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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第21章 二次根式教案 新人教版 教材內(nèi)容 1．本單元教學(xué)的主要內(nèi)容： 二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡二次根式． 2．本單元在教材中的地位和作用： 二次根式是在學(xué)完了八年級(jí)下冊(cè)第十七章《反比例正函數(shù)》、第十八章《勾股定理及其應(yīng)用》等內(nèi)容的基礎(chǔ)之上繼續(xù)學(xué)習(xí)的，它也是今后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)． 教學(xué)目標(biāo) 1．知識(shí)與技能 （1）理解二次根式的概念． （2）理解（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）． （3）掌握＝（a≥0，b≥0），=； =（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）． （4）了解最簡二次根式的概念并靈活運(yùn)用它們對(duì)二次根式進(jìn)行加減． 2．過程與方法 （1）先提出問題，讓學(xué)生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念．再對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行分析，得出幾個(gè)重要結(jié)論，并運(yùn)用這些重要結(jié)論進(jìn)行二次根式的計(jì)算和化簡． （2）用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘（除）法規(guī)定，并運(yùn)用規(guī)定進(jìn)行計(jì)算． （3）利用逆向思維，得出二次根式的乘（除）法規(guī)定的逆向等式并運(yùn)用它進(jìn)行化簡． （4）通過分析前面的計(jì)算和化簡結(jié)果，抓住它們的共同特點(diǎn)，給出最簡二次根式的概念．利用最簡二次根式的概念，來對(duì)相同的二次根式進(jìn)行合并，達(dá)到對(duì)二次根式進(jìn)行計(jì)算和化簡的目的． 3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀 通過本單元的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，經(jīng)過探索二次根式的重要結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力． 教學(xué)重點(diǎn) 1．二次根式（a≥0）的內(nèi)涵．（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）及其運(yùn)用． 2．二次根式乘除法的規(guī)定及其運(yùn)用． 3．最簡二次根式的概念． 4．二次根式的加減運(yùn)算． 教學(xué)難點(diǎn) 1．對(duì)（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解；對(duì)等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及應(yīng)用． 2．二次根式的乘法、除法的條件限制． 3．利用最簡二次根式的概念把一個(gè)二次根式化成最簡二次根式． 教學(xué)關(guān)鍵 1．潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生從具體到一般的推理能力，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)． 2．培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的規(guī)定和重要結(jié)論進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算的能力，培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的科學(xué)精神． 單元課時(shí)劃分 本單元教學(xué)時(shí)間約需11課時(shí)，具體分配如下： 21．1 二次根式 3課時(shí) 21．2 二次根式的乘法 3課時(shí) 21．3 二次根式的加減 3課時(shí) 教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié) 2課時(shí) 21．1 二次根式 第一課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 二次根式的概念及其運(yùn)用 教學(xué)目標(biāo) 理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意義解答具體題目． 提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問題． 教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：利用“（a≥0）”解決具體問題． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下列三個(gè)問題： 問題1：已知反比例函數(shù)y=，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)是___________． 問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90，那么AB邊的長是__________． 問題3：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、8，那么甲這次射擊的方差是S2，那么S=_________． 老師點(diǎn)評(píng)： 問題1：橫、縱坐標(biāo)相等，即x=y，所以x2=3．因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以x=，所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)（，）． 問題2：由勾股定理得AB= 問題3：由方差的概念得S= . 二、探索新知 很明顯、、，都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根．像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱二次根式．因此，一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)． （學(xué)生活動(dòng)）議一議： 1．