《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 章末綜合測(cè)評(píng)3 空間向量與立體幾何 蘇教版必修4.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 章末綜合測(cè)評(píng)3 空間向量與立體幾何 蘇教版必修4.doc（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

章末綜合測(cè)評(píng)(三)　空間向量與立體幾何 (時(shí)間：120分鐘，滿(mǎn)分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．請(qǐng)把答案填在題中的橫線上) 1．已知空間直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A(－2,1,3)，B(3,1,0)，則||＝________. [解析]　∵＝(5,0，－3)， ∴||＝＝. [答案]　 2．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a與b為共線向量，則x＝________，y＝________. [解析]　由題意得＝＝，∴x＝，y＝－. [答案]　?。? 3．下列有關(guān)空間向量的四個(gè)命題中，錯(cuò)誤命題為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392218】 ①空間中有無(wú)數(shù)多組不共面的向量可作為向量的基底；②向量與平面平行，則向量所在的直線與平面平行；③平面α的法向量垂直于α內(nèi)的每個(gè)向量；④空間中的任一非零向量都可惟一地表示成空間中不共面向量的線性組合的形式． [解析]　若向量與平面平行，則向量所在的直線與平面平行或在平面內(nèi)，故②錯(cuò)誤． [答案]?、? 4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a與b的夾角的余弦值為，則λ＝________. [解析]　由已知得，＝＝， ∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝. [答案]?。?或 5．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0，)，B，C(－1,0，)，則角A的大小為_(kāi)_______． [解析]　＝，＝(－1,0,0)，則cos A＝＝＝，故角A的大小為30. [答案]　30 6．已知正方體ABCDA1B1C1D1的中心為O，則下列各命題中，真命題是________． ①＋與＋是一對(duì)相反向量； ②－與－是一對(duì)相反向量； ③＋＋＋與＋＋＋是一對(duì)相反向量； ④－與－是一對(duì)相反向量． [解析]?、佟咚倪呅蜛DC1B1為平行四邊形，O為對(duì)角線交點(diǎn)， ∴＋與＋是一對(duì)相反向量，∴①真； ②∵－＝，－＝，＝， ∴－＝－， ∴②假； ③如圖，設(shè)正方形ABCD的中心為O1，正方形A1B1C1D1的中心為O2，則＋＋＋＝4，＋＋＋＝4， ∵與是相反向量，∴③真； ④－＝，－＝， ∵與是相反向量，∴④真． [答案]?、佗邰? 7．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A(1，－2,3)，B(2,1，－1)，若直線AB交平面xOz于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392219】 [解析]　設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,0，z)，則＝(x－1,2，z－3)，＝(1,3，－4)，因?yàn)榕c共線，所以＝＝，解得所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為. [答案]　 8．二面角αlβ等于120，A，B是棱l上兩點(diǎn)，AC，BD分別在半平面α，β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，則CD的長(zhǎng)等于________． [解析]　設(shè)＝a，＝b，＝c，由已知條件，|a|＝1，|b|＝1，|c|＝1，〈a，b〉＝90，〈b，c〉＝90，〈a，c〉＝120. ||2＝|＋＋|2＝|－c＋b＋a|2＝a2＋b2＋c2＋2ab－2ac－2bc＝4， 則||＝2. [答案]　2 9．已知點(diǎn)A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)_______． [解析]　由題意可知＝λ，故可設(shè)Q(λ，λ，2λ)，則＝6λ2－16λ＋10＝6－，∴當(dāng)λ＝時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. [答案]　 10．在空間中，已知平面α過(guò)點(diǎn)A(3,0,0)和B(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)C(0,0，a)(a>0)，如果平面α與平面xOy的夾角為45，則a＝________. [解析]　平面xOy的法向量為n＝(0,0,1)，＝(－3，4,0)，＝(－3,0，a)，設(shè)平面α的法向量為u＝(x，y，z)，則 則3x＝4y＝az，取z＝1，則u＝，故cos〈n，u〉＝＝. 