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第3章測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理 3 1誤差的基本概念 1 3 2誤差的基本性質(zhì)與處理 3 3測(cè)量不確定度 3 2 3 4最小二乘法與回歸分析 3 1 概述 在科學(xué)技術(shù)高度發(fā)達(dá)的現(xiàn)代社會(huì)中 人類已進(jìn)入瞬息萬變的信息時(shí)代 人們?cè)趶氖鹿I(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)中 主要依靠對(duì)信息資源的開發(fā) 獲取 傳輸和處理 傳感器處于研究對(duì)象與測(cè)控系統(tǒng)的接口位置 是感知 獲取與檢測(cè)信息的窗口 一切科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)過程 特別是自動(dòng)檢測(cè)和自動(dòng)控制系統(tǒng)要獲取的信息 都要通過傳感器將其轉(zhuǎn)換為容易傳輸與處理的電信號(hào) 2 概述 在工程實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中提出的檢測(cè)任務(wù)是正確及時(shí)地掌握各種信息 大多數(shù)情況下是要獲取被測(cè)對(duì)象信息的大小 即被測(cè)量的大小 這樣 信息采集的主要含義就是測(cè)量 取得測(cè)量數(shù)據(jù) 3 測(cè)量是為了確定被測(cè)對(duì)象的量值而進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)過程 其目的是希望通過測(cè)量獲取被測(cè)量的真實(shí)值 但由于種種與檢測(cè)系統(tǒng)的組成和各組成環(huán)節(jié)相關(guān)原因 例如 傳感器本身性能不十分優(yōu)良 測(cè)量方法不十分完善 外界干擾的影響等 都會(huì)造成被測(cè)參數(shù)的測(cè)量值與真實(shí)值不一致 兩者不一致程度用測(cè)量誤差表示 測(cè)量值必須包括 數(shù)值和單位 如測(cè)量課桌的長(zhǎng)度為1 2534m 測(cè)量誤差就是測(cè)量值與真實(shí)值之間的差值 它反映了測(cè)量質(zhì)量的好壞 概述 4 測(cè)量的可靠性至關(guān)重要 不同場(chǎng)合對(duì)測(cè)量結(jié)果可靠性的要求也不同 例如 在量值傳遞 經(jīng)濟(jì)核算 產(chǎn)品檢驗(yàn)等場(chǎng)合應(yīng)保證測(cè)量結(jié)果有足夠的準(zhǔn)確度 當(dāng)測(cè)量值用作控制信號(hào)時(shí) 則要注意測(cè)量的穩(wěn)定性和可靠性 測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度應(yīng)與測(cè)量的目的與要求相聯(lián)系 相適應(yīng) 那種不惜工本 不顧場(chǎng)合 一味追求越準(zhǔn)越好的作法是不可取的 要有技術(shù)與經(jīng)濟(jì)兼顧的意識(shí) 概述 5 測(cè)量的分類 按測(cè)量方式通常可分為 直接測(cè)量 由儀器直接讀出測(cè)量結(jié)果的叫做直接測(cè)量如 用米尺測(cè)量課桌的長(zhǎng)度 電壓表測(cè)量電壓等間接測(cè)量 由直接測(cè)量結(jié)果經(jīng)過公式計(jì)算才能得出結(jié)果的叫做間接測(cè)量 如 測(cè)量單擺的振動(dòng)周期T 用公式 按測(cè)量精度通?？煞譃?等精度測(cè)量 對(duì)某一物理量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量 而且每次測(cè)量的條件都相同 同一測(cè)量者 同一組儀器 同一種實(shí)驗(yàn)方法 溫度和濕度等環(huán)境也相同 不等精度測(cè)量 在諸測(cè)量條件中 只要有一個(gè)發(fā)生了變化 所進(jìn)行的測(cè)量 6 1 測(cè)量誤差的表示方法 測(cè)量誤差的表示方法有多種 含義各異 下面介紹幾種常用的方法 絕對(duì)誤差 絕對(duì)誤差可用下式定義 X X0式中 絕對(duì)誤差 X 測(cè)量結(jié)果 由測(cè)量所得到的被測(cè)量值 X0 被測(cè)量的真實(shí)值 它是一個(gè)理想的概念 一般說的真值是指理論真值 規(guī)定真值和相對(duì)真值 3 1誤差的基本概念 7 對(duì)測(cè)量值進(jìn)行修正時(shí) 要用到絕對(duì)誤差 修正值是與絕對(duì)誤差大小相等 符號(hào)相反的值 實(shí)際值等于測(cè)量值加上修正值 采用絕對(duì)誤差表示測(cè)量誤差 