22.2.2 第4課時　二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì) 知識點 1　二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì) 1．把二次函數(shù)y＝2x2－4x＋1化成y＝a(x＋h)2＋k的形式為____________________，所以其對應的拋物線的開口方向為______，對稱軸是__________，頂點坐標為________． 2．［xx南充］拋物線y＝x2＋2x＋3的對稱軸是(　　) A．直線x＝1 B．直線x＝－1 C．直線x＝－2 D．直線x＝2 3．由二次函數(shù)y＝－x2＋2x可知(　　) A．其圖象的開口向上 B．其圖象的對稱軸為直線x＝1 C．其最大值為－1 D．其圖象的頂點坐標為(－1，1) 4．二次函數(shù)的表達式為y＝x2－(12－k)x＋12，當x＞1時，y隨x的增大而增大，當x＜1時，y隨x的增大而減小，則k＝________． 5．［教材練習第5題變式］已知二次函數(shù)y＝x2－4x＋a的最小值為－9，且拋物線y＝x2－4x＋a的頂點在直線y＝kx－1上，則a＝________，k＝________． 6．已知函數(shù)y＝－x2－3x－. (1)求出這個函數(shù)圖象的頂點坐標、對稱軸； (2)求出函數(shù)的最大值或最小值； (3)畫出這個函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象說明x為何值時，y隨x的增大而增大；x為何值時，y隨x的增大而減小． 知識點 2　拋物線y＝ax2＋bx＋c的平移 7． 將函數(shù)y＝x2＋x－2化成y＝a(x＋h)2的形式是________________，所以拋物線y＝x2＋x－2可由拋物線y＝x2向________平移________個單位，再向________平移________個單位得到． 8．［xx淄博］將二次函數(shù)y＝x2＋2x－1的圖象沿x軸向右平移2個單位，得到的圖象的函數(shù)表達式是(　　) A．y＝(x＋3)2－2 B．y＝(x＋3)2＋2 C．y＝(x－1)2＋2 D．y＝(x－1)2－2 9．把拋物線y＝x2－2x向下平移2個單位，再向右平移1個單位，則平移后的拋物線對應的函數(shù)表達式為____________． 10．將二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象向左平移4個單位，再向上平移3個單位，得到二次函數(shù)y＝x2－2x＋1的圖象，求a，b，c的值． 11．如果拋物線A：y＝x2－1通過左右平移得到拋物線B，再通過上下平移拋物線B得到拋物線C：y＝x2－2x＋2，那么拋物線B的表達式為(　　) A．y＝x2＋2 B．y＝x2－2x－1 C．y＝x2－2x D．y＝x2－2x＋1 12．［xx蘭州］點P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是(　　) A．y3>y2>y1 B．y3>y1＝y(tǒng)2 C．y1>y2>y3 D．y1＝y(tǒng)2>y3 13．已知拋物線y＝ax2＋bx和直線y＝ax＋b在同一平面直角坐標系內(nèi)的圖象如圖21－2－19所示，其中正確的是(　　) 圖21－2－19 14．［xx杭州］設直線x＝1是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是實數(shù)，且a＜0)的圖象的對稱軸，則下列說法正確的是(　　) A．若m＞1，則(m－1)a＋b＞0 B．若m＞1，則(m－1)a＋b＜0 C．若m＜1，則(m－1)a＋b＞0 D．若m＜1，則(m－1)a＋b＜0 15．已知拋物線y＝x2－(2m＋1)x＋2m不經(jīng)過第三象限，且當x＞2時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，則實數(shù)m的取值范圍是________． 16．如圖21－2－20，已知拋物線y＝ax2－5ax＋4a過點C(5，4)． (1)求a的值和該拋物線的頂點P的坐標； (2)請你設計一種平移的方法，使平移后拋物線的頂點落在第二象限，并寫出平移后的拋物線對應的函數(shù)表達式． 圖21－2－20 17．如果二次函數(shù)的二次項系數(shù)為1，那么某二次函數(shù)可表示為y＝x2＋px＋q，我們稱[p，q]為此函數(shù)的特征數(shù)，如函數(shù)y＝x2＋2x＋3的特征數(shù)是[2，3]． (1)若一個函數(shù)的特征數(shù)為[－2，1]，求此函數(shù)圖象的頂點坐標． (2)探究下列問題： ①若一個函數(shù)的特征數(shù)為[4，－1]，將此函數(shù)的圖象先向右平移1個單位，再向上平移1個單位，求得到的圖象對應的函數(shù)的特征數(shù)； ②若一個函數(shù)的特征數(shù)為[2，3]，則此函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移，才能使得到的圖象對應的函數(shù)的特征數(shù)為[3，4]? 教師詳解詳析 1．y＝2(x－1)2－1　向上　直線x＝1　(1，－1) [解析] ∵y＝2x2－4x＋1＝2(x2－2x＋1)＋1－2＝2(x－1)2－1，∴其對應的拋物線的開口向上，對稱軸是直線x＝1，頂點坐標為(1，－1)． 2．B　[解析] ∵y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴拋物線的對稱軸為直線x＝－1. 