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第二章測(cè)量誤差分析與處理,研究誤差的意義在于：1.正確認(rèn)識(shí)誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原因，以便減小和消除誤差；2.正確認(rèn)識(shí)誤差和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果，以便在一定條件下得到最接近于真值的數(shù)據(jù)；3.正確組成測(cè)量系統(tǒng)，合理選擇儀器和測(cè)量方法，以便在最經(jīng)濟(jì)條件下得到最理想的結(jié)果。,第一節(jié)測(cè)量誤差的概念,一、測(cè)量誤差的來(lái)源（1）測(cè)量裝置的誤差（2）環(huán)境誤差（3）方法誤差（4）人員誤差二、測(cè)量誤差的分類(lèi)按照測(cè)量結(jié)果中存在的誤差的特點(diǎn)與性質(zhì)不同，測(cè)量誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差。,第二節(jié)直接測(cè)量誤差的分析與處理,一、隨機(jī)誤差的分析與處理1.隨機(jī)誤差的定義和分布特點(diǎn)（1）定義在相同的條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，誤差的大小和符號(hào)的變化沒(méi)有一定規(guī)律，且不可預(yù)知，這類(lèi)誤差稱為隨機(jī)誤差。產(chǎn)生原因：由許多未能掌握或不便掌握的微小因素綜合作用的結(jié)果。,（2）分布的特點(diǎn)①有界性②單峰性③對(duì)稱性④抵償性2.隨機(jī)誤差的正態(tài)分布特征理論和實(shí)踐都證明了大多數(shù)的隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布的規(guī)律，其分布密度函數(shù)為：,,,μ和σ確定之后，正態(tài)分布就完全確定了。正態(tài)分布密度函數(shù)的曲線如圖所示。從該曲線可以看出，正態(tài)分布很好地反映了隨機(jī)誤差的分布規(guī)律。,（1）真值μ設(shè)x1、x2、……xn為n次測(cè)量所得的值，則算術(shù)平均值為由隨機(jī)誤差的抵償性可知，有故時(shí),,,,,,均方根誤差σ均方根誤差的定義式為可以證明，均方根誤差的估計(jì)值計(jì)算公式為：,算術(shù)平均值的均方根誤差如果在相同的條件下將同一被測(cè)量分成m組，對(duì)每組重復(fù)測(cè)量n次，則每組測(cè)量值都有一個(gè)平均值，則有在有限次測(cè)量中，以表示算術(shù)平均值均方根誤差的估計(jì)值，,,,,,隨機(jī)誤差的工程計(jì)算只能是在一定的概率意義下估計(jì)隨機(jī)誤差數(shù)值的范圍，或者求得隨機(jī)誤差出現(xiàn)在給定區(qū)間的概率。對(duì)于服從正態(tài)分布的測(cè)量誤差，出現(xiàn)于區(qū)間內(nèi)的概率為考慮到正態(tài)分布密度函數(shù)的對(duì)稱性，出現(xiàn)于區(qū)間的概率為,,,,,令，則，函數(shù)稱為概率積分，不同的z對(duì)應(yīng)不同的。若某隨機(jī)誤差在范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為2，則隨機(jī)誤差超出此區(qū)間的概率為,[例2-1]計(jì)算z分別等于1、2、3時(shí)對(duì)應(yīng)的置信概率P。解：如圖所示，當(dāng)z=1時(shí)，區(qū)間為[-σ，σ]，此時(shí)當(dāng)z=2時(shí)，區(qū)間為[-2σ，2σ]，此時(shí),當(dāng)z=3時(shí)，區(qū)間為[-3σ，3σ]，此時(shí),在一般測(cè)量中，測(cè)量次數(shù)很少超過(guò)幾十次，因此可以認(rèn)為大于的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個(gè)誤差稱為單次測(cè)量的極限誤差，即當(dāng)z=3時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率P=99.73%。幾個(gè)概念：把區(qū)間（）稱為置信區(qū)間，對(duì)應(yīng)的概率稱為置信概率，稱為置信限，z稱為置信因子，稱為顯著性水平或置信水平。,,測(cè)量結(jié)果的表示方法若以單次測(cè)量值表示測(cè)量結(jié)果X，有X=單次測(cè)量值置信區(qū)間半長(zhǎng)(P=置信概率)例如：X=單次測(cè)量值3(P=99.73％)若以算術(shù)平均值表示測(cè)量結(jié)果X，有X=算術(shù)平均值置信區(qū)間半長(zhǎng)(P=置信概率)例如：X=3(P=99.73％),在實(shí)際測(cè)量中的子樣容量通常很?。ɡ鏽<10），應(yīng)以t分布的置信系數(shù)代替正態(tài)分布的置信系數(shù)z來(lái)增大同樣置信概率下的置信區(qū)間。T分布的置信系數(shù)與置信水平和自由度都有關(guān)，考慮了子樣容量的大小，其數(shù)值可查表得到。當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，t分布趨向于正態(tài)分布。