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2019-2020年九年級數(shù)學上冊 第21章 二次根式教案 新人教版 教材內容 1．本單元教學的主要內容： 二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡二次根式． 2．本單元在教材中的地位和作用： 二次根式是在學完了八年級下冊第十七章《反比例正函數(shù)》、第十八章《勾股定理及其應用》等內容的基礎之上繼續(xù)學習的，它也是今后學習其他數(shù)學知識的基礎． 教學目標 1．知識與技能 （1）理解二次根式的概念． （2）理解（a≥0）是一個非負數(shù)，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）． （3）掌握＝（a≥0，b≥0），=； =（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）． （4）了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加減． 2．過程與方法 （1）先提出問題，讓學生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念．再對概念的內涵進行分析，得出幾個重要結論，并運用這些重要結論進行二次根式的計算和化簡． （2）用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘（除）法規(guī)定，并運用規(guī)定進行計算． （3）利用逆向思維，得出二次根式的乘（除）法規(guī)定的逆向等式并運用它進行化簡． （4）通過分析前面的計算和化簡結果，抓住它們的共同特點，給出最簡二次根式的概念．利用最簡二次根式的概念，來對相同的二次根式進行合并，達到對二次根式進行計算和化簡的目的． 3．情感、態(tài)度與價值觀 通過本單元的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹?shù)目茖W精神，經(jīng)過探索二次根式的重要結論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力． 教學重點 1．二次根式（a≥0）的內涵．（a≥0）是一個非負數(shù)；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）及其運用． 2．二次根式乘除法的規(guī)定及其運用． 3．最簡二次根式的概念． 4．二次根式的加減運算． 教學難點 1．對（a≥0）是一個非負數(shù)的理解；對等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及應用． 2．二次根式的乘法、除法的條件限制． 3．利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式． 教學關鍵 1．潛移默化地培養(yǎng)學生從具體到一般的推理能力，突出重點，突破難點． 2．培養(yǎng)學生利用二次根式的規(guī)定和重要結論進行準確計算的能力，培養(yǎng)學生一絲不茍的科學精神． 單元課時劃分 本單元教學時間約需11課時，具體分配如下： 21．1 二次根式 3課時 21．2 二次根式的乘法 3課時 21．3 二次根式的加減 3課時 教學活動、習題課、小結 2課時 21．1 二次根式 第一課時 教學內容 二次根式的概念及其運用 教學目標 理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意義解答具體題目． 提出問題，根據(jù)問題給出概念，應用概念解決實際問題． 教學重難點關鍵 1．重點：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．難點與關鍵：利用“（a≥0）”解決具體問題． 教學過程 一、復習引入 （學生活動）請同學們獨立完成下列三個問題： 問題1：已知反比例函數(shù)y=，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標相等的點的坐標是___________． 問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90，那么AB邊的長是__________． 問題3：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、8，那么甲這次射擊的方差是S2，那么S=_________． 老師點評： 問題1：橫、縱坐標相等，即x=y，所以x2=3．因為點在第一象限，所以x=，所以所求點的坐標（，）． 問題2：由勾股定理得AB= 問題3：由方差的概念得S= . 二、探索新知 很明顯、、，都是一些正數(shù)的算術平方根．像這樣一些正數(shù)的算術平方根的式子，我們就把它稱二次根式．因此，一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號． （學生活動）議一議： 1．-1有算術平方根嗎？ 2．0的算術平方根是多少？ 3．當a<0，有意義嗎？ 老師點評:（略） 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）． 分析：二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號“”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0． 