-1有算術(shù)平方根嗎？ 2．0的算術(shù)平方根是多少？ 3．當(dāng)a<0，有意義嗎？ 老師點(diǎn)評(píng):（略） 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）． 分析：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0． 解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、． 例2．當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意義． 解：由3x-1≥0，得：x≥ 當(dāng)x≥時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義． 三、鞏固練習(xí) 教材P練習(xí)1、2、3． 四、應(yīng)用拓展 例3．當(dāng)x是多少時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 分析：要使+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時(shí)滿足中的≥0和中的x+1≠0． 解：依題意，得 由①得：x≥- 由②得：x≠-1 當(dāng)x≥-且x≠-1時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義． 例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2) (2)若+=0，求axx+bxx的值．(答案:) 五、歸納小結(jié)（學(xué)生活動(dòng)，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課要掌握： 1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)． 2．要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)． 六、布置作業(yè) 1．教材P8復(fù)習(xí)鞏固1、綜合應(yīng)用5． 2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)． 第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A．- B． C． D．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 3．已知一個(gè)正方形的面積是5，那么它的邊長是（ ） A．5 B． C． D．以上皆不對(duì) 二、填空題 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面積為a的正方形的邊長為________． 3．負(fù)數(shù)________平方根． 三、綜合提高題 1．某工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m，按設(shè)計(jì)需要，底面應(yīng)做成正方形，試問底面邊長應(yīng)是多少？ 2．當(dāng)x是多少時(shí)，+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 3．若+有意義，則=_______． 4.使式子有意義的未知數(shù)x有（ ）個(gè)． A．0 B．1 C．2 D．無數(shù) 5.已知a、b為實(shí)數(shù)，且+2=b+4，求a、b的值． 第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)答案: 一、1．A 2．D 3．B 二、1．（a≥0） 2． 3．沒有 三、1．設(shè)底面邊長為x，則0.2x2=1，解答：x=． 2．依題意得：， ∴當(dāng)x>-且x≠0時(shí)，＋x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有意義． 3. 4．B 5．a(chǎn)=5，b=-4 21.1 二次根式(2) 第二課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 1．（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)； 2．（）2=a（a≥0）． 教學(xué)目標(biāo) 理解（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)和（）2=a（a≥0），并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡． 通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出（）2=a（a≥0）；最后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題． 教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（）2=a（a≥0）及其運(yùn)用． 2．難點(diǎn)、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；用探究的方法導(dǎo)出（）2=a（a≥0）． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）口答 1．什么叫二次根式？ 2．當(dāng)a≥0時(shí)，叫什么？當(dāng)a<0時(shí)，有意義嗎？ 老師點(diǎn)評(píng)（略）． 二、探究新知 議一議：（學(xué)生分組討論，提問解答） （a≥0）是一個(gè)什么數(shù)呢？ 老師點(diǎn)評(píng)：根據(jù)學(xué)生討論和上面的練習(xí)，我們可以得出 （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)． 做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空： （）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______； （）2=______；（）2=_______；（）2=_______． 老師點(diǎn)評(píng)：是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，是一個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此有（）2=4． 同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0，所以 （）2=a（a≥0） 例1 計(jì)算 1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2 分析：我們可以直接利用（）2=a（a≥0）的結(jié)論解題． 