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1 誤差理論是專門從事研究有關測量誤差的科學理論 數據處理則是應用數學方法和計算工具對測量數據進行科學的分析 研究和處理的準則和手段 隨著科學技術的飛速發(fā)展 誤差理論與數據處理在理論上和實際應用上都得到極大的提高和發(fā)展 已成為一門獨立的學科 第二章測量誤差和測量結果處理 誤差 測量誤差的來源 誤差的分類 隨機誤差分析 系統(tǒng)誤差分析 系統(tǒng)誤差的合成 測量數據的處理 主要內容 3 1 測量誤差是不可避免的 2 尋找誤差的來源 盡可能防止誤差和減小誤差 3 測量結果進行正確的處理 使測量結果接近被測量對象的實際情況 2 1誤差 4 一 誤差1 真值Ao 一個物理量在一定條件下所呈現的客觀大小或真實數值稱作它的真值 要得到真值必須利用理想的量具或測量儀器進行無誤差的測量 因此 物理量的真值在實際上是無法測得的 2 指定值As 由于絕對真值是不可知的 所以一般由國家設立各種盡可能維持不變的實物標準 以法令的形式指定其所體現的量值作為計量單位的指定值 國際間通過互相比對保持一定程度的一致 指定值也叫約定真值 一般就用來代替真值 5 3 實際值 在每一級比較中 都以上一級標準所體現的值當作準確無誤的值 通常稱為實際值 也叫相對真值 4 標稱值 測量器具上標定的數值稱為標稱值 標稱值不一定等于它的真值或實際值 因此 在標出測量器具的標稱值的同時 通常還標出它的誤差范圍或正確度等級 5 示值 由測量器具指示的被測量量值稱為測量器具的示值 也稱為測量器具的測得值或測量值 它包括數值和單位 示值和測量儀表的讀數有區(qū)別 讀數為儀器刻度盤上直接讀到的數字 6 6 測量誤差 測量儀器儀表的測得值與被測量真值之間的差異 稱為測量誤差 在實際測量中 由于測量器具不準確 測量手段不完善 環(huán)境影響 測量操作不熟練及工作疏忽等因素 都會導致測量結果與被測量真值不同 7 單次測量和多次測量 單次測量是用測量儀器對待測量進行一次測量的過程 多次測量是用測量儀器對同一被測量進行多次重復測試的過程 在測量精度要求不高的情況下 可只進行單次測量 依靠多次測量可以觀察測量結果一致性的好壞即精密性 8 等精度測量和非等精度測量 在保持測量條件不變的情況下對同一被測量進行的多次測量過程稱作等精度測量 如果在同一被測量的多次重復測量中 不是所有測量條件都維持不變 或更換了測量器具或環(huán)境變化等 這樣的測量稱為非等精度測量或不等精度測量 7 二 誤差的表示方法 實際應用中常用實際值A 高一級以上的測量儀器或計量器具測量所得之值 來代替真值 絕對誤差 有大小 又有符號和量綱 1 絕對誤差 1 定義 由測量所得到的被測量值與其真值之差 稱為絕對誤差 8 2 修正值與絕對誤差的絕對值大小相等 但符號相反的量值 稱為修正值測量儀器的修正值可以通過上一級標準的檢定給出 修正值可以是數值表格 曲線或函數表達式等形式 被測量的實際值 9 2 相對誤差一個量的準確程度 不僅與它的絕對誤差的大小 而且與這個量本身的大小有關 例 測量足球場的長度和北京市到上海市的距離 若絕對誤差都為1米 測量的準確程度是否相同 1 相對誤差 實際相對誤差 示值相對誤差相對誤差 絕對誤差與被測量的真值之比相對誤差是兩個有相同量綱的量的比值 只有大小和符號 沒有單位 10 示值相對誤差 用測量值X代替實際值A 實際相對誤差 用實際值A代替真值A0 11 2 滿度相對誤差 引用相對誤差 用測量儀器在一個量程范圍內出現的最大絕對誤差與該量程值 上限值 下限值 之比來表示的相對誤差 稱為滿度相對誤差 或稱引用相對誤差 儀表各量程內絕對誤差的最大值 12 我國電工儀表的準確度等級s就是按引用誤差進行分級的 共分為七級 0 1 0 2 0 5 1 0 1 5 2 5及5 0 如果儀表為S級 則說明該儀表的最大引用誤差不超過S 測量點的最大相對誤差 在使用正向刻度的儀表測量時 應選擇適當的量程 使示值盡可能接近于滿度值 指針最好能偏轉在不小于滿度值2 3以上的區(qū)域 對歐姆表這樣非線性反向刻度的儀表時 示值與中值接近時 