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2018-2019學(xué)年度人教版數(shù)學(xué)九年級上冊同步練習(xí) 24.3 正多邊形和圓 一．選擇題（共12小題） 1．在正六邊形ABCDEF的中，若BE=10，則這個正六邊形外接圓半徑是（　　） A． B．5 C． D．5 2．下列關(guān)于圓的敘述正確的有（　?。? ①對角互補(bǔ)的四邊形是圓內(nèi)接四邊形；②圓的切線垂直于圓的半徑；③正多邊形中心角的度數(shù)等于這個正多邊形一個外角的度數(shù)；④過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 3．如圖，用一張圓形紙片完全覆蓋邊長為2的正方形ABCD，則該圓形紙片的面積最少為（　　） A．π B． C．2π D．4π 4．已知正方形MNOK和正六邊形ABCDEF邊長均為1，把正方形放在正六邊形中，使OK邊與AB邊重合，如圖所示：按下列步驟操作：將正方形在正六邊形中繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使KM邊與BC邊重合，完成第一次旋轉(zhuǎn)；再繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使MN邊與CD邊重合，完成第二次旋轉(zhuǎn)……連續(xù)經(jīng)過六次旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)正方形和正六邊形的邊重合時，點B，M間的距離可能是（　　） A．0.5 B．0.7 C．﹣1 D．﹣1 5．如圖，點A、B、C、D、E、F是⊙O的等分點，分別以點B、D、F為圓心，AF的長為半徑畫弧，形成美麗的“三葉輪”圖案．已知⊙O的半徑為1，那么“三葉輪”圖案的面積為（　?。? A． B． C． D． 6．已知圓內(nèi)接正三角形的面積為，則該圓的內(nèi)接正六邊形的邊心距是（　?。? A．2 B．1 C． D． 7．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，過點A作⊙O的切線交對角線DB的延長線于點F，則下列結(jié)論不成立的是（　?。? A．AE∥BD B．AB=BF C．AF∥CD D．DF= 8．如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，若四邊形ADEH的面積等于20，則陰影部分的面積等于（　?。? A．10 B．20 C．18 D．20 9．如圖，分別把正六邊形邊AB、EF、CD向兩個方向延長，相交于M、N、Q，則陰影部分與空白部分的面積比為（　　） A． B． C． D． 10．如圖，正六邊形ABCDEF的中心與坐標(biāo)原點0重合，其中A（﹣2，0）．將六邊形ABCDEF繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)2018次，每次旋轉(zhuǎn)60，則旋轉(zhuǎn)后點A的對應(yīng)點A的坐標(biāo)是（　?。? A．（1，） B．（，1） C．（1，） D．（﹣1，） 11．如圖，正六邊形螺帽的邊長是2cm，這個扳手的開口a的值應(yīng)是（　?。? A．2cm B． cm C． cm D．1cm 12．如圖，圓O的內(nèi)接正六邊形的邊長是12，則邊心距是（　?。? A．6 B．12 C．6 D．6 　 二．填空題（共6小題） 13．圓內(nèi)接正三邊形的邊長為12cm，則邊心距是　 　cm． 14．正六邊形的邊長為4cm，它的半徑等于　 　cm． 15．一個半徑為5cm的圓內(nèi)接正六邊形的面積等于　 ?。? 16．如圖，有公共頂點A、B的正五邊形和正六邊形，連接AC交正六邊形于點D，則∠ADE的度數(shù)為　 ?。? 17．如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD分別相切于A，C兩點，則∠OCB的度數(shù)為　 　度． 18．如圖，有一個正六邊形圖片，每組平行的對邊距離為3米，點A是正六邊形的一個頂點，現(xiàn)點A與數(shù)軸的原點O重合，工人將圖片沿數(shù)軸正方向滾動一周，點A恰好落在數(shù)軸點A′上，則點A′對應(yīng)的實數(shù)是　 ?。? 　 三．解答題（共6小題） 19．如圖，正五邊形ABCDE的兩條對角線AC，BE相交于點F． （1）求證：AB=EF； （2）若BF=2，求正五邊形ABCDE的邊長． 20．如圖，⊙O是正方形ABCD與正六邊形AEFCGH的外接圓． （1）正方形ABCD與正六邊形AEFCGH的邊長之比為　 ??； （2）連接BE，BE是否為⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊？如果是，求出n的值；如果不是，請說明理由． 21．已知正六邊形ABCDEF，如圖所示，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積． 22．如圖，⊙O的周長等于 8πcm，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O． （1）求圓心O到AF的距離； （2）求正六邊形ABCDEF的面積． 