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______________________________________________________________________________________________________________ 第二章 分解因式 1．分解因式 教學(xué)目標(biāo)： （一）知識(shí)與技能： （1）使學(xué)生了解因式分解的意義，理解因式分解的概念． （2）認(rèn)識(shí)因式分解與整式乘法的相互關(guān)系——互逆關(guān)系，并能運(yùn)用這種關(guān)系尋求因式分解的方法． （二）過程與方法： （1）由學(xué)生自主探索解題途徑，在此過程中，通過觀察 、類比等手段，尋求因式分解與因數(shù)分解之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的類比思想． （2）由整式乘法的逆運(yùn)算過渡到因式分解，發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力． （3）通過對(duì)分解因式與整式的乘法的觀察與比較，培養(yǎng)學(xué)生的分析問題能力與綜合應(yīng)用能力． （三）情感與態(tài)度： 讓學(xué)生初步感受對(duì)立統(tǒng)一的辨證觀點(diǎn)以及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度． 教學(xué)重點(diǎn)：理解因式分解的概念. 教學(xué)難點(diǎn)：因式分解與整式乘法的相互關(guān)系 教學(xué)方法：探索、歸納 教學(xué)過程 一、 問題 用簡便方法計(jì)算： （1）= （2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67= （3）992–1= ． 注意：學(xué)生對(duì)于（1）（2）兩小題逆向利用乘法的分配律進(jìn)行運(yùn)算的方法是很熟悉，對(duì)于第（3）小題的逆向利用平方差公式的運(yùn)算則有一定的困難，因此，有必要引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)七年級(jí)所學(xué)過的整式的乘法運(yùn)算中的平方差公式，幫助他們順利地逆向運(yùn)用平方差公式． 二 、探究 提問：993–99能被100整除嗎？你是怎么得出來的？ 注意：由于有了第一環(huán)節(jié)的鋪墊，學(xué)生對(duì)于本環(huán)節(jié)問題的理解則顯得比較輕松，學(xué)生能回答出993–99能被100、99、98整除，有的同學(xué)還回答出能被33、50、200等整除，此時(shí)，教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)，使學(xué)生逐漸明白解決這些問題的關(guān)鍵是——把一個(gè)多項(xiàng)式化為積的形式． 看誰算得準(zhǔn) 計(jì)算下列式子： （1）3x(x-1)= ； （2）m(a+b+c)= ； （3）（m+4）(m-4)= ； （4）（y-3）2= ； （5）a(a+1)(a-1)= ． 根據(jù)上面的算式填空： （1）ma+mb+mc= ； （2）3x2-3x= ； （3）m2-16= ； （4）a3-a= ； （5）y2-6y+9= ． 三、梳理 比較以下兩種運(yùn)算的聯(lián)系與區(qū)別： （1） a(a+1)(a-1)= a3-a （2） a3-a= a(a+1)(a-1) 在第三環(huán)節(jié)的運(yùn)算中還有其它類似的例子嗎？除此之外，你還能找到類似的例子嗎？ 結(jié)論：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解． 辨一辨：下列變形是因式分解嗎？為什么？ （1）a+b=b+a （2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1 （3）a(ab)=a2–ab （4）a2–2ab+b2=(a–b)2 通過學(xué)生的討論，使學(xué)生更清楚以下事實(shí)： （1）分解因式與整式的乘法是一種互逆關(guān)系； （2）分解因式的結(jié)果要以積的形式表示； （3）每個(gè)因式必須是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必須低于原來的多項(xiàng)式的次數(shù)； （4）必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式不能再分解為止． 學(xué)生通過討論，能找出分解因式與整式的乘法的聯(lián)系與區(qū)別，基本清楚了“分解因式與整式的乘法是一種互逆關(guān)系”以及“分解因式的結(jié)果要以積的形式表示”這兩種事實(shí)，后兩種事實(shí)是在老師的引導(dǎo)與啟發(fā)下才能完成． 四、應(yīng)用. 例1 下列各式從左到右的變形哪些是分解因式？哪些是整式乘法? (1) -4=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2-6xy (3) =25-10a+1 (4) +4x+4= (5) (a-3)(a+3)=-9 (6)- 4=(m+2)(m-2) (7)2πR+ 2πr= 2π(R+r) 解：(1)(4)(6)(7)是分解因式, (2)(3)(5)是整式的乘法. 