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二 實(shí)驗(yàn)物理課程基本訓(xùn)練的有關(guān)程序1 實(shí)驗(yàn)前預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)內(nèi)容包括 1 實(shí)驗(yàn)名稱 2 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?3 儀器設(shè)備 4 基本原理 包括重要的計(jì)算公式 電路圖 光路圖及簡(jiǎn)要的文字說明 5 數(shù)據(jù)表格 3 寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告一份完整的實(shí)驗(yàn)報(bào)告通常包括以下內(nèi)容 1 實(shí)驗(yàn)名稱 2 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?3 儀器設(shè)備 4 基本原理 包括重要的計(jì)算公式 電路圖 光路圖及簡(jiǎn)要的文字說明 5 數(shù)據(jù)表格及處理 包括計(jì)算和作圖 這里的 數(shù)據(jù)表格 不同與預(yù)習(xí)報(bào)告中的 數(shù)據(jù)草表 應(yīng)該另行正規(guī)畫出 并把草表記錄的原始數(shù)據(jù)填入數(shù)據(jù)表格中 6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果 7 思考與創(chuàng)意 預(yù)習(xí)報(bào)告中的 數(shù)據(jù)草表 應(yīng)作為附件 附于實(shí)驗(yàn)報(bào)告中 第一章測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理方法 1 1測(cè)量與誤差關(guān)系 1 2測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定方法 1 3直接測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定方法 1 4間接測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定方法 1 5有效數(shù)字及其運(yùn)算 1 6常用數(shù)據(jù)處理方法 測(cè)量 就是用一定的測(cè)量工具或儀器 通過一定的方法 直接或間接地得到所需要的量值 一 測(cè)量 Q 我們接觸過哪些測(cè)量 哪些是直接測(cè)量 哪些是間接測(cè)量 二 誤差 2 誤差來源 1 儀器誤差 2 環(huán)境誤差 3 測(cè)量方法誤差 4 人員誤差 3 誤差分類 系統(tǒng)誤差 隨機(jī)誤差 粗大誤差 1 系統(tǒng)誤差 同一被測(cè)量的多次測(cè)量過程中 保持恒定或以可預(yù)知方式變化的測(cè)量誤差的分量特點(diǎn) 確定性產(chǎn)生原因 儀器本身的缺陷 環(huán)境因素 測(cè)量方法的不完備 測(cè)量者的不良習(xí)慣或動(dòng)態(tài)滯后等 2 隨機(jī)誤差 同一量的多次測(cè)量過程中 以不可預(yù)知方式變化的測(cè)量誤差的分量特點(diǎn) a 測(cè)量次數(shù)不多情況下隨機(jī)誤差沒有規(guī)律 b 大量測(cè)量時(shí)隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律 很多服從正態(tài)分布 正態(tài)分布特點(diǎn) 1 絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大 2 絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等 所以用多次測(cè)量取平均的方法可以減小隨機(jī)誤差 3 絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零曲線下面積為1 曲線越窄 峰越高 隨機(jī)誤差越小 誤差來源 環(huán)境條件 測(cè)量?jī)x器 測(cè)量人員等 正態(tài)分布曲線 3 粗大誤差 明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差特點(diǎn) 可以避免 處理數(shù)據(jù)時(shí)應(yīng)將其剔除 產(chǎn)生原因 錯(cuò)誤讀數(shù) 使用有缺陷的器具 使用儀器方法不對(duì)等 1 絕對(duì)誤差 2 相對(duì)誤差 百分誤差 4 測(cè)量結(jié)果表示 