解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、． 例2．當x是多少時，在實數(shù)范圍內有意義？ 分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意義． 解：由3x-1≥0，得：x≥ 當x≥時，在實數(shù)范圍內有意義． 三、鞏固練習 教材P練習1、2、3． 四、應用拓展 例3．當x是多少時，+在實數(shù)范圍內有意義？ 分析：要使+在實數(shù)范圍內有意義，必須同時滿足中的≥0和中的x+1≠0． 解：依題意，得 由①得：x≥- 由②得：x≠-1 當x≥-且x≠-1時，+在實數(shù)范圍內有意義． 例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2) (2)若+=0，求axx+bxx的值．(答案:) 五、歸納小結（學生活動，老師點評） 本節(jié)課要掌握： 1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號． 2．要使二次根式在實數(shù)范圍內有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負數(shù)． 六、布置作業(yè) 1．教材P8復習鞏固1、綜合應用5． 2．選用課時作業(yè)設計． 第一課時作業(yè)設計 一、選擇題 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A．- B． C． D．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 3．已知一個正方形的面積是5，那么它的邊長是（ ） A．5 B． C． D．以上皆不對 二、填空題 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面積為a的正方形的邊長為________． 3．負數(shù)________平方根． 三、綜合提高題 1．某工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m，按設計需要，底面應做成正方形，試問底面邊長應是多少？ 2．當x是多少時，+x2在實數(shù)范圍內有意義？ 3．若+有意義，則=_______． 4.使式子有意義的未知數(shù)x有（ ）個． A．0 B．1 C．2 D．無數(shù) 5.已知a、b為實數(shù)，且+2=b+4，求a、b的值． 第一課時作業(yè)設計答案: 一、1．A 2．D 3．B 二、1．（a≥0） 2． 3．沒有 三、1．設底面邊長為x，則0.2x2=1，解答：x=． 2．依題意得：， ∴當x>-且x≠0時，＋x2在實數(shù)范圍內沒有意義． 3. 4．B 5．a(chǎn)=5，b=-4 21.1 二次根式(2) 第二課時 教學內容 1．（a≥0）是一個非負數(shù)； 2．（）2=a（a≥0）． 教學目標 理解（a≥0）是一個非負數(shù)和（）2=a（a≥0），并利用它們進行計算和化簡． 通過復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出（a≥0）是一個非負數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結合算術平方根的意義導出（）2=a（a≥0）；最后運用結論嚴謹解題． 教學重難點關鍵 1．重點：（a≥0）是一個非負數(shù)；（）2=a（a≥0）及其運用． 2．難點、關鍵：用分類思想的方法導出（a≥0）是一個非負數(shù)；用探究的方法導出（）2=a（a≥0）． 教學過程 一、復習引入 （學生活動）口答 1．什么叫二次根式？ 2．當a≥0時，叫什么？當a<0時，有意義嗎？ 老師點評（略）． 二、探究新知 議一議：（學生分組討論，提問解答） （a≥0）是一個什么數(shù)呢？ 老師點評：根據(jù)學生討論和上面的練習，我們可以得出 （a≥0）是一個非負數(shù)． 做一做：根據(jù)算術平方根的意義填空： （）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______； （）2=______；（）2=_______；（）2=_______． 老師點評：是4的算術平方根，根據(jù)算術平方根的意義，是一個平方等于4的非負數(shù)，因此有（）2=4． 同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0，所以 （）2=a（a≥0） 例1 計算 1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2 分析：我們可以直接利用（）2=a（a≥0）的結論解題． 解：（）2 =，（3）2 =32（）2=325=45， （）2=，（）2=． 三、鞏固練習 計算下列各式的值： （）2 （）2 （）2 （）2 （4）2 四、應用拓展 例2 計算 1．（）2（x≥0） 2．（）2 3．（）2 4．（）2 分析：（1）因為x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的4題都可以運用（）2=a（a≥0）的重要結論解題． 