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1,第二章控制系統的數學模型,第二次課,2,1.引言系統的數學模型：描述系統輸入、輸出變量以及內部其他變量之間關系的數學表達式。,控制系統中常見的二種數學模型形式：,1、外部描述：把系統的輸出量與輸入量之間的關系用數學方式表達出來，稱之為輸入—輸出描述，或外部描述，例如微分方程、傳遞函數、框圖和差分方程。適用于單輸入、單輸出系統。,3,2、內部描述：不僅可以描述系統的輸入、輸出之間的關系，而且還可以描述系統的內部特性，稱之為狀態(tài)變量描述，或內部描述，例如狀態(tài)變量空間法（矩陣），適用于多輸入、多輸出系統，也適用于時變系統、非線性系統和隨機控制系統。,4,對控制系統的研究，一般都是建立在模型基礎上進行的。常見的模型：,數學模型：微分方程、傳遞函數、頻率特性,————研究系統的動態(tài)特性,物理模型：化學中的分子結構模型,物理學中的力—電模型,————研究系統的內部結構,圖模型：方塊圖、信號流程圖、樹圖等,————兩者皆有,5,工程上常用的數學模型：,6,“三域”模型及其相互關系,7,微分方程、傳遞函數和頻率特性分別是系統在時間域、復數域和頻率域中的數學模型。人們在研究分析一個控制系統的特性時，可以根據對象的特點和工程的需要，人為地建立不同域中的數學模型進行討論。習慣上把用微分方程的求解、分析系統的方法稱為數學分析法，把用傳遞函數、頻率特性求解、分析系統的方法稱為工程分析法。一般來說，工程分析法比數學分析法直觀、方便，這也是我們引入復域、頻域數學模型的主要原因。,8,第一節(jié)建立系統微分方程,一、建立系統微分方程步驟（四步）1.明確系統的輸入－輸出量；2.列些每個元件的輸入－輸出的微分方程；3.各元件方程疊加，消中間量，求得系統輸出輸入方程；4.與輸出量有關項列左側，與輸入量有關項列右側。,9,二、舉例,例2-1R-L-C電路(P13),二階微分方程,10,例2-3阻尼器系統(P15),二階微分方程,11,本節(jié)重點：,控制系統微分方程的建立的方法兩種典型控制系統微分方程的建立。,12,復習：拉普拉斯變換,,13,本節(jié)主要內容：,傳遞函數的定義傳遞函數的基本性質典型環(huán)節(jié)函數的數學模型,第三次課,第二節(jié)控制系統的傳遞函數,14,傳遞函數是經典控制理論中最重要的數學模型之一。利用傳遞函數，可以：,不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統在輸入作用下的動態(tài)過程。,了解系統參數或結構變化時系統動態(tài)過程的影響--分析,可以對系統性能的要求轉化為對傳遞函數的要求---綜合,傳遞函數的基本概念,15,一、傳遞函數的基本概念,傳遞函數的定義：線性定常系統在零初始條件下系統（或元件）輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。,設系統輸入r（t），輸出c（t）則系統傳遞函數為,16,例如求RC電路傳遞函數。r(t)——輸入量c(t)——輸出量,復域:——————傳遞函數,時域：（RC=T）——微分方程,17,將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）,當傳遞函數和輸入已知時C(s)=G(s)R(s)。通過反變換可求出時域表達式c(t)。,傳遞函數的基本概念,稱為環(huán)節(jié)的傳遞函數,式中：r（t）為輸入信號，c（t）為輸出信號,為常系數,設系統或元件的微分方程為：,18,[關于傳遞函數的幾點說明],傳遞函數的概念適用于線性定常系統，它與線性常系數微分方程一一對應。且與系統的動態(tài)特性一一對應。傳遞函數不能反映系統或元件的物理性質。物理性質截然不同的系統可能具有完全相同的傳遞函數。而研究某傳遞函數所得結論可適用于具有這種傳遞函數的各種系統。傳遞函數僅與系統的結構和參數有關，與系統的輸入無關。只反映了輸入和輸出之間的關系，不反映中間變量的關系。,19,傳遞函數的概念主要適用于單輸入單輸出系統。若系統有多個輸入信號，在求傳遞函數時，除了一個有關的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數忽略了初始條件的影響。傳遞函數是s的有理分式，對實際系統而言分母的階次n大于分子的階次m，此時稱為n階系統。