結(jié)果表示 問 有了絕對(duì)誤差 為什么還要引入相對(duì)誤差呢 答 絕對(duì)誤差反映的是誤差本身的大小 但它不能反映誤差的嚴(yán)重程度 2m 20m 例 兩個(gè)絕對(duì)誤差如下 哪個(gè)大 哪個(gè)嚴(yán)重 我們不知道它們是在什么測(cè)量中產(chǎn)生的 所以難以回答 注意 絕對(duì)誤差大的 相對(duì)誤差不一定大 如果它們分別對(duì)應(yīng)下面兩個(gè)測(cè)量 情況又怎樣 100米跑道 2m 20m 地月間距38 4萬公里 5 精密度 正確度與準(zhǔn)確度 又稱精確度 精密度 反映隨機(jī)誤差 測(cè)量值離散程度 正確度 反映系統(tǒng)誤差 測(cè)量值偏離真值程度 準(zhǔn)確度 反映綜合誤差 正確度較高 精密度低 精密度高 正確度低 準(zhǔn)確度高 1 2測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定方法對(duì)N進(jìn)行K次測(cè)量 得N1 N2 Nk 用算術(shù)平均值 作為真值的最佳估計(jì) 評(píng)定其可靠性的方法有三種 1 算術(shù)平均偏差 結(jié)果可表示為 2 平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 1 測(cè)量列的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差 2 標(biāo)準(zhǔn)偏差 均方根偏差 拓 標(biāo)準(zhǔn)偏差 是一個(gè)描述測(cè)量結(jié)果離散程度的參量 反映了測(cè)量的精密度 只考慮隨機(jī)誤差 68 3 95 4 99 7 當(dāng)系統(tǒng)誤差 粗大誤差已消除 隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布 A類分量 用統(tǒng)計(jì)的方法計(jì)算 u B類分量 用其他方法計(jì)算 u 合成不確定度 測(cè)量結(jié)果表示為 相對(duì)不確定度 3 不確定度 儀器的極限誤差 置信系數(shù) 1 3直接測(cè)量誤差估算及評(píng)定一 單次測(cè)量誤差估算及評(píng)定單次測(cè)量結(jié)果的誤差估算常以測(cè)量?jī)x器誤差來評(píng)定 儀器誤差 已標(biāo)明 或可明確知道 的誤差 未標(biāo)明時(shí) 可取儀器及表盤上最小刻度的一半作誤差 電學(xué)儀器根據(jù)儀器的精度來考慮如電表 例 如用一個(gè)精度為0 5級(jí) 量程為10 A的電流表 單次測(cè)量某一電流值為2 00 A 試用不確定度表示測(cè)量結(jié)果 解 u 10 A 0 5 0 05 AI 2 00 0 05 A 二 多次測(cè)量結(jié)果的誤差估算及評(píng)定程序 1 求平均值 2 求或或u 3 表示結(jié)果 例如用u 則結(jié)果為 例 書P21 1 4間接測(cè)量結(jié)果誤差的估算及評(píng)定一 一般的誤差傳遞公式N f x y z 1 4 6 1 4 7 二 標(biāo)準(zhǔn)偏差的傳遞公式 方和根合成 1 4 8 1 4 9 不確定度 相對(duì)不確定度 三 不確定度的傳遞公式 表1 4 1某些常用函數(shù)的不確定度傳遞公式 總結(jié) 間接測(cè)量結(jié)果用不確定度評(píng)定的基本步驟 1 計(jì)算各直接測(cè)量量的不確定度 2 根據(jù)公式 1 4 8 或 1 4 9 計(jì)算間接測(cè)量量的不確定度 保留1位有效數(shù)字 或相對(duì)不確定度 保留1 2位有效數(shù)字 3 求出間接測(cè)量量N 將直接測(cè)量值的最佳值代入函數(shù)關(guān)系式 N的末位與不確定度所在位對(duì)齊 4 寫出結(jié)果 注意單位不要漏寫 例1 用一級(jí)千分尺 測(cè)量某一圓柱體的直徑D和高度H 測(cè)量數(shù)據(jù)見表1 4 2 求體積V并用不確定度評(píng)定測(cè)量結(jié)果 表1 4 2 解 1 計(jì)算直接測(cè)量值D H的不確定度 a b A類不確定度 B類不確定度 c d 估算uD和uH 2 求V和uv 3 寫出結(jié)果 1 5有效數(shù)字及其運(yùn)算一 什么叫有效數(shù)字一般有效數(shù)字是由若干位準(zhǔn)確數(shù)字和一位可疑數(shù)字 欠準(zhǔn)數(shù)字 構(gòu)成 注意 1 同一物體用不同精度的儀器測(cè) 有效數(shù)字的位數(shù)是不同的 精度越高 有效數(shù)字的位數(shù)越多 2 有效位數(shù)與十進(jìn)制單位的變換無關(guān) 