解：（1）因為x≥0，所以x+1>0 （）2=x+1 （2）∵a2≥0，∴（）2=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴=a2+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0 ∴4x2-12x+9≥0，∴（）2=4x2-12x+9 例3在實數(shù)范圍內分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 分析：(略) 五、歸納小結 本節(jié)課應掌握： 1．（a≥0）是一個非負數(shù)； 2．（）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）． 六、布置作業(yè) 1．教材P8 復習鞏固2．（1）、（2） P9 7． 2．選用課時作業(yè)設計． 第二課時作業(yè)設計 一、選擇題 1．下列各式中、、、、、，二次根式的個數(shù)是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 2．數(shù)a沒有算術平方根，則a的取值范圍是（ ）． A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)<0 D．a(chǎn)=0 二、填空題 1．（-）2=________． 2．已知有意義，那么是一個_______數(shù)． 三、綜合提高題 1．計算 （1）（）2 （2）-（）2 （3）（）2 （4）（-3）2 (5) 2．把下列非負數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0） 3．已知+=0，求xy的值． 4．在實數(shù)范圍內分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5 第二課時作業(yè)設計答案: 一、1．B 2．C 二、1．3 2．非負數(shù) 三、1．（1）（）2=9 （2）-（）2=-3 （3）（）2=6= （4）（-3）2=9=6 (5)-6 2．（1）5=（）2 （2）3.4=（）2 （3）=（）2 （4）x=（）2（x≥0） 3． xy=34=81 4.（1）x2-2=（x+）（x-） （2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+）（x-） (3)略 21.1 二次根式(3) 第三課時 教學內容 ＝a（a≥0） 教學目標 理解=a（a≥0）并利用它進行計算和化簡． 通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究=a（a≥0），并利用這個結論解決具體問題． 教學重難點關鍵 1．重點：＝a（a≥0）． 2．難點：探究結論． 3．關鍵：講清a≥0時，＝a才成立． 教學過程 一、復習引入 老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內容； 1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式； 2．（a≥0）是一個非負數(shù)； 3．()2＝a（a≥0）． 那么，我們猜想當a≥0時，=a是否也成立呢？下面我們就來探究這個問題． 二、探究新知 （學生活動）填空： =_______；=_______；=______； =________；=________；=_______． （老師點評）：根據(jù)算術平方根的意義，我們可以得到： =2；=0.01；=；=；=0；=． 因此，一般地：=a（a≥0） 例1 化簡 （1） （2） （3） （4） 分析：因為（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52， （4）（-3）2=32，所以都可運用=a（a≥0）去化簡． 解：（1）==3 （2）==4 （3）==5 （4）==3 三、鞏固練習 教材P7練習2． 四、應用拓展 例2 填空：當a≥0時，=_____；當a<0時，=_______，并根據(jù)這一性質回答下列問題． （1）若=a，則a可以是什么數(shù)？ （2）若=-a，則a可以是什么數(shù)？ （3）>a，則a可以是什么數(shù)？ 分析：∵=a（a≥0），∴要填第一個空格可以根據(jù)這個結論，第二空格就不行，應變形，使“（ ）2”中的數(shù)是正數(shù)，因為，當a≤0時，=，那么-a≥0． （1）根據(jù)結論求條件；（2）根據(jù)第二個填空的分析，逆向思想；（3）根據(jù)（1）、（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么時候才能保證呢？a<0． 解：（1）因為=a，所以a≥0； （2）因為=-a，所以a≤0； （3）因為當a≥0時=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；當a<0時，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0綜上，a<0 例3當x>2，化簡-． 分析：(略) 五、歸納小結 本節(jié)課應掌握：=a（a≥0）及其運用，同時理解當a<0時，＝－a的應用拓展． 六、布置作業(yè) 1．教材P8習題21．1 3、4、6、8． 2．選作課時作業(yè)設計． 第三課時作業(yè)設計 一、選擇題 1．的值是（ ）． A．0 B． C．4 D．以上都不對 2．a(chǎn)≥0時，、、-，比較它們的結果，下面四個選項中正確的是（ ）． A．=≥- B．>>- C．<<- D．->= 二、填空題 1．-=________． 