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土木工程測(cè)量 主要內(nèi)容水準(zhǔn)測(cè)量角度測(cè)量距離測(cè)量測(cè)量誤差 ObservationInaccuracy 小地區(qū)控制測(cè)量地形圖測(cè)繪及應(yīng)用施工測(cè)量與施工放樣 1 第五章測(cè)量誤差知識(shí) 第一節(jié)觀測(cè)誤差概述對(duì)未知量進(jìn)行測(cè)量的過(guò)程稱為觀測(cè) 測(cè)量所獲得的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值 觀測(cè)值與真實(shí)值 簡(jiǎn)稱真值 之間的差異稱為觀測(cè)誤差或測(cè)量誤差 用li代表觀測(cè)值 X代表真值 則 其中 i就是觀測(cè)誤差 通常稱為真誤差 簡(jiǎn)稱誤差 2 1 產(chǎn)生觀測(cè)誤差的原因 1 儀器 工具 儀器因素 儀器構(gòu)造上的缺陷和儀器本身精密度的限制 2 觀測(cè)者 人為因素 觀測(cè)者的技術(shù)水平和感官能力 3 外界條件 環(huán)境因素 環(huán)境溫度 濕度 風(fēng)力 透明度 大氣折光等 3 2 觀測(cè)誤差的分類和處理方法 觀測(cè)誤差可分為粗差 系統(tǒng)誤差和偶然誤差三種 1 粗差粗差又稱 不正當(dāng)誤差 過(guò)失誤差 屬于大量級(jí)誤差 含有粗差的測(cè)量值稱為 壞值 或 異常值 產(chǎn)生原因 作業(yè)人員的疏忽大意 失職 如照錯(cuò)目標(biāo) 讀錯(cuò) 記錯(cuò)等 儀器受到干擾或發(fā)生故障 容許誤差取得過(guò)小等 處理辦法 嚴(yán)格按照測(cè)量規(guī)范 進(jìn)行必要的重復(fù)觀測(cè) 通過(guò)多余觀測(cè)進(jìn)行嚴(yán)密檢核 驗(yàn)算 含粗差的觀測(cè)值都不能用 一旦發(fā)現(xiàn)粗差 觀測(cè)值必須舍棄并重測(cè) 4 觀測(cè)誤差的分類和處理方法 2 系統(tǒng)誤差 systemerror 在一定觀測(cè)條件下對(duì)觀測(cè)量作一系列的觀測(cè) 大小和符號(hào)保持不變或按一定規(guī)律變化的誤差 系統(tǒng)誤差具有積累性 產(chǎn)生原因 如經(jīng)緯儀豎盤指標(biāo)差對(duì)豎直角的影響 地球曲率對(duì)測(cè)距和高程的影響等 消減辦法 嚴(yán)格檢校儀器 在觀測(cè)方法和程序上采取必要措施 如角度測(cè)量中采取盤左 盤右觀測(cè) 找出產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因和規(guī)律 對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行改正 如對(duì)距離觀測(cè)值進(jìn)行三項(xiàng)改正 對(duì)豎直角進(jìn)行指標(biāo)差改正等 5 觀測(cè)誤差的分類和處理方法 3 偶然誤差 accidenterror 在一定觀測(cè)條件下進(jìn)行一系列觀測(cè) 大小和符號(hào)呈現(xiàn)偶然性的誤差稱為偶然誤差 又稱隨機(jī)誤差 此類誤差表面上看來(lái)沒(méi)有規(guī)律性 產(chǎn)生原因 不固定 難以控制 如估讀誤差 照準(zhǔn)誤差等 其大小 符號(hào)純屬偶然 處理辦法 粗差可以發(fā)現(xiàn)并剔除 系統(tǒng)誤差可加以改正 但偶然誤差是不可避免的 大量的偶然誤差具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 可對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析 并運(yùn)用其統(tǒng)計(jì)特性來(lái)建立衡量測(cè)量精度的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn) 6 偶然誤差的特性 3 偶然誤差的特性偶然誤差在消除了粗差和系統(tǒng)誤差的觀測(cè)值中占主導(dǎo)地位 