《（新課標）2021版高考數學一輪總復習 第二章 函數 第10講 對數與對數函數導學案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（新課標）2021版高考數學一輪總復習 第二章 函數 第10講 對數與對數函數導學案 新人教A版（11頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第10講　對數與對數函數 【課程要求】 1．理解對數的概念，掌握指數與對數的相互轉化，會運用指數、對數運算法則進行有關運算． 2．掌握對數函數的定義、圖象和性質及其應用． 3．掌握以對數函數為載體的復合函數的有關性質． 4．了解指數函數y＝ax與對數函數y＝logax互為反函數的關系(a>0且a≠1)． 對應學生用書p25 【基礎檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)若MN>0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (2)對數函數y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞

2、)上是增函數．(　　) (3)函數y＝ln與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同．(　　) (4)對數函數y＝logax(a>0且a≠1)的圖象過定點(1，0)且過點(a，1)，，函數圖象只在第一、四象限．(　　) [答案] (1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．[必修1p68T4]log29·log34·log45·log52＝____________． [解析]原式＝2log23·log34·log45·log52＝2····＝2. [答案]2 3．[必修1p82A組T6]已知a＝2－，b＝log2，c＝log，則a，b，c的大小關系為__________

3、__． [解析]∵01，∴c>a>b. [答案]c>a>b 4．[必修1p74A組T7]函數y＝的定義域是__________． [解析]由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1. ∴0，log5b＝a，lgb＝c，5d＝10，則下列等式一定成立的是(　　) A．d＝acB．a＝cd C．c＝adD．d＝a＋c [解析]由log5b＝a知b＝5a，由lgb＝c知c＝lg5a＝alg5，由5d＝10知d＝log510＝＝，∴cd＝alg5·＝a，故選B. [答案]B

4、 6．已知a>0，a≠1，函數y＝ax與y＝loga(－x)的圖象可能是(　　) [解析]函數y＝loga(－x)的圖象與y＝logax的圖象關于y軸對稱，符合條件的只有B. [答案]B 【知識要點】 1．對數 概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的__對數__，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數，logaN叫做對數式 性質 對數式與指數式的互化：ax＝N?__x＝logaN__ loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝__N__ 運算 法則 loga(M·N)＝__logaM＋logaN_

5、_ loga＝__logaM－logaN__ logaMn＝__nlogaM__(n∈R) a>0，且a≠1， M>0，N>0 換底 公式 換底公式：logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 2.對數函數的圖象與性質 函數 y＝logax(a＞0，且a≠1) 圖象 a＞1 0＜a＜1 圖象 特征 在y軸__右側__，過定點(1，0) 當x逐漸增大時，圖象是__上升__的 當x逐漸增大時，圖象是__下降__的 性 質 定義域 (0，＋∞) 值

6、域 R 單調性 在(0，＋∞)上是__增函數__ 在(0，＋∞)上是__減函數__ 函數值 變化 規(guī)律 當x＝1時，__y＝0__ 當x>1時，__y>0____；當01時，__y<0__；當00__ 3.反函數 指數函數y＝ax與對數函數y＝logax互為反函數，它們的圖象關于直線__y＝x__對稱． 【知識拓展】 1．換底公式的兩個重要結論 (1)logab＝； (2)logambn＝logab. 其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2．對數函

7、數的圖象與底數大小的比較 如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數，故0

8、中普通物質的原子總數N約為1080.則下列各數中與最接近的是(參考數據：lg3≈0.48)(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1033B．1053 C．1073D．1093 [解析]由題意，lg＝lg＝lg3361－lg1080 ＝361lg3－80lg10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg1033＝33，lg1053＝53，lg1073＝73，lg1093＝93， 故與最接近的是1093. 故選D. [答案]D [小結]對數運算的一般思路 (1)拆：首先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后利用對

9、數運算性質化簡合并． (2)合：將對數式化為同底數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算性質，轉化為同底對數真數的積、商、冪的運算． 1．設2a＝5b＝m，且＋＝2，則m等于(　　) A.B．10C．20D．100 [解析]由已知，得a＝log2m，b＝log5m， 則＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2. 解得m＝. [答案]A 2．已知函數f(x)＝則f(f(1))＋f的值是__________． [解析]因為f(1)＝log21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2. 因為log3＜0， 所以f＝3－log3＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3. 所

10、以f(f(1))＋f＝2＋3＝5. [答案]5 3．求值：2log3－log3－31＋log32＝________． [解析]2log3－log3－31＋log32 ＝2(log32－1)－(log34－3)－3log36 ＝2log32－2－2log32＋3－6 ＝－5. [答案]－5 對數函數的圖象及應用 例2　(1)函數f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的圖象大致為(　　) [解析]由函數f(x)的解析式可確定該函數為偶函數，圖象關于y軸對稱．設g(x)＝loga|x|，先畫出x>0時，g(x)的圖象，然后根據g(x)的圖象關于y軸對稱畫出x<0時g(