2．若是一個正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是________． 三、綜合提高題 1．先化簡再求值：當a=9時，求a+的值，甲乙兩人的解答如下： 甲的解答為：原式=a+=a+（1-a）=1； 乙的解答為：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17． 兩種解答中，_______的解答是錯誤的，錯誤的原因是__________． 2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值． （提示：先由a-xx≥0，判斷1995-a的值是正數(shù)還是負數(shù)，去掉絕對值） 3. 若-3≤x≤2時，試化簡│x-2│++。 答案: 一、1．C 2．A 二、1．-0．02 2．5 三、1．甲 甲沒有先判定1-a是正數(shù)還是負數(shù) 2．由已知得a-xx≥0，a≥xx 所以a-1995+=a，=1995，a-xx=19952， 所以a-19952=xx． 3. 10-x 21．2 二次根式的乘除 第一課時 教學內容 ＝（a≥0，b≥0），反之=（a≥0，b≥0）及其運用． 教學目標 理解＝（a≥0，b≥0），=（a≥0，b≥0），并利用它們進行計算和化簡 由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出＝（a≥0，b≥0）并運用它進行計算；利用逆向思維，得出=（a≥0，b≥0）并運用它進行解題和化簡． 教學重難點關鍵 重點：＝（a≥0，b≥0），=（a≥0，b≥0）及它們的運用． 難點：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出＝（a≥0，b≥0）． 關鍵：要講清（a<0,b<0）=，如=或==． 教學過程 一、復習引入 （學生活動）請同學們完成下列各題． 1．填空 （1）=_______，=______； （2）=_______，=________． （3）=________，=_______． 參考上面的結果，用“>、<或＝”填空． _____，_____，________ 2．利用計算器計算填空 （1）______，（2）______， （3）______，（4）______， （5）______． 老師點評（糾正學生練習中的錯誤） 二、探索新知 （學生活動）讓3、4個同學上臺總結規(guī)律． 老師點評：（1）被開方數(shù)都是正數(shù)； （2）兩個二次根式的乘除等于一個二次根式，并且把這兩個二次根式中的數(shù)相乘，作為等號另一邊二次根式中的被開方數(shù)． 一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為 ＝．（a≥0，b≥0） 反過來: =（a≥0，b≥0） 例1．計算 （1） （2） （3） （4） 分析：直接利用＝（a≥0，b≥0）計算即可． 解：（1）= （2）== （3）==9 （4）== 例2 化簡 （1） （2） （3） （4） （5） 分析：利用=（a≥0，b≥0）直接化簡即可． 解：（1）==34=12 （2）==49=36 （3）==910=90 （4）===3xy （5）===3 三、鞏固練習 （1）計算（學生練習，老師點評） ① ②32 ③ (2) 化簡: ; ; ; ; 教材P11練習全部 四、應用拓展 例3．判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正： （1） （2）=4=4=4=8 解：（1）不正確． 改正：=＝=23=6 （2）不正確． 改正：====＝4 五、歸納小結 本節(jié)課應掌握：（1）＝=（a≥0，b≥0），=（a≥0，b≥0）及其運用． 六、布置作業(yè) 1．課本P15 1，4，5，6．（1）（2）． 2．選用課時作業(yè)設計． 第一課時作業(yè)設計 一、選擇題 1．若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為cm和cm，那么此直角三角形斜邊長是（ ）． A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm 2．化簡a的結果是（ ）． A． B． C．- D．- 3．等式成立的條件是（ ） A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 4．下列各等式成立的是（ ）． A．42=8 B．54=20 C．43=7 D．54=20 二、填空題 1．=_______． 2．自由落體的公式為S=gt2（g為重力加速度，它的值為10m/s2），若物體下落的高度為720m，則下落的時間是_________． 三、綜合提高題 1．一個底面為30cm30cm長方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水例入一個底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當鐵桶裝滿水時，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長是多少厘米？ 2．探究過程：觀察下列各式及其驗證過程． （1）2= 驗證：2=== == （2）3= 驗證：3=== == 同理可得：4 5，…… 通過上述探究你能猜測出： a=_______（a>0）,并驗證你的結論． 答案: 一、1．B 2．C 3.A 4.D 二、1．13 2．12s 三、1．