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測量誤差及數(shù)據(jù)處理方法 南京理工大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心 1 1測量與誤差概念 測量是物理實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ) 測量就是用一定的測量工具或儀器 通過一定的方法 直接或間接地得到所需要的量值 1測量 依照測量方法的不同可將測量分為兩大類 1 直接測量 2 間接測量問題 我們接觸過哪些測量 哪些是直接測量 哪些是間接測量 1 1測量與誤差概念 2誤差 1 誤差的定義 測量誤差 測量值 真值即 N N測 N真這個誤差的定義反映了測量值偏離真實(shí)值的大小和方向 1 1測量與誤差概念 2 誤差來源 1 1測量與誤差概念 1 儀器誤差 2 環(huán)境誤差 4 人員誤差 3 測量方法誤差 3誤差分類及其消除方法 1 系統(tǒng)誤差a 定義 系統(tǒng)誤差是指在同一被測量的多次測量過程中 保持恒定或以可預(yù)知方式變化的測量誤差的分量 系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是其確定性 b 產(chǎn)生原因 測量儀器 測量方法 環(huán)境因素 1 1測量與誤差概念 c 減小系統(tǒng)誤差的方法 對測量結(jié)果引入修正值 選擇適當(dāng)?shù)臏y量方法 使系統(tǒng)誤差能夠抵消而不會帶入測量值中 已定系統(tǒng)誤差 必須修正例如電表 螺旋測微計(jì)的零位誤差 未定系統(tǒng)誤差 要估計(jì)出分布范圍如 螺旋測微計(jì)制造時的螺紋公差等 1 1測量與誤差概念 注意 多次測量求平均并不能消除系統(tǒng)誤差 因?yàn)樵跍y量條件不變時 其有確定的大小和符號 1 1測量與誤差概念 2 隨機(jī)誤差a 隨機(jī)誤差是指在同一量的多次測量過程中 其大小與符號以不可預(yù)知方式變化的測量誤差的分量 隨機(jī)誤差的特征是隨機(jī)性 b 產(chǎn)生原因 實(shí)驗(yàn)條件和環(huán)境因素?zé)o規(guī)則的起伏變化 引起測量值圍繞真值發(fā)生漲落的變化 例如 實(shí)驗(yàn)時溫度的隨機(jī)波動 螺旋測微計(jì)測力在一定范圍內(nèi)隨機(jī)變化 讀數(shù)時的視差影響 c 消除方法 使用統(tǒng)計(jì)方法隨機(jī)誤差的特點(diǎn) 大量的隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布 單峰性 絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大 對稱性 多次測量時分布對稱 即絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同 因此取多次測量的平均值有利于消減隨機(jī)誤差 有界性 在一定的測量條件下 誤差的絕對值不超過一定的界限 1 1測量與誤差概念 1 1測量與誤差概念 3 粗大誤差a 定義 明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差 b 產(chǎn)生原因 錯誤讀數(shù) 儀器有缺陷 環(huán)境干擾等 c 應(yīng)避免出現(xiàn)粗大誤差 如出現(xiàn)粗大誤差 應(yīng)分析粗大誤差產(chǎn)生的原因 處理數(shù)據(jù)時 剔除異常數(shù)據(jù) 精密度 正確度與準(zhǔn)確度 又稱精確度 這三個名詞分別用來反映隨機(jī)誤差 系統(tǒng)誤差和綜合誤差的大小 1 1測量與誤差概念 4測量結(jié)果表示 1 絕對誤差 測量結(jié)果 單位 2 相對誤差 1 1測量與誤差概念 1 2測量結(jié)果誤差估算及評定方法 1 2測量結(jié)果誤差估算及評定方法 對測量結(jié)果評定的三種方法 1 算術(shù)平均偏差 2 標(biāo)準(zhǔn)偏差 均方根偏差 3 不確定度 