測量的準確度最高 分析P22例1 2 3 13 3 分貝誤差 相對誤差的對數表示分貝誤差是用對數形式 分貝數 表示的一種誤差 單位為分貝 dB 電壓增益的測得值為誤差為用對數表示為增益測得值的分貝值分貝誤差若測量的是功率增益 分貝誤差定義為10lg 測量時用分貝作單位 則分貝誤差為x A即可 分析P24例4 14 三 容許誤差容許誤差是指測量儀器在規(guī)定使用條件下可能產生的最大誤差范圍 容許誤差有時就稱為儀器誤差 它是衡量電子測量儀器質量的最重要的指標 1 工作誤差工作誤差是在額定工作條件下儀器誤差的極限值 即來自儀器外部的各種影響量和儀器內部的影響特性為任意可能的組合時 儀器誤差的最大極限值 2 固有誤差固有誤差是當儀器的各種影響量和影響特性處在基準條件下時 儀器所具有的誤差 15 3 影響誤差影響誤差是當一個影響量在其額定使用范圍內取任一值 而其它影響量和影響特性均處于基準條件時所測得的誤差 4 穩(wěn)定誤差穩(wěn)定誤差是儀器的標稱值在其他影響量和影響特性保持恒定的情況下 于規(guī)定時間內產生的誤差極限 分析P26例5 16 2 2測量誤差的來源 1 儀器誤差 由于測量儀器及其附件的設計 制造 檢定等不完善 以及儀器使用過程中老化 磨損 疲勞等因素而使儀器帶有的誤差 2 使用誤差 又稱為操作誤差 是由于對測量設備操作使用不當而造成的誤差 3 人身誤差 由于測量人員感官的分辨能力 反應速度 視覺疲勞 固有習慣 缺乏責任心等原因 而在測量中使用操作不當 現象判斷出錯或數據讀取疏失等而引起的誤差 17 4 影響誤差 由于各種環(huán)境因素 溫度 濕度 振動 電源電壓 電磁場等 與測量要求的條件不一致而引起的誤差 5 理論誤差或方法誤差 由于測量原理不嚴謹 公式簡化不當 測量方法不合理而造成的誤差 P28例1 18 2 3誤差的分類 根據測量誤差的性質 測量誤差可分為隨機誤差 系統(tǒng)誤差 粗大誤差三類 一 系統(tǒng)誤差定義 在同一測量條件下 多次重復測量同一量時 測量誤差的絕對值和符號都保持不變 或在測量條件改變時按一定規(guī)律變化的誤差 稱為系統(tǒng)誤差 例如儀器的刻度誤差和零位誤差 或值隨溫度變化的誤差 產生的主要原因是儀器的制造 安裝或使用方法不正確 環(huán)境因素 溫度 濕度 電源等 影響 測量原理中使用近似計算公式 測量人員不良的讀數習慣等 系統(tǒng)誤差表明了一個測量結果偏離真值或實際值的程度 系差越小 測量就越準確 系統(tǒng)誤差的定量定義是 在重復性條件下 對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差 即 19 二 隨機誤差定義 在同一測量條件下 指在測量環(huán)境 測量人員 測量技術和測量儀器都相同的條件下 多次重復測量同一量值時 等精度測量 每次測量誤差的絕對值和符號都以不可預知的方式變化的誤差 稱為隨機誤差或偶然誤差 簡稱隨差 隨機誤差主要由對測量值影響微小但卻互不相關的大量因素共同造成 這些因素主要是噪聲干擾 電磁場微變 零件的摩擦和配合間隙 熱起伏 空氣擾動 大地微震 測量人員感官的無規(guī)律變化等 隨機誤差的特點 有界性 多次測量中誤差絕對值的波動有一定的界限 對稱性 測量次數足夠多時 正負誤差出現的機會幾乎相同 抵償性 隨機誤差的算術平均值趨于零 絕對值小的隨機誤差出現的概率大 絕對值大的出現的概率小 20 例 對一不變的電壓在相同情況下 多次測量得到1 235V 1 237V 1 234V 1 236V 1 235V 1 237V 單次測量的隨差沒有規(guī)律 但多次測量的總體卻服從統(tǒng)計規(guī)律 可通過數理統(tǒng)計的方法來處理 即求算術平均值 21 三 粗大誤差 粗大誤差是一種顯然與實際值不符的誤差 產生粗差的原因有 測量操作疏忽和失誤如測錯 讀錯 記錯以及實驗條件未達到預定的要求而匆忙實驗等 測量方法不當或錯誤如用普通萬用表電壓檔直接測高內阻電源的開路電壓 測量環(huán)境條件的突然變化如電源電壓突然增高或降低 雷電干擾 