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一、公式法 必會的乘法公式 【公式1】 【公式2】(立方和公式) 【公式3】(立方差公式) 【公式4】 【公式5】 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多項式： (1) (2) 【例2】分解因式：(1) (2) 二、分組分解法 從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式．而對于四項以上的多項式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取．因此，可以先將多項式分組處理．這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組． 1．分組后能提取公因式 【例3】把分解因式． 【例4】把分解因式． 2．分組后能直接運用公式 【例5】把分解因式． 【例6】把分解因式． 十字相乘法分解因式 1．二次三項式 （1）多項式，稱為字母 的二次三項式，其中 稱為二次項， 為一次項， 為常數(shù)項． 例如：和都是關(guān)于x的二次三項式． （2）在多項式中，如果把 看作常數(shù)，就是關(guān)于 的二次三項式；如果把 看作常數(shù)，就是關(guān)于 的二次三項式． （3）在多項式中，把 看作一個整體，即 ，就是關(guān)于 的二次三項式．同樣，多項式，把 看作一個整體，就是關(guān)于 的二次三項式． 2．十字相乘法的依據(jù)和具體內(nèi)容 (1)對于二次項系數(shù)為1的二次三項式 方法的特征是“拆常數(shù)項，湊一次項” 當(dāng)常數(shù)項為正數(shù)時，把它分解為兩個同號因數(shù)的積，因式的符號與一次項系數(shù)的符號相同； 當(dāng)常數(shù)項為負(fù)數(shù)時，把它分解為兩個異號因數(shù)的積，其中絕對值較大的因數(shù)的符號與一次項系數(shù)的符號相同． (2)對于二次項系數(shù)不是1的二次三項式 大家知道，． 反過來，就得到： 我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行． 十字相乘法的要領(lǐng)是：“頭尾分解，交叉相乘，求和湊中，觀察試驗”。 這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解． 它的特征是“拆兩頭，湊中間” 當(dāng)二次項系數(shù)為負(fù)數(shù)時，先提出負(fù)號，使二次項系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項； 常數(shù)項為正數(shù)時，應(yīng)分解為兩同號因數(shù)，它們的符號與一次項系數(shù)的符號相同； 常數(shù)項為負(fù)數(shù)時，應(yīng)將它分解為兩異號因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對值較大的一組與一次項系數(shù)的符號相同 注意：用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯誤出現(xiàn)：一是沒有認(rèn)真地驗證交叉相乘的兩個積的和是否等于一次項系數(shù)；二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母． 【例1】把下列各式因式分解： (1) (2) (3) (4) (5) (6) ①豎分二次項與常數(shù)項 ②交叉相乘，和相加 ③檢驗確定，橫寫因式 順口溜： 豎分常數(shù)交叉驗， 橫寫因式不能亂 例2、因式分解與系數(shù)的關(guān)系 若多項式a2+ka+16能分解成兩個系數(shù)是整數(shù)的一次因式的積，則整數(shù)k可取的值有( ) A.5個 B.6個 C.8個 D.4個 分析：因為二次項系數(shù)為1，所以原式可分解為(a+m)(a+n)的形式，其中mn=16，k=m+n，所以整數(shù)k可取值的個數(shù)取決于式子mn=16的情況.(其中m、n為整數(shù)) 因為16=2×8，16=(-2)×(-8) 16=4×4，16=(-4)×(-4) 16=1×16，16=(-1)×(-16) 所以k=±10，±8，±16 答案：B 2．一般二次三項式型的因式分解 【例2把下列各式因式分解： (1) (2) 說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要．當(dāng)二次項系數(shù)不是1時較困難，具體分解時，為提高速度，可先對有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法”湊”，看是否符合一次項系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號． 練習(xí)1：分解因式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 練習(xí)2分解因式 (1)； (2)； (3)． 4、．5 ． 6 ．7 ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)． 三、十字相乘與其它知識綜合 例1.分組分解后再用十字相乘 把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式 解：原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15 =2(x-2y)2-11(x-2y)+15 =[(x-2y)-3][2(x-2y)-5] =(x-2y-3)(2x-4y-5) 說明：分組后運用十字相乘進(jìn)行因式分解，分組的原則一般是二次項一組，一次項一組，常數(shù)項一組.本題通過這樣分組就化為關(guān)于(x-2y)的二次三項式，利用十字相乘法完成因式分解. 例2.換元法與十字相乘法 把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式 分析：觀察式子特點，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別相同，把(x2+x)看成一個“字母”，把這個式子展開，就可以得到關(guān)于(x2+x)的一個二次三項式(或設(shè)x2+x=u，將原式化為(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，則更為直觀)再利用十字相乘法進(jìn)行因式分解. 解：(x2+x+1)(x2+x+2)-6 =[(x2+x)+1][(x2+x)+2]-6 =(x2+x)2+3(x2+x)-4 =(x2+x+4)(x2+x-1) 說明：本題結(jié)果中的兩個二次三項式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解了，若能分解一定要繼續(xù)分解， 例3、 把10x2-27xy-28y2-x+25y-3分解因式 分析：在本題中，要把這個多項式整理成二次三項式的形式 解法一、10x2-27xy-28y2-x+25y-3 =10x2-（27y+1）x -（28y2-25y+3） 4y -3 7y ╳ -1 =10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） 2 -（7y – 1） 5 ╳ 4y - 3 =[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] =（2x -7y +1）（5x +4y -3） 說明：在本題中先把28y2-25y+3用十字相乘法分解為（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解為：[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 解法二、10x2-27xy-28y2-x+25y-3 2 -7y 5 ╳ 4y =（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 x -7y 1 5 x +4y ╳ -3 =[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3] =（2x -7y+1）（5x +4y -3） 說明:在本題中先把10x2-27xy-28y2用十字相乘法分解為（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解為[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3]. (試比一下“分組分解”與“十字相乘”適用的題目的類型特點，從各項的次冪的次數(shù)及各項系數(shù)去分析) 例4.