根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論 我們將多次測量的算術(shù)平均值作為真值的最佳近似 在對測量結(jié)果進(jìn)行評定時 我們約定系統(tǒng)誤差和粗大誤差已經(jīng)消除 修正或可以忽略 只考慮隨機(jī)誤差 其服從正態(tài)分布 1 2測量結(jié)果誤差估算及評定方法 1算術(shù)平均偏差 對某一物理量N進(jìn)行K次測量 得N1 N2 Ni Nk 則算術(shù)平均值為 算術(shù)平均偏差為 1 2測量結(jié)果誤差估算及評定方法 2標(biāo)準(zhǔn)偏差 均方根差 標(biāo)準(zhǔn)偏差是一個描述測量結(jié)果離散程度的參量 用它來評定隨機(jī)誤差有以下優(yōu)點(diǎn) 1 穩(wěn)定性 值隨K 測量次數(shù) 變化較小 2 它以平方計(jì)值 與個別誤差的符號無關(guān) 能反映數(shù)據(jù)的離散程度 3 與最小二乘法吻合 1 2測量結(jié)果誤差估算及評定方法 1 測量列的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差 2 平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差反映了算術(shù)平均值在真值附近漲落的大小 1 2測量結(jié)果誤差估算及評定方法 范圍置信概率 真值落在確定范圍內(nèi)的概率 68 3 95 4 99 7 通常將稱為隨機(jī)誤差的極限誤差 1 2測量結(jié)果誤差估算及評定方法 P 0 3不確定度 3 1定義 它是對測量結(jié)果可信賴程度的評定 它表示了被測量的真值以一定概率落在某個量值范圍內(nèi) 1 2測量結(jié)果誤差估算及評定方法 不確定度小 表示誤差的可能值小 測量的可信賴程度就高 不確定度大 表示誤差的可能值大 測量的可信賴程度降低 3 2不確定度的分類和估算 不確定度分為兩類 A類分量 用統(tǒng)計(jì)方法求出 即 N 或 N B類分量 用其他方法得出 物理實(shí)驗(yàn)中通常使用儀器的極限誤差除以相應(yīng)的置信系數(shù)K 注意 在我們的實(shí)驗(yàn)中一般取K 1 即 1 2測量結(jié)果誤差估算及評定方法 不確定度的合成 方和根合成法 1 2測量結(jié)果誤差估算及評定方法 請記住這一公式 3 3用不確定度表示測量結(jié)果 相對不確定度 測量結(jié)果 約定 在我們的實(shí)驗(yàn)中u取一位有效數(shù)字 注意 的末位和u對齊 例 1 2測量結(jié)果誤差估算及評定方法 1 3直接測量結(jié)果誤差估算及評定 如果對某一物理量只測量一次 則常以測量儀器誤差來評定測量結(jié)果的誤差 例1 用直尺測桌子長度 L 1200 00 5mm例2 用50分度游標(biāo)卡尺測工件長度 L 10 000 02mm例3 用量程為10 A 精度等級為0 5的電流表 單次測量某一電流3 10 A 則 j I 10 A 0 5 0 05 A 1單次測量誤差估算及評定 1 3直接測量結(jié)果誤差估算及評定方法 有以上例題可見 儀器誤差一般用如下方法確定 1 儀器已經(jīng)標(biāo)明了誤差 如千分尺 2 未標(biāo)明時 可取儀器及表盤上最小刻度的一半作為單次測量的允許誤差 如例1 3 電學(xué)儀器 1 3直接測量結(jié)果誤差估算及評定方法 2多次測量結(jié)果的誤差估算及評定 處理步驟 1 求平均值 2 求 和u 3 表示結(jié)果 單位 1 3直接測量結(jié)果誤差估算及評定方法 1 4間接測量結(jié)果誤差的估算及評定 1一般的誤差傳遞公式若N f x y z 則 若對N f x y z 取對數(shù) 則可得到 1 4間接測量結(jié)果誤差估算及評定 2標(biāo)準(zhǔn)偏差的傳遞公式 1 4間接測量結(jié)果誤差估算及評定 3不確定度的傳遞公式 1 4間接測量結(jié)果誤差估算及評定 以上兩公式應(yīng)牢記 并注意應(yīng)用技巧 4間接測量結(jié)果和不確定度評定的基本步驟 1 計(jì)算各直接測量物理量的值和它們的不確定度 即N f x y z 