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一、公式法 必會(huì)的乘法公式 【公式1】 【公式2】(立方和公式) 【公式3】(立方差公式) 【公式4】 【公式5】 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多項(xiàng)式： (1) (2) 【例2】分解因式：(1) (2) 二、分組分解法 從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式．而對(duì)于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如既沒(méi)有公式可用，也沒(méi)有公因式可以提?。虼耍梢韵葘⒍囗?xiàng)式分組處理．這種利用分組來(lái)因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組． 1．分組后能提取公因式 【例3】把分解因式． 【例4】把分解因式． 2．分組后能直接運(yùn)用公式 【例5】把分解因式． 【例6】把分解因式． 十字相乘法分解因式 1．二次三項(xiàng)式 （1）多項(xiàng)式，稱為字母 的二次三項(xiàng)式，其中 稱為二次項(xiàng)， 為一次項(xiàng)， 為常數(shù)項(xiàng)． 例如：和都是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式． （2）在多項(xiàng)式中，如果把 看作常數(shù)，就是關(guān)于 的二次三項(xiàng)式；如果把 看作常數(shù)，就是關(guān)于 的二次三項(xiàng)式． （3）在多項(xiàng)式中，把 看作一個(gè)整體，即 ，就是關(guān)于 的二次三項(xiàng)式．同樣，多項(xiàng)式，把 看作一個(gè)整體，就是關(guān)于 的二次三項(xiàng)式． 2．十字相乘法的依據(jù)和具體內(nèi)容 (1)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式 方法的特征是“拆常數(shù)項(xiàng)，湊一次項(xiàng)” 當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)的積，因式的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同； 當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)異號(hào)因數(shù)的積，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同． (2)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式 大家知道，． 反過(guò)來(lái)，就得到： 我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，把寫(xiě)成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行． 十字相乘法的要領(lǐng)是：“頭尾分解，交叉相乘，求和湊中，觀察試驗(yàn)”。 這種借助畫(huà)十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解． 它的特征是“拆兩頭，湊中間” 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，先提出負(fù)號(hào)，使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項(xiàng)； 常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同； 常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)將它分解為兩異號(hào)因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對(duì)值較大的一組與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同 注意：用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯(cuò)誤出現(xiàn)：一是沒(méi)有認(rèn)真地驗(yàn)證交叉相乘的兩個(gè)積的和是否等于一次項(xiàng)系數(shù)；二是由十字相乘寫(xiě)出的因式漏寫(xiě)字母． 【例1】把下列各式因式分解： (1) (2) (3) (4) (5) (6) ①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng) ②交叉相乘，和相加 ③檢驗(yàn)確定，橫寫(xiě)因式 順口溜： 豎分常數(shù)交叉驗(yàn)， 橫寫(xiě)因式不能亂 例2、因式分解與系數(shù)的關(guān)系 若多項(xiàng)式a2+ka+16能分解成兩個(gè)系數(shù)是整數(shù)的一次因式的積，則整數(shù)k可取的值有( ) A.5個(gè) B.6個(gè) C.8個(gè) D.4個(gè) 分析：因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為1，所以原式可分解為(a+m)(a+n)的形式，其中mn=16，k=m+n，所以整數(shù)k可取值的個(gè)數(shù)取決于式子mn=16的情況.(其中m、n為整數(shù)) 因?yàn)?6=2×8，16=(-2)×(-8) 16=4×4，16=(-4)×(-4) 16=1×16，16=(-1)×(-16) 所以k=±10，±8，±16 答案：B 2．一般二次三項(xiàng)式型的因式分解 【例2把下列各式因式分解： (1) (2) 說(shuō)明：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要．當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困難，具體分解時(shí)，為提高速度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法”湊”，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào)． 