如 最小分度被測(cè)量長(zhǎng)有效數(shù)字位數(shù)米尺1mm12 06cm4游標(biāo)卡尺0 02mm12 060cm5螺旋測(cè)微器0 01mm12 0600cm6 如 12 06cm 0 1206m 0 0001206km有效位數(shù)都是4 3 表示小數(shù)點(diǎn)位數(shù)的 0 不是有效數(shù)字 數(shù)字中間的 0 和數(shù)字尾部的 0 都是有效數(shù)字 數(shù)據(jù)尾部的 0 不能隨意舍掉 也不能隨意加上 如 900v 9 00 102v 9 00 105mv 9 00 10 1kv 二 有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則 加減運(yùn)算尾數(shù)對(duì)齊 在小數(shù)點(diǎn)后所應(yīng)保留的位數(shù)與諸量中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的一個(gè)相同 P29 例8 如 11 4 2 56 13 96 14 075 10 356 75 10 4 64 6 65 原則 準(zhǔn)確數(shù)字之間進(jìn)行四則運(yùn)算仍為準(zhǔn)確數(shù)字 可疑數(shù)字與準(zhǔn)確數(shù)字或可疑數(shù)字之間運(yùn)算結(jié)果為可疑數(shù)字 運(yùn)算中的進(jìn)位數(shù)可視為準(zhǔn)確數(shù)字 如 4000 9 0 3 6 1042 000 0 10 20 乘除運(yùn)算位數(shù)對(duì)齊 結(jié)果有效數(shù)字的位數(shù) 一般與諸量中有效數(shù)字位數(shù)最少的一個(gè)相同 p29例9 10 3 某些常見函數(shù)運(yùn)算的有效位數(shù) 1 對(duì)數(shù)函數(shù)尾數(shù)的位數(shù)取得與真數(shù)的位數(shù)相同 2 指數(shù)函數(shù)的有效數(shù)字 可與指數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù) 包括緊接在小數(shù)點(diǎn)后的零 相同 4 常數(shù)或倍數(shù) 如 e 1 3等 有效位數(shù)可以認(rèn)為是無限的 實(shí)際計(jì)算中一般比運(yùn)算中有效數(shù)字位數(shù)多取1位 4 當(dāng)諸量進(jìn)行加減 乘除混合運(yùn)算時(shí) 有效數(shù)字應(yīng)遵循加減 乘除運(yùn)算規(guī)則逐步取舍 如 2 最佳值或測(cè)量值末位與不確定度末位對(duì)齊 三 不確定度和測(cè)量結(jié)果的數(shù)字化整規(guī)則 1 不確定度的有效位數(shù)1 2位本書約定 不確定度只保留1位 相對(duì)不確定度1 2位 尾數(shù)采用四舍六入五湊偶的原則如 1 4 1 1 6 2 1 5 2 2 5 2 小結(jié) 實(shí)驗(yàn)中如何確定數(shù)據(jù)的有效位數(shù) 在實(shí)驗(yàn)中我們所得的測(cè)量結(jié)果都是可能含有誤差的數(shù)值 對(duì)這些數(shù)值不能任意取舍 應(yīng)反映出測(cè)量值的準(zhǔn)確度 所以在記錄數(shù)據(jù) 計(jì)算以及書寫測(cè)量結(jié)果時(shí) 應(yīng)根據(jù)測(cè)量誤差或?qū)嶒?yàn)結(jié)果的不確定度來定出究竟應(yīng)取幾位有效位數(shù) 1 直接測(cè)量量 原始數(shù)據(jù) 的讀數(shù)應(yīng)反映儀器的準(zhǔn)確度 游標(biāo)類器具 游標(biāo)卡尺 分光計(jì)度盤 大氣壓計(jì)等 一般讀至游標(biāo)最小分度的整數(shù)倍 即不需估讀 數(shù)顯儀表及有十進(jìn)步式標(biāo)度盤的儀表 電阻箱 電橋 電位差計(jì) 數(shù)字電壓表等 一般應(yīng)直接讀取儀表的示值 1 直接測(cè)量量 原始數(shù)據(jù) 的讀數(shù)應(yīng)反映儀器的準(zhǔn)確度 指針式儀表及其它器具 讀數(shù)時(shí)估讀到儀器最小分度的1 2 1 10 或使估讀間隔不大于儀器基本誤差限的1 5 1 3 1 直接測(cè)量量 原始數(shù)據(jù) 的讀數(shù)應(yīng)反映儀器的準(zhǔn)確度 注意指針指在整刻度線上時(shí)讀數(shù)的有效位數(shù) 1 直接測(cè)量量 原始數(shù)據(jù) 的讀數(shù)應(yīng)反映儀器的準(zhǔn)確度 2 中間運(yùn)算結(jié)果的有效位數(shù) 