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1,測量誤差及其產(chǎn)生的原因測量誤差的分類與處理原則偶然誤差的特性精度評定的指標(biāo)誤差傳播定律及其應(yīng)用,第五章測量誤差基本知識,本章主要內(nèi)容如下：,2,一、觀測誤差當(dāng)對某觀測量進(jìn)行觀測，其觀測值與真值(客觀存在或理論值)之差，稱為測量誤差。用數(shù)學(xué)式子表達(dá)：△i=Li–X(i=1,2…n)L—觀測值X—真值,5-1測量誤差概述,1、儀器的原因①儀器結(jié)構(gòu)、制造方面，每一種儀器具有一定的精確度，因而使觀測結(jié)果的精確度受到一定限制。,二、測量誤差的來源測量誤差產(chǎn)生的原因很多，但概括起來主要有以下三個方面：,3,例如：DJ6型光學(xué)經(jīng)緯儀基本分劃為1′，難以確保分以下估讀值完全準(zhǔn)確無誤。使用只有厘米刻劃的普通鋼尺量距，難以保證厘米以下估讀值的準(zhǔn)確性。,②儀器構(gòu)造本身也有一定誤差。例如：水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)軸不平行，則測量結(jié)果中含有i角誤差或交叉誤差。水準(zhǔn)尺的分劃不均勻，必然產(chǎn)生水準(zhǔn)尺的分劃誤差。,4,2、人的原因觀測者感官鑒別能力有一定的局限性。觀測者的習(xí)慣因素、工作態(tài)度、技術(shù)熟練程度等也會給觀測者成果帶來不同程度的影響。,人、儀器和外界環(huán)境通常稱為觀測條件；觀測條件相同的各次觀測稱為等精度觀測；觀測條件不相同的各次觀測稱為不等精度觀測。,3、外界條件例如：外界環(huán)境如溫度、濕度、風(fēng)力、大氣折光等因素的變化，均使觀測結(jié)果產(chǎn)生誤差。例如：溫度變化使鋼尺產(chǎn)生伸縮陽光曝曬使水準(zhǔn)氣泡偏移，大氣折光使望遠(yuǎn)鏡的瞄準(zhǔn)產(chǎn)生偏差，風(fēng)力過大使儀器安置不穩(wěn)定等。,5,三、測量誤差的分類,先作兩個前提假設(shè)：①觀測條件相同.②對某一量進(jìn)行一系列的直接觀測在此基礎(chǔ)上分析出現(xiàn)的誤差的數(shù)值、符號及變化規(guī)律。,6,先看兩個實例：例1：用名義長度為30米而實際長度為30.04米的鋼尺量距。丈量結(jié)果見下表5-1：表5-1,可以看出：誤差符號始終不變，具有規(guī)律性。誤差大小與所量直線成正比，具有累積性。誤差對觀測結(jié)果的危害性很大。,7,例2：在厘米分劃的水準(zhǔn)尺上估讀毫米時，有時估讀過大，有時估過小，每次估讀也不可能絕對相等，其影響大小，純屬偶然。大氣折光使望遠(yuǎn)鏡中目標(biāo)成像不穩(wěn)定，則瞄準(zhǔn)目標(biāo)有時偏左、有時偏右。,可以看出：①從個別誤差來考察，其符號、數(shù)值始終變化，無任何規(guī)律性。②多次重復(fù)觀測，取其平均數(shù)，可抵消一些誤差的影響。,8,1.系統(tǒng)誤差----在相同的觀測條件下，對某一量進(jìn)行一系列的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。系統(tǒng)誤差具有規(guī)律性。,2.偶然誤差---在相同的觀測條件下，對某一量進(jìn)行一系列的觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面上看沒有任何規(guī)律性，為種誤差稱為“偶然誤差”。個別偶然誤差雖無規(guī)律，但大量的偶然誤差具有統(tǒng)計規(guī)律。,3.粗差----觀測中的錯誤叫粗差。例如：讀錯、記錯、算錯、瞄錯目標(biāo)等。錯誤是觀測者疏大意造成的，觀測結(jié)果中不允許有錯誤。一旦發(fā)現(xiàn)，應(yīng)及時更正或重測。,引進(jìn)如下概念：,9,(二)測量誤差的處理原則,在觀測過程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差總是同時產(chǎn)生。系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響尤為顯著，應(yīng)盡可能地加以改正、抵消或削弱。對可能存在的情況不明的系統(tǒng)誤差，可采用不同時間的多次觀測，消弱其影響。