,20,傳遞函數的基本概念例1,[例1]求下圖的傳遞函數：,21,電阻,電容,電感,時域,復數域,22,傳遞函數的基本概念例2,[例2]求下圖的傳遞函數：,23,二、典型環(huán)節(jié)及其數學模型,1、比例環(huán)節(jié)（又叫放大環(huán)節(jié)）特點：輸出量按一定比例復現輸入量，無滯后、失真現象。運動方程:c(t)=Kr(t)K——放大系數，通常都是有量綱的。傳遞函數：頻率特性：,24,,一些比例環(huán)節(jié),,,25,實驗中的比例環(huán)節(jié)：,,26,例：輸入：n1(t)——轉速Z1——主動輪的齒數輸出：n2(t)——轉速Z2——從動輪的齒數,運動方程：傳遞函數：頻率特性：,27,2、微分環(huán)節(jié),特點：動態(tài)過程中，輸出量正比于輸入量的變化速度。運動方程：傳遞函數：頻率特性：,28,微分環(huán)節(jié)舉例,,29,實驗中的比例微分環(huán)節(jié)：,,30,例RC電路設：輸入——ur(t)輸出——uc(t)消去i(t)，得到：運動方程：傳遞函數：（Tc=RC）當Tc<<1時，又可表示成：頻率特性：G（j?）=jTc?——此時可近似為純微分環(huán)節(jié)。,31,,3、積分環(huán)節(jié),特點：輸出量的變化速度和輸入量成正比。運動方程：傳遞函數：頻率特性：,32,例1：積分電路,輸入為r(t)，輸出為c(t)運動方程：傳遞函數：（T=R1C）頻率特性：,,,,33,實驗中的比例積分環(huán)節(jié)：,,34,其它積分環(huán)節(jié)舉例,35,4、慣性環(huán)節(jié)(又叫非周期環(huán)節(jié)),特點：此環(huán)節(jié)中含有一個獨立的儲能元件，以致對突變的輸入來說，輸出不能立即復現，存在時間上的延遲。運動方程：傳遞函數：頻率特性：,36,例如求RC電路傳遞函數。r(t)——輸入量c(t)——輸出量,復域:——————傳遞函數,時域：（RC=T）——微分方程,37,例：直流電機,輸入量:ud——電樞電壓輸出量：id——電樞電流動態(tài)方程如下：運動方程：傳遞函數:式中Ld——電樞回路電感；Rd——電樞回路電阻；τd——電樞繞組的時間常數；,38,其他一些慣性環(huán)節(jié)例子,一階水箱，水銀溫度計等,39,5、振蕩環(huán)節(jié),特點：包含兩個獨立的儲能元件，當輸入量發(fā)生變化時，兩個儲能元件的能量進行交換，使輸出帶有振蕩的性質。運動方程：傳遞函數：式中：?——阻尼比，T——振蕩環(huán)節(jié)的時間常數。頻率特性：,40,例1：RLC電路,解：消去中間變量i(t)得到運動方程：傳遞函數：頻率特性：,41,例3：機械裝置,輸入----------力：f(t)，輸出----------位移：x(t)。微分方程式中：K——彈簧彈性系數；M——物體的質量，B——粘性摩擦系數。傳遞函數：,42,6、一階微分環(huán)節(jié),特點：此環(huán)節(jié)的輸出量不僅與輸入量本身有關，而且與輸入量的變化率有關運動方程：傳遞函數：G(s)=Ts+1頻率特性：G(j?)=j?T+1,43,RC電路,輸入：u(t)，輸出：i(t)，則傳遞函數：（R=1?RC=?）頻率特性：一階微分環(huán)節(jié)可看成一個微分環(huán)節(jié)與一個比例環(huán)節(jié)的并聯，其傳遞函數和頻率特性是慣性環(huán)節(jié)的倒數。,44,7、二階微分環(huán)節(jié),特點：輸出與輸入及輸入一階、二階導數都有關運動方程：傳遞函數：頻率特性：可以看出，二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數和頻率特性是振蕩環(huán)節(jié)的倒數。,45,典型環(huán)節(jié)函數的數學模型,,46,小結,（1）不同物理性質的系統，可以有相同形式的傳遞函數。例如：前面介紹的振蕩環(huán)節(jié)中兩個例子，一個是機械系統，另一個是電氣系統，但傳遞函數的形式完全相同。（2）同一個系統，當選取不同的輸入量、輸出量時，就可能得到不同形式的傳遞函數。例如：電容：輸入—電流，輸出—電壓，則是積分環(huán)節(jié)。反之，輸入—電壓，輸出—電流，則為微分環(huán)節(jié)。,