中的x y z和ux uy uz 2 根據(jù)不確定度的傳遞公式計(jì)算間接測量量的不確定度 uN或uN N 保留1位 3 求出間接測量量N f x y z N的末位與不確定度所在位對齊 4 寫出結(jié)果 1 4間接測量結(jié)果誤差估算及評定 1 5有效數(shù)字及其運(yùn)算 1有效數(shù)字的含義 有效數(shù)字是由準(zhǔn)確數(shù)字 若干位 和可疑數(shù)字 一位 構(gòu)成 這樣就能夠正確而有效地表示測量結(jié)果 1 5有效數(shù)字及其運(yùn)算 注意 表示小數(shù)位數(shù)的 0 不是有效數(shù)字 數(shù)字中間和尾部的 0 是有效數(shù)字 數(shù)字尾部的 0 不能隨意舍棄或添加 有效數(shù)字位數(shù)與十進(jìn)制單位的變換無關(guān) 推薦用科學(xué)記數(shù)法 K 10n 1 K 10 1 5有效數(shù)字及其運(yùn)算 2有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則 加減運(yùn)算尾數(shù)對齊 在小數(shù)點(diǎn)后所應(yīng)保留的位數(shù)與諸量中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的一個相同 1 5有效數(shù)字及其運(yùn)算 例 33 2 3 22 36 412 567 1 23 11 341 2345 5 11 2 141 4 20 乘除運(yùn)算位數(shù)取齊 諸量相乘除 結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù) 一般與各個量中有效數(shù)字位數(shù)最少的一個相同 1 5有效數(shù)字及其運(yùn)算 例 1 11 2 0 2 23 248 1 61 2 02 3 某些常見函數(shù)運(yùn)算的有效位數(shù) 1 對數(shù)函數(shù)y lnx y logx計(jì)算結(jié)果尾數(shù)的位數(shù)取得與真數(shù)的位數(shù)相同 2 指數(shù)函數(shù)y ax結(jié)果的有效數(shù)字 可與指數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)相同 3 三角函數(shù)按角度的有效位數(shù)來定 4 常數(shù)的有效位數(shù)可以認(rèn)為是無限的 運(yùn)算中應(yīng)多取1位 1 5有效數(shù)字及其運(yùn)算 4 混合運(yùn)算規(guī)則當(dāng)進(jìn)行加減乘除混合運(yùn)算時 應(yīng)按加減規(guī)則 乘除規(guī)則和函數(shù)運(yùn)算規(guī)則逐步計(jì)算 最后得到計(jì)算結(jié)果 1 5有效數(shù)字及其運(yùn)算 3不確定度和測量結(jié)果的數(shù)字化整規(guī)則 1 不確定度的有效位數(shù)1 2位本書約定不確定度只保留1位 相對不確定度1 2位 尾數(shù)采用四舍六入五湊偶 2 最佳值或測量值末位與不確定度對齊 1 5有效數(shù)字及其運(yùn)算 1 6常用數(shù)據(jù)處理方法 1 列表法 2 作圖法 3 數(shù)學(xué)方法 逐差法 最小二乘法等 1 6數(shù)據(jù)處理方法 數(shù)據(jù)處理是一個對數(shù)據(jù)進(jìn)行加工的過程 常用的數(shù)據(jù)處理方法有以下三類 列表法 1 6數(shù)據(jù)處理方法 例 用讀書顯微鏡測量圓環(huán)直徑測量圓環(huán)直徑D儀器 讀數(shù)顯微鏡 ins 0 004mm 標(biāo)題 說明表格內(nèi)容 附加說明 實(shí)驗(yàn)儀器 條件等 各個欄目標(biāo)明名稱和單位 原始數(shù)據(jù)注意數(shù)據(jù)紀(jì)錄的順序 計(jì)算的中間結(jié)果數(shù)據(jù) 例題 伏安法測電阻實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表 