23．如圖正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為CD任意一點，連接DE、AE． （1）求∠AED的度數(shù)． （2）如圖2，過點B作BF∥DE交⊙O于點F，連接AF，AF=1，AE=4，求DE的長度． 24．（1）已知△ABC為正三角形，點M是BC上一點，點N是AC上一點，AM、BN相交于點Q，BM=C N，證明△ABM≌△BCN，并求出∠BQM的度數(shù)． （2）將（1）中的“正△ABC”分別改為正方形ABCD、正五邊形ABCDE、正六邊形ABCDEF、正n邊形ABCD…，“點N是AC上一點”改為點N是CD上一點，其余條件不變，分別推斷出∠BQM等于多少度，將結(jié)論填入下表： 正多邊形 正方形 正五邊形 正六邊形 … 正n邊形 ∠BQM的度數(shù) 　 　 　 　 　 　 … 　 　 　  參考答案與試題解析 　 一．選擇題（共12小題） 1．【解答】解：因為正六邊形ABCDEF的中，BE=10， 所以這個正六邊形外接圓半徑是， 故選：B． 2．【解答】解：對角互補(bǔ)的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，所以①正確； 圓的切線垂直于過切點的半徑，所以②錯誤； 正多邊形中心角的度數(shù)等于這個正多邊形一個外角的度數(shù)，所以③正確； 過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等，所以④正確． 故選：C． 3．【解答】解：∵正方形的邊長為2， ∴正方形的對角線的長為2， ∴正方形的外接圓的直徑為2， ∴正方形的外接圓的面積=2π， 故選：C． 4．【解答】解：如圖，在這樣連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)的過程中，點M的運動軌跡是圖中的紅線， 觀察圖象可知點B，M間的距離大于等于2﹣小于等于1， 當(dāng)正方形和正六邊形的邊重合時，點B，M間的距離可能是1或﹣1， 故選：D． 5．【解答】解：連接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H， ∵點A、B、C、D、E、F是⊙O的等分點， ∴∠AOB=60，又OA=OB， ∴△AOB是等邊三角形， ∴AB=OB=1，∠ABO=60， ∴OH==， ∴“三葉輪”圖案的面積=（﹣1）6=π﹣， 故選：B． 6．【解答】解：因為圓內(nèi)接正三角形的面積為， 所以圓的半徑為， 所以該圓的內(nèi)接正六邊形的邊心距sin60=， 故選：B． 7．【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形， ∴∠BAE=∠ABC=∠C=∠EDC=∠E==108，BC=CD， ∴∠CBD=∠CDB=（180﹣∠C）=36， ∴∠ABD=108﹣36=72， ∴∠EAB+∠ABD=180， ∴AE∥BD，故本選項不符合題意； B、連接OA、OB， ∵五邊形ABCDE是正五邊形， ∴∠AOB==72， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=（180﹣72）=54， ∵FA切⊙O于A， ∴∠OAF=90， ∴∠FAB=90﹣54=36， ∵∠ABD=72， ∴∠F=72﹣36=36=∠FAB， ∴AB=BF，故本選項不符合題意； C、∵∠F=∠CDB=36， ∴AF∥CD，故本選項不符合題意； D、連接AD，過A作AH⊥DF于H，則∠AHF=∠AHD=90， ∵∠EDC=108，∠CDB=∠EDA=36， ∴∠ADF=108﹣36﹣36=36=∠F， ∴AD=AF， ∴FH=DH， 當(dāng)∠F=30時，AF=2AH，F(xiàn)H=DH=AH， 此時DF=AF， ∴此時∠F=36時，DF≠AF，故本選項符合題意； 故選：D． 8．【解答】解：作出正方形MNQR，如圖所示： △AMB中，AM=x，則BM=x，AB=x，正八邊形的邊長是x． 則正方形的邊長是（2+）x． 根據(jù)題意得： x（2+）x=20， 解得：x2=10（﹣1）． 則陰影部分的面積是：2[x（2+）x﹣2x2]=2（+1）x2=2（+1）10（﹣1）=20． 故選：B． 9．【解答】解：由題意可得：空白部分為正六邊形，陰影部分是三個全等的正三角形， 它們的邊長相等， 由正六邊形可以分割為6個全等的三角形， 則陰影部分與空白部分的面積比為： =． 故選：A． 10．【解答】解：連接OB、OC、OE、OF，作EH⊥OD于H， ∵六邊形ABCDEF是正六邊形， ∴∠AOF=∠FOE=∠EOD=∠DOC=∠COB=∠BOA=60， ∵將正六邊形ABCDEF繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60， ∴點A旋轉(zhuǎn)6次回到點A， 20186=336…2 ∴正六邊形ABCDEF繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)2018次，與點E重合， 在Rt△EOH中，OH=OE=1，EH=OH= ∴頂點A的坐標(biāo)為（1，）， 故選：A． 