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2019-2020年高中數學競賽輔導資料《排列，組合》 1．排列組合題的求解策略 （1）排除：對有限條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況排除，這是解決排列組合題的常用策略． （2）分類與分步 有些問題的處理可分成若干類，用加法原理，要注意每兩類的交集為空集，所有各類的并集是全集；有些問題的處理分成幾個步驟，把各個步驟的方法數相乘，即得總的方法數，這是乘法原理． （3）對稱思想：兩類情形出現的機會均等，可用總數取半得每種情形的方法數． （4）插空：某些元素不能相鄰或某些元素在特殊位置時可采用插空法．即先安排好沒有限制條件的元素，然后將有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間． （5）捆綁：把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，然后與其它“普通元素”全排列，然后再“松綁”，將這些特殊元素在這些位置上全排列． （6）隔板模型：對于將不可辨的球裝入可辨的盒子中，求裝的方法數，常用隔板模型．如將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個縫隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，分別裝入4個不同的盒子中的方法數應為，這也就是方程的正整數解的個數． 2．圓排列 （1）由的個元素中，每次取出個元素排在一個圓環(huán)上，叫做一個圓排列（或叫環(huán)狀排列）． （2）圓排列有三個特點：（i）無頭無尾；（ii）按照同一方向轉換后仍是同一排列；（iii）兩個圓排列只有在元素不同或者元素雖然相同，但元素之間的順序不同，才是不同的圓排列． （3）定理：在的個元素中，每次取出個不同的元素進行圓排列，圓排列數為． 3．可重排列 允許元素重復出現的排列，叫做有重復的排列． 在個不同的元素中，每次取出個元素，元素可以重復出現，按照一定的順序那么第一、第二、…、第位是的選取元素的方法都是種，所以從個不同的元素中，每次取出個元素的可重復的排列數為． 4．不盡相異元素的全排列 如果個元素中，有個元素相同，又有個元素相同，…，又有個元素相同（），這個元素全部取的排列叫做不盡相異的個元素的全排列，它的排列數是 5．可重組合 （1）從個元素，每次取出個元素，允許所取的元素重復出現次的組合叫從個元素取出個有重復的組合． （2）定理：從個元素每次取出個元素有重復的組合數為：． 例題講解 1．數1447,1005,1231有某些共同點，即每個數都是首位為1的四位數，且每個四位數中恰有兩個數字相同，這樣的四位數共有多少個？ 2．有多少個能被3整除而又含有數字6的五位數？ 3．有個人參加收發(fā)電報培訓，每兩人結為一對互發(fā)互收，有多少種不同的結對方式？ 4．將個不同的小球放入個不同的盒子中，要使每個盒子都不空，共有多少種放法？ 5．在正方體的8個頂點，12條棱的中點，6個面的中心及正方體的中心共27個點中，共線的三點組的個數是多少個？ 6．用8個數字1,1，7,7，8,8，9,9可以組成不同的四位數有多少個？ 7．用五種顏色給正方體的各個面涂色，并使相鄰面必須涂不同的顏色，共有多少種不同的涂色方式？ 8．某種產品有4只次品和6只正品（每只產品可區(qū)分），每次取一只測試，直到4只次品全部測出為止．求最后一只次品在第五次測試時被發(fā)現的不同情形有多少種？ 9．在平面上給出5個點，連結這些點的直線互不平行，互不重合，也互不垂直，過每點向其余四點的連線作垂線，求這此垂線的交點最多能有多少個？ 10．位政治家舉行圓桌會議，兩位互為政敵的政治家不愿相鄰，其入坐方法有多少種？ 11．某城市有6條南北走向的街道，5條東西走向的街道．如果有人從城南北角（圖點）走到東南角中點最短的走法有多少種？ 12．用4個1號球，3個2號球，2個3號球搖出一個9位的獎號，共有多少種可能的號碼？ 13．將個相同的小球，放入個不同的盒子（）． （1）有多少種不同的放法？ （2）如果不允許空盒應有多少種不同的放法？ 14．8個女孩和25個男孩圍成一圈，任意兩個女孩之間至少站著兩個男孩．（只要把圓旋轉一下就重合的排列認為是相同的） 課后練習 1．8次射擊，命中3次，其中愉有2次連續(xù)命中的情形共有（　?。┓N （A）15　　?。˙）30　　　　（C）48　　?。―）60 2．在某次乒乓球單打比賽中，原計劃每兩名選手恰比賽一場，但有3名選手各比賽了2場之后就退出了，這樣，全部比賽只進行了50場。那么，在上述3名選手之間比賽的場數是（　?。? （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 3．某人從樓下到樓上要走11級樓梯，每步可走1級或2級，不同的走法有（?。┓N （A）144　　　（B）121　　?。–）64　　?。―）81 4．從7名男乒乓球隊員，5名女乒乓球隊員中選出4名進行男女混合雙打，不同的分組方法有（　?。┓N （A）　　　（B）　　?。–）　　（D） 5．有5分、1角、5角的人民幣各2枚、3張、9張，可組成的不同幣值（非0）有（　　　　?。┓N （A）79　　?。˙）80　　　?。–）88　　　?。―）89 6．從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數中取出3個數，使其和為不小于10的偶數，不同的取法有________種 7．已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數是______． 8．設ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開始在頂點A處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點之一．若在5次之內跳到D點，則停止跳動；若5次之內不能到達D點，則跳完5次也停止跳動，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現的不同跳法共 種． 9．如果：（1）a,b,c,d都屬于{1,2,3,4}；（2）ab,bc,cd,da；(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以組成的不同的四位數的個數是_________． 10．在一個正六邊形的六個區(qū)域種植觀賞植物，要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物?，F有4種不同的植物可供選擇，則有　　　　　種載種方案． 11．10人圍圓桌而，如果甲、乙二人中間相隔4人，有　　　　　種坐法． 12．從中，按從小到大的順序選取四個數，使得，，．問符合上要求的不同取法有多少種？ 13．8人圍張一張圓桌，其中、兩人不得相鄰，而、兩人以必須相鄰的不同圍坐方式有多少種？ 14．4對夫婦去看電影，8人坐成一排．若每位女性的鄰座只能丈夫或另外的女性，共有多少種坐法？