例2 已知可以分解為 ，求的值. 思路導(dǎo)航：利用因式分解與整式乘法互為逆運(yùn)算的關(guān)系，可知，分解前后的兩個(gè)代數(shù)式是相等的，所以可以利用整式乘法解決此題. 解：∵= ∴=-15 五、評(píng)價(jià)：隨堂練習(xí)1、2題 六、課堂小結(jié) 從今天的課程中，你學(xué)到了哪些知識(shí)？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？ 七、鞏固練習(xí)：課本第45頁習(xí)題2.1第1，2，3題 思考題：課本第45頁習(xí)題2.1第4題（給學(xué)有余力的同學(xué)做） 教學(xué)反思 2．提公因式法（一） 教學(xué)目標(biāo)： (一)知識(shí)與技能： （1）使學(xué)生經(jīng)歷探索尋找多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式的過程，能確定多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式； （2）會(huì)用提取公因式法進(jìn)行因式分解． （二）能力目標(biāo)： （1）由學(xué)生自主探索解題途徑，在此過程中，通過觀察、對(duì)比等手段，確定多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，加強(qiáng)學(xué)生的直覺思維，滲透化歸的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力； （2）由乘法分配律的逆運(yùn)算過渡到因數(shù)分解，再由單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算過渡到因式分解，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的類比思想； （3）尋找出確定多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式的一般方法，培養(yǎng)學(xué)生的初步歸納能力． （三）情感與態(tài)度： 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的矛盾對(duì)立統(tǒng)一的哲學(xué)觀點(diǎn)以及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度． 教學(xué)重點(diǎn)：1.能準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式中含有的公因式（公因式是單項(xiàng)式）； 2.能靈活運(yùn)用提公因式法分解因式 教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用提公因式法分解因式。 教學(xué)方法：探索、歸納 教學(xué)過程 一、問題、 計(jì)算： 提問：用什么方法計(jì)算的？這個(gè)式子的各項(xiàng)有相同的因數(shù)嗎？ 利用乘法的分配律進(jìn)行逆運(yùn)算的方法很熟悉，能很快找到這個(gè)式子各項(xiàng)有的相同因數(shù)，在提出公因數(shù)后，很快得出這一題的計(jì)算結(jié)果是7． 二、探究 想一想：多項(xiàng)式 ab+ac中，各項(xiàng)有相同的因式嗎？多項(xiàng)式 x2+4x呢？多項(xiàng)式mb2+nb–b呢？多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式． 多項(xiàng)式2x2y+6x3y2中各項(xiàng)的公因式是什么？ 三、梳理 結(jié)論：（1）各項(xiàng)系數(shù)是整數(shù)，系數(shù)的最大公約數(shù)是公因式的系數(shù)； （2）各項(xiàng)都含有的字母的最低次冪的積是公因式的字母部分； （3）公因式的系數(shù)與公因式字母部分的積是這個(gè)多項(xiàng)式的公因式． 將以下多項(xiàng)式寫成幾個(gè)因式的乘積的形式： （1）ab+ac （2）x2+4x （3）mb2+nb–b 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法． 四、應(yīng)用 例1、將下列多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式： （1）3x+6 （2）7x2–21x （3）8a3b2–12ab3c+ab （4）–24x3–12x2+28x 歸納：提取公因式的步驟： （1）找公因式； （2）提公因式． 易出現(xiàn)的問題：（1）第（3）題中的最后一項(xiàng)提出ab后，漏掉了“+1”； （2）第（4）題提出“–”時(shí)，后面的因式不是每一項(xiàng)都變號(hào)． 矯正對(duì)策：（1）因式分解后括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是否相同； （2）如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)帶“–”，則先提取“–”號(hào)，然后提取其它公因式； （3）將分解因式后的式子再進(jìn)行單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，其積是否與原式相等． 