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選修42　矩陣與變換 第1課時　線性變換、二階矩陣及其乘法 1. 已知矩陣A＝，B＝滿足AX＝B，求矩陣X. 解：設X＝，由＝得 解得所以X＝. 2. 已知變換矩陣A：平面上的點P(2，－1)，Q(－1，2)分別變換成點P1(3，－4)，Q1(0，5)，求變換矩陣A. 解：設所求的變換矩陣A＝，依題意，可得 ＝及 ＝， 即解得 所以所求的變換矩陣A＝. 3. 已知M＝，N＝，求二階矩陣X，使MX＝N. 解：設X＝， 由題意有＝， 根據(jù)矩陣乘法法則有解得 ∴ X＝. 4. 曲線x2＋4xy＋2y2＝1在二階矩陣M＝的作用下變換為曲線x2－2y2＝1，求實數(shù)a，b的值． 解：設P(x，y)為曲線x2－2y2＝1上任意一點，P′(x′，y′)為曲線x2＋4xy＋2y2＝1 上與P對應的點，則＝，即代入x2－2y2＝1得(x′＋ay′)2－2(bx′＋y′)2＝1，整理得(1－2b2)x′2＋(2a－4b)x′y′＋(a2－2)y′2＝1， 又x′2＋4x′y′＋2y′2＝1，所以解得 5. (2017揚州中學期初)已知點M(3, －1)繞原點按逆時針旋轉90后，在矩陣A＝對應的變換作用下，得到點N(3，5)，求a，b的值． 解：由題意，＝， 又＝，所以 解得 6. 已知曲線C: y2＝2x在矩陣M＝對應的變換作用下得到曲線C1，C1在矩陣N＝對應的變換作用下得到曲線C2，求曲線C2的方程． 解：設A＝NM，則A＝＝，設P′(x′，y′)是曲線C上任一點，在兩次變換作用下，在曲線C2上的對應點為P(x, y)，則 ＝＝， 即∴ 又點P′(x′，y′)在曲線C: y2＝2x上， ∴ 2＝2y，即曲線C2的方程為y＝x2. 7. 設曲線2x2＋2xy＋y2＝1在矩陣A＝(a＞0)對應的變換作用下得到的曲線為x2＋y2＝1.求實數(shù)a，b的值． 解：設曲線2x2＋2xy＋y2＝1上任一點P(x，y)在矩陣A對應變換作用下得到點P′(x′，y′)，則 ＝＝， 所以 因為x′2＋y′2＝1，所以(ax)2＋(bx＋y)2＝1，即(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1， 所以解得 8. 求圓C：x2＋y2＝1在矩陣A＝對應的變換作用下所得的曲線的方程． 解：設圓C上任一點(x1，y1)在矩陣A對應的變換作用下得到點(x，y)，則＝，則x1＝，y1＝，代入x2＋y2＝1得所求曲線的方程為＋＝1. 9. 已知矩陣A＝，B＝.若矩陣AB對應的變換把直線l：x＋y－2＝0變?yōu)橹本€l′，求直線l′的方程． 解：∵ A＝，B＝， ∴ AB＝＝. 在直線l′上任取一點P(x，y)，設它是由l上的點P0(x0，y0)經(jīng)矩陣AB所對應的變換作用所得，∵ 點P0(x0，y0)在直線l：x＋y－2＝0上，∴ x0＋y0－2＝0　①. 又AB＝，即＝， ∴ ∴ ?、? 將②代入①得x－y＋y－2＝0，即4x＋y－8＝0， ∴ 直線l′的方程為4x＋y－8＝0. 10. 在平面直角坐標系xOy中，設點P(x，3)在矩陣M＝對應的變換作用下得到點Q(y－4，y＋2)，求M2. 解：依題意，＝， 即解得 M2＝＝， 所以M2＝＝. 11. 已知曲線C1：x2＋y2＝1，對它先作矩陣A＝對應的變換，再作矩陣B＝對應的變換，得到曲線C2：＋y2＝1，求實數(shù)m的值． 解：BA＝＝，設P(x0，y0)是曲線C1上的任一點，它在矩陣BA變換作用下變成點P′(x′，y′)， 則＝＝，則即又點P在曲線C1上，則y′2＋＝1，所以m2＝1，所以m＝1. 