對(duì)于小子樣，其測(cè)量結(jié)果最終應(yīng)表示為,X==(P=置信概率),[例2-2]對(duì)某量進(jìn)行6次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為：802.40、802.50、802.38、802.48、802.42、802.46，試給出測(cè)量結(jié)果的最佳表達(dá)式（要求測(cè)量結(jié)果的置信概率為99％）解：因?yàn)槭切∽訕?，采用t分布置信系數(shù)來(lái)估計(jì)置信區(qū)間。（1）求平均值（2）求的標(biāo)準(zhǔn)誤差估計(jì)值,（3）根據(jù)給定的置信概率P=99％，求得置信水平=0.01；自由度ν=6-1=5，查表可得=4.03。所以，測(cè)量結(jié)果為,X==802.440.08(P=99％),在上例中，若以正態(tài)分布計(jì)算測(cè)量結(jié)果，對(duì)于給定的置信概率P=99％，查表可得到z=2.58，則測(cè)量結(jié)果為,X=z=802.440.05(P=99％),二、系統(tǒng)誤差的分析與處理系統(tǒng)誤差的定義與分類(lèi)在同一條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的大小和符號(hào)或者保持不變，或者按一定的規(guī)律變化，這類(lèi)誤差稱為系統(tǒng)誤差。前者稱為恒值系統(tǒng)誤差，后者稱為變值系統(tǒng)誤差。在變值系統(tǒng)誤差中，又可按誤差變化規(guī)律的不同分為累進(jìn)系統(tǒng)誤差、周期性系統(tǒng)誤差和按復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。,2.系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素所造成，這些誤差因素是可以掌握的。測(cè)量裝置方面的因素環(huán)境方面的因素測(cè)量方法的因素測(cè)量人員方面的因素由于系統(tǒng)誤差是和隨機(jī)誤差同時(shí)存在于測(cè)量數(shù)據(jù)之中，且不易被發(fā)現(xiàn)，多次重復(fù)測(cè)量又不能減小它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，這種潛伏性使得系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差具有更大的危險(xiǎn)性。,3.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法（1）實(shí)驗(yàn)對(duì)比法實(shí)驗(yàn)對(duì)比法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進(jìn)行不同條件的測(cè)量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。這種方法適用于發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差（2）殘余誤差觀察法,[例]對(duì)某恒溫箱內(nèi)溫度進(jìn)行了10次測(cè)量，依次獲得數(shù)據(jù)如下：20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.14，20.18，20.18，20.21試判斷該測(cè)量列中是否存在變值系統(tǒng)誤差。解：計(jì)算各測(cè)定值的殘差vi,并按先后順序排列：-0.06，-0.05，-0.06，-0.04，-0.02，0，0.02，0.06，0.06，0.09可見(jiàn)，殘差由負(fù)到正，其數(shù)值逐漸增大，故測(cè)量列中存在累進(jìn)系統(tǒng)誤差。,4.系統(tǒng)誤差的一般處理原則（1）從產(chǎn)生誤差根源上消除誤差可以從以下幾方面考慮①所用基準(zhǔn)件、標(biāo)準(zhǔn)件（如量塊、刻尺等）是否準(zhǔn)確可靠；②所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過(guò)檢定，并有有效周期的檢定證書(shū)；③儀器的調(diào)整、測(cè)件的安裝定位和支承裝卡是否正確合理；④所采用的測(cè)量方法和計(jì)算方法是否正確，有無(wú)理論誤差；⑤測(cè)量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫度、振動(dòng)、塵污、氣流等；⑥注意避免測(cè)量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等。,（2）用修正方法消除系統(tǒng)誤差這種方法是預(yù)先將測(cè)量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來(lái)或計(jì)算出來(lái)，取與誤差大小相同而符號(hào)相反的值作為修正值，將測(cè)得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測(cè)量結(jié)果。（3）在實(shí)際測(cè)量時(shí)，盡可能采用有效的測(cè)量方法，以消除或減弱系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。