不能很好說明測(cè)量質(zhì)量的好壞 例如 在溫度測(cè)量時(shí) 絕對(duì)誤差 1 對(duì)體溫測(cè)量來說是不允許的 而對(duì)測(cè)量鋼水溫度來說卻是一個(gè)極好的測(cè)量結(jié)果 3 1誤差的基本概念 8 3 1誤差的基本概念 相對(duì)誤差相對(duì)誤差的定義由下式給出 式中 0 相對(duì)誤差 一般用百分?jǐn)?shù)給出 絕對(duì)誤差 X0 真實(shí)值 由于被測(cè)量的真實(shí)值X0無法知道 實(shí)際測(cè)量時(shí)用測(cè)量值X代替真實(shí)值X0進(jìn)行計(jì)算 這個(gè)相對(duì)誤差稱為標(biāo)稱相對(duì)誤差 9 引用誤差引用誤差是儀表中通用的一種誤差表示方法 它是相對(duì)儀表滿量程的一種誤差 一般也用百分?jǐn)?shù)表示 即 式中 引用誤差 絕對(duì)誤差 儀表精度等級(jí)是根據(jù)引用誤差來確定的 例如 0 5級(jí)表的引用誤差的最大值不超過 0 5 1 0級(jí)表的引用誤差的最大值不超過 1 3 1誤差的基本概念 10 國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB776 76 測(cè)量指示儀表通用技術(shù)條件 規(guī)定 電測(cè)量?jī)x表的精度等級(jí)分為7級(jí) 0 1 0 2 0 5 1 0 1 5 2 5及5 0 它們指的是最大引用誤差不能超過儀表精度等級(jí)指數(shù)的百分?jǐn)?shù) 11 例1某電壓表的精度等級(jí)S為1 5級(jí) 試算出它在0V 100V量程的最大絕對(duì)誤差 解 電壓表的量程是 xm 100V 0V 100V 精度等級(jí)S 1 5即引用誤差為 1 5 可求得最大絕對(duì)誤差 m xm 100V 1 5 1 5V故 該電壓表在0V 100V量程的最大絕對(duì)誤差是 1 5V 12 例2某1 0級(jí)電流表 滿度值xm 100uA 求測(cè)量值分別為x1 100uA x2 80uA x3 20uA時(shí)的絕對(duì)誤差和示值相對(duì)誤差 解 精度等級(jí)S 1 0即引用誤差為 1 0 可求得最大絕對(duì)誤差 m xm 100uA 1 0 1 0uA依據(jù)誤差的整量化原則 認(rèn)為儀器在同一量程各示值處的絕對(duì)誤差是常數(shù) 且等于 m 注意 1 通常 測(cè)量?jī)x器在同一量程不同示值處的絕對(duì)誤差實(shí)際上未必處處相等 但對(duì)使用者來講 在沒有修正值可以利用的情況下 只能按最壞情況處理 于是就有了誤差的整量化處理原則 2 因此 為減小測(cè)量中的示值誤差 在進(jìn)行量程選擇時(shí)應(yīng)盡可能使示值接近滿度值 一般示值不小于滿度值的2 3 故 三個(gè)測(cè)量值處的絕對(duì)誤差分別為 x1 x2 x3 m 1 0uA三個(gè)測(cè)量值處的示值 標(biāo)稱 相對(duì)誤差分別為 13 基本誤差基本誤差是指儀表在規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)條件下所具有的誤差 例如 儀表是在電源電壓 220 5 V 電網(wǎng)頻率 50 2 Hz 環(huán)境溫度 20 5 濕度65 5 的條件下標(biāo)定的 如果這臺(tái)儀表在這個(gè)條件下工作 則儀表所具有的誤差為基本誤差 測(cè)量?jī)x表的精度等級(jí)就是由基本誤差決定的 附加誤差附加誤差是指當(dāng)儀表的使用條件偏離額定條件下出現(xiàn)的誤差 3 1誤差的基本概念 14 3 1 2誤差的來源 裝置誤差人員誤差環(huán)境誤差方法誤差 15 根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)中的誤差所呈現(xiàn)的規(guī)律 將誤差分為三種 即系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差粗大誤差這種分類方法便于測(cè)量數(shù)據(jù)的處理 1 系統(tǒng)誤差 對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí) 如果誤差按照一定的規(guī)律出現(xiàn) 則把這種誤差稱為系統(tǒng)誤差 3 1 3誤差的分類 16 1系統(tǒng)誤差 在重復(fù)測(cè)量條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量結(jié)果的平均值減去真值 來源 儀器 裝置誤差 測(cè)量環(huán)境誤差 測(cè)量理論或方法誤差 人員誤差 生理或心理特點(diǎn)所造成的誤差 標(biāo)準(zhǔn)器誤差 儀器安裝調(diào)整不妥 不水平 不垂直 偏心 零點(diǎn)不準(zhǔn)等 