機械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等 含有粗差的測量值稱為壞值或異常值 在數據處理時 應剔除掉 22 四 系差和隨差的表達式在剔除粗大誤差后 只剩下系統(tǒng)誤差和隨機誤差各次測得值的絕對誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數和 在任何一次測量中 系統(tǒng)誤差和隨機誤差一般都是同時存在的 系差和隨差之間在一定條件下可以相互轉化 23 2 4隨機誤差分析 一 測量值的數學期望和標準差 N個測量值的算術平均值為 數學期望為當測量次數無窮大時樣本平均值的極限 1 數學期望 24 2 剩余誤差 殘差 當進行有限次測量時 各次測量值與算術平均值之差稱為剩余誤差或殘差 當n足夠大時 殘差的代數和等于零 此時 殘差等于隨機誤差 25 3 方差和標準偏差 方差是用來描述隨機變量與其數學期望的分散程度 方差定義為當測量次數n無窮大時 測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計平均值 標準偏差定義為 標準偏差同樣描述隨機變量與其數學期望的分散程度 并且與隨機變量具有相同量綱 26 測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和 中心極限定理 假設被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和 其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用 則可認為這個隨機變量服從正態(tài)分布 為什么測量數據和隨機誤差大多接近正態(tài)分布 二 測量誤差的正態(tài)分布 1 正態(tài)分布 27 隨機誤差的概率密度函數為 測量數據X的概率密度函數為 隨機誤差的數學期望和方差為 同樣測量數據的數學期望 方差為 28 隨機誤差和測量數據的分布形狀相同 因為它們的標準偏差相同 只是橫坐標相差 29 標準偏差是代表測量數據和測量誤差分布離散程度的特征數 標準偏差越小 則曲線形狀越尖銳 說明數據越集中 標準偏差越大 則曲線形狀越平坦 說明數據越分散 30 2 測量誤差的非正態(tài)分布 常見的非正態(tài)分布有均勻分布 三角分布 反正弦分布等 均勻分布 儀器中的刻度盤回差 最小分辨力引起的誤差等 四舍五入 的截尾誤差 當只能估計誤差在某一范圍內 而不知其分布時 一般可假定均勻分布 31 3 極限誤差 定義 3 隨機誤差絕對值大于3 的概率僅為0 003或0 3 通常將 vi i 3 的測得值判為壞值 萊特準則 按照 vi 3 來判斷壞值是在進行大量等精度測量 測量數據屬于正態(tài)分布的前提下得出的 即為萊特準則 4 貝塞爾公式 最佳估計值 32 算術平均值的標準偏差比總體或單次測量值的標準偏差小倍 原因是隨機誤差的抵償性 5 算術平均值的標準差 故 33 三 有限次測量下測量結果的表達 由上面公式可知 算術平均值的標準差隨測量次數n的增大而減小 但減小的速度比n增長的速度慢得多 所以實際測量中n的取值無需太大 一般在10 20之間 對于在多次等精密度測量 在基本消除系統(tǒng)誤差并從測量結果中剔除壞值后 測量結果的處理可按以下步驟進行 34 算術平均值標準偏差的估計值 1 列出測量數據表 2 計算算術平均值 殘差及殘差平方 殘差 3 計算標準差及算術平均值標準差 算術平均值 標準偏差的估計值 貝塞爾公式 4 測量結果表達式 35 2 5系統(tǒng)誤差分析 2 5 1系統(tǒng)誤差的特征 在同一條件下 多次測量同一量值時 誤差的絕對值和符號保持不變 或者在條件改變時 誤差按一定的規(guī)律變化 多次測量求平均不能減少系差 36 2 5 2系統(tǒng)誤差的判斷方法 1 理論分析法對由于測量方法或測量原理引入的系差 可以通過理論分析發(fā)現并加以修正 2 校準和比對法用準確度更高的測量儀器進行重復測量或用同類儀器進行比對來發(fā)現是否存在系差 3 改變測量條件法對與測量條件有關的系差 可以通過改變測量條件 