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第6章測量誤差的基本理論,6.1測量誤差概述6.2測量精度的評定指標6.3誤差傳播定律及其應(yīng)用6.4算術(shù)平均值及其中誤差6.5廣義算術(shù)平均值及其精度評定,6.1測量誤差概述,觀測中常見的現(xiàn)象舉例,,1．如圖1，對兩點的距離重復(fù)丈量n次，但結(jié)果不相等，即,。,2.對三角形三個內(nèi)角進行觀測，得值a,b,c,但是,現(xiàn)象總結(jié)：(1)同一觀測量之間的值不相等,(2)觀測值與其理論值(真值)之間有差異.原因:觀測中存在觀測誤差。,6.1測量誤差概述,一、測量誤差產(chǎn)生的原因誤差來源的三個方面：1、觀測者觀測者的感覺器官的鑒別能力限制；技術(shù)熟練程度。2、測量儀器儀器本身器件之間裝配；使用過程中的變化。3、測量環(huán)境（外界條件）溫度、氣壓、大氣折光、風(fēng)力、大氣透明度等。三者合稱為觀測條件二、誤差分類：真誤差的定義△i=X-li根據(jù)觀測誤差對觀測結(jié)果的影響性質(zhì)分為：系統(tǒng)誤差、偶然誤差、粗差。,6.1測量誤差概述,,二、誤差分類：1、系統(tǒng)誤差（1）定義：在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者在觀測過程中按一定的規(guī)律變化，或者為某一常數(shù)，那么，這種誤差就稱為系統(tǒng)誤差。（2）舉例：尺長誤差（保持常數(shù)）；水準測量中的i角誤差（系統(tǒng)性）；大氣折光，白天黑夜相反；鋼尺溫度變化，熱脹冷縮（有規(guī)律變化）（3）消除或減弱的方法①好的觀測方法水準測量中，前后視距相等，可以消除i角對觀測結(jié)果的影響；角度測量中，盤左、盤右取中數(shù)可以消除豎盤指標差的影響。②加改正數(shù)方法。例如，鋼尺量距時，加入尺長改正、溫度改正等。,,,6.1測量誤差概述,,二、誤差分類：2、偶然誤差（隨機誤差）（1）定義：在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小和符號上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個誤差看，該列誤差的大小和符號沒有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。（2）舉例：讀數(shù)誤差，照準誤差（3）消除或減弱的方法采用概率論和數(shù)理統(tǒng)計的理論進行處理，減弱偶然誤差的影響。3、粗差（1）定義：指比可能產(chǎn)生的最大誤差還大的誤差（或錯誤）。（2）舉例：找錯目標、大數(shù)讀錯等（3）消除或減弱的方法嚴格按規(guī)范規(guī)定的程序進行測量工作，加強檢核措施等。,,,6.1測量誤差概述,,,三、偶然誤差的特性1.列表法分析用601個三角形閉合差（真誤差）進行分析，見表6-1,,,6.1測量誤差概述,,,偶然誤差的四個特性：用真誤差列于據(jù)表6-1數(shù)據(jù)分析，得偶然誤差的四個特性：（1）在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。（2）絕對值小的偶然誤差比絕對值大的偶然誤差出現(xiàn)的可能性大（頻率大或概率大）。（3）絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的可能性相等。（4）在相同觀測條件下，同一量的多次觀測值的偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測次數(shù)的無限增大而趨于零。即,分析方法：誤差分布表法、直方圖法、數(shù)字特征法。,,,6.1測量誤差概述,,2.直方圖分析法用表6-1的數(shù)據(jù)作出圖6-1的誤差分布圖，更加直觀的說明偶然誤差的特性。這種圖稱為誤差頻率分布直方圖。橫坐標表示誤差的數(shù)值大小；縱坐標表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率ni/n除以區(qū)間的間隔值d,即：ni/n/d因此，各每個矩形的面積等于誤差出現(xiàn)于該區(qū)間的頻率,,6.1測量誤差概述,,3.偶然誤差的概率分布當(dāng)誤差個數(shù)區(qū)域無窮、誤差區(qū)間無限小時，頻率直方圖變?yōu)楦怕史植紙D，其直方圖的頂端的折線變?yōu)楣饣那€。該曲線在概率論中稱之為正態(tài)分布曲線。即偶然誤差屬于正態(tài)分布。其概率分布密度函數(shù)為,,6.1測量誤差概述,,3.偶然誤差的概率分布其概率分布密度函數(shù)為,,6．2測量精度的評定指標,精度的（定義）：精度就是指誤差分布的密集或離散的程度。準確度：所謂準確度，是指隨機變量（觀測量）的數(shù)學(xué)期望與其真值的接近程度。精確度：精確度是指隨機變量（觀測量）的數(shù)學(xué)期望與其真值的接近程度。下圖說明三者之間的關(guān)系,6．2測量精度的評定指標,衡量精度的指標在實用上，是用一些數(shù)字特征來說明誤差分布的密集或離散的程度，稱它們?yōu)楹饬烤鹊闹笜恕３Ｓ玫木戎笜擞校褐姓`差、相對誤差、容許誤差。一、中誤差1．中誤差的定義在相同的條件下，對同一量進行次觀測，所得各個真誤差平方的平均值的平方根，稱為中誤差，用m表示，即,m表示每一次觀測值的中誤差。,6．2測量精度的評定指標,2．