如天平不等臂 分光計(jì)讀數(shù)裝置的偏心 附件如導(dǎo)線 理論公式為近似或?qū)嶒?yàn)條件達(dá)不到理論公式所規(guī)定的要求 溫度 濕度 光照 電磁場(chǎng)等 特點(diǎn) 同一被測(cè)量多次測(cè)量中 保持恒定或以可預(yù)知的方式變化 一經(jīng)查明就應(yīng)設(shè)法消除其影響 3 1 3誤差的分類 17 隨機(jī)誤差 測(cè)量結(jié)果減去同一條件下對(duì)被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量結(jié)果的平均值 來源 儀器性能和測(cè)量者感官分辨力的統(tǒng)計(jì)漲落 環(huán)境條件的微小波動(dòng) 測(cè)量對(duì)象本身的不確定性 如氣壓小球直徑或金屬絲直徑 等 特點(diǎn) 個(gè)體而言是不確定的 但其總體服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律 處理 可以用統(tǒng)計(jì)方法估算其對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響 標(biāo)準(zhǔn)差 不可修正 但可減小之 下面講 2 隨機(jī)誤差 在相同的條件下 由于偶然的不確定的因素造成每一次測(cè)量值的無規(guī)則的漲落 測(cè)量值對(duì)真值的偏離時(shí)大時(shí)小 時(shí)正時(shí)負(fù) 這類誤差稱為偶然誤差 3 1 3誤差的分類 18 3 粗大誤差 明顯偏離測(cè)量結(jié)果的誤差稱為粗大誤差 又稱疏忽誤差 這類誤差是由于測(cè)量者疏忽大意或環(huán)境條件的突然變化而引起的 對(duì)于粗大誤差 首先應(yīng)設(shè)法判斷是否存在 然后將其剔除 3 1 3誤差的分類 19 常用正確度 準(zhǔn)確度 精密度和不確定度等來描述測(cè)量結(jié)果的好壞 3 精密度 表示測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差大小的程度 即是指在規(guī)定條件下對(duì)被測(cè)量進(jìn)行多次測(cè)量時(shí) 所得結(jié)果之間符合的程度 簡(jiǎn)稱為精度 1 正確度 表示測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小的程度 系統(tǒng)誤差越小 測(cè)量結(jié)果越準(zhǔn)確 它反映了在規(guī)定條件下 測(cè)量結(jié)果中所有系統(tǒng)誤差的綜合 2 準(zhǔn)確度 表示測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量的 真值 之間的一致程度 它反映了測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的綜合 又稱精確度 3 1 4表證測(cè)量結(jié)果質(zhì)量的指標(biāo) 20 4不確定度 不確定度的含義是指由于測(cè)量誤差的存在 對(duì)被測(cè)量值的不能肯定的程度 測(cè)量結(jié)果寫成如下形式 y N N其中y代表待測(cè)物理量 N為該物理量的測(cè)量值 N是一個(gè)恒正的量 稱為不確定度 代表測(cè)量值N不確定的程度 也是對(duì)測(cè)量誤差的可能取值的測(cè)度 是對(duì)待測(cè)真值可能存在的范圍的估計(jì) 不確定度和誤差是兩個(gè)不同的概念 誤差是指測(cè)量值與真值之差 一般情況下 由于真值未知 所以它是未知的 不確定度的大小可以按一定的方法計(jì)算 或估計(jì) 出來 21 a 精密度低 正確度高 b 精密度高 正確度低 c 精密度 正確度和準(zhǔn)確度皆高 22 逐項(xiàng)分析法 對(duì)測(cè)量中可能產(chǎn)生的誤差進(jìn)行分析 逐項(xiàng)計(jì)算出其值 并對(duì)其中主要項(xiàng)目按照誤差性質(zhì)的不同 用不同的方法綜合成總的測(cè)量誤差極限 這種方法反映出了各種誤差成分在總誤差中所占的比重 我們可以得知產(chǎn)生誤差的主要原因 從而分析減小誤差應(yīng)主要采取的措施 逐項(xiàng)分析法適用于擬定測(cè)量方案 研究新的測(cè)量方法 設(shè)計(jì)新的測(cè)量裝置和系統(tǒng) 確定測(cè)量誤差的方法 23 實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)法 應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)在實(shí)際條件下所獲得的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理 確定其最可靠的測(cè)量結(jié)果和估算其測(cè)量誤差的極限 