解：（）2 =，（3）2 =32（）2=325=45， （）2=，（）2=． 三、鞏固練習(xí) 計(jì)算下列各式的值： （）2 （）2 （）2 （）2 （4）2 四、應(yīng)用拓展 例2 計(jì)算 1．（）2（x≥0） 2．（）2 3．（）2 4．（）2 分析：（1）因?yàn)閤≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的4題都可以運(yùn)用（）2=a（a≥0）的重要結(jié)論解題． 解：（1）因?yàn)閤≥0，所以x+1>0 （）2=x+1 （2）∵a2≥0，∴（）2=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴=a2+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0 ∴4x2-12x+9≥0，∴（）2=4x2-12x+9 例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 分析：(略) 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)； 2．（）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）． 六、布置作業(yè) 1．教材P8 復(fù)習(xí)鞏固2．（1）、（2） P9 7． 2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)． 第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1．下列各式中、、、、、，二次根式的個(gè)數(shù)是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 2．?dāng)?shù)a沒有算術(shù)平方根，則a的取值范圍是（ ）． A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)<0 D．a(chǎn)=0 二、填空題 1．（-）2=________． 2．已知有意義，那么是一個(gè)_______數(shù)． 三、綜合提高題 1．計(jì)算 （1）（）2 （2）-（）2 （3）（）2 （4）（-3）2 (5) 2．把下列非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0） 3．已知+=0，求xy的值． 4．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5 第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)答案: 一、1．B 2．C 二、1．3 2．非負(fù)數(shù) 三、1．（1）（）2=9 （2）-（）2=-3 （3）（）2=6= （4）（-3）2=9=6 (5)-6 2．（1）5=（）2 （2）3.4=（）2 （3）=（）2 （4）x=（）2（x≥0） 3． xy=34=81 4.（1）x2-2=（x+）（x-） （2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+）（x-） (3)略 21.1 二次根式(3) 第三課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 ＝a（a≥0） 教學(xué)目標(biāo) 理解=a（a≥0）并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡． 通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究=a（a≥0），并利用這個(gè)結(jié)論解決具體問題． 教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：＝a（a≥0）． 2．難點(diǎn)：探究結(jié)論． 3．關(guān)鍵：講清a≥0時(shí)，＝a才成立． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容； 1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式； 2．（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)； 3．()2＝a（a≥0）． 那么，我們猜想當(dāng)a≥0時(shí)，=a是否也成立呢？下面我們就來探究這個(gè)問題． 二、探究新知 （學(xué)生活動(dòng)）填空： =_______；=_______；=______； =________；=________；=_______． （老師點(diǎn)評(píng)）：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到： =2；=0.01；=；=；=0；=． 因此，一般地：=a（a≥0） 例1 化簡 （1） （2） （3） （4） 分析：因?yàn)椋?）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52， （4）（-3）2=32，所以都可運(yùn)用=a（a≥0）去化簡． 解：（1）==3 （2）==4 （3）==5 （4）==3 三、鞏固練習(xí) 教材P7練習(xí)2． 四、應(yīng)用拓展 例2 填空：當(dāng)a≥0時(shí)，=_____；當(dāng)a<0時(shí)，=_______，并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題． （1）若=a，則a可以是什么數(shù)？ （2）若=-a，則a可以是什么數(shù)？ （3）>a，則a可以是什么數(shù)？ 分析：∵=a（a≥0），∴要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“（ ）2”中的數(shù)是正數(shù)，因?yàn)?，?dāng)a≤0時(shí)，=，那么-a≥0． （1）根據(jù)結(jié)論求條件；（2）根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思想；（3）根據(jù)（1）、（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么時(shí)候才能保證呢？a<0． 解：（1）因?yàn)?a，所以a≥0； （2）因?yàn)?-a，所以a≤0； （3）因?yàn)楫?dāng)a≥0時(shí)=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；當(dāng)a<0時(shí)，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0綜上，a<0 例3當(dāng)x>2，化簡-． 