用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算時(shí)中間結(jié)果可不作修約或適當(dāng)多取幾位 不能任意減少 加減運(yùn)算遵循尾數(shù)對(duì)齊原則如11 4 2 56 14 075 10 356 65乘除運(yùn)算遵循位數(shù)對(duì)齊原則如4000 9 0 3 6 1042 000 0 10 2 0當(dāng)諸量進(jìn)行加減 乘除混合運(yùn)算時(shí) 有效數(shù)字應(yīng)遵循加減 乘除運(yùn)算規(guī)則逐步取舍 3 測(cè)量結(jié)果表達(dá)式中的有效位數(shù) 總不確定度u的有效位數(shù)我們約定取1位相對(duì)不確定度Eu的有效位數(shù)我們約定取1 2位例 估算結(jié)果u 0 548mm時(shí) 取為u 0 5mm 被測(cè)量值有效位數(shù)的確定Y y u中 被測(cè)量值y的末位要與不確定度u的末位對(duì)齊 求出y后先多保留幾位 求出u 由u決定y的末位 不確定度分析結(jié)果 最終結(jié)果為 V 9 44 0 08cm3即 不確定度末位在小數(shù)點(diǎn)后第二位 測(cè)量結(jié)果的最后一位也取到小數(shù)點(diǎn)后第二位 例 環(huán)的體積 1 列表法 2 作圖法 3 數(shù)學(xué)方法 逐差法 最小二乘法等 1 6常用的數(shù)據(jù)處理方法 一 列表法列表法是將實(shí)驗(yàn)上得到的數(shù)據(jù)按一定的規(guī)律列成表格 優(yōu)點(diǎn) 能使物理量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系清晰明了 有助于發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中的規(guī)律 也有易于發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中的差錯(cuò) 列表法又是其他數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)應(yīng)當(dāng)熟練掌握 列表要求 1 各欄目 縱及橫 均應(yīng)標(biāo)明名稱和單位 2 原始數(shù)據(jù)應(yīng)列入表中 計(jì)算過程中的一些中間結(jié)果和最后結(jié)果也可列入表中 3 欄目的順序應(yīng)充分注意數(shù)據(jù)間的聯(lián)系和計(jì)算的程序 力求簡(jiǎn)明 齊全 有條理 4 若是函數(shù)關(guān)系測(cè)量的數(shù)據(jù)表 應(yīng)按自變量由小到大 或由大到小 的順序排列 5 必要時(shí)附加說明 例 p32 作圖法可形象 直觀地顯示出物理量之間的函數(shù)關(guān)系 也可用來求某些物理參數(shù) 因此它是一種重要的數(shù)據(jù)處理方法 作圖時(shí)要先整理出數(shù)據(jù)表格 并要用坐標(biāo)紙作圖 1 選擇合適的坐標(biāo)分度值 確定坐標(biāo)紙的大小坐標(biāo)分度值的選取應(yīng)能基本反映測(cè)量值的準(zhǔn)確度或精密度 根據(jù)表 數(shù)據(jù)U軸可選1mm對(duì)應(yīng)于0 10V I軸可選1mm對(duì)應(yīng)于0 20mA 并可定坐標(biāo)紙的大小 略大于坐標(biāo)范圍 數(shù)據(jù)范圍 約為130mm 130mm 作圖步驟 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列表如下 表1 伏安法測(cè)電阻實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 二 作圖法 2 標(biāo)明坐標(biāo)軸 用粗實(shí)線畫坐標(biāo)軸 用箭頭標(biāo)軸方向 標(biāo)坐標(biāo)軸的名稱或符號(hào) 單位 再按順序標(biāo)出坐標(biāo)軸整分格上的量值 5 標(biāo)出圖線特征 在圖上空白位置標(biāo)明實(shí)驗(yàn)條件或從圖上得出的某些參數(shù) 如利用所繪直線可給出被測(cè)電阻R大小 從所繪直線上讀取兩點(diǎn)A B的坐標(biāo)就可求出R值 電阻伏安特性曲線 6 標(biāo)出圖名 在圖線下方或空白位置寫出圖線的名稱及某些必要的說明 由圖上A B兩點(diǎn)可得被測(cè)電阻R為 至此一張圖才算完成 不當(dāng)圖例展示 曲線太粗 不均勻 不光滑 應(yīng)該用直尺 曲線板等工具把實(shí)驗(yàn)點(diǎn)連成光滑 均勻的細(xì)實(shí)線 改正為 橫軸坐標(biāo)分度選取不當(dāng) 