用真誤差計算中誤差算例[例6-2],,,,,,,,,,6．2測量精度的評定指標,二、相對誤差1．中誤差的局限例如，分別丈量了1000m及500m的兩段距離，它們的中誤差均為2cm，雖然兩者的中誤差相同，但就單位長度而言，兩者精度并不相同。顯然前者的相對精度比后者要高。此時，須采用另一種辦法來衡量精度，通常采用相對中誤差。2．相對中誤差相對中誤差定義：中誤差的絕對值與相應(yīng)觀測值之比值,,,6．2測量精度的評定指標,3．相對誤差相對誤差定義：差值的絕對值與相應(yīng)觀測值之比值。,,,,,與相對誤差相對應(yīng)，真誤差、中誤差、極限誤差等均稱為絕對誤差。,相對精度是指長度元素而言。如果不特別說明，相對精度是指相對中誤差。角度元素沒有相對精度。,6．2測量精度的評定指標,,,,三、容許（極限）誤差按正態(tài)分布表查得，誤差出現(xiàn)的概率分別為：,,,,絕對值大于三倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率僅有0.3%，大于二倍中誤差的概率只有4.5%。這已經(jīng)是概率接近于零的小概率事件，或者說這是實際上的不可能事件。故一般以三倍中誤差或二倍中誤差作為偶然誤差的極限值，并稱為容許（極限）誤差。即：,或,6．3誤差傳播定律及其應(yīng)用,,,,誤差傳播定律概念：闡述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)中誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。一、和、差函數(shù)的中誤差1.函數(shù)形式設(shè)x、y為獨立觀測值，其中誤差為mx，my，觀測值的函數(shù)為Z=xy2.函數(shù)的中誤差計算式則函數(shù)Z的中誤差計算式為,,算例：見例6-3、例6-4,6．3誤差傳播定律及其應(yīng)用,,,,二、倍數(shù)函數(shù)的中誤差1.函數(shù)形式設(shè)x為觀測值，其中誤差為mx，觀測值的函數(shù)為Z=kx2.函數(shù)的中誤差計算式則函數(shù)Z的中誤差計算式為,,算例：見例6-5,6．3誤差傳播定律及其應(yīng)用,,,,三、線性函數(shù)的中誤差1.函數(shù)形式設(shè)x1，x2，…，xn為獨立觀測值，其中誤差為m1，m2，…，mn，觀測值的函數(shù)為,,算例：見例6-6,2.函數(shù)的中誤差計算式則函數(shù)Z的中誤差計算式為,,6．3誤差傳播定律及其應(yīng)用四、非線性函數(shù)的中誤差,算例：見例6-7,6．4算術(shù)平均值及其中誤差,一、算術(shù)平均值,即,6．4算術(shù)平均值及其中誤差,一、算術(shù)平均值,6．4算術(shù)平均值及其中誤差,二、算術(shù)平均值的中誤差算術(shù)平均值的中誤差與單個觀測值的關(guān)系式,,設(shè)單個觀測值的中誤差為m，算術(shù)平均值的中誤差為mx，則根據(jù)誤差傳播定律，得,6．4算術(shù)平均值及其中誤差,三、用觀測值的改正數(shù)計算中誤差算術(shù)平均值的中誤差與單個觀測值的關(guān)系式。在實際工作中，一般情況下，量的真值是不知的，故無法利用真誤差計算中誤差。但是可以利用算術(shù)平均值和觀測值的差值-改正數(shù)計算。1.改正數(shù)的計算設(shè)對同一個量同精度觀測了n次，得觀測值,,,算術(shù)平均值為,,6．4算術(shù)平均值及其中誤差,三、用觀測值的改正數(shù)計算中誤差1.改正數(shù)的計算則觀測值的改正數(shù)按下式計算,,6．4算術(shù)平均值及其中誤差,三、用觀測值的改正數(shù)計算中誤差2.則觀測值的中誤差按下式計算,,,3.算術(shù)平均值的中誤差按下式計算,,,其中,6．4算術(shù)平均值及其中誤差,四、用等精度雙觀測值的差值求觀測值的中誤差1.雙觀測值的概念對同一個量獨立觀測了兩次，得,則稱其為雙觀測值,,,2.雙觀測值的之差,3.單次觀測值的中誤差,,4.兩次觀測值平均值的中誤差,,6．5廣義算術(shù)平均值及其精度的評定,一、“權(quán)”的定義設(shè)觀測值Li的中誤差為mi，μ為任意常數(shù)，則定義的權(quán)為,二、常用的定權(quán)方法1.水準測量的權(quán)（1）按測站數(shù)定權(quán)設(shè)某水準路線的觀測高差為hi，測站數(shù)為ni，hi的中誤差為mi，c為任意常數(shù)，則hi的權(quán)為,6．5廣義算術(shù)平均值及其精度的評定,二、常用的定權(quán)方法1.水準測量的權(quán)（2）按水準路線長度定權(quán)設(shè)某水準路線的觀測高差為hi，路線長度Li千米，hi的中誤差為mi，c為任意常數(shù)，則hi的權(quán)為,,6．5廣義算術(shù)平均值及其精度的評定,二、常用的定權(quán)方法2.測量距離的權(quán)設(shè)某段距離的長度為Di千米，c為任意常數(shù)，則hi的權(quán)為,,3.同精度觀測值算術(shù)平均值的權(quán),設(shè)有一組觀測量,它們分別是,次等精度觀測值的算術(shù)平均值，則各觀測值的權(quán)為,6．5廣義算術(shù)平均值及其精度的評定,三、廣義算術(shù)平均值廣義算術(shù)平均值，又稱為加權(quán)平均值。設(shè)對某一量X進行了n次不等精度觀測，觀測值為,其權(quán)為,則其廣義算術(shù)平均值為,,四、廣義算術(shù)平均值的中誤差,,第5章完,