例2 將下列各式分解因式： （1） （2） （3） （4） 思路導(dǎo)航：提取公因式，首先應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，字母取各項(xiàng)都含有的相同字母，字母的指數(shù)取各項(xiàng)中的最低次，當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，通常先把負(fù)號(hào)提到括號(hào)外；如果多項(xiàng)式中有系數(shù)為分?jǐn)?shù)，通常先把分?jǐn)?shù)提到括號(hào)外，使得括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)系數(shù)是整數(shù)，再進(jìn)行分解因式． 解：（1）原式 （2）原式= （3）原式= （4）原式= 五、評(píng)價(jià) 1、找出下列各多項(xiàng)式的公因式： （1）4x+8y （2）am+an （3）48mn–24m2n3 （4）a2b–2ab2+ab 2、將下列多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式： （1）8x–72 （2）a2b–5ab （3）4m3–8m2　　 （4）a2b–2ab2+ab　　?。?）–48mn–24m2n3 （6）–2x2y+4xy2–2xy 六、課堂小結(jié)：從今天的課程中，你學(xué)到了哪些知識(shí)？你認(rèn)為提公因式法與單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式有什么關(guān)系？任何找多項(xiàng)式的公因式? 七、課后練習(xí)：課本第49頁習(xí)題2．2第1，2，3題． 教學(xué)反思 2．提公因式法（二） 教學(xué)目標(biāo)： （一）知識(shí)與技能： （1）使學(xué)生經(jīng)歷從簡單到復(fù)雜的螺旋式上升的認(rèn)識(shí)過程． （2）會(huì)用提取公因式法進(jìn)行因式分解． （二）能力目標(biāo)： （1）培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，滲透化歸的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力． （2）從提取的公因式是一個(gè)單項(xiàng)式過渡到提取的公因式是多項(xiàng)式，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的類比思想． （三）情感與態(tài)度：通過觀察能合理地進(jìn)行分解因式的推導(dǎo)，并能清晰地闡述自己的觀點(diǎn)． 教學(xué)重點(diǎn)：1.能準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式中含有的公因式（公因式是多項(xiàng)式）； 2.能靈活運(yùn)用提公因式法分解因式 教學(xué)難點(diǎn)：體會(huì)并運(yùn)用整體的數(shù)學(xué)思想方法. 教學(xué)方法：講練結(jié)合。 教學(xué)過程 一 、問題 把下列各式因式分解： （1）am+an （2）a2b–5ab （3）m2n+mn2–mn （4）–2x2y+4xy2–2xy 回顧上一節(jié)課提取公因式的基本方法與步驟 二、探究 想一想： 因式分解：a（x–3）+2b（x–3） 由于題中很顯明地表明，多項(xiàng)式中的兩項(xiàng)都存在著（x–3），通過觀察，容易找到公因式是（x–3），并能順利地進(jìn)行因式分解． 做一做 在下列各式等號(hào)右邊的括號(hào)前插入“+”或“–”號(hào)，使等式成立： （1）2–a= （a–2） （2）y–x= （x–y） （3）b+a= （a+b） （4）（b–a）2= （a–b）2 （5）–m–n= （m+n） （6）–s2+t2= （s2–t2） 三、梳理 注意點(diǎn)：（1）首先注意分清前后兩個(gè)多項(xiàng)式的底數(shù)部分是相等關(guān)系還是互為相反數(shù)的關(guān)系； （2）當(dāng)前后兩個(gè)多項(xiàng)式的底數(shù)相等時(shí)，則只要在第二個(gè)式子前添上“+”； （3）當(dāng)前后兩個(gè)多項(xiàng)式的底數(shù)部分是互為相反數(shù)時(shí)，如果指數(shù)是奇數(shù)，則在 第二個(gè)式子前添上“–”；如果指數(shù)是偶數(shù)，則在第二個(gè)式子前添上“+”． 四、應(yīng)用 例1、將下列各式因式分解： （1）a（x–y）+b（y–x） （2）3（m–n）3–6（n–m）2 進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生采用類比的方法由提取的公因式是單項(xiàng)式類比出提取的公因式是多項(xiàng)式的方法與步驟． （1）觀察多項(xiàng)式中括號(hào)內(nèi)不同符號(hào)的多項(xiàng)式部分，并把它們轉(zhuǎn)換成符號(hào)相同的多項(xiàng)式； （2）再把相同的多項(xiàng)式作為公因式提取出來． 