(a)采用對(duì)置法可消除恒值系統(tǒng)誤差。,(b)采用對(duì)稱觀測(cè)法可消除累進(jìn)系統(tǒng)誤差。(c)采用半周期法，可以很好地消除周期性系統(tǒng)誤差。對(duì)周期性誤差，可以相隔半個(gè)周期進(jìn)行兩次測(cè)量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。例如儀器度盤(pán)安裝偏心、測(cè)微表針回轉(zhuǎn)中心與刻度盤(pán)中心的偏心等引起的周期性誤差，皆可用半周期法予以剔除。,三、粗大誤差的分析與處理粗大誤差的定義及產(chǎn)生的原因粗大誤差是指明顯歪曲了測(cè)量結(jié)果而使該次測(cè)量失效的誤差，也稱為疏失誤差。含有粗大誤差的測(cè)量值稱為壞值或異常值。產(chǎn)生粗大誤差的原因很多，主要有：主觀原因測(cè)量者在測(cè)量時(shí)粗心大意、操作不當(dāng)或過(guò)于疲勞而造成錯(cuò)誤的讀數(shù)或記錄，這是產(chǎn)生粗大誤差的主要原因。客觀原因測(cè)量條件意外的改變（如外界振動(dòng)、機(jī)械沖擊、電源瞬時(shí)大幅度波動(dòng)等），引起儀表示值的改變。對(duì)粗大誤差，除了設(shè)法從測(cè)量結(jié)果中發(fā)現(xiàn)和鑒別而加以剔除外，重要的是要加強(qiáng)測(cè)量的工作責(zé)任心和嚴(yán)格的科學(xué)態(tài)度。此外，還要保證測(cè)量條件的穩(wěn)定。,2.判別粗大誤差的準(zhǔn)則(1)3準(zhǔn)則（萊伊特準(zhǔn)則）如果在測(cè)量列中，發(fā)現(xiàn)有大于3的殘余誤差的測(cè)得值，即則可以認(rèn)為它含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。實(shí)際使用時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)誤差取其估計(jì)值，且按萊伊特準(zhǔn)則剔除含有粗差的壞值后，應(yīng)重新計(jì)算新測(cè)量列的算術(shù)平均值及標(biāo)準(zhǔn)誤差，判定在余下的數(shù)據(jù)中是否還有含粗大誤差的壞值。注意：該準(zhǔn)則是最常用也是最簡(jiǎn)單的判別粗大誤差的準(zhǔn)則，它是以測(cè)量次數(shù)充分大為前提，但通常測(cè)量次數(shù)比較少，因此該準(zhǔn)則只是一個(gè)近似的準(zhǔn)則。在測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，最好不要選用該準(zhǔn)則。,【例】對(duì)某量進(jìn)行15次等精度測(cè)量，測(cè)得值如下表所列，設(shè)這些測(cè)得值已消除了系統(tǒng)誤差，試判別該測(cè)量列中是否含有粗大誤差的測(cè)得值。,,,,,,,,,由表可得根據(jù)準(zhǔn)則，第八測(cè)得值的殘余誤差為：即它含有粗大誤差,故將此測(cè)得值剔除。再根據(jù)剩下的14個(gè)測(cè)得值重新計(jì)算，得：由表知，剩下的14個(gè)測(cè)得值的殘余誤差均滿足,故可以認(rèn)為這些測(cè)得值不再含有粗大誤差。,2．格拉布斯準(zhǔn)則設(shè)對(duì)某量作多次等精度獨(dú)立測(cè)量，得到一測(cè)量列：x1，x2，…，xn。當(dāng)xi服從正態(tài)分布時(shí)，計(jì)算得到,將xi按大小順序排列成順序統(tǒng)計(jì)量,計(jì)算首、尾測(cè)得值的格拉布斯準(zhǔn)則數(shù),取定置信水平(一般為0.05或0.01)，根據(jù)子樣容量n和置信水平α，從表中查出相應(yīng)的格拉布斯準(zhǔn)則臨界值。若，即判斷該測(cè)得值含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。注意當(dāng)和都大于，應(yīng)先剔除大者，再重新計(jì)算和，這時(shí)子樣容量為（），再進(jìn)行判斷，直至余下的測(cè)得值中不再發(fā)現(xiàn)壞值。,按測(cè)得值的大小，順序排列得今有兩測(cè)得值，可懷疑，但由于故應(yīng)先懷疑是否含有粗大誤差，計(jì)算查表2-12得則故表2-11中第八個(gè)測(cè)得值含有粗大誤差，應(yīng)予剔除。剩下的14個(gè)數(shù)據(jù)，再重復(fù)上述步驟，判別是否含有粗大誤差。解：故可判別不包含粗大誤差，而各皆小于1.18，故可認(rèn)為其余測(cè)得值也不含粗大誤差。,還用上例測(cè)得值，試判別該測(cè)量列中的測(cè)得值是否含有粗大誤差。,第三節(jié)間接測(cè)量誤差的分析與處理一、間接測(cè)量中系統(tǒng)誤差的傳遞在間接測(cè)量中，函數(shù)關(guān)系的一般形式為,式中為各個(gè)直接測(cè)量值；y為間接測(cè)量值。對(duì)于以上函數(shù)，其增量可用函數(shù)的全微分表示，則有,上式為間接測(cè)量中系統(tǒng)誤差的傳遞公式二、間接測(cè)量中隨機(jī)誤差的傳遞,若各直接測(cè)量值是相互獨(dú)立的，相關(guān)系數(shù)為零，則式可以簡(jiǎn)化為,稱為局部誤差。,上式為隨機(jī)誤差傳遞的基本公式。,