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2019-2020年高中數學 2.1直線的方向向量與平面的法向量教學案 蘇教版選修2-1 周次 8 課題 直線的方向向量與平面的法向量 第 1課時 授課形式 新授課 主編 審核 教學目標 理解直線的方向向量與平面的法向量 會用待定系數法求平面的法向量 重點難點 直線的方向向量與平面的法向量的求法 教學方法 課堂結構 一．問題情境 在平面向量中，我們借助向量研究了平面內兩條直線平行、垂直等位置關系。如何用向量刻畫空間的兩條直線、直線與平面、平面與平面的位置關系？ 二．概念講解 1.直線的方向向量 我們把直線 上的向量（） 以及與共線的非零向量叫做直線的 2.平面的法線 與平面 的直線叫做平面的法線 3.平面的法向量 如果表示非零向量的有向線段所在直線垂直于平面，那么稱向量垂直于平面，記作。此時，我們把向量叫做平面的法向量。 一個平面的法向量有 個，過一個定點作平面的法向量有 個 三．基礎自測 1.在空間直角坐標系O—xyz中，寫出平面yOz的一個法向量 2.已知A（2，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），那么平面ABC的一個單位法向量的坐標是 3.已知A,B，且直線AB的一個方向向量是，則 4.平面的法向量是，平面的法向量是，若，則，的關系是 四．典型例題 例1.在正方體ABCD—ABCD中，求證：是平面ACD的法向量。 變式訓練1：在正方體ABCD—ABCD中，O是AC與BD的交點，M是CC的中點， 求證：是平面MBD的法向量 在空間直角坐標系中，我們還可以用待定系數法來求平面的法向量。 變式訓練2：在正方體ABCD—ABCD中，求平面ACD的一個法向量。 解：設平面ACD的一個法向量為則 從而 因為， 所以 解方程組 得到 不妨取，則 所以，就是平面ACD的一個法向量。 4.已知平面經過點，且是平面的法向量，是平面內任意一點，則滿足的關系式 5.在長方體中，條件甲：是正方體；條件乙：是平面的法向量，那么甲是乙的 條件 6.已知，點在平面內，若直線的方向向量是，則點的坐標是 7.已知 （1）寫出直線的一個方向向量； （2）設平面經過點，且是的法向量，是平面內任意一點，試寫出滿足的關系式。 回顧與反思 例2．已知空間三點 （1）．若，且分別與垂直，求向量的坐標。 （2）．設是平面ABC內任一點，求滿足的關系式。 例3.在空間直角坐標系中，設平面經過點，平面的法向量為，是平面內任意一點，求滿足的關系式。 五．課堂自測： 1.已知點，，則直線的一個方向向量為 . 2.已知直線經過點，是的方向向量，若是上任意一點，則滿足的關系式是 3.若異面直線的方向向量分別是和，則，的公垂線的一個方向向量的坐標是