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2019-2020年高考數(shù)學專題復習 專題12 選修系列 第82練 矩陣與變換練習 理 訓練目標 了解簡單矩陣與變換的思想與應用． 訓練題型 (1)矩陣運算及逆矩陣的應用；(2)變換的應用；(3)特征值與特征向量的應用． 解題策略 根據(jù)教材上相關內容，理解記憶，無需追求難度，掌握基本概念即可. 2．(xx南通、揚州、淮安、連云港二模)已知是矩陣M＝的一個特征向量，求實數(shù)a的值． 3．(xx南通二模)已知二階矩陣M有特征值λ＝1及對應的一個特征向量e1＝，且M＝.求矩陣M. 4．(xx南京三模)已知矩陣A＝(k≠0)的一個特征向量α＝，A的逆矩陣A－1對應的變換將點(3,1)變?yōu)辄c(1,1)．求實數(shù)a，k的值． 5．(xx宿遷三校調研)已知矩陣A＝屬于特征值λ的一個特征向量為a＝. (1)求實數(shù)b的值； (2)若曲線C在矩陣A對應的變換作用下，得到的曲線為C′：x2＋2y2＝2，求曲線C的方程． 6．(xx南京、鹽城一模)設矩陣M＝的一個特征值為2，若曲線C在矩陣M變換下的方程為x2＋y2＝1，求曲線C的方程． 答案精析 1．解　矩陣A的特征多項式 f(λ)＝＝λ2－5λ＋6， 由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3. 當λ＝2時，特征方程組為 故屬于特征值2的一個特征向量 α1＝； 當λ＝3時，特征方程組為 故屬于特征值3的一個特征向量 α2＝. 2．解　設是矩陣M屬于特征值λ的一個特征向量， 則＝λ， 故解得 3．解　設M＝， 則由＝， 得 再由＝，得 聯(lián)立以上方程解得 a＝2，b＝1，c＝0，d＝1， 故M＝. 4．解　設特征向量α＝對應的特征值為λ， 則＝λ， 即 因為k≠0，所以a＝2. 因為A－1＝， 所以A＝， 即＝， 所以2＋k＝3，解得k＝1. 綜上，a＝2，k＝1. 5．解　(1)因為矩陣A＝屬于特征值λ的一個特征向量為a＝， 所以＝λ， 即＝. 從而解得b＝0，λ＝2. (2)由(1)知，A＝. 設曲線C上任一點M(x，y)在矩陣A對應的變換作用后變?yōu)榍€C′上一點P(x0，y0)， 則＝＝， 從而 因為點P在曲線C′上，所以x＋2y＝2， 即(2x)2＋2(x＋3y)2＝2， 從而3x2＋6xy＋9y2＝1. 所以曲線C的方程為3x2＋6xy＋9y2＝1. 6．解　由題意，知矩陣M的特征多項式為f(λ)＝(λ－a)(λ－1)，因為矩陣M有一個特征值為2，所以f(2)＝0，所以a＝2.設曲線C上任一點的坐標為(x，y)，其在矩陣M的變換下的對應點的坐標為 (x′，y′)． 所以M＝＝， 即 因為曲線C在矩陣M變換下的方程為 x2＋y2＝1， 所以(2x)2＋(2x＋y)2＝1， 即曲線C的方程為8x2＋4xy＋y2＝1.