因此 本章主要研究偶然誤差 對(duì)某未知量進(jìn)行n次觀測(cè) 其偶然誤差具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律 統(tǒng)計(jì)大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 表明偶然誤差有如下特性 1 范圍 有界性 在一定觀測(cè)條件下的有限個(gè)觀測(cè)中 偶然誤差的絕對(duì)值不超過(guò)一定限值 2 數(shù)值 超小性 絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的頻率大 絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的頻率小 3 符號(hào) 相等性 絕對(duì)值相等的正 負(fù)誤差出現(xiàn)的頻率大致相等 7 偶然誤差的特性 4 累加相消性當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí) 偶然誤差的算術(shù)平均值極限為零 即 其中 中括號(hào) 表示變量代數(shù)和 頻率直方圖以誤差大小 為橫坐標(biāo) 以頻率k n與區(qū)間d 的比值 k n d 為縱坐標(biāo) 用直方圖表示偶然誤差的分布情況 8 偶然誤差的特性 誤差分布曲線誤差個(gè)數(shù)n 同時(shí)無(wú)限縮小誤差區(qū)間d 頻率直方圖成為光滑曲線 即誤差分布曲線 是正態(tài)分布曲線 函數(shù)式為 為概率密度函數(shù) 為誤差分布標(biāo)準(zhǔn)差 9 第二節(jié)衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn) 從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度上說(shuō) 精度是指誤差分布的密集或離散程度 它體現(xiàn)了觀測(cè)結(jié)果的優(yōu)劣 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)主要有以下幾種 1 中誤差標(biāo)準(zhǔn)差是衡量精度的一種理論表達(dá)式 但觀測(cè)次數(shù)不可能無(wú)限多 因此實(shí)用中以中誤差作為精度衡量標(biāo)準(zhǔn)的一種 其定義為 10 衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn) 中誤差又稱均方誤差 式中 2 i 2 i為觀測(cè)真誤差 中誤差的幾何意義即為偶然誤差分布曲線的兩個(gè)拐點(diǎn)橫坐標(biāo) 中誤差與精度成反比 中誤差與真誤差均為絕對(duì)誤差 2 相對(duì)誤差采用中誤差m的絕對(duì)值與觀測(cè)值L的比值作為衡量精度的指標(biāo) 稱為相對(duì)中誤差 是相對(duì)誤差的一種 一般用K表示 即 11 衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn) 距離測(cè)量中 還常用相對(duì)較差來(lái)檢核 其定義為 相對(duì)較差是相對(duì)真誤差 它反映往返測(cè)量的符合程度 注意 不能用相對(duì)誤差來(lái)衡量測(cè)角精度 因?yàn)闇y(cè)角誤差與角度大小無(wú)關(guān) 12 衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn) 3 極限誤差和容許誤差極限誤差是偶然誤差絕對(duì)值的限值 偶然誤差絕對(duì)值大于3 的概率僅為0 3 可以認(rèn)為 3 是真誤差的極限 即3 為極限誤差 測(cè)量實(shí)踐中 用容許誤差對(duì)偶然誤差的絕對(duì)值進(jìn)行限制 根據(jù)精度要求的不同 測(cè)量規(guī)范常作如下規(guī)定 或 13 第三節(jié)誤差傳播定律 設(shè)觀測(cè)值Z是獨(dú)立觀測(cè)變量X1 X2 Xi Xn的函數(shù) 即Z f X1 X2 Xi