分析：(略) 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握：=a（a≥0）及其運(yùn)用，同時(shí)理解當(dāng)a<0時(shí)，＝－a的應(yīng)用拓展． 六、布置作業(yè) 1．教材P8習(xí)題21．1 3、4、6、8． 2．選作課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)． 第三課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1．的值是（ ）． A．0 B． C．4 D．以上都不對(duì) 2．a(chǎn)≥0時(shí)，、、-，比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（ ）． A．=≥- B．>>- C．<<- D．->= 二、填空題 1．-=________． 2．若是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是________． 三、綜合提高題 1．先化簡再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+的值，甲乙兩人的解答如下： 甲的解答為：原式=a+=a+（1-a）=1； 乙的解答為：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17． 兩種解答中，_______的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是__________． 2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值． （提示：先由a-xx≥0，判斷1995-a的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕對(duì)值） 3. 若-3≤x≤2時(shí)，試化簡│x-2│++。 答案: 一、1．C 2．A 二、1．-0．02 2．5 三、1．甲 甲沒有先判定1-a是正數(shù)還是負(fù)數(shù) 2．由已知得a-xx≥0，a≥xx 所以a-1995+=a，=1995，a-xx=19952， 所以a-19952=xx． 3. 10-x 21．2 二次根式的乘除 第一課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 ＝（a≥0，b≥0），反之=（a≥0，b≥0）及其運(yùn)用． 教學(xué)目標(biāo) 理解＝（a≥0，b≥0），=（a≥0，b≥0），并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡 由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出＝（a≥0，b≥0）并運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算；利用逆向思維，得出=（a≥0，b≥0）并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡． 教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵 重點(diǎn)：＝（a≥0，b≥0），=（a≥0，b≥0）及它們的運(yùn)用． 難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出＝（a≥0，b≥0）． 關(guān)鍵：要講清（a<0,b<0）=，如=或==． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題． 1．填空 （1）=_______，=______； （2）=_______，=________． （3）=________，=_______． 參考上面的結(jié)果，用“>、<或＝”填空． _____，_____，________ 2．利用計(jì)算器計(jì)算填空 （1）______，（2）______， （3）______，（4）______， （5）______． 老師點(diǎn)評(píng)（糾正學(xué)生練習(xí)中的錯(cuò)誤） 二、探索新知 （學(xué)生活動(dòng)）讓3、4個(gè)同學(xué)上臺(tái)總結(jié)規(guī)律． 老師點(diǎn)評(píng)：（1）被開方數(shù)都是正數(shù)； （2）兩個(gè)二次根式的乘除等于一個(gè)二次根式，并且把這兩個(gè)二次根式中的數(shù)相乘，作為等號(hào)另一邊二次根式中的被開方數(shù)． 一般地，對(duì)二次根式的乘法規(guī)定為 ＝．（a≥0，b≥0） 反過來: =（a≥0，b≥0） 例1．計(jì)算 （1） （2） （3） （4） 分析：直接利用＝（a≥0，b≥0）計(jì)算即可． 解：（1）= （2）== （3）==9 （4）== 例2 化簡 （1） （2） （3） （4） （5） 分析：利用=（a≥0，b≥0）直接化簡即可． 解：（1）==34=12 （2）==49=36 （3）==910=90 （4）===3xy （5）===3 三、鞏固練習(xí) （1）計(jì)算（學(xué)生練習(xí)，老師點(diǎn)評(píng)） ① ②32 ③ (2) 化簡: ; ; ; ; 教材P11練習(xí)全部 四、應(yīng)用拓展 例3．判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正： （1） （2）=4=4=4=8 解：（1）不正確． 改正：=＝=23=6 （2）不正確． 改正：====＝4 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握：（1）＝=（a≥0，b≥0），=（a≥0，b≥0）及其運(yùn)用． 六、布置作業(yè) 1．課本P15 1，4，5，6．（1）（2）． 2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)． 第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1．若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為cm和cm，那么此直角三角形斜邊長是（ ）． A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm 2．化簡a的結(jié)果是（ ）． A． B． C．- D．- 3．等式成立的條件是（ ） A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 4．下列各等式成立的是（ ）． A．42=8 B．54=20 C．43=7 D．54=20 二、填空題 1．=_______． 2．自由落體的公式為S=gt2（g為重力加速度，它的值為10m/s2），若物體下落的高度為720m，則下落的時(shí)間是_________． 