設：底面正方形鐵桶的底面邊長為x， 則x210=303020，x2=30302， x==30． 2． a= 驗證：a= ===. 21．2 二次根式的乘除 第二課時 教學內容 =（a≥0，b>0），反過來=（a≥0，b>0）及利用它們進行計算和化簡． 教學目標 理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它們進行運算． 利用具體數(shù)據(jù)，通過學生練習活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆向等式及利用它們進行計算和化簡． 教學重難點關鍵 1．重點：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它們進行計算和化簡． 2．難點關鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定． 教學過程 一、復習引入 （學生活動）請同學們完成下列各題： 1．寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式． 2．填空 （1）=________，=_________； （2）=________，=________； （3）=________，=_________； （4）=________，=________． 規(guī)律：______；______；_______； _______． 3．利用計算器計算填空: （1）=_________，（2）=_________，（3）=______，（4）=________． 規(guī)律：______；_______；_____；_____。 每組推薦一名學生上臺闡述運算結果． （老師點評） 二、探索新知 剛才同學們都練習都很好，上臺的同學也回答得十分準確，根據(jù)大家的練習和回答，我們可以得到： 一般地，對二次根式的除法規(guī)定： =（a≥0，b>0）， 反過來，=（a≥0，b>0） 下面我們利用這個規(guī)定來計算和化簡一些題目． 例1．計算：（1） （2） （3） （4） 分析：上面4小題利用=（a≥0，b>0）便可直接得出答案． 解：（1）===2 （2）===2 （3）===2 （4）===2 例2．化簡： （1） （2） （3） （4） 分析：直接利用=（a≥0，b>0）就可以達到化簡之目的． 解：（1）= （2）= （3）= （4）= 三、鞏固練習 教材P14 練習1． 四、應用拓展 例3．已知，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值． 分析：式子=，只有a≥0，b>0時才能成立． 因此得到9-x≥0且x-6>0，即60）和=（a≥0，b>0）及其運用． 六、布置作業(yè) 1．教材P15 習題21．2 2、7、8、9． 2．選用課時作業(yè)設計． 第二課時作業(yè)設計 一、選擇題 1．計算的結果是（ ）． A． B． C． D． 2．閱讀下列運算過程： ， 數(shù)學上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”，那么，化簡的結果是（ ）． A．2 B．6 C． D． 二、填空題 1．分母有理化:(1) =_________;(2) =________;(3) =______. 2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后結果是_______． 三、綜合提高題 1．有一種房梁的截面積是一個矩形，且矩形的長與寬之比為：1，現(xiàn)用直徑為3cm的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少？ 2．計算 （1）（-）（m>0，n>0） （2）-3（） （a>0） 答案: 一、1．A 2．C 二、1．(1) ;(2) ;(3) 2． 三、1．設：矩形房梁的寬為x（cm），則長為xcm，依題意， 得：（x）2+x2=（3）2， 4x2=915，x=（cm）， xx=x2=（cm2）． 2．（1）原式＝-=- =-=- （2）原式=-2=-2=-a 21.2 二次根式的乘除(3) 第三課時 教學內容 最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進行二次根式的化簡運算． 教學目標 理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式． 通過計算或化簡的結果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據(jù)它的特點來檢驗最后結果是否滿足最簡二次根式的要求． 重難點關鍵 1．重點：最簡二次根式的運用． 2．難點關鍵：會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式． 教學過程 一、復習引入 （學生活動）請同學們完成下列各題（請三位同學上臺板書） 1．計算（1），（2），（3） 老師點評：=，=，= 2．現(xiàn)在我們來看本章引言中的問題：如果兩個電視塔的高分別是h1km，h2km，那么它們的傳播半徑的比是_________． 它們的比是． 二、探索新知 觀察上面計算題1的最后結果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個特點： 1．被開方數(shù)不含分母； 2．被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式． 