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2019-2020年高一數學 指數函數的性質應用 第七課時 第二章 ●課 題 2.6.3 指數函數的性質應用(二) ●教學目標 (一)教學知識點 1.指數形式的復合函數. 2.指數形式復合函數的單調性. 3.指數形式復合函數的奇偶性. (二)能力訓練要求 1.掌握指數形式的復合函數的單調性的證明方法. 2.掌握指數形式的復合函數的奇偶性的證明方法. 3.培養(yǎng)學生的數學應用意識. (三)德育滲透目標 1.認識從特殊到一般的研究方法. 2.用聯系的觀點看問題. 3.了解數學在生產實際中的應用. ●教學重點 1.函數單調性的證明通法. 2.函數奇偶性的證明通法. ●教學難點 指數函數的性質應用. ●教學方法 啟發(fā)式 啟發(fā)學生運用證明函數單調性的基本步驟對指數形式的復合函數的單調性進行證明，但應在變形這一關鍵步驟幫助學生總結、歸納有關指數形式的函數變形技巧，以利于下一步的判斷. 在運用證明函數奇偶性的基本步驟對指數形式的復合函數的奇偶性證明時，應提醒學生考查函數的定義域是否關于原點對稱，以培養(yǎng)學生的定義域意識，并引導學生得指數形式的復合函數判斷奇偶性的常用等價形式，以幫助學生形成系統的知識結構. ●教具準備 幻燈片三張 第一張：判斷及證明函數單調性的基本步驟、判斷及證明函數奇偶性的基本步驟(記作 2.6.3 A） 第二張：例5證明過程(記作2.6.3 B） 第三張：例6證明過程(記作2.6.3 C） ●教學過程 Ⅰ.復習回顧 ［師］上一節(jié)，我們一起學習了指數函數的性質應用，這一節(jié)，我們學習指數形式的復合函數的單調性、奇偶性的證明方法.首先，大家來回顧一下第二章第一單元所學的證明函數單調性、奇偶性的基本步驟. ［生］判斷及證明函數單調性的基本步驟： 假設→作差→變形→判斷. ［生］判斷及證明函數奇偶性的基本步驟： (1)考查函數定義域是否關于原點對稱； (2)比較f（－x）與f（x）或者－f（x）的關系； (3)根據函數奇偶性定義得出結論. (給出幻燈片2.6.3 A，老師結合幻燈片內容加以強調說明) ［師］在函數單調性的證明過程中，“變形”是一關鍵步驟，變形的目的是為了易于判斷，判斷有兩層含義：一是對差式正負的判斷；二是對增減函數定義的判斷. 另外，在函數奇偶性的判斷及證明過程中，定義域的考查容易被大家忽略，而函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件，大家應予以重視. 下面，我們通過例題來一起熟悉并掌握證明函數單調性，奇偶性的方法. Ⅱ.講授新課 [例5]當a＞1時，證明函數f(x)=是奇函數. 分析：此題證明的結構仍是函數奇偶性的證明，但在證明過程中的恒等變形用到推廣的實數范圍內的指數冪運算性質.同時，應注意首先考查函數的定義域. 證明：由ax－1≠0 得x≠0 故函數定義域{x｜x≠0}關于原點對稱. 又f(－x)= = －f(x)=－ ∴f(－x)=－f(x) 所以函數f(x)=是奇函數. ［師］對于f（－x）與f（x）關系的判斷，也可采用如下證法： ＝－1 即f（－x）＝－f（x） 評述：對于指數形式的復合函數的奇偶性的證明，常利用如下的變形等價形式： f（－x）＝f（x）＝1（f（x）≠0）， f（－x）＝－f（x） ＝－1（f（x）≠0）. 這種變形的等價形式主要是便于實數指數冪運算性質，要求學生在解決相關類型題時，予以嘗試和體會. ［例6］設a是實數，f(x)=a－ (x∈R) (1)試證明對于任意a,f(x)為增函數； (2)試確定a值，使f(x)為奇函數. 分析：此題的形式較為復雜，但應嚴格按照單調性、奇偶性的定義進行證明.還應要求學生注意不同題型的解答方法. (1)證明：設x1,x2∈R,且x1＜x2 則f(x1)－f(x2)=(a－ = = 由于指數函數y=2x在R上是增函數，且x1＜x2,所以即＜0 又由2x＞0得+1＞0，+1＞0 所以f(x1)－f(x2)＜0 即f(x1)＜f(x2) 因為此結論與a取值無關，所以對于a取任意實數，f(x)為增函數. 評述：上述證明過程中，對差式正負判斷時，利用了指數函數的值域及單調性. (2)解：若f(x)為奇函數，則f(－x)=－f(x) 即a－ 變形得: 2a= = 解得a=1 所以當a=1時，f(x)為奇函數. 評述：此題并非直接確定a值，而是由已知條件逐步推導a值.應要求學生適應這種探索性題型. Ⅲ.課堂練習 已知函數f(x)為偶函數，當x∈(0,+∞)時，f(x)=－2x+1,求當x∈(－∞，0)時，f(x)的解析式. 解：設x∈（－∞，0），則－x∈（0，＋∞），由x∈（0，＋∞）時，f（x）＝－2x＋1得f（－x）＝－2-x＋1 又由函數f（x）為偶函數得 f（－x）＝f（x） ∴f（x）＝－2-x＋1. 即當x∈（－∞，0）時，f（x）＝－2-x＋1. Ⅳ.課時小結 ［師］通過本節(jié)學習，要求大家進一步熟悉指數函數的性質應用，并掌握函數單調性.奇偶性證明的通法. Ⅴ.課后作業(yè) （一）1.課本P75習題2.6 4.求證： (1)f（x）＝（a＞0，a≠1)是奇函數； (2)f（x）＝（a＞0，a≠1）是偶函數. 證明：(1)∵f（－x）＝＝－f（x） 即f（－x）＝－f（x），故f（x）是奇函數. (2)f（－x）＝ ＝－ ＝＝f（x） 即f（－x）＝f（x），故f（x）＝是偶函數. 2.已知函數f(x)=， (1)判斷函數f(x)的奇偶性； (2)求證函數f(x)在(－∞,+∞)上是增函數. (1)解：首先考查函數定義域R，故定義域關于原點對稱. 又∵f（－x）＝ ＝＝－f（x） 即f（－x）＝－f（x） ∴f（x）是奇函數. (2)證明：設x1＜x2，則 f（x1）－f（x2）＝ ＝ ＝ ＝ ∵x1＜x2 ∴ ∴＜0. 又∵2＞＋1＞0，＋1＞0 ∴＜0 ∴f（x1）－f（x2）＜0 即f（x1）＜f（x2） ∴f（x）在（－∞，＋∞)上是增函數. （二）1.預習內容：課本P76 2.預習提綱： (1)對數與指數有何聯系? (2)對數式與指數式如何互化? ●板書設計 2.6.3 指數函數的性質應用(二) 1.單調性證明通法：比較自變量大小與相應函數值大小是具有一致性，還是相反性. 2.奇偶性證明通法 ①考查定義域 ②比較f（－x），f（x），－f（x）三者的關系 3.[例5] 4.［例6］ 5.學生練習