例2 分解因式： （1） （2） （3） 思路導(dǎo)航：公因式可以是一個(gè)單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式，注意符號(hào)的變化規(guī)律: ， 解：（1）原式 （2）原式= = （3）原式== = = 例3 已知一個(gè)四邊形ABCD的四條邊順次為a、b、c、d，且（a2+ab）-（ac+bc）=0，（b2+bc）-（bd+cd）=0，那么四邊形ABCD是（ ） A．平行四邊形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形 思路導(dǎo)航：利用提公因式法,把兩個(gè)等式的左邊轉(zhuǎn)化為乘積形式. 解：∵（a2+ab）-（ac+bc）=0 得a(a+b)-c(a+b)=0 (a+b)(a-c)=0 ∵a、b、c是四邊形的邊長， ∴a+b≠0, ∴a-c=0,即a=c; ∵（b2+bc）-（bd+cd）=0 得b(b+c)-d(b+c)=0 (b+c)(b-d)=0 ∵b、c、d是四邊形的邊長， ∴b+c≠0,∴b-d=0,即b=d ∴兩組對(duì)邊分別相等，故四邊形是平行四邊形，選A. 五、評(píng)價(jià) 1、填一填： （1）3+a= （a+3） （2）1–x= （x–1） （3）（m–n）2= （n–m）2 （4）–m2+2n2= （m2–2n2） 2、把下列各式因式分解： （1）x（a+b）+y（a+b） （2）3a（x–y）–（x–y） （3）6（p+q）2–12（q+p） （4）a（m–2）+b（2–m） （5）2（y–x）2+3（x–y） （6）mn（m–n）–m（n–m）2 3、把(a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)·(b－a－c)分解因式． 解析：如果采用提取公因式的方法，必須先把所有括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式中字母a前面的符號(hào)都化為正號(hào)，再進(jìn)行觀察比較可以找出公因式(a－b＋c)． 六、課堂小結(jié) 從今天的課程中，你學(xué)到了哪些知識(shí)？ 掌握了哪些方法？ 提取的公因式是多項(xiàng)式應(yīng)該采取的方法 七、課后練習(xí)：課本第52頁習(xí)題2．3第1，2題．思考題：第3題（給學(xué)有余力的同學(xué)做）． 教學(xué)反思 3．運(yùn)用公式法（一） 教學(xué)目標(biāo)： （一）知識(shí)與技能： （1）使學(xué)生了解運(yùn)用公式法分解因式的意義； （2）會(huì)用平方差公式進(jìn)行因式分解； （3）使學(xué)生了解提公因式法是分解因式首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解因式． （二）數(shù)學(xué)能力： （1）發(fā)展學(xué)生的觀察能力和逆向思維能力； （2）培養(yǎng)學(xué)生對(duì)平方差公式的運(yùn)用能力． （三）情感與態(tài)度： 在引導(dǎo)學(xué)生逆用乘法公式的過程中，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生了解換元的思想方法． 教學(xué)重點(diǎn)：1.能夠運(yùn)用平方差公式來分解因式. 2.體會(huì)逆向思維和提高推理能力. 教學(xué)難點(diǎn)：提公因式法與平方差公式分解因式綜合應(yīng)用。 教學(xué)方法：講練結(jié)合 教學(xué)過程 一、問題 填空： （1）（x+3）（x–3） = ； （2）（4x+y）（4x–y）= ； （3）（1+2x）（1–2x）= ； （4）（3m+2n）（3m–2n）= ． 根據(jù)上面式子填空： （1）9m2–4n2= ； （2）16x2–y2= ； （3）x2–9= ； （4）1–4x2= ． 通過觀察、對(duì)比，把整式乘法中的平方差公式進(jìn)行逆向運(yùn)用就得到因式分解的平方差公式。 二、探究 想一想 觀察上述第二組式子的左邊有什么共同特征？把它們寫成乘積形式以后又有什么共同特征？ 結(jié)論：a2–b2=（a+b）（a–b） 三、應(yīng)用 例1、把下列各式因式分解： （1）25–16x2 （2）9a2– 例2、將下列各式因式分解： （1）9（x–y）2–（x+y）2 （2）2x3–8x 注意點(diǎn)：（1）讓學(xué)生理解在平方差公式a2–b2=（a+b）（a–b）中的a與b不僅可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式，向?qū)W生滲透換元的思想方法； （2）使學(xué)生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解因式． 例3、 分解下列因式 (1)8-2 （2) (3) (4)16 思路導(dǎo)航：(1)(2)式先提公因式,再應(yīng)用平方差公式分解;(3)式先把分?jǐn)?shù)提出來,使系數(shù)變?yōu)檎麛?shù),便于用平方差公式分解;(4)式注意: , 解：(1)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式= = = 四、評(píng)價(jià)：隨堂練習(xí)1、2、3 五、課堂小結(jié)：從今天的課程中，你學(xué)到了哪些知識(shí)？ 掌握了哪些方法？ 