我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式． 那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡二次根式． 學生分組討論，推薦3～4個人到黑板上板書． 老師點評：不是． =. 例1．(1) ; (2) ; (3) 例2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的長． 解：因為AB2=AC2+BC2 所以AB===6.5（cm） 因此AB的長為6.5cm． 三、鞏固練習 教材P14 練習2、3 四、應用拓展 例3．觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式： ==-1， ==-， 同理可得：=-，…… 從計算結果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算 （+++……）（+1）的值． 分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達到化簡的目的． 解：原式=（-1+-+-+……+-）（+1） =（-1）（+1） =xx-1=xx 五、歸納小結 本節(jié)課應掌握：最簡二次根式的概念及其運用． 六、布置作業(yè) 1．教材P15 習題21．2 3、7、10． 2．選用課時作業(yè)設計． 第三課時作業(yè)設計 一、選擇題 1．如果（y>0）是二次根式，那么，化為最簡二次根式是（ ）． A．（y>0） B．（y>0） C．（y>0） D．以上都不對 2．把（a-1）中根號外的（a-1）移入根號內得（ ）． A． B． C．- D．- 3．在下列各式中，化簡正確的是（ ） A．=3 B．= C．=a2 D． =x 4．化簡的結果是（ ） A．- B．- C．- D．- 二、填空題 1．化簡=_________．（x≥0） 2．a(chǎn)化簡二次根式號后的結果是_________． 三、綜合提高題 1．已知a為實數(shù)，化簡：-a，閱讀下面的解答過程，請判斷是否正確？若不正確，請寫出正確的解答過程： 解：-a=a-a=（a-1） 2．若x、y為實數(shù)，且y=，求的值． 答案: 一、1．C 2．D 3.C 4.C 二、1．x 2．- 三、1．不正確，正確解答： 因為，所以a<0， 原式＝-a=-a=-a+=(1-a) 2．∵ ∴x-4=0，∴x=2，但∵x+2≠0，∴x=2，y= ∴ . 21.3 二次根式的加減(1) 第一課時 教學內容 二次根式的加減 教學目標 理解和掌握二次根式加減的方法． 先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加減的方法的理解．再總結經(jīng)驗，用它來指導根式的計算和化簡． 重難點關鍵 1．重點：二次根式化簡為最簡根式． 2．難點關鍵：會判定是否是最簡二次根式． 教學過程 一、復習引入 學生活動：計算下列各式． （1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3 教師點評：上面題目的結果，實際上是我們以前所學的同類項合并．同類項合并就是字母不變，系數(shù)相加減． 二、探索新知 學生活動：計算下列各式． （1）2+3 （2）2-3+5 （3）+2+3 （4）3-2+ 老師點評： （1）如果我們把當成x，不就轉化為上面的問題嗎？ 2+3=（2+3）=5 （2）把當成y； 2-3+5=（2-3+5）=4=8 （3）把當成z； +2+ =2+2+3=（1+2+3）=6 （4）看為x，看為y． 3-2+ =（3-2）+ =+ 因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如2與表面上看是不相同的，但它們可以合并嗎？可以的． （板書）3+=3+2=5 3+=3+3=6 所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并． 例1．計算 （1）+ （2）+ 分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進行合并． 解：（1）+=2+3=（2+3）=5 （2）+=4+8=（4+8）=12 例2．計算 （1）3-9+3 （2）（+）+（-） 解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15 （2）（+）+（-）=++- =4+2+2-=6+ 三、鞏固練習 教材P19 練習1、2． 四、應用拓展 例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值． 分析：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3．其次，根據(jù)二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合并同類二次根式，最后代入求值． 解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0 ∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0 ∴（2x-1）2+（y-3）2=0 ∴x=，y=3 原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5 =x+6 當x=，y=3時， 原式=+6=+3 五、歸納小結 本節(jié)課應掌握：（1）不是最簡二次根式的，應化成最簡二次根式；（2）相同的最簡二次根式進行合并． 