3．B　[解析] 因為二次函數(shù)的二次項系數(shù)－1<0，故函數(shù)圖象開口向下；對稱軸為直線x＝－＝1；當x＝1時，函數(shù)取得最大值1，其圖象的頂點坐標為(1，1)．故選B. 4．10　[解析] ∵當x＞1時，y隨x的增大而增大，當x＜1時，y隨x的增大而減小，∴函數(shù)的對稱軸為直線x＝1.根據(jù)對稱軸公式，得x＝－＝＝1，解得k＝10. 5．－5?。?　[解析] ∵y＝x2－4x＋a＝(x－2)2＋a－4，∴a－4＝－9，解得a＝－5，∴拋物線的頂點為(2，－9)，代入得2k－1＝－9，解得k＝－4. 6．[解析] 通過配方法求出函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸，再利用描點法作圖，并根據(jù)圖象回答函數(shù)的增減情況及最值． 解：y＝－x2－3x－＝－(x2＋6x＋5) ＝－(x2＋6x＋32－32＋5) ＝－[(x＋3)2－4]＝－(x＋3)2＋2. (1)函數(shù)圖象的頂點坐標是(－3，2)，對稱軸是直線x＝－3. (2)∵二次函數(shù)的二次項系數(shù)－＜0，∴函數(shù)y有最大值， 當x＝－3時，最大值為2. (3)在x的取值范圍內(nèi)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，列出函數(shù)的對應值表： x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … －2.5 0 1.5 2 1.5 0 －2.5 … 用描點法畫出它的圖象，如圖所示． 通過觀察圖象可知，當x＜－3時，y隨x的增大而增大；當x＞－3時，y隨x的增大而減?。? 7．y＝(x＋1)2－　左　1　下　 8．D　[解析] y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，圖象沿x軸向右平移2個單位，則所得圖象的函數(shù)表達式為y＝(x－2＋1)2－2＝(x－1)2－2. 9．y＝(x－2)2－3　[解析] 拋物線y＝x2－2x向下平移2個單位，得y＝x2－2x－2＝(x－1)2－3.再向右平移1個單位，得y＝(x－1－1)2－3，即y＝(x－2)2－3. 10．解：平移后函數(shù)表達式為y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，∵將拋物線y＝x2－2x＋1先向下平移3個單位，再向右平移4個單位可得原函數(shù)圖象，∴平移前函數(shù)表達式為y＝(x－1－4)2－3＝(x－5)2－3＝x2－10x＋22. 故a＝1，b＝－10，c＝22. 11．C　[解析] 拋物線A：y＝x2－1的頂點坐標是(0，－1)，拋物線C：y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的頂點坐標是(1，1)． 則將拋物線A向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到拋物線C. 所以拋物線B是將拋物線A向右平移1個單位得到的，其表達式為y＝(x－1)2－1＝x2－2x. 12．D [解析] 拋物線y＝－x2＋2x＋c的對稱軸是直線x＝1.由拋物線的對稱性，可知x＝－1時的函數(shù)值與x＝3時的函數(shù)值相等．又因為該拋物線的開口向下，當x>1時，y隨x的增大而減小，所以y2>y3.因此，y1＝y(tǒng)2>y3. 13． D 14．C　[解析] ∵直線x＝1是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是實數(shù)，且a＜0)的圖象的對稱軸，故x＝－＝1，即2a＋b＝0.∵a＜0，∴2a＜0.b＞0.當m＜1時，則(m－1)a>0，即(m－1)a＋b＞0.故選C. 15．0≤m≤1.5　[解析] ∵當x＞2時，拋物線y＝x2－(2m＋1)x＋2m滿足y隨x的增大而增大，∴拋物線的對稱軸x＝≤2，解得m≤1.5. ∵拋物線開口向上，且不經(jīng)過第三象限， ∴2m≥0，解得m≥0.∵當m≥0時，拋物線的對稱軸x＝＞0，符合題意， ∴0≤m≤1.5. 16． 解：(1)把C(5，4)代入y＝ax2－5ax＋4a，得25a－25a＋4a＝4，解得a＝1. ∴該二次函數(shù)的表達式為y＝x2－5x＋4. ∵y＝x2－5x＋4＝(x－)2－， ∴頂點P的坐標為(，－)． (2)(答案不唯一，合理即可)如先向左平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線對應的函數(shù)表達式為 y＝(x－＋3)2－＋4＝(x＋)2＋， 即y＝x2＋x＋2. 17．解：(1)由題意，得函數(shù)表達式為y＝x2－2x＋1＝(x－1)2， ∴特征數(shù)為[－2，1]的函數(shù)圖象的頂點坐標為(1，0)． (2)①特征數(shù)為[4，－1]的函數(shù)為y＝x2＋4x－1，即y＝(x＋2)2－5. ∵將函數(shù)圖象先向右平移1個單位，再向上平移1個單位，∴y＝(x＋2－1)2－5＋1，即y＝x2＋2x－3，∴平移后的函數(shù)圖象的特征數(shù)為[2，－3]． ②特征數(shù)為[2，3]的函數(shù)為y＝x2＋2x＋3，即y＝(x＋1)2＋2， 特征數(shù)為[3，4]的函數(shù)為y＝x2＋3x＋4，即y＝(x＋)2＋， ∴所求平移為先將圖象向左平移個單位，再向下平移個單位．(或先向下平移個單位，再向左平移個單位)