本方法利用實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)測(cè)量誤差進(jìn)行估計(jì) 反映出各種因素的實(shí)際綜合作用 實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)法適用于一般測(cè)量和對(duì)測(cè)量方法和測(cè)量?jī)x器的實(shí)際精度進(jìn)行估算和校驗(yàn) 綜合使用以上兩種方法 可以互相補(bǔ)充 相互驗(yàn)證 確定測(cè)量誤差的方法 24 測(cè)量數(shù)據(jù)中含有系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差 有時(shí)還會(huì)含有粗大誤差 它們的性質(zhì)不同 對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響及處理方法也不同 在測(cè)量中 對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時(shí) 首先判斷測(cè)量數(shù)據(jù)中是否含有粗大誤差 如有則必須加以剔除 再看數(shù)據(jù)中是否存在系統(tǒng)誤差 對(duì)系統(tǒng)誤差可設(shè)法消除或加以修正 對(duì)排除了系統(tǒng)誤差和粗大誤差的測(cè)量數(shù)據(jù) 則利用隨機(jī)誤差性質(zhì)進(jìn)行處理 確定測(cè)量誤差的方法 25 在測(cè)量中 當(dāng)系統(tǒng)誤差已設(shè)法消除或減小到可以忽略的程度時(shí) 如果測(cè)量數(shù)據(jù)仍有不穩(wěn)定的現(xiàn)象 說明存在隨機(jī)誤差 在等精度測(cè)量情況下 得n個(gè)測(cè)量值x1 x2 xn 設(shè)只含有隨機(jī)誤差 1 2 n 這組測(cè)量值或隨機(jī)誤差都是隨機(jī)事件 可以用概率數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來研究 隨機(jī)誤差的處理任務(wù)是從隨機(jī)數(shù)據(jù)中求出最接近真值的值 或稱真值的最佳估計(jì)值 對(duì)數(shù)據(jù)精密度的高低 或稱可信賴的程度 進(jìn)行評(píng)定并給出測(cè)量結(jié)果 3 2誤差的基本性質(zhì)和處理 3 2 1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)處理 對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí) 絕對(duì)值和符號(hào)不可預(yù)知地隨機(jī)變化 但就誤差的總體而言 具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的誤差稱為隨機(jī)誤差 26 1 隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線測(cè)量實(shí)踐表明 多數(shù)測(cè)量的隨機(jī)誤差具有以下特征 絕對(duì)值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大于絕對(duì)值大的 隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超出一定界限 測(cè)量次數(shù)n很大時(shí) 絕對(duì)值相等 符號(hào)相反的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率相等 由特征 不難推出 當(dāng)n 時(shí) 隨機(jī)誤差代數(shù)和趨近于零 隨機(jī)誤差的上述三個(gè)特征 說明其分布實(shí)際上是單一峰值的和有界限的 且當(dāng)測(cè)量次數(shù)無窮增加時(shí) 這類誤差還具有對(duì)稱性 即抵償性 一隨機(jī)誤差的分布規(guī)律 27 在大多數(shù)情況下 當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí) 測(cè)量過程中產(chǎn)生的誤差服從正態(tài)分布規(guī)律 分布密度函數(shù)為 由隨機(jī)誤差定義得 式中 y 概率密度 x 測(cè)量值 隨機(jī)變量 2均方根偏差 標(biāo)準(zhǔn)誤差 L 真值 隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望 隨機(jī)誤差 隨機(jī)變量 x L 一隨機(jī)誤差的分布規(guī)律 28 一隨機(jī)誤差的分布規(guī)律 正態(tài)分布方程式的關(guān)系曲線為一條鐘形的曲線 如圖3 1所示 說明隨機(jī)變量在x