《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第六章 推理與證明 6.1 合情推理和演繹推理 6.1.1 歸納分層訓(xùn)練 湘教版選修2-2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第六章 推理與證明 6.1 合情推理和演繹推理 6.1.1 歸納分層訓(xùn)練 湘教版選修2-2.doc（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

6．1.1 歸　納 一、基礎(chǔ)達標(biāo) 1．某同學(xué)在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示，○○○●●○○○●● ○○○…，按這種規(guī)律往下排，那么第36個圓的顏色應(yīng)是 (　　) A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 答案　A 2．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集個數(shù)歸納出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集個數(shù)為 (　　) A．n B．n＋1 C．2n D．2n－1 答案　C 解析　集合{a1}的子集有?，{a1}共2個；{a1，a2}的子集有?，{a1}，{a2}，{a1，a2}共4個；集合{a1，a2，a3}的子集共8個，猜測含n個元素的集合的子集有2n個，故選C. 3．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123 4569＋7等于 (　　) 19＋2＝11 129＋3＝111 1239＋4＝1111 1 2349＋5＝11111 12 3459＋6＝111111 A．1111110 B．1111111 C．1111112 D．1111113 答案　B 解析　由數(shù)塔運算積的知識易得B. 4．設(shè)n是自然數(shù)，則(n2－1)[1－(－1)n]的值 (　　) A．一定是零 B．不一定是整數(shù) C．一定是偶數(shù) D．是整數(shù)但不一定是偶數(shù) 答案　C 解析　當(dāng)n＝1時，值為0， 當(dāng)n＝2時，值為0， 當(dāng)n＝3時，值為2， 當(dāng)n＝4時，值為0， 當(dāng)n＝5時，值為6. 5．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6(a，b均為實數(shù))，推測a＝________，b＝________. 答案　6　35 6．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0)，觀察f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f[f1(x)]＝， f3(x)＝f[f2(x)]＝， f4(x)＝f[f3(x)]＝，… 根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N＋且n≥2時，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________. 答案　 解析　先求分母中x項系數(shù)組成數(shù)列的通項公式，由1,3,7,15…，可推知該數(shù)列的通項公式為an＝2n－1，又函數(shù)結(jié)果分母中常數(shù)項依次為2,4,8,16，…，故其通項公式為bn＝2n. ∴fn(x)＝. 7．設(shè)Sn＝＋＋＋…＋，寫出S1，S2，S3，S4的值，歸納并猜想出結(jié)果，并給出證明． 解　n＝1,2,3,4時，S1＝，S2＝，S3＝，S4＝. 猜想：Sn＝. 證明如下：＝－， ∴Sn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－) ＝1－＝. 二、能力提升 8．觀察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，則52 011的末四位數(shù)字為 (　　) A．3 125 B．5 625 C．0 625 D．8 125 答案　D 解析　55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58的末四位數(shù)字為0 625,59的末四位數(shù)字為3 125,510的末四位數(shù)字為5 625,511的末四位數(shù)字為8 125,512的末四位數(shù)字為0 625，…， 由上可得末四位數(shù)字周期為4，呈現(xiàn)規(guī)律性交替出現(xiàn)，所以52 011＝54501＋7末四位數(shù)字為8 125. 9．(2013湖北(理))古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個三角形數(shù)為＝n2＋n.記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式： 三角形數(shù)　N(n,3)＝n2＋n 正方形數(shù)　N(n,4)＝n2 五邊形數(shù)　N(n,5)＝n2－n 六邊形數(shù)　N(n,6)＝2n2－n ...... 可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)＝________. 答案　1 000 解析　由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…， 可以推測：當(dāng)k為偶數(shù)時，N(n，k)＝(－1)n2－(－2)n，于是N(n,24)＝11n2－10n，故N(10,24)＝11102－1010＝1 000. 10．(2013陜西(理))觀察下列等式： 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 … 照此規(guī)律，第n個等式可為________． 答案　12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1) 解析　分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況． 當(dāng)n為偶數(shù)時，分組求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－. 當(dāng)n為奇數(shù)時，第n個等式＝－＋n2＝. 綜上，第n個等式：12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1)． 11．根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列中的前4項，并歸納猜想它的通項公式． (1)a1＝a，an＋1＝； (2)對一切的n∈N*，an>0，且2＝an＋1. 解　(1)由已知可得a1＝a， a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝. 猜想an＝(n∈N*)． (2)∵2＝an＋1， ∴2＝a1＋1，即2＝a1＋1， ∴a1＝1.又2＝a2＋1， ∴2＝a2＋1，∴a－2a2－3＝0. ∵對一切的n∈N*，an>0，∴a2＝3. 同理可求得a3＝5，a4＝7， 猜想出an＝2n－1(n∈N*)． 12．觀察以下等式： sin230＋cos260＋sin 30cos 60＝， sin240＋cos270＋sin 40cos 70＝， sin215＋cos245＋sin 15cos 45＝. … 寫出反映一般規(guī)律的等式，并給予證明． 解　反映一般規(guī)律的等式是(表述形式不唯一)： sin2α＋cos2(α＋30)＋sin αcos(α＋30)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(α＋30)＋sin αcos(α＋30) ＝sin2α＋(cos αcos 30－sin αsin 30)2 ＋sin α(cos αcos 30－sin αsin 30) ＝sin2α＋(cos α－sin α)2＋sin αcos α－sin2α ＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sin αcos α＋sin αcos α－sin2α ＝(sin2α＋cos2α)＝. 三、探究與創(chuàng)新 13．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N＋，求a2，a3，a4，并猜想數(shù)列的通項公式，并給出證明． 解　{an}中a1＝1，a2＝＝， a3＝＝＝， a4＝＝，…， 所以猜想{an}的通項公式an＝(n∈N＋)． 證明如下：因為a1＝1，an＋1＝， 所以＝＝＋， 即－＝，所以數(shù)列{}是以＝1為首項， 公差為的等差數(shù)列， 所以＝1＋(n－1)＝＋， 即通項公式an＝(n∈N＋)．