《高中數(shù)學 2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（1）課件 新人教版選修2-1.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學 2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（1）課件 新人教版選修2-1.ppt（47頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2 4 2拋物線的簡單幾何性質(zhì)第1課時拋物線的簡單幾何性質(zhì) 拋物線的簡單幾何性質(zhì) x 0 y R x 0 y R x R y 0 x R y 0 x y O 0 0 1 判斷 正確的打 錯誤的打 1 拋物線的圖象關于點 0 0 對稱 2 拋物線沒有漸近線 3 過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦長是p 提示 1 錯誤 拋物線沒有對稱中心 它的圖象不關于點 0 0 對稱 因為y2 2px中 同時把x y換成 x y 方程發(fā)生了變化 2 正確 漸近線是圓錐曲線中雙曲線的特有性質(zhì) 拋物線沒有漸近線 3 錯誤 把x 代入y2 2px p 0 得y p 所以過焦點且垂直于對稱軸的弦長是2p 答案 1 2 3 知識點撥 1 在標準方程形式下拋物線的性質(zhì)與橢圓 雙曲線的比較 2 參數(shù)p p 0 對拋物線開口大小的影響因為過拋物線的焦點F且垂直于對稱軸的弦的長度是2p 所以p越大 開口越大 3 拋物線的圖象具有的特征拋物線是軸對稱圖形 其焦點F和準線與對稱軸的交點關于原點O對稱 即若準線與對稱軸的交點為M 則O為MF的中點 4 點P x0 y0 與拋物線y2 2px p 0 的位置關系 1 P x0 y0 在拋物線y2 2px p 0 內(nèi)部 y020 上 y02 2px0 3 P x0 y0 在拋物線y2 2px p 0 外部 y02 2px0 類型一焦半徑和焦點弦問題 典型例題 1 2013 鶴崗高二檢測 拋物線y2 8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4 則點P到該拋物線焦點的距離是 A 4B 6C 8D 122 2013 大理高二檢測 若拋物線y2 2px p 0 上有一點M 其橫坐標為 9 它到焦點的距離為10 求拋物線方程和M點的坐標 解題探究 1 拋物線y2 8x的焦點坐標是什么 準線方程呢 2 拋物線上的點具有什么性質(zhì) 探究提示 1 焦點坐標為 2 0 準線方程為x 2 2 拋物線上的點具有兩點性質(zhì) 點的坐標適合方程 點滿足定義條件 即點P到焦點的距離等于到準線的距離 解析 1 選B 拋物線y2 8x的準線是x 2 由條件知P到y(tǒng)軸距離為4 點P的橫坐標xP 4 根據(jù)焦半徑公式可得 PF 4 2 6 2 由拋物線定義知焦點坐標為F 0 準線方程為x 由題意設M到準線的距離為 MN 則 MN MF 10 即 9 10 p 2 故拋物線方程為y2 4x 將M 9 y 代入y2 4x 解得y 6 M 9 6 或M 9 6 拓展提升 1 拋物線的焦半徑 1 拋物線的焦半徑是指拋物線上任意一點與拋物線焦點為端點的線段 2 拋物線的焦半徑公式 2 過拋物線焦點的弦長設過拋物線焦點的弦的端點為A x1 y1 B x2 y2 則 變式訓練 拋物線的頂點在原點 以x軸為對稱軸 經(jīng)過焦點且傾斜角為135 的直線被拋物線所截得的弦長為8 試求拋物線的方程 解題指南 聯(lián)立方程組 由過焦點的弦長公式表示出弦長 解方程求出參數(shù)值 從而得出拋物線的標準方程 解析 若拋物線開口向右 如圖 設拋物線的方程為y2 2px p 0 則直線方程為y x p 設直線交拋物線于A x1 y1 B x2 y2 兩點 則由拋物線定義得 AB AF FB AC BD x1 x2 即x1 x2 p 8 又A x1 y1 B x2 y2 是拋物線和直線的交點 由消去y 得x2 3px 0 x1 x2 3p 將其代入 得p 2 所求拋物線的方程為y2 4x 當拋物線的開口向左時 同理可求得拋物線的方程為y2 4x 綜上 拋物線的方程為y2 4x或y2 4x 類型二拋物線性質(zhì)的應用 典型例題 1 2013 唐山高二檢測 拋物線y 4x2上一點到直線y 4x 5的距離最短 則該點的坐標是 A 1 B 0 0 C 1 2 D 1 4 2 已知A B是拋物線y2 2px p 0 上兩點 O為坐標原點 若 OA OB 且 AOB的垂心恰是此拋物線的焦點 求直線AB的方程 解題探究 1 題1中求拋物線上的一點到已知直線的距離最短的解題思路一般有哪些 2 以原點為一個頂點的三角形的 四心 在拋物線的對稱軸上 另兩個頂點的位置關系如何 探究提示 1 一般有三種方法 1 構造函數(shù)法 2 數(shù)形結合法 3 轉化法 2 根據(jù)拋物線的對稱性 另兩個頂點必定關于對稱軸對稱 解析 1 選A 方法一 設拋物線上點的坐標為 x 4x2 其中x R 由點到直線的距離公式得 當x 時 d最小 這時點的坐標為 1 方法二 設與y 4x 