2017-2018學年高中數(shù)學 第六章 推理與證明 6.3 數(shù)學歸納法(1)當堂檢測 湘教版選修2-2.doc
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6.3 數(shù)學歸納法(一) 1.若命題A(n)(n∈N*)在n=k(k∈N*)時命題成立,則有n=k+1時命題成立.現(xiàn)知命題對n=n0(n0∈N*)時命題成立,則有 ( ) A.命題對所有正整數(shù)都成立 B.命題對小于n0的正整數(shù)不成立,對大于或等于n0的正整數(shù)都成立 C.命題對小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定,對大于或等于n0的正整數(shù)都成立 D.以上說法都不正確 答案 C 解析 由已知得n=n0(n0∈N*)時命題成立,則有n=n0+1時命題成立;在 n=n0+1時命題成立的前提下,又可推得n=(n0+1)+1時命題也成立,依此類推,可知選C. 2.用數(shù)學歸納法證明“1+a+a2+…+a2n+1=(a≠1)”.在驗證n=1時,左端計算所得項為 ( ) A.1+a B.1+a+a2 C.1+a+a2+a3 D.1+a+a2+a3+a4 答案 C 解析 將n=1代入a2n+1得a3,故選C. 3.用數(shù)學歸納法證明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的過程如下: (1)當n=1時,左邊=1,右邊=21-1=1,等式成立. (2)假設當n=k(k∈N*)時等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,則當n=k+1時,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1.所以當n=k+1時等式也成立.由此可知對于任何n∈N*,等式都成立.上述證明的錯誤是________. 答案 未用歸納假設 解析 本題在由n=k成立,證n=k+1成立時,應用了等比數(shù)列的求和公式,而未用上假設條件,這與數(shù)學歸納法的要求不符. 4.當n∈N*時,Sn=1-+-+…+-,Tn=+++…+, (1)求S1,S2,T1,T2; (2)猜想Sn與Tn的關系,并用數(shù)學歸納法證明. 解 (1)∵當n∈N*時,Sn=1-+-+…+-,Tn=+++…+. ∴S1=1-=,S2=1-+-=, T1==,T2=+=. (2)猜想Sn=Tn(n∈N*),即1-+-+…+-=+++…+(n∈N*). 下面用數(shù)學歸納法證明: ①當n=1時,已證S1=T1, ②假設n=k時,Sk=Tk(k≥1,k∈N*), 即1-+-+…+-=+++…+, 則Sk+1=Sk+-=Tk+- =+++…++- =++…+++ =++…++ =Tk+1. 由①,②可知,對任意n∈N*,Sn=Tn都成立. 在應用數(shù)學歸納法證題時應注意以下幾點: (1)驗證是基礎:找準起點,奠基要穩(wěn),有些問題中驗證的初始值不一定為1; (2)遞推是關鍵:正確分析由n=k到n=k+1時式子項數(shù)的變化是應用數(shù)學歸納法成功證明問題的保障; (3)利用假設是核心:在第二步證明中一定要利用歸納假設,這是數(shù)學歸納法證明的核心環(huán)節(jié),否則這樣的證明就不是數(shù)學歸納法證明.- 配套講稿:
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