消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法：①檢校儀器：使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。②求改正數(shù)：將觀測值加以改正，消除其影響。③采用合理的觀測方法：如對向觀測。研究偶然誤差是測量學(xué)的重要課題。消除或削弱偶然誤差的有效方法：①適當(dāng)提高儀器等級。②進(jìn)行多余觀測，求最或是值。,10,,四、偶然誤差的特性,若△i=Li–X（i=1,2,3,,358）,表5-2,11,從表5-2中可以歸納出偶然誤差的特性,⑴在一定觀測條件下的有限次觀測中，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；⑵絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率??；⑶絕對值相等的正、負(fù)誤差具有大致相等的頻率；⑷當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的理論平均值趨近于零。用公式表示為：實踐表明：觀測誤差必然具有上述四個特性。而且，當(dāng)觀測的個數(shù)愈大時，這種特性就表現(xiàn)得愈明顯。,為了直觀地表示偶然誤差的正負(fù)和大小的分布情況，可以按表5-2的數(shù)據(jù)作誤差頻率直方圖(圖5-1)。,12,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-24-21-18-16-12-9-6–30+3+6+9+12+15+18+21+24x=△圖5-1頻率直方圖,,,,,13,若誤差的個數(shù)無限增大(n→∞)，同時又無限縮小誤差的區(qū)間d△，則圖5-1中各小長條的頂邊的折線就逐漸成為一條光滑的曲線。該曲線在概率論中稱為“正態(tài)分布曲線”，它完整地表示了偶然誤差出現(xiàn)的概率P。即當(dāng)n→∞時，上述誤差區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，成為誤差出現(xiàn)的概率。正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為:(5-3)為標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差的平方為方差。,14,從5-3式可以看出正態(tài)分布具有前述的偶然誤差特性。即:1.f(△)是偶函數(shù)。即絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差求得的f(△)相等，所以曲線對稱于縱軸。這就是偶然誤差的第三特性。2.△愈小，f(△)愈大。當(dāng)△=0時，f(△)有最大值;反之，△愈大，f(△)愈小。當(dāng)n→∞時，f(△)→0,這就是偶然誤差的第一和第二特性。3.如果求f(△)二階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，可以求得曲線拐點橫坐標(biāo)：△拐=如果求f(△)在區(qū)間的積分，則誤差出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)的相對次數(shù)是某個定值，所以當(dāng)愈小時，曲線將愈陡峭，即誤差分布比較密集；當(dāng)愈大時，曲線將愈平緩，即誤差分布比較分散。由此可見，參數(shù)的值表征了誤差擴散的特征。,,15,f(△),+σ,-σ,1,1,1,√2πσ,1,△,-σ,+σ,f(△),△,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2,+σ,-σ,2,√2πσ,1,2,√2πσ,,,,,,,,,,1,,,,,16,觀測條件較好，誤差分布比較密集，它具有較小的參數(shù)；觀測條件較差，誤差分布比較分散，它具有較大的參數(shù)；具有較小的誤差曲線，自最大縱坐標(biāo)點向兩側(cè)以較陡的趨勢迅速下降；具有較大的誤差曲線，自最大縱坐標(biāo)點向兩側(cè)以較平緩的趨勢伸展。,最大縱坐標(biāo)點：,17,5-2衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn),一.