11、x)的圖象，最后由函數g(x)的圖象向上整體平移一個單位即得f(x)的圖象，結合圖象知選A. [答案]A (2)已知函數f(x)＝且關于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，則實數a的取值范圍是________． [解析]如圖，在同一坐標系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，其中a表示直線在y軸上的截距．由圖可知，當a>1時，直線y＝－x＋a與y＝log2x只有一個交點． [答案] (1，＋∞) [小結](1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數型函數，在求解其單調性(單調區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數形結合思想求解． (2)一些對數型方程、不

12、等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解． 4．已知函數y＝的圖象與函數y＝logax(a>0，a≠1)的圖象交于點P(x0，y0)，如果x0≥2，那么a的取值范圍是(　　) A．[2，＋∞) B．[4，＋∞) C．[8，＋∞) D．[16，＋∞) [解析]由已知中兩函數的圖象交于點P(x0，y0)，由指數函數的性質可知，若x0≥2，則01且≥x0≥2，解得a≥16. [答案]D 5．當0

13、，當01時，不符合題意，舍去． 所以實數a的取值范圍是. [答案]B 對數函數的性質及其應用 例3　(1)設a＝log412，b＝log515，c＝log618，則(　　) A．a>b>cB．b>c>a C．a>c>bD．c>b>a [解析]a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63， ∵log43

14、>log53>log63，∴a>b>c. [答案]A (2)若函數f(x)＝log2(x2－ax－3a)在區(qū)間(－∞，－2]上是減函數，則實數a的取值范圍是(　　) A．(－∞，4) B．(－4，4] C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4，4) [解析]由題意得x2－ax－3a>0在區(qū)間(－∞，－2]上恒成立且函數y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上單調遞減，則≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得實數a的取值范圍是[－4，4)，故選D. [答案]D (3)若函數f(x)＝loga(a>0，a≠1)在區(qū)間內恒有f(x)>0，則f(x)的單調遞增區(qū)間為(　　

15、) A．(0，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D. [解析]令M＝x2＋x，當x∈時，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函數y＝logaM為增函數，又M＝－， 因此M的單調遞增區(qū)間為. 又x2＋x>0，所以x>0或x<－， 所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，＋∞)． [答案]A [小結](1)在解決與對數函數相關的比較大小或解不等式問題時，要優(yōu)先考慮利用對數函數的單調性來求解．在利用單調性時，一定要明確底數a的取值對函數增減性的影響，及真數必須為正的限制條件． (2)對數函數性質的應用多用在復合函數的單調性上，即求形如y＝logaf(x)的復

16、合函數的單調區(qū)間，其一般步驟為：①求定義域，即滿足f(x)>0的x的取值集合；②將復合函數分解成基本初等函數y＝logau及u＝f(x)；③分別確定這兩個函數的單調區(qū)間；④若這兩個函數同增或同減，則y＝logaf(x)為增函數，若一增一減，則y＝logaf(x)為減函數，即“同增異減”． 例4　已知函數f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)當x∈[1，4]時，求函數h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2)如果對任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求實數k的取值范圍． [解析] (1)h(x)＝(4－2log2x)·log2

17、x＝－2(log2x－1)2＋2， 因為x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]， 故函數h(x)的值域為[0，2]． (2)由f(x2)·f()>k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x， 令t＝log2x，因為x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t對一切t∈[0，2]恒成立， ①當t＝0時，k∈R； ②當t∈(0，2]時，k<恒成立，即k<4t＋－15， 因為4t＋≥12，當且僅當4t＝，即t＝時取等號， 所以4t＋－15的最小值為－3. 綜上，實數k的取值范圍是(－∞，－3)． [小結]1

18、.無論題型如何變化，都是圍繞對數函數的單調性，變換不同的角度來應用．例3(1)是對數函數單調性的直接應用，利用單調性來比較大小、解不等式；例3(2)，(3)是對數函數單調性的遷移應用，根據單調性來求參數的范圍，所以弄清對數函數的單調性是解題的關鍵，并注意有時需對底數字母參數進行討論． 2．與對數型函數有關的恒成立問題多與其定義域和值域有關．對于函數y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)，若定義域為R，則f(x)＞0在R上恒成立；若值域為R，則f(x)能取遍所有正實數． 6．若實數a，b，c滿足loga2

19、B．b0，a≠1)的定義域、值域都是[1，2]，則a＋b＝________．

20、[解析]當01時，易知函數f(x)為增函數， 由題意有解得a＝2，b＝1，符合題意，此時a＋b＝3. 綜上可得：a＋b的值為或3. [答案]或3 對應學生用書p27 (2019·全國卷Ⅱ理)若a>b，則(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．ln(a－b)>0B．3a<3b C．a3－b3>0D．|a|>|b| [解析]取a＝2，b＝1，滿足a>b，但ln(a－b)＝0，則A錯，排除A； 由9＝32>31＝3，知B錯，排除B； 取a＝1，b＝－2，滿足a>b，但|1|<|－2|，則D錯，排除D； 因為冪函數y＝x3是增函數，a>b，所以a3>b3，即a3－b3>0，C正確． 故選C. [答案]C 11