1 6數(shù)據(jù)處理方法 作圖法 優(yōu)點(diǎn) 能形象直觀地顯示物理量之間的函數(shù)關(guān)系 1 6數(shù)據(jù)處理方法 1 選擇合適的坐標(biāo)紙 3 標(biāo)實(shí)驗(yàn)點(diǎn) 4 連成圖線 5 標(biāo)出圖名及注解 電阻伏安特性曲線 作圖法步驟 一般選用直角坐標(biāo)紙 選擇圖紙時以不損失實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效位數(shù)并能包括所有實(shí)驗(yàn)點(diǎn)為限度 2 確定坐標(biāo)軸 選擇合適的坐標(biāo)分度值 注意 坐標(biāo)分度時 忌用3 7等進(jìn)行分度 坐標(biāo)分度可不從零開始 盡可能使圖線充滿圖紙 圖解法 利用已做好的圖線 我們可以定量地求得待測量或得到經(jīng)驗(yàn)公式 1 6數(shù)據(jù)處理方法 從圖中取兩點(diǎn)可以計(jì)算出直線的斜率和截距 從而也就可以得到經(jīng)驗(yàn)公式 如本例 由圖上A B兩點(diǎn)可得被測電阻R為 電阻伏安特性曲線 1 6數(shù)據(jù)處理方法 由圖上A B兩點(diǎn)可得被測電阻R為 不當(dāng)圖例展示 1 6數(shù)據(jù)處理方法 曲線太粗 不均勻 不光滑 應(yīng)該用直尺 曲線板等工具把實(shí)驗(yàn)點(diǎn)連成光滑 均勻的細(xì)實(shí)線 1 6數(shù)據(jù)處理方法 改正為 1 6數(shù)據(jù)處理方法 橫軸坐標(biāo)分度選取不當(dāng) 橫軸以3cm代表1V 使作圖和讀圖都很困難 實(shí)際在選擇坐標(biāo)分度值時 應(yīng)既滿足有效數(shù)字的要求又便于作圖和讀圖 一般以1mm代表的量值是10的整數(shù)次冪或是其2倍或5倍 1 6數(shù)據(jù)處理方法 改正為 1 6數(shù)據(jù)處理方法 圖紙使用不當(dāng) 實(shí)際作圖時 坐標(biāo)原點(diǎn)的讀數(shù)可以不從零開始 1 6數(shù)據(jù)處理方法 改正為 1 6數(shù)據(jù)處理方法 逐差法 逐差法是對等間距測量的有序數(shù)據(jù) 進(jìn)行逐項(xiàng)或相等間隔相減得到結(jié)果 它計(jì)算簡便 并可充分利用數(shù)據(jù) 及時發(fā)現(xiàn)差錯 總結(jié)規(guī)律 是物理實(shí)驗(yàn)中常用的一種數(shù)據(jù)處理方法 使用條件 1 自變量x是等間距變化 2 被測物理量之間函數(shù)形式可以寫成x的多項(xiàng)式 應(yīng)用舉例 拉伸法測彈簧的倔強(qiáng)系數(shù) 設(shè)實(shí)驗(yàn)中 等間隔的在彈簧下加砝碼 如每次加一克 共加9次 分別記下對應(yīng)的彈簧下端點(diǎn)的位置L0L1L2 L9 則可用逐差法進(jìn)行以下處理 1 驗(yàn)證函數(shù)形式是線性關(guān)系 看 L1 L2 L9是否基本相等 當(dāng) Li基本相等時 就驗(yàn)證了外力與彈簧的伸長量之間的函數(shù)關(guān)系是線性的 即F k L 用此法可檢查測量結(jié)果是否正確 但注意的是必須用逐項(xiàng)逐差 2 求物理量數(shù)值 現(xiàn)計(jì)算每加一克砝碼時彈簧的平均伸長量 從上式可看出用逐項(xiàng)逐差 中間的測量值全部抵消了 只有始末二次測量起作用 與一次加九克砝碼的測量完全等價 若用逐項(xiàng)逐差 1 6 1 得到 再求平均 為了保證多次測量的優(yōu)點(diǎn) 只要在數(shù)據(jù)處理方法上作些組合 仍能達(dá)到多次測量減小誤差的目的 所以我們采用分組逐差 通?？