L或 0處的附近區(qū)域內(nèi)具有最大概率 隨機(jī)誤差具有以下特征 絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等 對(duì)稱性 在一定測(cè)量條件下的有限測(cè)量值中 其隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的界限 有界性 絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多 單峰性 對(duì)同一量值進(jìn)行多次測(cè)量 其誤差的算術(shù)平均值隨著測(cè)量次數(shù)n的增加趨向于零 抵償性 凡是具有抵償性的誤差原則上可以按隨機(jī)誤差來處理 這種誤差的特征符合正態(tài)分布 圖3 1隨機(jī)誤差的概率分布 29 算術(shù)平均值 在實(shí)際測(cè)量時(shí) 真值L不可能得到 但如果隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布 則算術(shù)平均值處隨機(jī)誤差的概率密度最大 對(duì)被測(cè)量進(jìn)行等精度的n次測(cè)量 得n個(gè)測(cè)量值x1 x2 xn 它們的算術(shù)平均值為 算術(shù)平均值是諸測(cè)量值中最可信賴的 它可以作為等精度多次測(cè)量的結(jié)果 2算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差 30 均方根偏差 上述的算術(shù)平均值是反映隨機(jī)誤差的分布中心 而均方根偏差則反映隨機(jī)誤差的分布范圍 它又稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差或標(biāo)準(zhǔn)差 均方根偏差愈大 測(cè)量數(shù)據(jù)的分散范圍也愈大 所以均方根偏差 可以描述測(cè)量數(shù)據(jù)和測(cè)量結(jié)果的精度 均方根偏差 可由下式求取 式中 第i次測(cè)量值 2算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差 31 圖3 2為不同 下正態(tài)分布曲線 由圖可見 愈小 分布曲線愈陡峭 說明隨機(jī)變量的分散性小 測(cè)量精度高 反之 愈大 分布曲線愈平坦 隨機(jī)變量的分散性也大 則精度也低 圖3 2不同 下正態(tài)分布曲線 2算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差 32 在實(shí)際測(cè)量時(shí) 由于真值L是無法確切知道的 用測(cè)量值的算術(shù)平均值可代替它 各測(cè)量值與算術(shù)平均值之差值稱為殘余誤差 即 用殘余誤差計(jì)算的均方根偏差稱為均方根偏差的估計(jì)值 s 即 2算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差 33 通常在有限次測(cè)量時(shí) 算術(shù)平均值不可能等于被測(cè)量的真值L 它也是隨機(jī)變動(dòng)的 設(shè)對(duì)被測(cè)量進(jìn)行m組的 多次測(cè)量 各組所得的算術(shù)平均值 圍繞真值L有一定的分散性 也是隨機(jī)變量 算術(shù)平均值的精度可由算術(shù)平均值的均方根偏差來評(píng)定 它與的關(guān)系如下 2算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差 34 由上式可見 在測(cè)量條件一定的情況下 算術(shù)平均值的均方根偏差隨著測(cè)量次數(shù) 的增加而減小 算術(shù)平均值愈接近期望值 但僅靠增大 值是不夠的 實(shí)際上測(cè)量次數(shù)越多 越難保證測(cè)量條件的穩(wěn)定 所以在一般精密測(cè)量中 重復(fù)性條件下測(cè)量的次數(shù) 大多少于10 此時(shí)要提高測(cè)量精度 需采用其它措施 如提高儀器精度 改進(jìn)測(cè)量方法等 2算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差 35 1 正態(tài)分布隨機(jī)誤差的概率計(jì)算 因隨機(jī)變量符合正態(tài)分布 它出現(xiàn)的概率就是正態(tài)分布曲線下所包圍的面積 因?yàn)槿侩S機(jī)變量出現(xiàn)的總的概率是 所以曲線所包圍的面積應(yīng)等于 即 隨機(jī)變量在任意誤差區(qū)間 a b 出現(xiàn)的概率為式中 Pa為置信概率 3測(cè)量值的置信區(qū)間與置信概率 36 3測(cè)量值的置信區(qū)間與置信概率 是正態(tài)分布的特征參數(shù) 誤差區(qū)間通常表示成 的倍數(shù) 如k 由于隨機(jī)誤差分布對(duì)稱性的特點(diǎn) 