5平行的拋物線y 4x2的切線方程為y 4x m 由得4x2 4x m 0 再由 16 4 4 m 0得m 1 這時切點為 1 切點 1 到y(tǒng) 4x 5的距離最小 2 如圖所示 設A x0 y0 由題意可知B x0 y0 又F 0 是 AOB的垂心 則AF OB kAF kOB 1 即 y02 x0 x0 又y02 2px0 x0 2p 因此直線AB的方程為x 互動探究 題2中 若把 垂心 改為 重心 AB的方程如何 解析 根據(jù)拋物線的對稱性 因為F為 OAB的重心 所以A B兩點關于x軸對稱 又根據(jù)重心的性質(zhì) OF AB的方程應為 拓展提升 拋物線的主要性質(zhì)及應用方向 類型三拋物線中的證明問題 典型例題 1 證明以拋物線的焦點弦為直徑的圓與拋物線的準線相切 2 已知過拋物線y2 2px p 0 的焦點F的直線交拋物線于A x1 y1 B x2 y2 兩點 求證 1 x1x2為定值 2 為定值 解題探究 1 判斷直線與圓位置關系時最常用的方法是什么 2 什么是定值 探究提示 1 判斷直線與圓的位置關系時 一般利用幾何法進行判斷 即判斷圓心到直線的距離與半徑的大小 2 定值就是代數(shù)式化簡的結果與任何參數(shù)都無關 證明 1 如圖 作AA1 l于A1 BB1 l于B1 M為AB的中點 作MM1 l于M1 則由拋物線的定義可知 AA1 AF BB1 BF 在直角梯形BB1A1A中 MM1 AA1 BB1 AF BF AB 故以拋物線的焦點弦為直徑的圓 必與拋物線的準線相切 2 1 拋物線y2 2px的焦點為F 0 當AB不垂直于x軸時 設直線AB的方程為y k x k 0 由消去y 得k2x2 p k2 2 x 0 由根與系數(shù)的關系得x1x2 定值 當AB x軸時 x1 x2 x1x2 也成立 2 由拋物線的定義知 FA x1 FB x2 又由 1 得x1x2 所以 定值 拓展提升 解決與拋物線有關的證明問題應注意的四點 變式訓練 如圖 M是拋物線y2 x上的一點 動弦ME MF分別交x軸于A B兩點 且 MA MB 若M為定點 證明 直線EF的斜率為定值 證明 設M y02 y0 直線ME的斜率為k k 0 則直線MF的斜率為 k 直線ME的方程為y y0 k x y02 由消去x 得ky2 y y0 1 ky0 0 解得 同理可得 定值 直線EF的斜率為定值 易錯誤區(qū) 拋物線最值問題中忽視范圍致誤 典例 2013 安陽高二檢測 若拋物線x2 2y上距離點A 0 a 的最近點恰好是拋物線的頂點 則a的取值范圍是 A a 0B 0 a 1C a 1D a 0 解析 選C 設拋物線上任一點P的坐標為 x y 則 PA 2 d2 x2 y a 2 2y y a 2 y2 2a 2 y a2 y a 1 2 2a 1 y 0 根據(jù)題意知 1 當a 1 0 即a 1 y 0時 dmin2 a2 這時dmin a 2 當a 1 0 即a 1時 y a 1時d2取到最小值 不符合題意 綜上可知a 1 誤區(qū)警示 防范措施 1 不要忽視拋物線中范圍拋物線中的變量是有范圍的 解題中若忽視了這一點 會使討論起來更加復雜 或解題中妄加猜測 如本例中y的范圍為 0 2 分類討論思想的應用求最值時 若對稱軸與變量范圍不確定時 需分類討論 如本例中 因y 0 故分a 1 0或a 1 0兩種情況討論 類題試解 設點A的坐標為 a 0 a R 則曲線y2 2x上的點到A點的距離的最小值為 解析 設曲線y2 2x上的點到A點的距離為d 拋物線上任一點的坐標為 x y 則d2 x a 2 y2 x2 2a 2 x a2 x a 1 2 2a 1 因為x 0 所以當a 1時 dmin2 2a 1 dmin 當a 1時 dmin2 a2 dmin a 答案 或 a 1 拋物線y x2上的點到直線4x 3y 8 0距離的最小值是 A B C D 3 解析 選A 設拋物線y x2上一點為 m m2 該點到直線4x 3y 8 0的距離為當m 時 取得最小值為 2 方程 3 m y2 m 1 x表示拋物線 其中m不能為 A 1B 3C 1或3D 1且3 解析 選D 由條件知 解得m 3且m 1 故選D 3 拋物線y2 mx的焦點為F 點P 2 2 在此拋物線上 M為線段PF的中點 則點M到該拋物線準線的距離為 A 1B C 2D 解析 選D 點P 2 2 在拋物線y2 mx上 所以m 4 拋物線的準線為x 1 拋物線y2 mx的焦點為F 1 0 M為線段PF的中點 M的坐標為 M到拋物線的準線x 1的距離 4 拋物線y2 8x上到其準線和頂點距離相等的點的坐標為 解析 根據(jù)定義知 拋物線上的點P到頂點的距離和到焦點的距離相等 P在OF的中垂線上 F 2 0 點P的橫坐標為1 把x 1代入y2 8x得y 2 故P 1 2 答案 1 2 和 1 2 5 拋物線y2 2x上點P 1 到其焦點的距離為 解析 焦點為F 0 d 故P 1 到拋物線焦點的距離為 答案 6 已知拋物線的焦點F在x軸上 直線l過F且垂直于x軸 l與拋物線交于A B兩點 O為坐標原點 若 OAB的面積等于4 求此拋物線的標準方程 解析 由題意 拋物線方程為y2 2px p 0 焦點F直線l x A B兩點坐標為 AB 2 p OAB的面積為4 2 p 4 p 2 拋物線方程為y2 4x