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第39練 等比數列
[基礎保分練]
1.若數列{an}是等比數列，下列命題正確的個數為( )
①{a}，{a2n}均為等比數列； ②{lnan}成等差數列；
③，{|an|}成等比數列； ④{can}，{ank}均為等比數列
A.4B.3C.2D.1
2.(2019紹興模擬)等比數列{an}中，a1>0，則“a1
0，則a2017<0 B.若a6>0，則a2018<0
C.若a5>0，則S2017>0 D.若a6>0，則S2018>0
5.(2019寧波模擬)已知數列{an}是各項均為正數的等比數列，Sn是其前n項和，若S2＋a2＝S3－3，則a4＋3a2的最小值為( )
A.12B.9C.16D.18
6.已知數列{an}為等比數列，且a2a3a4＝－a＝－64，則tan等于( )
A.－B.C.D.－
7.已知等比數列{an}的前n項和為Sn，則下列判斷一定正確的是( )
A.若S3>0，則a2018>0
B.若S3<0，則a2018<0
C.若a2>a1，則a2019>a2018
D.若>，則a20190)，則由a2，a3，a1成等差數列得2a3＝a1＋a2，即a1q2＝a1＋a1q，則q2＝1＋q，解得q＝，則＝＝＝，
故選B.]
3.C [設等比數列{an}的公比為q，當q＝1時，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若對任意的正整數n,3a1n＝2a1－3恒成立，則a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1，
所以Sn＝，
Sn＋2＝，
代入Sn＋2＝4Sn＋3并化簡得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若對任意的正整數n該等式恒成立，則有
解得或
故a1＝1或－3，故選C.]
4.C [方法一 設數列{an}的公比為q，由＝，得q3＝，
則q＝，則an＝a5qn－5＝27－n，
從而可得Tn＝a1a2…an＝26＋5＋4＋…＋(7－n)＝＝，
所以當(－n2＋13n)取最大值時，Tn取最大值，此時n＝6或7，故選C.
方法二 設數列{an}的公比為q，由＝，得q3＝，則q＝，則an＝a5qn－5＝27－n，令an＝1，則n＝7，又當n<7時，an>1，當n>7時，an<1，Tn＝a1a2…an，且an>0，所以當n＝6或7時，Tn取最大值，故選C.]
5.
解析 因為Sn＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1).
因為S1＋1＝3，故Sn＋1≠0，所以＝2，{Sn＋1}是等比數列，公比為2，首項為3，故Sn＝32n－1－1，
所以an＝
6.32n
解析 由2an－an－1＝32n－1(n≥2)，得＝＋，
∴－1＝，
由2an－an－1＝32n－1(n≥2)，
且3a1＝2a2，
可得2a2－a1＝6，即2a1＝6，a1＝3.
∴數列是以為首項，為公比的等比數列，
則－1＝n－1＝2n－1，
∴an＝2n(21－2n＋1)＝21－n＋2n，
∴Sn＝＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝＋＝22n－21－n.
∴Sn＋an＝32n.
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