中誤差誤差△的概率密度函數(shù)為：標(biāo)準(zhǔn)差,在測量工作中，觀測個數(shù)總是有限的，為了評定精度，一般采用下述誤差公式：①標(biāo)準(zhǔn)差σ中誤差m的不同在于觀測個數(shù)n上；②標(biāo)準(zhǔn)差表征了一組同精度觀測在(n→∞)時誤差分布的擴散特征，即理論上的觀測指標(biāo)；③而中誤差則是一組同精度觀測在為n有限個數(shù)時求得的觀測精度指標(biāo)；④所以中誤差是標(biāo)準(zhǔn)差的近似值估值；⑤隨著n的增大，m將趨近于σ。,18,必須指出：同精度觀測值對應(yīng)著同一個誤差分布，即對應(yīng)著同一個標(biāo)準(zhǔn)差，而標(biāo)準(zhǔn)差的估計值即為中誤差。同精度觀測值具有相同的中誤差。例3:設(shè)對某個三角形用兩種不同的精度分別對它進(jìn)行了10次觀測，求得每次觀測所得的三角形內(nèi)角和的真誤差為第一組：+3″,-2″,-4″,+2″,0″,-4″,+3″,+2″,-3″,-1″；第二組：0″,-1″,-7″,+2″,+1″,+1″,-8″,0″,+3″,-1″.試求這兩組觀測值的中誤差。由解得：m1=2.7″m2=3.6″可見：第一組的觀測精度較第二組觀測精度高。,19,二、容許誤差（極限誤差）,根據(jù)正態(tài)分布曲線，誤差在微小區(qū)間d△中的概率：p(△)=f(△)d△設(shè)以k倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為：分別以k=1,2,3代入上式，可得：P(︱△︱≤m)=0.683=68.3℅P(︱△︱≤2m)=0.955=95.5℅P(︱△︱≤3m)=0.997=99.7℅由此可見：偶然誤差的絕對值大于2倍中誤差的約占誤差總數(shù)的5℅，而大于3倍的誤差僅占誤差總數(shù)的0.3℅。由于一般情況下測量次數(shù)有限，3倍中誤差很少遇到，故以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為“容許誤差”，或稱為“限差”即△容=2m,20,三、相對誤差,在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量還不能正確反映觀測的質(zhì)量。例如:用鋼卷尺量200米和40米兩段距離，量距的中誤差都是2cm，但不能認(rèn)為兩者的精度是相同的，因為量距的誤差與其長度有關(guān)。為此，用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式來描述觀測的質(zhì)量。即m/L來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。相對中誤差又可要求寫成分子為1的分式，即。上例為K1=m1/L1=1/10000,K2=m2/L2=1/2000可見:前者的精度比后者高。與相對誤差相對應(yīng)，真誤差、中誤差、容許誤差都稱為絕對誤差。,21,5-3誤差傳播定律,若Z=F（x1,x2,x3,，xn）式中xi(i=1,2,3,，n)為獨立觀測值，其中誤差為mi(i=1,2,3,，n),求觀測值函數(shù)的中誤差mz。當(dāng)觀測值xi分別具有真誤差△xi時，則函數(shù)z也隨之產(chǎn)生相應(yīng)的真誤差△z。由數(shù)學(xué)分析可知，變量與函數(shù)的之間的誤差關(guān)系可近似用函數(shù)的全微分表達(dá)，即,22,一般函數(shù)：倍數(shù)函數(shù)：和差函數(shù)：線性函數(shù)：,一、誤差傳播定律主要公式,23,二、誤差傳播定律的應(yīng)用,應(yīng)用誤差傳播定律求觀測值函數(shù)的精度時，可按下述步驟進(jìn)行：1、按問題性質(zhì)先列出函數(shù)式：2、對函數(shù)式進(jìn)行全微分，得出函數(shù)真誤差與觀測值真誤差之間的關(guān)系式3、將真誤差形式轉(zhuǎn)換成中誤差形式注意：各觀測值之間必須互相獨立。,24,誤差傳播定律的應(yīng)用,例題：設(shè)有函數(shù)式中:s=150.11m，其中誤差ms=0.05mα=11945′00″，其中誤差mα=20.6″；求z的中誤差mz解：因為所以：,25,誤差傳播定律的應(yīng)用,水準(zhǔn)測量的高差中誤差：若hAB=h1+h2+hn設(shè)每站高差中誤差均為m站，則有mhAB=√nm站即水準(zhǔn)測量高差中誤差與測站數(shù)的平方根成正比。