三、綜合提高題 1．一個(gè)底面為30cm30cm長方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水例入一個(gè)底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時(shí)，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長是多少厘米？ 2．探究過程：觀察下列各式及其驗(yàn)證過程． （1）2= 驗(yàn)證：2=== == （2）3= 驗(yàn)證：3=== == 同理可得：4 5，…… 通過上述探究你能猜測出： a=_______（a>0）,并驗(yàn)證你的結(jié)論． 答案: 一、1．B 2．C 3.A 4.D 二、1．13 2．12s 三、1．設(shè)：底面正方形鐵桶的底面邊長為x， 則x210=303020，x2=30302， x==30． 2． a= 驗(yàn)證：a= ===. 21．2 二次根式的乘除 第二課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 =（a≥0，b>0），反過來=（a≥0，b>0）及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡． 教學(xué)目標(biāo) 理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它們進(jìn)行運(yùn)算． 利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆向等式及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡． 教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡． 2．難點(diǎn)關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題： 1．寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式． 2．填空 （1）=________，=_________； （2）=________，=________； （3）=________，=_________； （4）=________，=________． 規(guī)律：______；______；_______； _______． 3．利用計(jì)算器計(jì)算填空: （1）=_________，（2）=_________，（3）=______，（4）=________． 規(guī)律：______；_______；_____；_____。 每組推薦一名學(xué)生上臺(tái)闡述運(yùn)算結(jié)果． （老師點(diǎn)評(píng)） 二、探索新知 剛才同學(xué)們都練習(xí)都很好，上臺(tái)的同學(xué)也回答得十分準(zhǔn)確，根據(jù)大家的練習(xí)和回答，我們可以得到： 一般地，對(duì)二次根式的除法規(guī)定： =（a≥0，b>0）， 反過來，=（a≥0，b>0） 下面我們利用這個(gè)規(guī)定來計(jì)算和化簡一些題目． 例1．計(jì)算：（1） （2） （3） （4） 分析：上面4小題利用=（a≥0，b>0）便可直接得出答案． 解：（1）===2 （2）===2 （3）===2 （4）===2 例2．化簡： （1） （2） （3） （4） 分析：直接利用=（a≥0，b>0）就可以達(dá)到化簡之目的． 解：（1）= （2）= （3）= （4）= 三、鞏固練習(xí) 教材P14 練習(xí)1． 四、應(yīng)用拓展 例3．已知，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值． 分析：式子=，只有a≥0，b>0時(shí)才能成立． 因此得到9-x≥0且x-6>0，即60）和=（a≥0，b>0）及其運(yùn)用． 六、布置作業(yè) 1．教材P15 習(xí)題21．2 2、7、8、9． 2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)． 第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1．計(jì)算的結(jié)果是（ ）． A． B． C． D． 2．閱讀下列運(yùn)算過程： ， 數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號(hào)去掉的過程稱作“分母有理化”，那么，化簡的結(jié)果是（ ）． A．2 B．6 C． D． 二、填空題 1．分母有理化:(1) =_________;(2) =________;(3) =______. 2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后結(jié)果是_______． 三、綜合提高題 1．有一種房梁的截面積是一個(gè)矩形，且矩形的長與寬之比為：1，現(xiàn)用直徑為3cm的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少？ 2．計(jì)算 （1）（-）（m>0，n>0） （2）-3（） （a>0） 答案: 一、1．A 2．C 二、1．(1) ;(2) ;(3) 2． 三、1．設(shè)：矩形房梁的寬為x（cm），則長為xcm，依題意， 得：（x）2+x2=（3）2， 4x2=915，x=（cm）， xx=x2=（cm2）． 2．（1）原式＝-=- =-=- （2）原式=-2=-2=-a 21.2 二次根式的乘除(3) 第三課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進(jìn)行二次根式的化簡運(yùn)算． 教學(xué)目標(biāo) 理解最簡二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式． 通過計(jì)算或化簡的結(jié)果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據(jù)它的特點(diǎn)來檢驗(yàn)最后結(jié)果是否滿足最簡二次根式的要求． 重難點(diǎn)關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：最簡二次根式的運(yùn)用． 2．難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判斷這個(gè)二次根式是否是最簡二次根式． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題（請(qǐng)三位同學(xué)上臺(tái)板書） 1．計(jì)算（1），（2），（3） 老師點(diǎn)評(píng)：=，=，= 2．現(xiàn)在我們來看本章引言中的問題：如果兩個(gè)電視塔的高分別是h1km，h2km，那么它們的傳播半徑的比是_________． 