常取對(duì)稱的區(qū)間 即 式中 k 置信系數(shù) k 置信區(qū)間 誤差限 37 表3 1給出幾個(gè)典型的k值及置信概率表3 1k值及其相應(yīng)的概率 3測(cè)量值的置信區(qū)間與置信概率 38 隨機(jī)變量在 k 范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為P 則超出的概率稱為置信度 也稱顯著性水平 用 表示 Pa與 關(guān)系見圖11 3 圖11 3Pa與 關(guān)系 3測(cè)量值的置信區(qū)間與置信概率 39 從表3 1可知 當(dāng)k 1時(shí) Pa 0 6827 即測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差出現(xiàn)在 范圍內(nèi)的概率為68 27 而 v 的概率為31 73 出現(xiàn)在 3 3 范圍內(nèi)的概率是99 73 因此可以認(rèn)為絕對(duì)值大于3 的誤差是不可能出現(xiàn)的 通常把這個(gè)誤差稱為極限誤差 lim 按照上面分析 測(cè)量結(jié)果可表示為 或 3測(cè)量值的置信區(qū)間與置信概率 40 例1 有一組測(cè)量值為237 4 237 2 237 9 237 1 238 1 237 5 237 4 237 6 237 6 237 4 求測(cè)量結(jié)果 解 將測(cè)量值列于下表 測(cè)量結(jié)果為 x 237 52 0 09 Pa 0 6827 或 x 237 52 3 0 09 237 52 0 27 Pa 0 9973 3測(cè)量值的置信區(qū)間與置信概率 41 1 從誤差根源上消除系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤差是在一定的測(cè)量條件下 測(cè)量值中含有固定不變或按一定規(guī)律變化的誤差 系統(tǒng)誤差不具有抵償性 重復(fù)測(cè)量也難以發(fā)現(xiàn) 在工程測(cè)量中應(yīng)特別注意該項(xiàng)誤差 由于系統(tǒng)誤差的特殊性 在處理方法上與隨機(jī)誤差完全不同 3 2 2系統(tǒng)誤差 對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí) 如果誤差按照一定的規(guī)律出現(xiàn) 則把這種誤差稱為系統(tǒng)誤差 42 有效地找出系統(tǒng)誤差的根源并減小或消除它的關(guān)鍵是如何查找誤差根源 這就需要對(duì)測(cè)量設(shè)備 測(cè)量對(duì)象和測(cè)量系統(tǒng)作全面分析 明確其中有無產(chǎn)生明顯系統(tǒng)誤差的因素 并采取相應(yīng)措施予以修正或消除 由于具體條件不同 在分析查找誤差根源時(shí)并無一成不變的方法 這與測(cè)量者的經(jīng)驗(yàn) 水平以及測(cè)量技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān) 3 2 2系統(tǒng)誤差 43 我們可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行分析考慮 所用傳感器 測(cè)量?jī)x表或組成元件是否準(zhǔn)確可靠 比如傳感器或儀表靈敏度不足 儀表刻度不準(zhǔn)確 變換器 放大器等性能不太優(yōu)良 由這些引起的誤差是常見的誤差 測(cè)量方法是否完善 如用電壓表測(cè)量電壓 電壓表的內(nèi)阻對(duì)測(cè)量結(jié)果有影響 3 2 2系統(tǒng)誤差 44 傳感器或儀表安裝 調(diào)整或放置是否正確合理 例如 沒有調(diào)好儀表水平位置 安裝時(shí)儀表指針偏心等都會(huì)引起誤差 傳感器或儀表工作場(chǎng)所的環(huán)境條件是否符合規(guī)定條件 測(cè)量者的操作是否正確 例如讀數(shù)時(shí)的視差 視力疲勞等都會(huì)引起系統(tǒng)誤差 3 2 2系統(tǒng)誤差 45 2 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與判別 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差一般比較困難 下面只介紹幾種發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的一般方法 實(shí)驗(yàn)對(duì)比法這種方法是通過改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件從而進(jìn)行不同條件的測(cè)量 以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差 這種方法適用于發(fā)現(xiàn)固定的系統(tǒng)誤差 