又∵a>0，∴a＝. [答案]　 11．空間四邊形ABCD中，連接AC，BD，若△BCD是正三角形，且E為其中心，則＋－－的化簡(jiǎn)結(jié)果是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392220】 [解析]　如圖，延長(zhǎng)DE交BC于F，易知F是BC中點(diǎn)，則＋－－＝－＋－＝＋－＝＋＋＝＋＝0. [答案]　0 12．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1的體對(duì)角線BD1上一點(diǎn)，記＝λ.當(dāng)∠APC為鈍角時(shí)，則λ的取值范圍為_(kāi)_______． [解析]　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則有A(1，0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，所以＝(1,1，－1)，由題意，可設(shè)＝λ＝(λ，λ，－λ)，連接D1A，D1C，則＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，所以＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，顯然∠APC不是平角，當(dāng)∠APC為鈍角時(shí)，cos∠APC＝cos，＝<0. 由此得出λ∈. [答案]　 13．在△ABC中，若∠ACB＝90，∠BAC＝60，AB＝8，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一點(diǎn)，則PM的最小值為_(kāi)_______． [解析]　建立如圖所示的坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0，4，0)，P(0,0,4)，設(shè)M(x，y,0)，則＝(x－4，y,0)，＝(－4,4，0)，易知＝λ，即(－4,4，0)＝λ(x－4，y,0)， ∴得x＋y－4＝0，所以y＝4－x，＝(x，y，－4)＝(x,4－x，－4)，||2＝x2＋(4－x)2＋16＝4(x－3)2＋28，∵0≤x≤4， ∴當(dāng)x＝3時(shí)，||min＝2. [答案]　2 14．如圖1所示，在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長(zhǎng)為a的正方體ABCOA′B′C′D′，A′C的中點(diǎn)E與AB的中點(diǎn)F的距離為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392221】 圖1 [解析]　由題圖易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A′(a,0，a)． ∴F，E. ∴EF＝＝＝a. [答案]　a 二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 15．(本小題滿(mǎn)分14分)如圖2，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90，∠BAA1＝∠DAA1＝60，求AC1的長(zhǎng)． 圖2 [解]　∵＝＋＋， ∴||＝ ＝. ∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90，∠BAA1＝∠DAA1＝60， ∴〈，〉＝90，〈，〉＝〈，〉＝60， ∴|| ＝ ＝. 16．(本小題滿(mǎn)分14分)如圖3，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)．求證：A1O⊥平面GBD. 圖3 [證明]　設(shè)＝a，＝b，＝c. 則ab＝0，ac＝0，bc＝0. 而＝＋＝＋(＋)＝c＋(a＋b)， ＝－＝b－a， ＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)－c， ∴＝(b－a) ＝c(b－a)＋(a＋b)(b－a) ＝cb－ca＋(b2－a2) ＝(|b|2－|a|2)＝0. ∴⊥， ∴A1O⊥BD. 同理可證⊥. ∴A1O⊥OG. 又OG∩BD＝O且A1O?平面BDG， ∴A1O⊥平面GBD. 17．(本小題滿(mǎn)分14分)如圖4，正方形ABCD和四邊形ACEF所在平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1. 圖4 (1)求證：AF∥平面BDE； (2)求證：CF⊥平面BDE. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392222】 [證明]　(1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G. ∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1， ∴四邊形AGEF為平行四邊形，∴AF∥EG. ∵EG?平面BDE，AF?平面BDE， ∴AF∥平面BDE. (2)連接FG，∵正方形ABCD和四邊形ACEF所在平面互相垂直，且CE⊥AC， ∴CE⊥平面ABCD. 