它們的比是． 二、探索新知 觀察上面計(jì)算題1的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個(gè)特點(diǎn)： 1．被開方數(shù)不含分母； 2．被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式． 我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式． 那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡二次根式． 學(xué)生分組討論，推薦3～4個(gè)人到黑板上板書． 老師點(diǎn)評(píng)：不是． =. 例1．(1) ; (2) ; (3) 例2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的長． 解：因?yàn)锳B2=AC2+BC2 所以AB===6.5（cm） 因此AB的長為6.5cm． 三、鞏固練習(xí) 教材P14 練習(xí)2、3 四、應(yīng)用拓展 例3．觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式： ==-1， ==-， 同理可得：=-，…… 從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算 （+++……）（+1）的值． 分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達(dá)到化簡的目的． 解：原式=（-1+-+-+……+-）（+1） =（-1）（+1） =xx-1=xx 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握：最簡二次根式的概念及其運(yùn)用． 六、布置作業(yè) 1．教材P15 習(xí)題21．2 3、7、10． 2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)． 第三課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1．如果（y>0）是二次根式，那么，化為最簡二次根式是（ ）． A．（y>0） B．（y>0） C．（y>0） D．以上都不對(duì) 2．把（a-1）中根號(hào)外的（a-1）移入根號(hào)內(nèi)得（ ）． A． B． C．- D．- 3．在下列各式中，化簡正確的是（ ） A．=3 B．= C．=a2 D． =x 4．化簡的結(jié)果是（ ） A．- B．- C．- D．- 二、填空題 1．化簡=_________．（x≥0） 2．a(chǎn)化簡二次根式號(hào)后的結(jié)果是_________． 三、綜合提高題 1．已知a為實(shí)數(shù)，化簡：-a，閱讀下面的解答過程，請(qǐng)判斷是否正確？若不正確，請(qǐng)寫出正確的解答過程： 解：-a=a-a=（a-1） 2．若x、y為實(shí)數(shù)，且y=，求的值． 答案: 一、1．C 2．D 3.C 4.C 二、1．x 2．- 三、1．不正確，正確解答： 因?yàn)?，所以a<0， 原式＝-a=-a=-a+=(1-a) 2．∵ ∴x-4=0，∴x=2，但∵x+2≠0，∴x=2，y= ∴ . 21.3 二次根式的加減(1) 第一課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 二次根式的加減 教學(xué)目標(biāo) 理解和掌握二次根式加減的方法． 先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對(duì)二次根式進(jìn)行加減的方法的理解．再總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，用它來指導(dǎo)根式的計(jì)算和化簡． 重難點(diǎn)關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：二次根式化簡為最簡根式． 2．難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判定是否是最簡二次根式． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動(dòng)：計(jì)算下列各式． （1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3 教師點(diǎn)評(píng)：上面題目的結(jié)果，實(shí)際上是我們以前所學(xué)的同類項(xiàng)合并．同類項(xiàng)合并就是字母不變，系數(shù)相加減． 二、探索新知 學(xué)生活動(dòng)：計(jì)算下列各式． （1）2+3 （2）2-3+5 （3）+2+3 （4）3-2+ 老師點(diǎn)評(píng)： （1）如果我們把當(dāng)成x，不就轉(zhuǎn)化為上面的問題嗎？ 2+3=（2+3）=5 （2）把當(dāng)成y； 2-3+5=（2-3+5）=4=8 （3）把當(dāng)成z； +2+ =2+2+3=（1+2+3）=6 （4）看為x，看為y． 3-2+ =（3-2）+ =+ 因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如2與表面上看是不相同的，但它們可以合并嗎？可以的． （板書）3+=3+2=5 3+=3+3=6 所以，二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并． 例1．計(jì)算 （1）+ （2）+ 分析：第一步，將不是最簡二次根式的項(xiàng)化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進(jìn)行合并． 解：（1）+=2+3=（2+3）=5 （2）+=4+8=（4+8）=12 例2．計(jì)算 （1）3-9+3 （2）（+）+（-） 解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15 （2）（+）+（-）=++- =4+2+2-=6+ 三、鞏固練習(xí) 教材P19 練習(xí)1、2． 四、應(yīng)用拓展 例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值． 分析：本題首先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3．其次，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先把各項(xiàng)化成最簡二次根式，再合并同類二次根式，最后代入求值． 