X 的期望E g X 為 p77 推論 若 X Y P X xi Y yj pij i j 1 2 則Z g X Y 的期望 例4設(shè)隨機(jī)變量 X Y 的分布律如下 求E XY 解 解 Y ax b關(guān)于x嚴(yán)單 反函數(shù)為 Y的概率密度為 EX2 設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 求隨機(jī)變量Y aX b的數(shù)學(xué)期望 其中a 0 p77 定理2若X f x x 則Y g X 的期望 推論若 X Y f x y x y 則Z g X Y 的期望 例2長途汽車起點站于每時的10分 30分 55分發(fā)車 設(shè)乘客不知發(fā)車時間 于每小時的任意時刻隨機(jī)地到達(dá)車站 求乘客的平均候車時間 解 設(shè)乘客于某時X分到達(dá)車站 候車時間為Y 則 10分25秒 設(shè)X服從N 0 1 分布 求E X2 E X3 E X4 EX 1 E c c c為常數(shù) 2 E cX cE X c為常數(shù) 四 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) P78 證明 設(shè)X f x 則 3 E X Y E X E Y 證明 設(shè) X Y f x y 4 若X與Y獨立 則E XY E X E Y 證明 設(shè) X Y f x y 例2 設(shè)某種疾病的發(fā)病率為1 在1000個人中普查這種疾病 為此要化驗每個人的血 方法是 每100個人一組 把從100個人抽來的血混在一起化驗 如果混合血樣呈陰性 則通過 如果混合血樣呈陽性 則再分別化驗該組每個人的血樣 求平均化驗次數(shù) 解 設(shè)Xj為第j組的化驗次數(shù) Xj Pj 1101 X為1000人的化驗次數(shù) 則 例3若X B n p 求E X 解 設(shè) 第i次試驗事件A發(fā)生 第i次試驗事件A不發(fā)生 則 EX1設(shè)隨機(jī)變量X N 0 1 Y U 0 1 Z B 5 0 5 且X Y Z獨立 求隨機(jī)變量U 2X 3Y 4Z 1 的數(shù)學(xué)期望 EX2設(shè)隨機(jī)變量 相互獨立 且均服從 分布 求隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望 答 答 3 2方差一 定義與性質(zhì) 方差是衡量隨機(jī)變量取值波動程度的一個數(shù)字特征 如何定義 1 p82 定義若E X E X2 存在 則稱E X E X 2為r v X的方差 記為D X 或Var X 稱為r v X的標(biāo)準(zhǔn)差 可見 2 推論D X E X2 E X 2 證明 D X E X E X 2 例1 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 1 求D X 2 求 3 方差的性質(zhì) 1 D c 0反之 若D X 0 則存在常數(shù)C 使P X C 1 且C E X 2 D aX a2D X a為常數(shù) 證明 3 若X Y獨立 則D X Y D X D Y 證明 X與Y獨立 1 二項分布B n p 二 幾個重要r v 的方差 P86 解法二 設(shè) 第i次試驗事件A發(fā)生 第i次試驗事件A不發(fā)生 則 2 泊松分布p 由于 兩邊對 求導(dǎo)得 或 或 3 均勻分布U a b 4 指數(shù)分布 5 正態(tài)分布N 2 思考 1 請給出一個離散型隨機(jī)變量X和一個連續(xù)型隨機(jī)變量Y 使它們的期望都是2 方差都是1 2 已知隨機(jī)變量X1 X2 Xn相互獨立 且每個Xi的期望都是0 方差都是1 令Y X1 X2 Xn 求E Y2 三 切比雪夫不等式 P107 若r v X的期望和方差存在 則對任意 0 有 這就是著名的切比雪夫 Chebyshev 不等式 它有以下等價的形式 大數(shù)定律 已知某種股票每股價格X的平均值為1元 標(biāo)準(zhǔn)差為0 1元 求a 使股價超過1 a元或低于1 a元的概率小于10 解 由切比雪夫不等式 令 3 3協(xié)方差 相關(guān)系數(shù)一 協(xié)方差定義與性質(zhì) 1 協(xié)方差定義 P88 若r v X的期望E X 和Y的期望E Y 存在 則稱COV X Y E X E X Y E Y 為X與Y的協(xié)方差 易見COV X Y E XY E X E Y 當(dāng)COV X Y 0時 稱X與Y不相關(guān) X與Y獨立 和 X與Y不相關(guān) 有何關(guān)系 例2設(shè) X Y 在D X Y x2 y2 1 上服從均勻分布 求證 X與Y不相關(guān) 但不是相互獨立的 2 協(xié)方差性質(zhì) 1 COV X Y COV Y X 2 COV X X D X COV X c 0 3 COV aX bY abCOV X Y 其中a b為常數(shù) 4 COV X Y Z COV X Z COV Y Z 5 D XY D X D Y 2COV X Y EX 設(shè)隨機(jī)變量X B 12 0 5 Y N 0 1 COV X Y 1 求V 4X 3Y 1與W 2X 4Y的方差與協(xié)方差 二 相關(guān)系數(shù) 1 定義若r v X Y的方差和協(xié)方差均存在 且DX 0 DY 0 則 稱為X與Y的相關(guān)系數(shù) 注 若記 稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化 易知EX 0 DX 1 且 2 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) 1 XY 1 2 XY 1 存在常數(shù)a b使P Y aX b 1 3 X與Y不相關(guān) XY 0 1 設(shè) X Y 服從區(qū)域D 0 x 1 0 y x上的均勻分布 求X與Y的相關(guān)系數(shù) EX D 1 x y 解 以上EX的結(jié)果說明了什么 EX2 解1 2 可見 若 X Y 服從二維正態(tài)分布 則X與Y獨立的充分必要條件是X與Y不相關(guān) 三 矩 p98 1 K階原點矩Ak E Xk k 1 2 而E X k 稱為X的K階絕對原點矩 2 K階中心矩Bk E X E X k k 1 2 而E X E X k稱為X的K階絕對中心矩 3 K l階混合原點矩E XkYl k l 0 1 2 4 K l階混合中心矩E X E X k Y E Y l k l 0 1 2 四 協(xié)方差矩陣 p98 1 定義設(shè)X1 Xn為n個r v 記cij cov Xi Xj i j 1 2 n 則稱由cij組成的矩陣為隨機(jī)變量X1 Xn的協(xié)方差矩陣C 即 P101n維正態(tài)分布 例4設(shè) X Y 服從N 1 0 32 42 0 5 分布 Z X 3 Y 21 求Z的概率密度2 求X與Z的相關(guān)系數(shù)3 問X與Z是否相互獨立 為什么 六種常用隨機(jī)變量的期望與方差 小結(jié) 3 6大數(shù)定律與中心極限定理3 6 1大數(shù)定律一 依概率收斂 設(shè) Xn 為隨機(jī)變量序列 X為隨機(jī)變量 若任給 0 使得 則稱 Xn 依概率收斂于X 可記為 切比雪夫不等式 如 意思是 當(dāng) a 而 意思是 時 Xn落在 內(nèi)的概率越來越大 當(dāng) 二 幾個常用的大數(shù)定律 1 切比雪夫大數(shù)定律設(shè) Xk k 1 2 為獨立的隨機(jī)變量序列