橫軸以3cm代表1V 使作圖和讀圖都很困難 實(shí)際在選擇坐標(biāo)分度值時(shí) 應(yīng)既滿足有效數(shù)字的要求又便于作圖和讀圖 一般以1mm代表的量值是10的整數(shù)次冪或是其2倍或5倍 改正為 圖紙使用不當(dāng) 實(shí)際作圖時(shí) 坐標(biāo)原點(diǎn)的讀數(shù)可以不從零開始 改正為 三 逐差法 逐差法是對(duì)等間距測(cè)量的有序數(shù)據(jù) 進(jìn)行逐項(xiàng)或相等間隔相減得到結(jié)果 它計(jì)算簡(jiǎn)便 并可充分利用數(shù)據(jù) 及時(shí)發(fā)現(xiàn)差錯(cuò) 總結(jié)規(guī)律 是物理實(shí)驗(yàn)中常用的一種數(shù)據(jù)處理方法 使用條件 1 自變量x是等間距變化 2 被測(cè)物理量之間函數(shù)形式可以寫成x的多項(xiàng)式 應(yīng)用舉例 拉伸法測(cè)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù) 設(shè)實(shí)驗(yàn)中 等間隔的在彈簧下加砝碼 如每次加一克 共加9次 分別記下對(duì)應(yīng)的彈簧下端點(diǎn)的位置L0L1L2 L9 則可用逐差法進(jìn)行以下處理 1 驗(yàn)證函數(shù)形式是線性關(guān)系 看 L1 L2 L9是否基本相等 當(dāng) Li基本相等時(shí) 就驗(yàn)證了外力與彈簧的伸長(zhǎng)量之間的函數(shù)關(guān)系是線性的 即F k L 在驗(yàn)證函數(shù)表達(dá)式的形式時(shí)要用逐項(xiàng)逐差 而不要用分組逐差 這樣可以檢驗(yàn)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的變化是否符合規(guī)律 而不致發(fā)生假象 即規(guī)律性不被平均效果掩蓋起來 2 求物理量數(shù)值 現(xiàn)計(jì)算每加一克砝碼時(shí)彈簧的平均伸長(zhǎng)量 從上式可看出用逐項(xiàng)逐差 中間的測(cè)量值全部抵消了 只有始末二次測(cè)量起作用 與一次加九克砝碼的測(cè)量完全等價(jià) 若用逐項(xiàng)逐差 1 6 1 得到 再求平均 為了保證多次測(cè)量的優(yōu)點(diǎn) 只要在數(shù)據(jù)處理方法上作些組合 仍能達(dá)到多次測(cè)量減小誤差的目的 所以我們采用分組逐差 通?？蓪⒌乳g隔所測(cè)的值分成前后兩組 前一組為L(zhǎng)0L1L2L3L4后一組為L(zhǎng)5L6L7L8L9 前后兩組對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減 再取平均值 由此可見 分組逐差和逐項(xiàng)逐差不同 這時(shí)每個(gè)數(shù)據(jù)都用上了 有利于減小誤差 但注意 這里的是增加五克時(shí)彈簧的平均伸長(zhǎng)量 四 最小二乘法與直線擬合 作圖法對(duì)直線或曲線的擬合帶有相當(dāng)大的主觀性 用最小二乘法擬合要優(yōu)于作圖法 最小二乘法線性擬合原理 若能找到一條最佳的擬合直線 那么這條直線上各相應(yīng)點(diǎn)的值與測(cè)量值之差的平方和在所有擬合直線中最小 通過實(shí)驗(yàn) 等精度地測(cè)得一組互相獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) xi yi i 1 2 k 設(shè)這兩個(gè)物理量x y滿足線性關(guān)系 且假定實(shí)驗(yàn)誤差主要出現(xiàn)在yi上 設(shè)擬合直線公式為y a0 a1x 按最小二乘法原理 應(yīng)使下式最小 則測(cè)量值和最佳值 回歸直線上對(duì)應(yīng)坐標(biāo) 的偏差 S取極小值必要的條件是 即 整理后得 解得 式中 相關(guān)系數(shù)r 最小二乘法處理數(shù)據(jù)除給出a b外 還應(yīng)給出相關(guān)系數(shù)r r定義為r表示兩變量之間的函數(shù)關(guān)系與線性的符合程度 r 1 1 r 1 x y間線性關(guān)系好 r 0 x y間無線性關(guān)系 擬合無意義 物理實(shí)驗(yàn)中一般要求r絕對(duì)值達(dá)到0 999以上 3個(gè)9以上 其中 a b r的具體求解方法 1 用有二維統(tǒng)計(jì)功能的計(jì)算器可直接求得a b r 2 用計(jì)算機(jī)Excel程序中的intercept slope correl函數(shù)也可直接求得a b r 3 可以根據(jù)實(shí)際情況自己編程求a b r