因式分解與十字相乘法 已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12 求：x2+y2的值 解：(x2+y2)(x2-1+y2)=12 (x2+y2)[(x2+y2)-1]-12=0 (x2+y2)2-(x2+y2)-12=0 [(x2+y2)-4][(x2+y2)+3]=0 ∵x2+y2≥0 例5 把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 點悟：(1)把看作一整體，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次三項式； (2)提取公因式(x＋y)后，原式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于(x＋y)的二次三項式； (3)以為整體，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次三項式． 解：(1) ＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)． (2) ＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2] ＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)． (3) 點撥：要深刻理解換元的思想，這可以幫助我們及時、準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)多項式中究竟把哪一個看成整體，才能構(gòu)成二次三項式，以順利地進(jìn)行分解．同時要注意已分解的兩個因式是否能繼續(xù)分解，如能分解，要分解到不能再分解為止． 例6 分解因式：． 點悟：把看作一個變量，利用換元法解之． 解：設(shè)，則 原式＝(y－3)(y－24)＋90 ＝(y－18)(y－9) ． 點撥：本題中將視為一個整體大大簡化了解題過程，體現(xiàn)了換元法化簡求解的良好效果．此外，一步，我們用了“十字相乘法”進(jìn)行分解． 例7 分解因式． 點悟：可考慮換元法及變形降次來解之． 解：原式 ， 令，則 原式 ． 點撥：本題連續(xù)應(yīng)用了“十字相乘法”分解因式的同時，還應(yīng)用了換元法，方法巧妙，令人眼花瞭亂．但是，品味之余應(yīng)想到對換元后得出的結(jié)論一定要“還原”，這是一個重要環(huán)節(jié)． 例8：解關(guān)于x方程：x2- 3ax + 2a2–ab -b2=0 分析：2a2–ab-b2可以用十字相乘法進(jìn)行因式分解 解：x2- 3ax + 2a2–ab -b2=0 x2- 3ax +（2a2–ab - b2）=0 1 -b 2 ╳ +b x2- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -（2a+b） 1 ╳ -（a-b） [x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 所以 x1=2a+b x2=a-b 例9 已知有一個因式是，求a值和這個多項式的其他因式． 點悟：因為是四次多項式，有一個因式是，根據(jù)多項式的乘法原則可知道另一個因式是（a、b是待定常數(shù)），故有．根據(jù)此恒等關(guān)系式，可求出a，b的值． 解：設(shè)另一個多項式為，則 ， ∵ 與是同一個多項式，所以其對應(yīng)項系數(shù)分別相等．即有 由①、③解得，a＝－1，b＝1， 代入②，等式成立． ∴ a＝－1，另一個因式為． 點撥：這種方法稱為待定系數(shù)法，是很有用的方法．待定系數(shù)法、配方法、換元法是因式分解較為常用的方法，在其他數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中也經(jīng)常運用．希望讀者不可輕視． 練習(xí)3、1、已知有一個因式是，求a值和這個多項式的其他因式． 2、若x－y＝6，，則代數(shù)式的值為__________． 提高版 練習(xí)1、把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 練習(xí)2、 (1)； (2)； (3)； (4)；(5)；(6)． 練習(xí)3．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，，求a的值． 四、其它因式分解的方法 1．配方法 【例11】分解因式 解： 說明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項式化為兩個平方式，然后用平方差公式分解．當(dāng)然，本題還有其它方法，請大家試驗． 2．拆、添項法 【例12】分解因式 分析：此多項式顯然不能直接提取公因式或運用公式，分組也不易進(jìn)行．細(xì)查式中無一次項，如果它能分解成幾個因式的積，那么進(jìn)行乘法運算時，必是把一次項系數(shù)合并為0了，可考慮通過添項或拆項解決． 解： 說明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項式分成兩組，滿足系數(shù)對應(yīng)成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件．本題還可以將拆成，將多項式分成兩組和． 一般地，把一個多項式因式分解，可以按照下列步驟進(jìn)行： (1) 如果多項式各項有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各項沒有公因式，那么可以嘗試運用公式來分解； (3) 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)來分解； (4) 分解因式，必須進(jìn)行到每一個多項式因式都不能再分解為止． A 組 1．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) 3．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 4．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 5．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) B 組 1．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) 2．已知，求代數(shù)式的值． 3．證明：當(dāng)為大于2的整數(shù)時，能被120整除． 4．已知，求證：． 第二講 因式分解答案 A組 1． 2． 3． 4． 5． ． B組 1． ． 2． 3． 4． 三、強(qiáng)化練習(xí) 1.把下列各式分解因式 (1)x-x2+42 (2) (3)a2n+a4n-2a6n (4)(x-y)2+3(x2-y2)-4(x+y)2 (5)x2-xy-2y2-x-y 2.已知：x2+xy-2y2=7,求：整數(shù)x、y的值 3．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，，求a的值． 答案與提示：1.(1)-(x-7)(x+6) (2) (3)-a2n(an+1)(an-1)(2a2n+1) (4)-2y(5x+3y) 提示：可分別把(x-y)和(x+y)各看成一個“字母”，如設(shè)x-y=m，x+y=n，則原式化為m2+3mn-4n2 (5)(x+y)(x-2y-1) 提示：可參考“疑難精講例3” 2. 提示：將已知條件的左邊分解因式得： (x+2y)(x-y)=7 ∵x、y都為整數(shù) ∴有 3∵ ， 又∵ ，xy＝a＋4， ，∴ ， 解之得，a＝－7． 11 / 11