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3.4.1　基本不等式的證明 教學(xué)目標(biāo)： 1．探索并了解基本不等式的證明； 2．體會證明不等式的基本思想方法； 3．能應(yīng)用基本不等式解決簡單的不等式證明問題． 教學(xué)重點： 基本不等式的證明． 教學(xué)難點： 基本不等式的證明． 教學(xué)過程： 一、問題情境，導(dǎo)入新課 口述：有一個珠寶商人，很多人到他那里買的東西回家一稱發(fā)現(xiàn)分量都有問題，于是向工商局投訴，工商局派人去調(diào)查，商人承認(rèn)他用的天平左右的桿長有問題，向人們提出一個調(diào)解方案，放左邊稱變重對人們不公平，放右邊稱變輕商人要虧本，那么用兩次稱重的平均值作為物品的實際重量，如果你是購買者，你接受他的方案嗎？ 問題1　你能不能把這個問題轉(zhuǎn)化成一個數(shù)學(xué)問題？ 珠寶放左邊稱砝碼顯示重量為a，放右邊稱砝碼顯示重量為b，假設(shè)天平的左杠桿長為l1，右杠桿長l2，那么這個珠寶的實際重量是多少？（會算嗎？用什么原理來算？你認(rèn)為珠寶商的方案合理嗎，那也就是 哪個大？） 問題2　 哪個大？（你估計一下哪個大？）（如果回答取值代，那么可以追問取一正一負(fù)行嗎？如果回答作差，可以追問你估計一下哪個大？） 二、學(xué)生活動 問題3　如何證明呢？ 請2個同學(xué)上黑板（巡視，有不同的解法讓他上黑板寫一下）． 證法一（比較法）：==， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取“=”． 證法二：要證 ， 只要證 ， 只要證 ， 只要證 因為最后一個不等式成立，所以 成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取“＝”． 證法三：對于正數(shù)，有 ， ， ， ． 先讓學(xué)生談一談證的對不對，他這個證明方法有什么特點？ 點評：回顧我們上面的證明過程，我們來看一下各種證法的特點： 證法一是比較法，比較法常用的就是作差將差值與零去比較； 證法二是分析法，分析法的特點是盯住我們要的目標(biāo)，尋找結(jié)論成立的條件； 證法三是綜合法，它們都是證明不等式的基本方法． （看來珠寶商還是多賺錢的，只有a＝b時才是一個守法的商人啊．） 三、建構(gòu)數(shù)學(xué) 定理：如果是實數(shù)且，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”）． 問題：對于這個定理你怎么認(rèn)識它？（結(jié)構(gòu)有什么特點?。砍闪⒌臈l件是什么？什么叫當(dāng)且僅當(dāng)??？） （上式中稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù)，兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于等于它們的幾何平均數(shù)，有的時候我們也把這個定理寫成）．要用這個定理首先兩個數(shù)必須都是非負(fù)數(shù)． 當(dāng)時，取“＝”，并且只有當(dāng)時，取“＝”，我們把這種等號成立的情況稱之為當(dāng)且僅當(dāng)． 四、數(shù)學(xué)運(yùn)用 例1　設(shè)是正數(shù)，證明下列不等式成立： （1） （2） （3） （先讓學(xué)生點評，對不對，關(guān)注格式與條件，他用什么方法來證明的？還有什么別的思路？） 點評：我們證明不等式通常有比較法，分析法，現(xiàn)在有了這個定理，也可以應(yīng)用它來證明 什么時候取等號？ 師：我們現(xiàn)在已經(jīng)對這個不等式有了一定的認(rèn)識了，你能不能從圖形的角度來認(rèn)識一下它呢？ 有線段AB長為a，線段BC長為b，你能找到和嗎？（一個學(xué)生講完了可以讓另一個學(xué)生再解釋一下） 例2 ?。?）已知函數(shù)，求此函數(shù)的最小值． 點評：什么是最小值，最小值就是大于等于一個數(shù)，你說大于等于2，那也大于等于1嘛，我能說最小值就是1嗎？ （2）已知函數(shù)，求此函數(shù)的最大值； （3）已知函數(shù)，求此函數(shù)的最小值． 五、回顧小結(jié) 回顧本節(jié)課，你對基本不等式有哪些認(rèn)識？