11．【解答】解：∵正六邊形的任一內(nèi)角為120， ∴∠1=30（如圖）， ∴a=2cos∠1=， ∴a=2． 故選：A． 12．【解答】解：如圖所示，連接OB、OC，過O作OG⊥BC于G， ∵此多邊形是正六邊形， ∴△OBC是等邊三角形， ∴∠OBG=30， ∴邊心距OG=OB?sin∠OBG=12=6； 故選：D． 　 二．填空題（共6小題） 13．【解答】解：如圖在正三角形ABC中，AB=BC=AC=12，作OH⊥BC于H，連接OB． ∵OH⊥BC， ∴BH=CH=6， 在Rt△OBH中，OH=BH?tan30=6=2（cm）， 故答案為：2． 14．【解答】解：∵此多邊形為正六邊形， ∴∠AOB==60； ∵OA=OB， ∴△OAB是等邊三角形， ∴OA=AB=4cm， 故答案為：4 15．【解答】解：連接正六邊形的中心與各個頂點， 得到六個等邊三角形， 等邊三角形的邊長是5， 因而面積是5=cm2， 因而正六邊形的面積 cm2． 故答案為cm2． 16．【解答】解：正五邊形的內(nèi)角是∠ABC==108， ∵AB=BC， ∴∠CAB=36， 正六邊形的內(nèi)角是∠ABE=∠E==120， ∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360， ∴∠ADE=360﹣120﹣120﹣36=84， 故答案為84． 17．【解答】解：∵⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD分別相切于A，C兩點， ∴OA⊥AE，OC⊥CD， ∴∠OAE=∠OCD=90， ∵∠BCD=108， ∴OCB=108﹣90=18 故答案為18． 18．【解答】解：如圖作BH⊥OC于H． ∵BC=BO，BH⊥OC， ∴CH=HO=， 在Rt△CBH中，∵cos30=， ∴CH=， 由題意OA′=6BC=6， 故答案為6． 　 三．解答題（共6小題） 19．【解答】解：（1）∵正五邊形ABCDE， ∴AB=AE，∠BAE=108， ∴∠ABE=∠AEB=36， 同理：∠BAF=∠BCA=36， ∴∠FAE=∠AFE=72， ∴AE=EF， ∴AB=EF； （2）設(shè)AB=x， 由（1）知；∠BAF=∠AEB， ∵∠ABF=∠ABE， ∴△ABF∽△EBA， ∴， 即， 解得：（舍去）， ∴五邊形ABCDE的邊長為1+． 20．【解答】解：（1）設(shè)此圓的半徑為R， 則它的內(nèi)接正方形的邊長為R， 它的內(nèi)接正六邊形的邊長為R， 內(nèi)接正方形和外切正六邊形的邊長比為R：R=：1； 故答案為：：1； （2）BE是⊙O的內(nèi)接正十二邊形的一邊， 理由：連接OA，OB，OE， 在正方形ABCD中，∠AOB=90， 在正六邊形AEFCGH中，∠AOE=60， ∴∠BOE=30， ∵n==12， ∴BE是正十二邊形的邊． 21．【解答】解：∵正六邊形的半徑等于邊長， ∴正六邊形的邊長AB=OA=a； 正六邊形的周長=6AB=6a； ∵OM=OA?sin60=a， 正六邊形的面積S=6aa=a2． 22．【解答】解：（1）連接OC、OD，作OH⊥CD于H， ∵⊙O的周長等于8πcm， ∴半徑OC=4cm， ∵六邊形ABCDE是正六邊形， ∴∠COD=60， ∴∠COH=30， ∴圓心O到CD的距離=4cos30=2， ∴圓心O到AF的距離為2cm； （2）正六邊形ABCDEF的面積=426=24cm2． 23．【解答】解：（1）如圖1中，連接OA、OD． ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠AOD=90， ∴∠AED=∠AOD=45． （2）如圖2中，連接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H． ∵BF∥DE，AB∥CD， ∴∠BDE=∠DBF，∠BDC=∠ABD， ∴∠ABF=∠CDE， ∵∠CFA=∠AEC=90， ∴∠DEC=∠AFB=135， ∵CD=AB， ∴△CDE≌△ABF， ∴AF=CE=1， ∴AC==， ∴AD=AC=， ∵∠DHE=90， ∴∠HDE=∠HED=45， ∴DH=HE，設(shè)DH=EH=x， 在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2， ∴=（4﹣x）2+x2， 解得x=或（舍棄）， ∴DE=DH= 24．【解答】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形， ∴∠ABC=∠C=60， 在△ABM和△BCN中， ， ∴△ABM≌△BCN， ∴∠BAM=∠CBN， ∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=60； （2）正方形ABCD中，由（1）得，△ABM≌△BCN， ∴∠BAM=∠CBN， ∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=90， 同理正五邊形ABCDE中，∠BQM=108， 正六邊形ABCDEF中，∠BQM=120， 正n邊形ABCD…中，∠BQM=， 故答案為：90；108；120；．