比較分組數據來發(fā)現 37 4 剩余誤差觀察法根據測量數據列各個剩余誤差的大小 符號的變化規(guī)律 來判斷有無系差 以及系差類型 主要用于發(fā)現變值系統(tǒng)誤差 將所測數據及其殘差按先后次序列表或作圖 觀察各數據的殘差值的大小和符號的變化 存在線性變化的系統(tǒng)誤差 無明顯系統(tǒng)誤差 38 a 馬利科夫判據 若有累進性系統(tǒng)誤差 D值應明顯異于零 當n為偶數時 當n為奇數時 b 阿貝 赫梅特判據 下式成立則存在周期性系差 5 公式判斷法 39 2 5 3消除系統(tǒng)誤差產生的根源 1 要從測量原理和測量方法盡力做到正確 嚴格 2 測量儀器選用正確 準確度滿足要求 3 測量儀器定期檢定和校準 正確使用儀器 4 盡量選擇數字顯示儀器代替指針式儀器 5 盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差 應提高測量人員業(yè)務技術水平和工作責任心 40 2 5 4消弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術 零示法替代法補償法對照法微差法交叉讀數法 下節(jié)課 同學們試著用自己的語言講述清楚其中一種測量方法 41 2 5 5消除或消弱系統(tǒng)誤差的其他方法 利用修正值或修正因素加以消除隨機化處理智能儀器中系統(tǒng)誤差的消除1 直流零位校準2 自動校準 42 粗大誤差及其判斷準則 粗大誤差出現的概率很小 列出可疑數據 分析是否是粗大誤差 若是 則應將對應的測量值剔除 1 粗大誤差產生原因以及防止與消除的方法粗大誤差的產生原因 測量人員的主觀原因 操作失誤或錯誤記錄 客觀外界條件的原因 測量條件意外改變 受較大的電磁干擾 或測量儀器偶然失效等 防止和消除粗大誤差的方法重要的是采取各種措施 防止產生粗大誤差 43 2 粗大誤差的判別準則 統(tǒng)計學的方法的基本思想是 給定一置信概率 確定相應的置信區(qū)間 凡超過置信區(qū)間的誤差就認為是粗大誤差 并予以剔除 萊特檢驗法格拉布斯檢驗法 式中 G值按重復測量次數n及置信概率Pc確定 44 應注意的問題 所有的檢驗法都是人為主觀擬定的 至今無統(tǒng)一的規(guī)定 當偏離正態(tài)分布和測量次數少時檢驗不一定可靠 若有多個可疑數據同時超過檢驗所定置信區(qū)間 應逐個剔除 重新計算 再行判別 若有兩個相同數據超出范圍時 應逐個剔除 在一組測量數據中 可疑數據應很少 反之 說明系統(tǒng)工作不正常 45 測量結果的處理步驟 對測量值進行系統(tǒng)誤差修正 將數據依次列成表格 求出算術平均值 列出殘差 并驗證 按貝塞爾公式計算標準偏差的估計值 按萊特準則 或格拉布斯準則檢查和剔除粗大誤差 判斷有無系統(tǒng)誤差 如有系統(tǒng)誤差 應查明原因 修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測量 計算算術平均值的標準偏差 寫出最后結果的表達式 即 單位 46 問題 用間接法測量電阻消耗的功率時 需測量電阻R 端電壓V和電流I三個量中的兩個量 如何根據電阻 電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢 2 6系統(tǒng)誤差的合成 這一類問題稱為誤差合成或誤差綜合 針對上面的問題 如果反過來 對功率的測量誤差提出要求 那么又該如果決定R V或I各自的分項誤差呢 這是屬于誤差分配問題 不進行深入討論 47 2 6 1誤差的綜合 48 在實際應用中 當分項誤差符號不定時 有時就采用保守的辦法來估算誤差 即將式中各分項取絕對值后再相加該公式常用于在設計階段中對傳感器 儀器及系統(tǒng)等的誤差進行分析和估算 以采取減少誤差的相應措施 但是 更嚴格和更準確地計算合成誤差的方法是測量不確定度理論中的合成不確定度評定 49 相對誤差形式表示的合成誤差 當個分項符號不確定時 常取保守計算如下 50 51 2 6 2常用函數的合成誤差 和函數的合成誤差 例2P47 差函數的合成誤差 