Xn Z的中誤差為mZ 各獨(dú)立變量對(duì)應(yīng)的觀測(cè)中誤差分別為m1 m2 mi mn 各變量觀測(cè)中誤差與其函數(shù)中誤差之間的關(guān)系 稱為誤差傳播定律 由泰勒級(jí)數(shù)展開可推導(dǎo)得到其表達(dá)式為 推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)附錄1 14 誤差傳播公式 簡(jiǎn)單函數(shù)的中誤差傳播公式 15 誤差傳播定律 例題 例5 1 y Dsin 觀測(cè)值D 225 85m 0 06m 157 00 30 20 求 y的中誤差m y 解根據(jù)誤差傳播公式有 則 y的中誤差m y為 及 16 第四節(jié)等精度直接觀測(cè)平差 除了標(biāo)準(zhǔn)實(shí)體或特殊觀測(cè)量 如三角形內(nèi)角和 任何單個(gè)未知量的真值都無(wú)法確知 為可靠估計(jì)真值 只有通過(guò)重復(fù)觀測(cè) 提高測(cè)量成果精度 為消除重復(fù)觀測(cè)值之間的矛盾 盡可能的估計(jì)真值 就必須按一定的數(shù)據(jù)處理原則 采用適當(dāng)計(jì)算方法 對(duì)觀測(cè)值加以必要而又合理的調(diào)整 予以適當(dāng)改正 從而求得觀測(cè)量的最佳估值 并對(duì)觀測(cè)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)估 這一數(shù)據(jù)處理過(guò)程稱為測(cè)量平差或觀測(cè)平差 在相同條件下進(jìn)行的觀測(cè)稱為等精度觀測(cè) 所得觀測(cè)值稱為等精度觀測(cè)值 對(duì)一個(gè)未知量的直接觀測(cè)值進(jìn)行平差稱為直接觀測(cè)平差 17 最或是值 1 最或是值平差結(jié)果是得到未知量最可靠的估值 最接近真實(shí)值 稱為最或是值 等精度直接觀測(cè)平差中 觀測(cè)值的算術(shù)平均值是未知量的最或是值 觀測(cè)值與最或是值之差 稱為最或是誤差 用vi表示 設(shè)對(duì)某量進(jìn)行了n次等精度觀測(cè) 其觀測(cè)值為l1 l2 li ln 該未知量的真值為X 各觀測(cè)值的真誤差為 1 2 i n 則其最或是值為 v 0 18 評(píng)定精度 觀測(cè)值中誤差 2 評(píng)定精度由于單個(gè)未知量的真值不可知 因此真誤差也就不可知 所以不能直接由中誤差的定義來(lái)求中誤差 但是可以通過(guò)有限個(gè)等精度觀測(cè)值li求出最或是值x 然后求出最或是誤差vi 進(jìn)而計(jì)算中誤差m 由真誤差 中誤差的關(guān)系 利用最或是誤差的概念 可得等精度觀測(cè)的觀測(cè)值中誤差計(jì)算公式 推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)附錄2 19 評(píng)定精度 最或是值中誤差 由最或是值x 觀測(cè)值中誤差m 運(yùn)用誤差傳播定律 可得最或是值中誤差 推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)附錄2 由上式可知 最或是值 算術(shù)平均值 的中誤差與觀測(cè)次數(shù)平方根成反比 因此增加觀測(cè)次數(shù)n可提高最或是值的精度 但當(dāng)n達(dá)到一定數(shù)值后 如n 10 再增加觀測(cè)次數(shù) 則工作量增加 而提高精度的效果卻不明顯 故應(yīng)設(shè)法提高觀測(cè)值本身的精度 20 評(píng)定精度 例題 例5 2 對(duì)某角度進(jìn)行了5次等精度觀測(cè) 觀測(cè)結(jié)果列于下表 試求觀測(cè)值的中誤差m 解計(jì)算最或是值x 最或是誤差vi并列于表中 則觀測(cè)值中誤差m為 21 第五節(jié)不等精度直接觀測(cè)平差 若觀測(cè)時(shí)儀器精度不同 或觀測(cè)方法不同 或外界條件不同 不同觀測(cè)條件下的觀測(cè)稱為不等精度觀測(cè) 獲得的觀測(cè)值稱為不等精度觀測(cè)值 