解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0 ∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0 ∴（2x-1）2+（y-3）2=0 ∴x=，y=3 原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5 =x+6 當(dāng)x=，y=3時(shí)， 原式=+6=+3 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握：（1）不是最簡二次根式的，應(yīng)化成最簡二次根式；（2）相同的最簡二次根式進(jìn)行合并． 六、布置作業(yè) 1．教材P21 習(xí)題21．3 1、2、3、5． 2．選作課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)． 第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1．以下二次根式：①；②；③；④中，與是同類二次根式的是（ ）． A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中錯(cuò)誤的有（ ）． A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè) 二、填空題 1．在、、、、、3、-2中，與是同類二次根式的有________． 2．計(jì)算二次根式5-3-7+9的最后結(jié)果是________． 三、綜合提高題 1．已知≈2.236，求（-）-（+）的值．（結(jié)果精確到0.01） 2．先化簡，再求值． （6x+）-（4x+），其中x=，y=27． 答案: 一、1．C 2．A 二、1． 2．6-2 三、1．原式=4---=≈2.236≈0.45 2．原式=6+3-（4+6）=（6+3-4-6）=-， 當(dāng)x=，y=27時(shí)，原式=-=- 21.3 二次根式的加減(2) 第二課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 利用二次根式化簡的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題． 教學(xué)目標(biāo) 運(yùn)用二次根式、化簡解應(yīng)用題． 通過復(fù)習(xí)，將二次根式化成被開方數(shù)相同的最簡二次根式，進(jìn)行合并后解應(yīng)用題． 重難點(diǎn)關(guān)鍵 講清如何解答應(yīng)用題既是本節(jié)課的重點(diǎn)，又是本節(jié)課的難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 上節(jié)課，我們已經(jīng)講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個(gè)步驟：第一步，先將二次根式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，下面我們講三道例題以做鞏固． 二、探索新知 例1．如圖所示的Rt△ABC中，∠B=90，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)．問：幾秒后△PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡二次根式表示） 分析：設(shè)x秒后△PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根據(jù)三角形面積公式就可以求出x的值． 解：設(shè)x 后△PBQ的面積為35平方厘米． 則有PB=x，BQ=2x 依題意，得：x2x=35 x2=35 x= 所以秒后△PBQ的面積為35平方厘米． PQ==5 答：秒后△PBQ的面積為35平方厘米，PQ的距離為5厘米． 例2．要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）？ 分析：此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材，只需知道這四段的長度． 解：由勾股定理，得 AB==2 BC== 所需鋼材長度為 AB+BC+AC+BD =2++5+2 =3+7 ≈32.24+7≈13.7（m） 答：要焊接一個(gè)如圖所示的鋼架，大約需要13.7m的鋼材． 三、鞏固練習(xí) 教材P19 練習(xí)3 四、應(yīng)用拓展 例3．若最簡根式與根式是同類二次根式，求a、b的值．（同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式） 分析：同類二次根式是指幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同；事實(shí)上，根式不是最簡二次根式，因此把化簡成|b|，才由同類二次根式的定義得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b． 解：首先把根式化為最簡二次根式： ==|b| 由題意得 ∴ ∴a=1，b=1 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握運(yùn)用最簡二次根式的合并原理解決實(shí)際問題． 六、布置作業(yè) 1．教材P21 習(xí)題21．3 7． 2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)． 作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1．已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和5，那么斜邊的長應(yīng)為（ ）．（結(jié)果用最簡二次根式） A．5 B． C．2 D．以上都不對(duì) 2．小明想自己釘一個(gè)長與寬分別為30cm和20cm的長方形的木框，為了增加其穩(wěn)定性，他沿長方形的對(duì)角線又釘上了一根木條，木條的長應(yīng)為（ ）米．（結(jié)果同最簡二次根式表示） A．13 B． C．10 D．5 二、填空題 1．某地有一長方形魚塘，已知魚塘的長是寬的2倍，它的面積是1600m2，魚塘的寬是_______m．（結(jié)果用最簡二次根式） 2．已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為，那么這個(gè)等腰直角三角形的周長是________．（結(jié)果用最簡二次根式） 三、綜合提高題 1．若最簡二次根式與是同類二次根式，求m、n的值． 2．同學(xué)們，我們以前學(xué)過完全平方公式a22ab+b2=（ab）2，你一定熟練掌握了吧!現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了二次根式，那么所有的正數(shù)（包括0）都可以看作是一個(gè)數(shù)的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是誰的二次根式呢？下面我們觀察： （-1）2=（）2-21+12=2-2+1=3-2 反之，3-2=2-2+1=（-1）2 ∴3-2=（-1）2 ∴=-1 求：（1）； （2）； （3）你會(huì)算嗎？ （4）若=，則m、n與a、b的關(guān)系是什么？并說明理由． 答案: 一、1．A 2．C 二、1．20 2．2+2 三、1．依題意，得 ， ， 所以或 或 或 2．（1）==+1 （2）==+1 （3）==-1 （4） 理由：兩邊平方得a2=m+n2 所以 21.3 二次根式的加減(3) 第三課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 含有二次根式的單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、相除；多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、相除；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、相除；乘法公式的應(yīng)用． 教學(xué)目標(biāo) 含有二次根式的式子進(jìn)行乘除運(yùn)算和含有二次根式的多項(xiàng)式乘法公式的應(yīng)用． 復(fù)習(xí)整式運(yùn)算知識(shí)并將該知識(shí)運(yùn)用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運(yùn)算． 重難點(diǎn)關(guān)鍵 重點(diǎn)：二次根式的乘除、乘方等運(yùn)算規(guī)律； 難點(diǎn)關(guān)鍵：由整式運(yùn)算知識(shí)遷移到含二次根式的運(yùn)算． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題: 1．計(jì)算 （1）（2x+y）zx （2）（2x2y+3xy2）xy 2．計(jì)算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 老師點(diǎn)評(píng)：這些內(nèi)容是對(duì)八年級(jí)上冊(cè)整式運(yùn)算的再現(xiàn)．它主要有（1）單項(xiàng)式單項(xiàng)式；（2）單項(xiàng)式多項(xiàng)式；（3）多項(xiàng)式單項(xiàng)式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的運(yùn)用． 二、探索新知 如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運(yùn)算規(guī)律是否仍成立呢？仍成立． 整式運(yùn)算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當(dāng)然也可以代表二次根式，所以，整式中的運(yùn)算規(guī)律也適用于二次根式． 例1．計(jì)算: （1）（+） （2）（4-3）2 分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律，所以直接可用整式的運(yùn)算規(guī)律． 解：（1）（+）=+ =+=3+2 解：（4-3）2=42-32 =2- 例2．計(jì)算 （1）（+6）（3-） （2）（+）（-） 分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算在乘法公式運(yùn)算中仍然成立． 解：（1）（+6）（3-） =3-（）2+18-6 =13-3 （2）（+）（-）=（）2-（）2 =10-7=3 三、鞏固練習(xí) 課本P20練習(xí)1、2． 四、應(yīng)用拓展 例3．已知=2-，其中a、b是實(shí)數(shù)，且a+b≠0， 化簡+，并求值． 分析：由于（+）（-）=1，因此對(duì)代數(shù)式的化簡，可先將分母有理化，再通過解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到x的值，代入化簡得結(jié)果即可． 解：原式=+ =+ =（x+1）+x-2+x+2 =4x+2 ∵=2- ∴b（x-b）=2ab-a（x-a） ∴bx-b2=2ab-ax+a2 ∴（a+b）x=a2+2ab+b2 ∴（a+b）x=（a+b）2 ∵a+b≠0 ∴x=a+b ∴原式=4x+2=4（a+b）+2 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握二次根式的乘、除、乘方等運(yùn)算． 六、布置作業(yè) 1．教材P21 習(xí)題21．3 1、8、9． 2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)． 作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1．（-3+2）的值是（ ）． A．-3 B．3- C．2- D．- 2．計(jì)算（+）（-）的值是（ ）． A．2 B．3 C．4 D．1 二、填空題 1．（-+）2的計(jì)算結(jié)果（用最簡根式表示）是________． 2．（1-2）（1+2）-（2-1）2的計(jì)算結(jié)果（用最簡二次根式表示）是_______． 3．若x=-1，則x2+2x+1=________． 4．已知a=3+2，b=3-2，則a2b-ab2=_________． 三、綜合提高題 1．化簡 2．當(dāng)x=時(shí)，求+的值．（結(jié)果用最簡二次根式表示） 課外知識(shí) 1．同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，它們的被開方數(shù)相同，這些二次根式就稱為同類二次根式，就是本書中所講的被開方數(shù)相同的二次根式． 練習(xí)：下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（ ）． A．與 B．與 C．與 D．與 2．互為有理化因式：互為有理化因式是指兩個(gè)二次根式的乘積可以運(yùn)用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同時(shí)它們的積是有理數(shù)，不含有二次根式：如x+1-與x+1+就是互為有理化因式；與也是互為有理化因式． 練習(xí)：+的有理化因式是________； x-的有理化因式是_________． --的有理化因式是_______． 3．分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去，通常在分子、分母上同乘以一個(gè)二次根式，達(dá)到化去分母中的根號(hào)的目的． 練習(xí)：把下列各式的分母有理化 （1）； （2）； （3）； （4）． 4．其它材料：如果n是任意正整數(shù)，那么=n 理由：==n 練習(xí)：填空=_______；=________；=_______． 答案: 一、1．A 2．D 二、1．1- 2．4-24 3．2 4．4 三、1．原式＝ == =-（-）=- 2．原式＝ === 2（2x+1） ∵x==+1 原式＝2（2+3）=4+6.