若水準(zhǔn)路線為平坦地區(qū)，則每測站間距離S大致相等，設(shè)AB路線總長為L，則測站數(shù)n=L/S，則：即水準(zhǔn)測量高差中誤差與距離的平方根成正比。,,,26,由三角形閉和差求測角中誤差,27,5-4等精度直接觀測平差,直接平差等精度直接平差不等精度直接平差一、平差原則按最小二乘原理例如：測的某三角形的三個內(nèi)角的觀測值：其閉合差為消除閉合差，須對三個角度進(jìn)行改正，即,,28,滿足條件的改正數(shù)可以有無限多組，見下表：根據(jù)最小二乘原理，應(yīng)使,29,二、等精度直接平差（一）求最或然值——算術(shù)平均值在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行n次觀測，其值分別為l1，l2，ln，其算術(shù)平均值為（二）觀測值的改正數(shù)算術(shù)平均值與觀測值之差稱為觀測值的改正值（v）:一組觀測值取算術(shù)平均值后，其改正值之和恒等于零。,30,（三）精度評定1、觀測值的中誤差：2、算術(shù)平均值的中誤差：,31,5-5、不等精度直接平差,（一）權(quán)與單位權(quán),例如：對某量分兩組觀測，第一組觀測2次，第二組觀測4次。每次觀測精度同，其中誤差都為m，求由兩組觀測結(jié)果計算該量的最或然值。,32,,,33,（二）不等精度觀測值的最或然值（三）不等精度觀測值最或然值的中誤差（四）單位權(quán)中誤差,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,34,本章小結(jié)：1.測量誤差及其產(chǎn)生的原因⑴儀器的原因⑵人的原因⑶外界環(huán)境的影響2.測量誤差的分類與處理原則⑴系統(tǒng)誤差----在相同的觀測條件下，對某一量進(jìn)行一系列的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。⑵偶然誤差----在相同的觀測條件下，對某一量進(jìn)行一系列的觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面上看沒有任何規(guī)律性，為種誤差稱為“偶然誤差”。,35,⑶誤差的處理原則系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響顯著，應(yīng)盡可能地加以改正、抵消或削弱。對情況不明的系統(tǒng)誤差，采用不同時間的多次觀測。消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法：①檢校儀器：②求改正數(shù)③采用合理的觀測方法。研究偶然誤差是測量學(xué)的重要課題。消除或削弱偶然誤差的有效方法：①適當(dāng)提高儀器等級②進(jìn)行多余觀測，求最或是值。,36,,⑴在一定觀測條件下的有限次觀測中，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；⑵絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率小；⑶絕對值相等的正、負(fù)誤差具有大致相等的頻率；⑷當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的理論平均值趨近于零。,3.偶然誤差的特性,37,四.觀測成果的精度評定指標(biāo),,1、中誤差觀測個數(shù)總是有限的…n中誤差是標(biāo)準(zhǔn)差的近似值估值；同精度觀測值對應(yīng)著一個誤差分布，即對應(yīng)著一個標(biāo)準(zhǔn)差和中誤差。2、極限誤差偶然誤差的絕對值大于2倍中誤差的約占誤差總數(shù)的5℅，故以2倍中誤差作為允許的誤差極限，△允=2m3、相對中誤差用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式來描述觀測的質(zhì)量,即m/L=1/N。,38,五、誤差的傳播規(guī)律及應(yīng)用1、和差函數(shù)的中誤差2、線性函數(shù)和倍數(shù)函數(shù)的中誤差3、一般函數(shù)的中誤差,習(xí)題5P1041、2、7、8,