練習(xí)1：分解因式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 練習(xí)2分解因式 (1)； (2)； (3)． 4、．5 ． 6 ．7 ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)． 三、十字相乘與其它知識(shí)綜合 例1.分組分解后再用十字相乘 把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式 解：原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15 =2(x-2y)2-11(x-2y)+15 =[(x-2y)-3][2(x-2y)-5] =(x-2y-3)(2x-4y-5) 說(shuō)明：分組后運(yùn)用十字相乘進(jìn)行因式分解，分組的原則一般是二次項(xiàng)一組，一次項(xiàng)一組，常數(shù)項(xiàng)一組.本題通過(guò)這樣分組就化為關(guān)于(x-2y)的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法完成因式分解. 例2.換元法與十字相乘法 把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式 分析：觀察式子特點(diǎn)，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別相同，把(x2+x)看成一個(gè)“字母”，把這個(gè)式子展開(kāi)，就可以得到關(guān)于(x2+x)的一個(gè)二次三項(xiàng)式(或設(shè)x2+x=u，將原式化為(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，則更為直觀)再利用十字相乘法進(jìn)行因式分解. 解：(x2+x+1)(x2+x+2)-6 =[(x2+x)+1][(x2+x)+2]-6 =(x2+x)2+3(x2+x)-4 =(x2+x+4)(x2+x-1) 說(shuō)明：本題結(jié)果中的兩個(gè)二次三項(xiàng)式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解了，若能分解一定要繼續(xù)分解， 例3、 把10x2-27xy-28y2-x+25y-3分解因式 分析：在本題中，要把這個(gè)多項(xiàng)式整理成二次三項(xiàng)式的形式 解法一、10x2-27xy-28y2-x+25y-3 =10x2-（27y+1）x -（28y2-25y+3） 4y -3 7y ╳ -1 =10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） 2 -（7y – 1） 5 ╳ 4y - 3 =[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] =（2x -7y +1）（5x +4y -3） 說(shuō)明：在本題中先把28y2-25y+3用十字相乘法分解為（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解為：[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 解法二、10x2-27xy-28y2-x+25y-3 2 -7y 5 ╳ 4y =（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 x -7y 1 5 x +4y ╳ -3 =[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3] =（2x -7y+1）（5x +4y -3） 說(shuō)明:在本題中先把10x2-27xy-28y2用十字相乘法分解為（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解為[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3]. (試比一下“分組分解”與“十字相乘”適用的題目的類型特點(diǎn)，從各項(xiàng)的次冪的次數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)去分析) 例4.因式分解與十字相乘法 已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12 求：x2+y2的值 解：(x2+y2)(x2-1+y2)=12 (x2+y2)[(x2+y2)-1]-12=0 (x2+y2)2-(x2+y2)-12=0 [(x2+y2)-4][(x2+y2)+3]=0 ∵x2+y2≥0 例5 把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 點(diǎn)悟：(1)把看作一整體，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次三項(xiàng)式； (2)提取公因式(x＋y)后，原式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于(x＋y)的二次三項(xiàng)式； (3)以為整體，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次三項(xiàng)式． 解：(1) ＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)． (2) ＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2] ＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)． (3) 點(diǎn)撥：要深刻理解換元的思想，這可以幫助我們及時(shí)、準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式中究竟把哪一個(gè)看成整體，才能構(gòu)成二次三項(xiàng)式，以順利地進(jìn)行分解．同時(shí)要注意已分解的兩個(gè)因式是否能繼續(xù)分解，如能分解，要分解到不能再分解為止． 例6 分解因式：． 點(diǎn)悟：把看作一個(gè)變量，利用換元法解之． 解：設(shè)，則 原式＝(y－3)(y－24)＋90 ＝(y－18)(y－9) ． 