積 商函數的合成誤差 冪函數的合成誤差 積商冪函數的合成誤差 例6P49 52 2 6 3系統(tǒng)不確定度 系統(tǒng)誤差可能變化的最大幅度稱為系統(tǒng)不確定度 用 ym表示 相對系統(tǒng)不確定度用 ym表示 1 系統(tǒng)不確定度的絕對值合成法 2 系統(tǒng)不確定度的均方根合成法 P50例9 53 2 7測量數據的處理 一 有效數字的處理1 數字修約規(guī)則由于測量數據和測量結果均是近似數 其位數各不相同 為了使測量結果的表示準確唯一 計算簡便 在數據處理時 需對測量數據和所用常數進行修約處理 數據修約規(guī)則 1 小于5舍去 末位不變 2 大于5進1 在末位增1 3 等于5時 取偶數 當末位是偶數 末位不變 末位是奇數 在末位增1 將末位湊為偶數 54 例 將下列數據舍入到小數第二位 12 4344 12 4363 73501 63 740 69499 0 6925 3250 25 3217 6955 17 70123 1150 123 12需要注意的是 舍入應一次到位 不能逐位舍入 上例中0 69499 正確結果為0 69 錯誤做法是 0 69499 0 6950 0 695 0 70 在 等于5 的舍入處理上 采用取偶數規(guī)則 是為了在比較多的數據舍入處理中 使產生正負誤差的概率近似相等 55 2 有效數字若截取得到的近似數其截取或舍入誤差的絕對值不超過近似數末位的半個單位 則該近似數從左邊第一個非零數字到最末一位數為止的全部數字 稱之為有效數字 例如 3 142四位有效數字 極限誤差 0 00058 700四位有效數字 極限誤差 0 00058 7 103二位有效數字 極限誤差 0 05 1030 807三位有效數字 極限誤差 0 0005 56 中間的0和末尾的0都是有效數字 不能隨意添加 開頭的零不是有效數字 測量數據的絕對值比較大 或比較小 而有效數字又比較少的測量數據 應采用科學計數法 即a 10n a的位數由有效數字的位數所決定 測量結果 或讀數 的有效位數應由該測量的不確定度來確定 即測量結果的最末一位應與不確定度的位數對齊 例如 某物理量的測量結果的值為63 44 且該量的測量不確定度u 0 4 測量結果表示為63 4 0 4 57 3 近似運算法則保留的位數原則上取決于各數中準確度最差的那一項 1 加法運算以小數點后位數最少的為準 各項無小數點則以有效位數最少者為準 其余各數可多取一位 也可以相同 例如 2 減法運算 當兩數相差甚遠時 原則同加法運算 當兩數很接近時 有可能造成很大的相對誤差 因此 第一要盡量避免導致相近兩數相減的測量方法 第二在運算中多一些有效數字 58 3 乘除法運算以有效數字位數最少的數為準 其余參與運算的數字及結果中的有效數字位數與之相等 例如 也可以比有效數字位數最少者多保留一位有效數字 例如上面例子中的517 43和4 08各保留至517和4 08 結果為35 5 4 乘方 開方運算運算結果比原數多保留一位有效數字 例如 27 8 2 772 8 115 2 1 322 104 59 5 對數運算 運算前后有效數字位數相同 Lg103 2 01 6 中間數據較重要或精密時 可多取1 2位 7 誤差值 包括絕對誤差 相對誤差 標準差 不確定度 有效數字位數只需保留1或2位 過多沒有意義 8 對等常數 具體處理時 一般比結果多取1位有效數字 9 當指數的底遠大于或遠小于1時 指數盡可能多保留幾位有效數字 60 二 等精度測量結果的處理 由于測量值中可能含有系統(tǒng)誤差 隨機誤差和疏忽誤差 為了得到正確的測量結果 應按以下基本步驟對測得數據進行處理 1 利用修正值的等辦法對測得值進行修正 然后將已減弱恒值系差影響的數據xi依次列表 2 求出算術平均值 4 列出 按貝塞爾公式計算標準偏差 3 列出殘差 并驗證 61 5 按 vi 3 的原則 檢查和剔除粗差 如果存在壞值 應當剔除不用 而后從2開始重新計算 直到所有 vi 3 為止 6 判斷有無系統(tǒng)誤差 如有 應查明原因 修正或消除系差后重新測量 8 寫出最后結果的表達式 即 7 算出算術平均值的標準偏差