蓪⒌乳g隔所測的值分成前后兩組 前一組為L0L1L2L3L4后一組為L5L6L7L8L9 前后兩組對應(yīng)項(xiàng)相減 再取平均值 由此可見 分組逐差和逐項(xiàng)逐差不同 這時每個數(shù)據(jù)都用上了 有利于減小誤差 但注意 這里的是增加五克時彈簧的平均伸長量 1 6數(shù)據(jù)處理方法 數(shù)據(jù)的直線擬合 最小二乘法 用作圖法進(jìn)行擬合帶有相當(dāng)大的主觀隨意性 用最小二乘法進(jìn)行直線擬合優(yōu)于作圖法 最小二乘法的原理 如果能找到一條最佳的擬合直線 那么這條擬合直線上各個相應(yīng)點(diǎn)的值與測量值之差的平方和在所有擬合直線中是最小的 最佳經(jīng)驗(yàn)公式y(tǒng) a0 a1x中a0 a1的求解 通過實(shí)驗(yàn) 等精度地測得一組互相獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) xi yi i 1 2 k 設(shè)此兩物理量x y滿足線性關(guān)系 且假定實(shí)驗(yàn)誤差主要出現(xiàn)在yi上 設(shè)擬合直線公式為y f x a0 a1x 則測量值和最佳值 回歸直線上對應(yīng)坐標(biāo) 的偏差 1 6數(shù)據(jù)處理方法 按最小二乘法原理 應(yīng)使下式最小 S取極小值必要的條件是 即 整理后得 解得 式中 1 6數(shù)據(jù)處理方法 相關(guān)系數(shù)r 最小二乘法處理數(shù)據(jù)除給出a b外 還應(yīng)給出相關(guān)系數(shù)r r定義為r表示兩變量之間的函數(shù)關(guān)系與線性的符合程度 r 1 1 r 1 x y間線性關(guān)系好 r 0 x y間無線性關(guān)系 擬合無意義 物理實(shí)驗(yàn)中一般要求r絕對值達(dá)到0 999以上 3個9以上 其中 a b r的具體求解方法 1 用有二維統(tǒng)計(jì)功能的計(jì)算器可直接求得a b r 2 用計(jì)算機(jī)Excel程序中的intercept slope correl函數(shù)也可直接求得a b r 3 可以根據(jù)實(shí)際情況自己編程求a b r 知識點(diǎn)總結(jié) 1 測量與誤差關(guān)系直接測量 間接測量 誤差定義 隨機(jī)誤差 系統(tǒng)誤差 粗大誤差 誤差表示方法 誤差消除方法 測量結(jié)果表示方法 2 測量結(jié)果誤差估算及評定方法最佳值 標(biāo)準(zhǔn)偏差 不確定度 3 直接測量結(jié)果誤差及評定方法單次測量 多次測量 不確定度表示測量結(jié)果 4 間接測量結(jié)果誤差及評定誤差傳遞 間接測量式 不確定度表示測量結(jié)果 5 有效數(shù)字及其運(yùn)算有效數(shù)字 加減法 乘除法 有效數(shù)位約定 6 常用數(shù)據(jù)處理方法列表法 作圖法 逐差法 最小二乘法 直線擬合 1 直接測量量 原始數(shù)據(jù) 的讀數(shù)應(yīng)反映儀器的準(zhǔn)確度 游標(biāo)類器具 游標(biāo)卡尺 分光計(jì)度盤 大氣壓計(jì)等 一般讀至游標(biāo)最小分度的整數(shù)倍 即不需估讀 1 直接測量量 原始數(shù)據(jù) 的讀數(shù)應(yīng)反映儀器的準(zhǔn)確度 數(shù)顯儀表及有十進(jìn)步式標(biāo)度盤的儀表 電阻箱 電橋 電位差計(jì) 數(shù)字電壓表等 一般應(yīng)直接讀取儀表的示值 直接讀數(shù)注意事項(xiàng) 注意指針指在整刻度線上時讀數(shù)的有效位數(shù) 1 直接測量量 原始數(shù)據(jù) 的讀數(shù)應(yīng)反映儀器的準(zhǔn)確度 指針式儀表及其它器具 讀數(shù)時估讀到儀器最小分度的1 2 1 10 或使估讀間隔不大于儀器基本誤差限的1 5 1 3 系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的關(guān)系 1 二者同時存在 有時是難以區(qū)分的 2 隨著人類認(rèn)知水平和科技的發(fā)展 二者會發(fā)生轉(zhuǎn)化 1 1測量與誤差概念 進(jìn)行誤差處理時 分三種情況 1 系統(tǒng)誤差影響遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差 2 系統(tǒng)誤差已改正或小得可以忽略 3 二者對結(jié)果影響相近