點(diǎn)撥：本題中將視為一個(gè)整體大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，體現(xiàn)了換元法化簡(jiǎn)求解的良好效果．此外，一步，我們用了“十字相乘法”進(jìn)行分解． 例7 分解因式． 點(diǎn)悟：可考慮換元法及變形降次來(lái)解之． 解：原式 ， 令，則 原式 ． 點(diǎn)撥：本題連續(xù)應(yīng)用了“十字相乘法”分解因式的同時(shí)，還應(yīng)用了換元法，方法巧妙，令人眼花瞭亂．但是，品味之余應(yīng)想到對(duì)換元后得出的結(jié)論一定要“還原”，這是一個(gè)重要環(huán)節(jié)． 例8：解關(guān)于x方程：x2- 3ax + 2a2–ab -b2=0 分析：2a2–ab-b2可以用十字相乘法進(jìn)行因式分解 解：x2- 3ax + 2a2–ab -b2=0 x2- 3ax +（2a2–ab - b2）=0 1 -b 2 ╳ +b x2- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -（2a+b） 1 ╳ -（a-b） [x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 所以 x1=2a+b x2=a-b 例9 已知有一個(gè)因式是，求a值和這個(gè)多項(xiàng)式的其他因式． 點(diǎn)悟：因?yàn)槭撬拇味囗?xiàng)式，有一個(gè)因式是，根據(jù)多項(xiàng)式的乘法原則可知道另一個(gè)因式是（a、b是待定常數(shù)），故有．根據(jù)此恒等關(guān)系式，可求出a，b的值． 解：設(shè)另一個(gè)多項(xiàng)式為，則 ， ∵ 與是同一個(gè)多項(xiàng)式，所以其對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)分別相等．即有 由①、③解得，a＝－1，b＝1， 代入②，等式成立． ∴ a＝－1，另一個(gè)因式為． 點(diǎn)撥：這種方法稱為待定系數(shù)法，是很有用的方法．待定系數(shù)法、配方法、換元法是因式分解較為常用的方法，在其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中也經(jīng)常運(yùn)用．希望讀者不可輕視． 練習(xí)3、1、已知有一個(gè)因式是，求a值和這個(gè)多項(xiàng)式的其他因式． 2、若x－y＝6，，則代數(shù)式的值為_(kāi)_________． 提高版 練習(xí)1、把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 練習(xí)2、 (1)； (2)； (3)； (4)；(5)；(6)． 練習(xí)3．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，，求a的值． 四、其它因式分解的方法 1．配方法 【例11】分解因式 解： 說(shuō)明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平方式，然后用平方差公式分解．當(dāng)然，本題還有其它方法，請(qǐng)大家試驗(yàn)． 2．拆、添項(xiàng)法 【例12】分解因式 分析：此多項(xiàng)式顯然不能直接提取公因式或運(yùn)用公式，分組也不易進(jìn)行．細(xì)查式中無(wú)一次項(xiàng)，如果它能分解成幾個(gè)因式的積，那么進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，必是把一次項(xiàng)系數(shù)合并為0了，可考慮通過(guò)添項(xiàng)或拆項(xiàng)解決． 解： 說(shuō)明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項(xiàng)式分成兩組，滿足系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件．本題還可以將拆成，將多項(xiàng)式分成兩組和． 一般地，把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解，可以按照下列步驟進(jìn)行： (1) 如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式來(lái)分解； (3) 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)來(lái)分解； (4) 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止． A 組 1．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) 3．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 4．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 5．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) B 組 1．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) 2．已知，求代數(shù)式的值． 3．證明：當(dāng)為大于2的整數(shù)時(shí)，能被120整除． 4．已知，求證：． 第二講 因式分解答案 A組 1． 2． 3． 4． 5． ． B組 1． ． 2． 3． 4． 三、強(qiáng)化練習(xí) 1.把下列各式分解因式 (1)x-x2+42 (2) (3)a2n+a4n-2a6n (4)(x-y)2+3(x2-y2)-4(x+y)2 (5)x2-xy-2y2-x-y 2.已知：x2+xy-2y2=7,求：整數(shù)x、y的值 3．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，，求a的值． 答案與提示：1.(1)-(x-7)(x+6) (2) (3)-a2n(an+1)(an-1)(2a2n+1) (4)-2y(5x+3y) 提示：可分別把(x-y)和(x+y)各看成一個(gè)“字母”，如設(shè)x-y=m，x+y=n，則原式化為m2+3mn-4n2 (5)(x+y)(x-2y-1) 提示：可參考“疑難精講例3” 2. 提示：將已知條件的左邊分解因式得： (x+2y)(x-y)=7 ∵x、y都為整數(shù) ∴有 3∵ ， 又∵ ，xy＝a＋4， ，∴ ， 解之得，a＝－7． 11 / 11