六、布置作業(yè) 1．教材P21 習題21．3 1、2、3、5． 2．選作課時作業(yè)設計． 第一課時作業(yè)設計 一、選擇題 1．以下二次根式：①；②；③；④中，與是同類二次根式的是（ ）． A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中錯誤的有（ ）． A．3個 B．2個 C．1個 D．0個 二、填空題 1．在、、、、、3、-2中，與是同類二次根式的有________． 2．計算二次根式5-3-7+9的最后結果是________． 三、綜合提高題 1．已知≈2.236，求（-）-（+）的值．（結果精確到0.01） 2．先化簡，再求值． （6x+）-（4x+），其中x=，y=27． 答案: 一、1．C 2．A 二、1． 2．6-2 三、1．原式=4---=≈2.236≈0.45 2．原式=6+3-（4+6）=（6+3-4-6）=-， 當x=，y=27時，原式=-=- 21.3 二次根式的加減(2) 第二課時 教學內容 利用二次根式化簡的數(shù)學思想解應用題． 教學目標 運用二次根式、化簡解應用題． 通過復習，將二次根式化成被開方數(shù)相同的最簡二次根式，進行合并后解應用題． 重難點關鍵 講清如何解答應用題既是本節(jié)課的重點，又是本節(jié)課的難點、關鍵點． 教學過程 一、復習引入 上節(jié)課，我們已經(jīng)講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步驟：第一步，先將二次根式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，下面我們講三道例題以做鞏固． 二、探索新知 例1．如圖所示的Rt△ABC中，∠B=90，點P從點B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C移動．問：幾秒后△PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結果用最簡二次根式表示） 分析：設x秒后△PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根據(jù)三角形面積公式就可以求出x的值． 解：設x 后△PBQ的面積為35平方厘米． 則有PB=x，BQ=2x 依題意，得：x2x=35 x2=35 x= 所以秒后△PBQ的面積為35平方厘米． PQ==5 答：秒后△PBQ的面積為35平方厘米，PQ的距離為5厘米． 例2．要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）？ 分析：此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材，只需知道這四段的長度． 解：由勾股定理，得 AB==2 BC== 所需鋼材長度為 AB+BC+AC+BD =2++5+2 =3+7 ≈32.24+7≈13.7（m） 答：要焊接一個如圖所示的鋼架，大約需要13.7m的鋼材． 三、鞏固練習 教材P19 練習3 四、應用拓展 例3．若最簡根式與根式是同類二次根式，求a、b的值．（同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式） 分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同；事實上，根式不是最簡二次根式，因此把化簡成|b|，才由同類二次根式的定義得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b． 解：首先把根式化為最簡二次根式： ==|b| 由題意得 ∴ ∴a=1，b=1 五、歸納小結 本節(jié)課應掌握運用最簡二次根式的合并原理解決實際問題． 六、布置作業(yè) 1．教材P21 習題21．3 7． 2．選用課時作業(yè)設計． 作業(yè)設計 一、選擇題 1．已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和5，那么斜邊的長應為（ ）．（結果用最簡二次根式） A．5 B． C．2 D．以上都不對 2．小明想自己釘一個長與寬分別為30cm和20cm的長方形的木框，為了增加其穩(wěn)定性，他沿長方形的對角線又釘上了一根木條，木條的長應為（ ）米．（結果同最簡二次根式表示） A．13 B． C．10 D．5 二、填空題 1．某地有一長方形魚塘，已知魚塘的長是寬的2倍，它的面積是1600m2，魚塘的寬是_______m．（結果用最簡二次根式） 2．已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為，那么這個等腰直角三角形的周長是________．（結果用最簡二次根式） 三、綜合提高題 1．若最簡二次根式與是同類二次根式，求m、n的值． 2．同學們，我們以前學過完全平方公式a22ab+b2=（ab）2，你一定熟練掌握了吧!現(xiàn)在，我們又學習了二次根式，那么所有的正數(shù)（包括0）都可以看作是一個數(shù)的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是誰的二次根式呢？下面我們觀察： （-1）2=（）2-21+12=2-2+1=3-2 反之，3-2=2-2+1=（-1）2 ∴3-2=（-1）2 ∴=-1 求：（1）； （2）； （3）你會算嗎？ （4）若=，則m、n與a、b的關系是什么？并說明理由． 答案: 一、1．A 2．C 二、1．20 2．2+2 三、1．依題意，得 ， ， 所以或 或 或 2．（1）==+1 （2）==+1 （3）==-1 （4） 理由：兩邊平方得a2=m+n2 所以 21.3 二次根式的加減(3) 第三課時 教學內容 含有二次根式的單項式與單項式相乘、相除；多項式與單項式相乘、相除；多項式與多項式相乘、相除；乘法公式的應用． 教學目標 含有二次根式的式子進行乘除運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應用． 復習整式運算知識并將該知識運用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運算． 重難點關鍵 重點：二次根式的乘除、乘方等運算規(guī)律； 難點關鍵：由整式運算知識遷移到含二次根式的運算． 教學過程 一、復習引入 學生活動：請同學們完成下列各題: 1．計算 （1）（2x+y）zx （2）（2x2y+3xy2）xy 2．計算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 老師點評：這些內容是對八年級上冊整式運算的再現(xiàn)．它主要有（1）單項式單項式；（2）單項式多項式；（3）多項式單項式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的運用． 二、探索新知 如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運算規(guī)律是否仍成立呢？仍成立． 整式運算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當然也可以代表二次根式，所以，整式中的運算規(guī)律也適用于二次根式． 例1．計算: （1）（+） （2）（4-3）2 分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運算規(guī)律，所以直接可用整式的運算規(guī)律． 解：（1）（+）=+ =+=3+2 解：（4-3）2=42-32 =2- 例2．計算 （1）（+6）（3-） （2）（+）（-） 分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中仍然成立． 解：（1）（+6）（3-） =3-（）2+18-6 =13-3 （2）（+）（-）=（）2-（）2 =10-7=3 三、鞏固練習 課本P20練習1、2． 四、應用拓展 例3．已知=2-，其中a、b是實數(shù)，且a+b≠0， 化簡+，并求值． 分析：由于（+）（-）=1，因此對代數(shù)式的化簡，可先將分母有理化，再通過解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到x的值，代入化簡得結果即可． 解：原式=+ =+ =（x+1）+x-2+x+2 =4x+2 ∵=2- ∴b（x-b）=2ab-a（x-a） ∴bx-b2=2ab-ax+a2 ∴（a+b）x=a2+2ab+b2 ∴（a+b）x=（a+b）2 ∵a+b≠0 ∴x=a+b ∴原式=4x+2=4（a+b）+2 五、歸納小結 本節(jié)課應掌握二次根式的乘、除、乘方等運算． 六、布置作業(yè) 1．教材P21 習題21．3 1、8、9． 2．選用課時作業(yè)設計． 作業(yè)設計 一、選擇題 1．（-3+2）的值是（ ）． A．-3 B．3- C．2- D．- 2．計算（+）（-）的值是（ ）． A．2 B．3 C．4 D．1 二、填空題 1．（-+）2的計算結果（用最簡根式表示）是________． 2．（1-2）（1+2）-（2-1）2的計算結果（用最簡二次根式表示）是_______． 3．若x=-1，則x2+2x+1=________． 4．已知a=3+2，b=3-2，則a2b-ab2=_________． 三、綜合提高題 1．化簡 2．當x=時，求+的值．（結果用最簡二次根式表示） 課外知識 1．同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，它們的被開方數(shù)相同，這些二次根式就稱為同類二次根式，就是本書中所講的被開方數(shù)相同的二次根式． 練習：下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（ ）． A．與 B．與 C．與 D．與 2．互為有理化因式：互為有理化因式是指兩個二次根式的乘積可以運用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同時它們的積是有理數(shù)，不含有二次根式：如x+1-與x+1+就是互為有理化因式；與也是互為有理化因式． 練習：+的有理化因式是________； x-的有理化因式是_________． --的有理化因式是_______． 3．分母有理化是指把分母中的根號化去，通常在分子、分母上同乘以一個二次根式，達到化去分母中的根號的目的． 練習：把下列各式的分母有理化 （1）； （2）； （3）； （4）． 4．其它材料：如果n是任意正整數(shù)，那么=n 理由：==n 練習：填空=_______；=________；=_______． 答案: 一、1．A 2．D 二、1．1- 2．4-24 3．2 4．4 三、1．原式＝ == =-（-）=- 2．原式＝ === 2（2x+1） ∵x==+1 原式＝2（2+3）=4+6.