對(duì)某未知量進(jìn)行不等精度觀測(cè)時(shí) 各觀測(cè)值的中誤差不同 觀測(cè)值也具有不同的可靠性 因此 在對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行最可靠估值時(shí) 就不能簡(jiǎn)單的取算術(shù)平均值 不等精度觀測(cè)值的可靠性 可用觀測(cè)值 權(quán) 來(lái)表示 觀測(cè)值精度越高 其權(quán)越大 需要指出的是 權(quán)只具有相對(duì)意義 起作用的是各觀測(cè)值權(quán)的比值 權(quán)通常用字母p表示 且恒為正 22 權(quán)與中誤差的關(guān)系 1 權(quán)與中誤差的關(guān)系觀測(cè)值的中誤差越小 其值越可靠 權(quán)就越大 因此可用觀測(cè)值的中誤差來(lái)定義觀測(cè)值的權(quán) 設(shè)n個(gè)不等精度觀測(cè)值的中誤差為mi i 1 2 n 則權(quán)可由下式來(lái)定義 式中 可取任意正常數(shù) 選擇適當(dāng)?shù)?值可使權(quán)成為便于計(jì)算的數(shù)值 23 權(quán)與中誤差的關(guān)系 例題 例5 3 對(duì)某一角度進(jìn)行了n次不等精度觀測(cè) 求算術(shù)平均值x的權(quán) 解設(shè)一測(cè)回角度觀測(cè)值的中誤差為m 算術(shù)平均值x的中誤差為 設(shè) m2 由權(quán)的定義可得 算術(shù)平均值x的權(quán)為 等于1的權(quán)稱為單位權(quán) 一測(cè)回觀測(cè)值的權(quán)為 角度觀測(cè)的權(quán)與其測(cè)回?cái)?shù)成正比 24 加權(quán)平均值及其中誤差 2 加權(quán)平均值及其中誤差設(shè)不等精度觀測(cè)值li的權(quán)為pi i 1 2 n 則加權(quán)平均值L0為不等精度觀測(cè)值的最或是值 即 加權(quán)平均值中誤差可用最或是誤差vi li L0來(lái)表示 25 附錄1中誤差傳播公式 設(shè)觀測(cè)值Z是獨(dú)立觀測(cè)變量X1 X2 Xn的函數(shù) 即Z f X1 X2 Xn Z的中誤差為mZ 各獨(dú)立變量對(duì)應(yīng)的觀測(cè)中誤差分別為m1 m2 mn 各變量觀測(cè)中誤差與其函數(shù)中誤差之間的關(guān)系 稱為誤差傳播定律 現(xiàn)推導(dǎo)中誤差傳播公式如下 設(shè) 1 式 1 中 Xi 獨(dú)立變量真值 li 獨(dú)立變量Xi的觀測(cè)值 i li的偶然誤差 26 附錄1中誤差傳播公式 將式 2 按多元函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開 有 則 2 3 式 2 中 Z為函數(shù)Z的誤差 即 4 27 附錄1中誤差傳播公式 又設(shè)各獨(dú)立變量都觀測(cè)了k次 則 Z的平方和為 5 28 附錄1中誤差傳播公式 由偶然誤差的相消性可知 當(dāng)觀測(cè)次數(shù)k 時(shí) 上式中 i m i m 的總和趨于0 并由中誤差的概念 有 6 式 6 中 i 1 2 n 將 6 式帶入 5 式并整理可得中誤差傳播公式 29 附錄2觀測(cè)值與最或是值的中誤差公式 1 觀測(cè)值的中誤差公式某未知量的n次等精度觀測(cè)值為l1 l2 ln 則真誤差 i及最或是誤差vi分別為 7 式 7 二式相減 可得 8 令x X 代入式 8 則有 9 30 附錄2觀測(cè)值與最或是值的中誤差公式 式 9 兩邊取平方和 可得 10 而 11 v 0 31 附錄2觀測(cè)值與最或是值的中誤差公式 由偶然誤差的相消性可知 當(dāng)n 時(shí) 式 11 等號(hào)右邊第二項(xiàng)趨于0 故有 12 將式 12 代入式 10 且兩邊同除以n可得 整理式 13 可得觀測(cè)值中誤差公式 13 32 附錄2觀測(cè)值與最或是值的中誤差公式 2 最或是值的中誤差公式某未知量的n次等精度觀測(cè)值為l1 l2 ln 中誤差為m 最或是值x為 由誤差傳播定律 有 由式 14 可得最或是值中誤差公式 14 15 33