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2019-2020 年高考數(shù)學(xué) 回扣突破 30 練 第 26 練 極坐標(biāo)與參數(shù)方程 理 一.題型考點(diǎn)對(duì)對(duì)練 1． （極坐標(biāo)化為普通方程）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立 極坐標(biāo)系.已知直線(xiàn)： 經(jīng)過(guò)點(diǎn)，曲線(xiàn)：. （Ⅰ）求直線(xiàn)和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）若點(diǎn)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)到直線(xiàn)的距離表示為，求的最小值. （Ⅱ）設(shè)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離， 當(dāng)時(shí)，. 2.（與圓的相關(guān)的極坐標(biāo)方程解決方法）在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為： ， （為參數(shù)） ，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系. （1）求的極坐標(biāo)方程； （2）射線(xiàn)與的異于原點(diǎn)的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，求. 【解析】 （1）將代入曲線(xiàn)的方程： ，可得曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為， 曲線(xiàn)的普通方程為，將代入，得到的極坐標(biāo)方程為 （2）射線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，與曲線(xiàn)的交點(diǎn)的極徑為 射線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)的極徑滿(mǎn)足，解得 所以 3.（參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程互化）已知曲線(xiàn)： （為參數(shù)）和直線(xiàn)：（為參 數(shù)） ． （1）將曲線(xiàn)的方程化為普通方程； （2）設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且為弦的中點(diǎn)，求弦所在的直線(xiàn)方程． （2）將代入， 整理得 ．由為的中點(diǎn)，則． ∴，即，故，即，所以所求的直線(xiàn)方程為． 4.（直線(xiàn)的參數(shù)方程中 t 的幾何意義應(yīng)用）在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為 （為參數(shù)） ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲 線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為． （1）寫(xiě)出曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程； （2）已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于不同的兩點(diǎn)，求的取值范圍． ，則 . 5.（極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo) 系，已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，將曲線(xiàn)：（為參數(shù)） ，經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線(xiàn). （1）求曲線(xiàn)的參數(shù)方程； （2）若點(diǎn)的曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，試求出到直線(xiàn)的距離的最小值. 【解析】 （1）將曲線(xiàn)：（為參數(shù)）化為，由伸縮變換化為 ，代入圓的方程得，即， 可得參數(shù)方程為（為參數(shù)）. （2）曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，化為直角坐標(biāo)方程：，點(diǎn)到的距離 ，∴點(diǎn)到的距離的最小值為. 二.易錯(cuò)問(wèn)題糾錯(cuò)練 6.（圓的極坐標(biāo)方程應(yīng)用不當(dāng)至錯(cuò)）在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)，曲線(xiàn)為參數(shù)） ， 以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. （1）求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程； （2）若射線(xiàn)分別交于兩點(diǎn)， 求的最大值. 【注意問(wèn)題】根據(jù) 轉(zhuǎn)化即可． 7.（不明確直線(xiàn)的參數(shù)方程中的幾何意義至錯(cuò)）在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為 參數(shù)） ，若以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極 坐標(biāo)方程為. （Ⅰ）求直線(xiàn)與曲線(xiàn)的普通方程； （Ⅱ）已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，設(shè)，求的值. 【解析】 （Ⅰ）由得，∴直線(xiàn)的普通方程；由得，又∵， ∴曲線(xiàn)的普通方程為. （Ⅱ）設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，將代入得，∴，∵直線(xiàn)的參數(shù)方程為可化為 ， ∴， ∴ . 【注意問(wèn)題】直線(xiàn) l 的參數(shù)方程為 ， ，整理可得，利用參數(shù)的幾何意義，求的值． 三.新題好題好好練 8.在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為 （為參數(shù)） ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓的極坐標(biāo)方程為 . （Ⅰ）若直線(xiàn)與圓相切，求的值； （Ⅱ）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)：（為參數(shù)）交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，求. 9.在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)，曲線(xiàn) ，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸 正半軸建立直角坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為 （為參數(shù)） ． （1）求的直角坐標(biāo)方程； （2）與交于不同四點(diǎn)，這四點(diǎn)在上的排列順次為，求的值． ，把 代入， 得：，即，故，所以. 10.已知直線(xiàn)的參數(shù)方程是 （是參數(shù)） ，圓的極坐標(biāo)方程為． （1）求圓心的直角坐標(biāo)； （2）由直線(xiàn)上的點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，求切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值． 【解析】 （1）∵ ，∴ ， ∴圓的直角坐標(biāo)方程為 ，即，∴圓心的直角坐標(biāo)為. （2）直線(xiàn)上的點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)為 ， ∴直線(xiàn)上的點(diǎn)向圓引的切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為. 11.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo) 方程為. （Ⅰ）求出圓的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）已知圓與軸相交于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)：關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)為.若直線(xiàn)上存在點(diǎn)使得，求實(shí) 數(shù)的最大值. 12.已知直線(xiàn) （為參數(shù)） ，曲線(xiàn)（為參數(shù)）. （1）設(shè)與相交于兩點(diǎn)，求； （2）若把曲線(xiàn)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，得到曲線(xiàn)，設(shè)點(diǎn) 是曲線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線(xiàn)的距離的最大值. 【解析】 （I）的普通方程為，的普通方程為聯(lián)立方程組