如圖，以C為原點(diǎn)，CD，CB，CE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則C(0,0,0)，A(，，0)，B(0，，0)， D(，0,0)，E(0,0,1)，F(xiàn)， ∴＝，＝(0，－，1)，＝(－，0,1)， ∴＝0－1＋1＝0，＝－1＋0＋1＝0， ∴⊥，⊥， ∴CF⊥BE，CF⊥DE. 又∵BE∩DE＝E， ∴CF⊥平面BDE. 18．(本小題滿(mǎn)分16分)在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90，現(xiàn)將△ABC沿著與平面ABC垂直的方向平移到△A1B1C1的位置，已知AA1＝2，分別取A1B1，A1A的中點(diǎn)P，Q. (1)求的模； (2)求cos〈，〉，cos〈，〉的值，并比較〈，〉與〈，〉的大??； (3)求證：AB1⊥C1P. [解]　(1)以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，P，Q(1,0,1)，B1(0，1,2)，A1(1,0,2)， ∴＝(1，－1,1)，＝(0,1,2)，＝(1，－1，2)，＝(－1,1,2)，＝， ∴||＝＝. (2)∵＝0－1＋2＝1，||＝， ||＝＝， ∴cos〈，〉＝＝＝. 又∵＝0－1＋4＝3，||＝＝，|CB1|＝＝， ∴cos〈，〉＝＝＝. ∵0<<<1， ∴〈，〉∈，〈，〉∈， 又∵y＝cos x在內(nèi)單調(diào)遞減， ∴〈，〉>〈，〉． (3)證明：∵＝(－1,1，－2)＝0， ∴⊥，即AB1⊥C1P. 19．(本小題滿(mǎn)分16分)如圖5，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一點(diǎn)，PE＝2EC. 圖5 (1)證明：PC⊥平面BED； (2)設(shè)二面角APBC為90，求PD與平面PBC所成角的大小. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392223】 [解]　如圖，設(shè)AC∩BD＝O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OD所在直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(－，0,0)，C(，0,0)，P(－，0,2)． 設(shè)BD＝2a，則B(0，－a,0)，D(0，a,0)． (1)證明：＝(2，0，－2)，＝(0,2a,0)． 由PE＝2EC，得E，則＝. 所以＝(2，0，－2)＝0， ＝(2，0，－2)(0,2a,0)＝0， 即⊥，⊥. 又因?yàn)锽E∩BD＝B，所以PC⊥平面BED. (2)設(shè)平面PAB的法向量n＝(x1，y1，z1)． 易得＝(0,0,2)，＝(，－a,0)． 由得 取x1＝1，可得n＝. 設(shè)平面PBC的法向量m＝(x2，y2，z2)． 易得＝(，a,0)，＝(－2，0,2)． 由得 取x2＝1，可得m＝. 因?yàn)槎娼茿PBC為90， 所以mn＝0，即11＋＋0＝0，解得a＝. 所以＝(，，－2)，平面PBC的一個(gè)法向量為m＝(1，－1，)，所以PD與平面PBC所成角的正弦值為＝，所以PD與平面PBC所成角的大小為. 20．(本小題滿(mǎn)分16分)如圖6，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點(diǎn)． 圖6 (1)求證：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由； (3)若二面角AB1EA1的大小為30，求AB的長(zhǎng)． [解]　(1)證明：以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．設(shè)AB＝a，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0，1,1)，E，B1(a,0,1)， 故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝. ∵＝－0＋11＋(－1)1＝0. ∴B1E⊥AD1. (2)假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此時(shí)＝(0，－1，z0)．又設(shè)平面B1AE的法向量為n＝(x，y，z)． 由得 取x＝1，得平面B1AE的一個(gè)法向量n＝. 要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，即－az0＝0，解得z0＝. 又∵DP?平面B1AE， ∴存在一點(diǎn)P，滿(mǎn)足DP∥平面B1AE，此時(shí)AP＝. (3)連接A1D，B1C，由長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D. ∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C. 又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1. ∴AD1⊥平面DCB1A1. ∴是平面A1B1E的一個(gè)法向量，此時(shí)＝(0,1,1)． 設(shè)與平面B1AE的法向量n所成的角為θ，則cos θ＝＝. ∵二面角AB1EA1的大小為30. ∴|cos θ|＝cos 30， 即＝，解得a＝2， 即AB的長(zhǎng)為2.