例如 一臺(tái)測(cè)量?jī)x表本身存在固定的系統(tǒng)誤差 即使進(jìn)行多次測(cè)量也不能發(fā)現(xiàn) 只有用精度更高一級(jí)的測(cè)量?jī)x表測(cè)量 才能發(fā)現(xiàn)這臺(tái)測(cè)量?jī)x表的系統(tǒng)誤差 3 2 2系統(tǒng)誤差 46 殘余誤差觀察法這種方法是根據(jù)1測(cè)量值的殘余誤差的大小和符號(hào)的變化規(guī)律 直接由誤差數(shù)據(jù)或圖殘余誤差變化規(guī)律誤差曲線圖形判斷有無變化的系統(tǒng)誤差 圖中把殘余誤差按測(cè)量值先后順序排列 圖 a 的殘余誤差排列后有遞減的變值系統(tǒng)誤差 圖 b 則可能有周期性系統(tǒng)誤差 3 2 2系統(tǒng)誤差 47 準(zhǔn)則檢查法 目前已有多種準(zhǔn)則供人們檢驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)中是否含有系統(tǒng)誤差 不過這些準(zhǔn)則都有一定的適用范圍 如馬利科夫判據(jù)是將殘余誤差前后各半分兩組 若 vi前 與 vi后 之差明顯不為零 則可能含有線性系統(tǒng)誤差 3 2 2系統(tǒng)誤差 48 阿貝檢驗(yàn)法則檢查殘余誤差是否偏離正態(tài)分布 若偏離 則可能存在變化的系統(tǒng)誤差 將測(cè)量值的殘余誤差按測(cè)量順序排列 且設(shè) 若 則可能含有變化的系統(tǒng)誤差 3 2 2系統(tǒng)誤差 49 3 系統(tǒng)誤差的消除 在測(cè)量結(jié)果中進(jìn)行修正 對(duì)于已知的系統(tǒng)誤差 可以用修正值對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正 對(duì)于變值系統(tǒng)誤差 設(shè)法找出誤差的變化規(guī)律 用修正公式或修正曲線對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正 對(duì)未知系統(tǒng)誤差 則按隨機(jī)誤差進(jìn)行處理 消除系統(tǒng)誤差的根源 在測(cè)量之前 仔細(xì)檢查儀表 正確調(diào)整和安裝 使用前一定要調(diào)零 防止外界干擾影響 選好觀測(cè) 3 2 2系統(tǒng)誤差 50 位置 消除視差 選擇環(huán)境條件比較穩(wěn)定時(shí)進(jìn)行讀數(shù)等 檢測(cè)方法上消除或減小 在實(shí)際測(cè)量中 采用有效的測(cè)量方法對(duì)于消除系統(tǒng)誤差也是非常重要的 在現(xiàn)有儀器設(shè)備的前提下 改進(jìn)測(cè)量方法可提高測(cè)量的精確度 常用的幾種可消除系統(tǒng)誤差的測(cè)量方法有 替換法 對(duì)照法等 3 2 2系統(tǒng)誤差 51 替換法是用可調(diào)的標(biāo)準(zhǔn)器具代替被測(cè)量接入檢測(cè)系統(tǒng) 然后調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)器具 使檢測(cè)系統(tǒng)的指示與被測(cè)量接入時(shí)相同 則此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)器具的數(shù)值等于被測(cè)量值 替換法在兩次測(cè)量過程中 測(cè)量電路及指示器的工作狀態(tài)均保持不變 因此檢測(cè)系統(tǒng)的精確度對(duì)測(cè)量結(jié)果基本上沒有影響 從而消除了測(cè)量結(jié)果中的系統(tǒng)誤差 測(cè)量的精確度主要取決于標(biāo)準(zhǔn)已知量 對(duì)指示器只要求有足夠高的靈敏度即可 3 2 2系統(tǒng)誤差 52 替換法不僅適用于精密測(cè)量 也常用于一般的技術(shù)測(cè)量 對(duì)照法也稱交換法 是在一個(gè)測(cè)量系統(tǒng)中改變一下測(cè)量安排 測(cè)出兩個(gè)結(jié)果 將這兩個(gè)測(cè)量結(jié)果相互對(duì)照 并通過適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)處理 可對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正 3 2 2系統(tǒng)誤差 53 例2 在一個(gè)等臂天平稱重實(shí)驗(yàn)中 天平左右兩臂的長(zhǎng)度存在微小差別 如何測(cè)量能保證足夠高的精確度 解 分析此稱重實(shí)驗(yàn) 由于兩臂長(zhǎng)度微小差值的存在 使測(cè)量存在恒值系統(tǒng)誤差 我們可采用對(duì)照法改進(jìn)測(cè)量 設(shè)被測(cè)物為X 砝碼為P 改變砝碼重量直到兩臂平衡 記錄測(cè)量值p1 