第2課時　逆變換與逆矩陣、矩陣的特征值與特征向量 1. 已知變換T：→＝，試寫出變換T對應的矩陣A，并求出其逆矩陣A－1. 解：由T：→＝，得A＝. 設A－1＝，則AA－1＝＝＝，所以解得 所以A－1＝. 2. (2017蘇北四市期末)已知矩陣A＝的一個特征值為2，其對應的一個特征向量為α＝.求實數(shù)a，b的值． 解：由條件知，Aα＝2α，即＝2，即＝， 所以 解得 3. (2017揚州期末)已知a，b∈R，若點M(1，－2)在矩陣A＝對應的變換作用下得到點N(2，－7)，求矩陣A的特征值． 解：由題意得＝，即解得 所以A＝，所以矩陣A的特征多項式為f(λ)＝＝λ2－8λ＋15. 令f(λ)＝0，解得λ＝5或λ＝3，即矩陣A的特征值為5和3. 4. 已知二階矩陣A＝，矩陣A屬于特征值λ1＝－1的一個特征向量為α1＝，屬于特征值λ2＝4的一個特征向量為α2＝，求矩陣A. 解：由特征值、特征向量定義可知，Aα1＝λ1α1， 即＝－1， 得同理可得 解得因此矩陣A＝. 5. 已知矩陣A＝，A的逆矩陣A－1＝，求A的特征值． 解：∵AA－1＝ , ∴ ＝， 則解得 ∴ A＝ ，A的特征多項式f(λ)＝＝(λ－3)(λ－1)． 令f(λ)＝0，解得λ＝3或λ＝1. ∴ A的特征值為3和1. 6. 已知矩陣A＝.若矩陣A屬于特征值3的一個特征向量為α＝，求該矩陣的另一個特征值． 解：因為＝3，則 解得所以A＝. 由f(λ)＝＝(λ－1)2－4＝0， 所以(λ＋1)(λ－3)＝0，解得λ1＝－1，λ2＝3. 所以另一個特征值是－1. 7. 已知a，b∈R，矩陣A＝，若矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為α1＝，屬于特征值5的一個特征向量為α2＝.求矩陣A，并寫出A的逆矩陣． 解：由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為α1＝， 得＝， ∴ 3a－b＝3.① 由矩陣A屬于特征值5的一個特征向量為α2＝， 得＝5， ∴ a＋b＝5.② 聯(lián)立①②，解得即A＝. ∴ A的逆矩陣A－1＝. 8. 設是矩陣M＝的一個特征向量． (1) 求實數(shù)a的值； (2) 求矩陣M的特征值． 解：(1) 設是矩陣M屬于特征值λ的一個特征向量， 則＝λ，故解得∴ a＝1. (2) 令f(λ)＝＝(λ－1)(λ－2)－6＝0，解得 λ1＝4，λ2＝－1. 9. 已知矩陣A＝將直線l：x＋y－1＝0變換成直線l′. (1) 求直線l′的方程； (2) 判斷矩陣A是否可逆．若可逆，求出矩陣A的逆矩陣A－1；若不可逆，請說明理由． 解：(1) 在直線l上任取一點P(x0，y0)，設它在矩陣A＝對應的變換作用下變?yōu)镼(x，y)． ∵ ＝， ∴ 即 ∵ 點P(x0，y0)在直線l：x＋y－1＝0上， ∴ ＋－1＝0， 即直線l′的方程為4x＋y－7＝0. (2) ∵ det(A)＝＝7≠0， ∴ 矩陣A可逆． 設A－1＝，∴ AA－1＝， 解得 ∴ A－1＝. 10. 在平面直角坐標系xOy中，設點P(x，5)在矩陣M＝對應的變換作用下得到點Q(y－2，y)，求M－1. 解：依題意，＝， 即解得 由逆矩陣公式知， 矩陣M＝的逆矩陣M－1＝， 所以M－1＝＝. 11. (2017南通、泰州期末)已知向量是矩陣A屬于特征值－1的一個特征向量．在平面直角坐標系xOy中，點P(1，1)在矩陣A對應的變換作用下變?yōu)镻′(3，3)，求矩陣A. 解：設A＝， 因為向量是矩陣A的屬于特征值－1的一個特征向量， 所以＝(－1)＝. 所以 因為點P(1，1)在矩陣A對應的變換作用下變?yōu)镻′(3，3)， 所以＝， 所以解得 所以A＝.