將X與P左右交換 改變砝碼重量值使天平再次平衡 記錄測(cè)量值p2 取兩次測(cè)量的平均值 即得到精確測(cè)量值 消除了系統(tǒng)誤差 3 2 2系統(tǒng)誤差 54 在測(cè)量系統(tǒng)中采用補(bǔ)償措施 找出系統(tǒng)誤差的規(guī)律 在測(cè)量過程中自動(dòng)消除系統(tǒng)誤差 如用熱電偶測(cè)量溫度時(shí) 熱電偶參考端溫度變化會(huì)引起系統(tǒng)誤差 消除此誤差的辦法之一是在熱電偶回路中加一個(gè)冷端補(bǔ)償器 從而實(shí)現(xiàn)自動(dòng)補(bǔ)償 3 2 2系統(tǒng)誤差 55 實(shí)時(shí)反饋修正 由于自動(dòng)化測(cè)量技術(shù)及微機(jī)的應(yīng)用 可用實(shí)時(shí)反饋修正的辦法來消除復(fù)雜的變化系統(tǒng)誤差 當(dāng)查明某種誤差因素的變化對(duì)測(cè)量結(jié)果有明顯的復(fù)雜影響時(shí) 應(yīng)盡可能找出其影響測(cè)量結(jié)果的函數(shù)關(guān)系或近似的函數(shù)關(guān)系 在測(cè)量過程中 用傳感器將這些誤差因素的變化轉(zhuǎn)換成某種物理量形式 一般為電量 及時(shí)按照其函數(shù)關(guān)系 通過計(jì)算機(jī)算出影響測(cè)量結(jié)果的誤差值 對(duì)測(cè)量結(jié)果作實(shí)時(shí)的自動(dòng)修正 3 2 2系統(tǒng)誤差 56 粗大誤差 明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差 在對(duì)重復(fù)測(cè)量所得一組測(cè)量值進(jìn)行數(shù)據(jù)處理之前 首先應(yīng)將具有粗大誤差的可疑數(shù)據(jù)找出來加以剔除 人們絕對(duì)不能憑主觀意愿對(duì)數(shù)據(jù)任意進(jìn)行取舍 而是要有一定的根據(jù) 原則就是要看這個(gè)可疑值的誤差是否仍處于隨機(jī)誤差的范圍之內(nèi) 是則留 不是則棄 因此要對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行必要的檢驗(yàn) 下面就常用的幾種準(zhǔn)則介紹如下 3 2 3粗大誤差 57 3 準(zhǔn)則 拉依達(dá)準(zhǔn)則 如果一組測(cè)量數(shù)據(jù)中某個(gè)測(cè)量值的殘余誤差的絕對(duì)值 vi 3 時(shí) 則該測(cè)量值為可疑值 壞值 應(yīng)剔除 該方法是最簡(jiǎn)單最常用的判別粗大誤差的準(zhǔn)則 2 肖維勒準(zhǔn)則 肖維勒準(zhǔn)則以正態(tài)分布為前提 假設(shè)多次重復(fù)測(cè)量所得n個(gè)測(cè)量值中 某個(gè)測(cè)量值的殘余誤差 vi Zc 則剔除此數(shù)據(jù) 實(shí)用中Zc 3 所以在一定程度上彌補(bǔ)了3 準(zhǔn)則的不足 3 2 3粗大誤差 58 格拉布斯準(zhǔn)則 某個(gè)測(cè)量值的殘余誤差的絕對(duì)值 vi g 則判斷此值中含有粗大誤差 應(yīng)予剔除 此即格拉布斯準(zhǔn)則 它被認(rèn)為是比較好的準(zhǔn)則 g值與重復(fù)測(cè)量次數(shù)n和置信概率P 有關(guān) 見表3 2 表3 2格拉布斯準(zhǔn)則中的g0值 3 2 3粗大誤差 59 以上準(zhǔn)則是以數(shù)據(jù)按正態(tài)分布為前提的 當(dāng)偏離正態(tài)分布 特別是測(cè)量次數(shù)很少時(shí) 則判斷的可靠性就差 因此 對(duì)粗大誤差除用剔除準(zhǔn)則外 更重要的是要提高工作人員的技術(shù)水平和工作責(zé)任心 另外 要保證測(cè)量條件穩(wěn)定 防止因環(huán)境條件劇烈變化而產(chǎn)生的突變影響 3 2 4測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理步驟 60 3 2 4測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理步驟 61 例3對(duì)某軸徑測(cè)量9次的得到表3 3數(shù)據(jù) 求測(cè)量結(jié)果 62 解 1 求算術(shù)平均值 3求均方差 2求殘余誤差 4利用馬利科夫準(zhǔn)則判斷系統(tǒng)誤差 因M較小可判斷該測(cè)量列無系統(tǒng)誤差存在 63 5 判斷粗大誤差 比較發(fā)現(xiàn)所有的殘余誤差都比KG小 故可以判斷該次測(cè)量不存在粗大誤差 7求算術(shù)平均的置信限 6求算術(shù)平均的標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)方差 8測(cè)量結(jié)果 64