注意： （1）有公因式（包括負(fù)號(hào)）則先提取公因式； （2）整式乘法的平方差公式與因式分解的平方差公式是互逆關(guān)系； （3）平方差公式中的a與b既可以是單項(xiàng)式，又可以是多項(xiàng)式； 六、課后練習(xí)：課本第56頁習(xí)題2．4第1、2、3題 教學(xué)反思 3．運(yùn)用公式法（二） 教學(xué)目標(biāo)： （一）知識(shí)與技能： （1）使學(xué)生了解運(yùn)用公式法分解因式的意義； （2）會(huì)用完全平方公式進(jìn)行因式分解； （3）使學(xué)生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式或完全平方公式進(jìn)行分解因式． （二）能力目標(biāo)： （1）發(fā)展學(xué)生的觀察能力和逆向思維能力； （2）培養(yǎng)學(xué)生對(duì)完全平方公式的運(yùn)用能力． （三）情感與態(tài)度： 通過觀察，推導(dǎo)分解因式與整式乘法的關(guān)系，讓學(xué)生感受事物間的因果聯(lián)系． 教學(xué)重點(diǎn)：1.能夠運(yùn)用完全平方公式來分解因式； 2.應(yīng)用“一提二套”的步驟來分解因式。 教學(xué)難點(diǎn)：選擇適當(dāng)方法進(jìn)行因式分解 教學(xué)方法：講練結(jié)合 教學(xué)過程 一、問題 填空： （1）（a+b）（a-b） = ； （2）（a+b）2= ； （3）（a–b）2= ； 根據(jù)上面式子填空： （1）a2–b2= ； （2）a2–2ab+b2= ； （3）a2+2ab+b2= ； 結(jié) 論：形如a2+2ab+b2 與a2–2ab+b2的式子稱為完全平方式． 二、探究 觀察下列哪些式子是完全平方式？如果是，請(qǐng)將它們進(jìn)行因式分解． （1）x2–4y2 （2）x2+4xy–4y2 （3）4m2–6mn+9n2 （4）m2+6mn+9n2 結(jié)論：找完全平方式可以緊扣下列口訣：首平方、尾平方，首尾相乘兩倍在中央； 完全平方式可以進(jìn)行因式分解， a2–2ab+b2=（a–b）2 a2+2ab+b2=（a+b）2 三、應(yīng)用 例：把下列各式因式分解： （1）x2–4x+4 （2）9a2+6ab+b2 （3）m2– （4） 例2 若，則x＋y＝___ 思路導(dǎo)航：觀察等式左邊有項(xiàng),項(xiàng),聯(lián)想完全平方公式,用“配方法”求解. 解：∵ ∴ 即 ∴，故 例3將下列各式因式分解： （1）3ax2+6axy+3ay2 （2）–x2–4y2+4xy 解析：在綜合應(yīng)用提公因式法和公式法分解因式時(shí),一般按以下兩步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法進(jìn)行因式分解. 四、評(píng)價(jià) 1、判斷正誤： （1）x2+y2=（x+y）2 ( ) （2）x2–y2= (x–y)2 ( ) （3）x2–2xy–y2= (x–y)2 ( ) （4）–x2–2xy–y2=–（x+y）2 ( ) 2、下列多項(xiàng)式中，哪些是完全平方式？請(qǐng)把是完全平方式的多項(xiàng)式分解因式： （1）x2–x+ （2）9a2b2–3ab+1 （3） （4） 3、把下列各式因式分解： （1）m2–12mn+36n2 （2）16a4+24a2b2+9b4 （3）–2xy–x2–y2 （4）4–12（x–y）+9（x–y)2 五、課堂小結(jié) 從今天的課程中，你學(xué)到了哪些知識(shí)？ 掌握了哪些方法？你認(rèn)為分解因式中的平方差公式以及完全平方公式與乘法公式有什么關(guān)系？ 結(jié)論：由分解因式與整式乘法的關(guān)系可以看出，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法． 注意 （1）有公因式則先提取公因式； （2）整式乘法的完全平方公式與因式分解的完全平方公式是互逆關(guān)系； （3）完全平方公式中的a與b既可以是單項(xiàng)式，又可以是多項(xiàng)式； 六、課后練習(xí)：課本第60頁習(xí)題2．5第1、2、3題； 思考題：習(xí)題2．5第4題（給學(xué)有余力的同學(xué)做） 教學(xué)反思 3．運(yùn)用公式法（三） 教學(xué)目標(biāo)： （一）知識(shí)與技能： （1）使學(xué)生進(jìn)一步了解分解因式的意義及幾種因式分解的常用方法； （2）提高學(xué)生因式分解的基本運(yùn)算技能； （3）能熟練使用幾種因式分解方法的綜合運(yùn)用． （二）能力目標(biāo)： （1）發(fā)展學(xué)生對(duì)因式分解的應(yīng)用能力，提高解決問題的能力； （2）注重學(xué)生對(duì)因式分解的理解，發(fā)展學(xué)生分析問題的能力和推理能力． （三）情感與態(tài)度： 通過因式分解綜合練習(xí)和開放題練習(xí)，提高學(xué)生觀察、分析問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的開放意識(shí)；通過認(rèn)識(shí)因式分解在實(shí)際生活中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)． 教學(xué)重點(diǎn)：1.能夠綜合運(yùn)用提公因式法、平方差公式、完全平方公式來分解因式； 2.應(yīng)用“一提二套三檢查”的步驟來分解因式。 3．能應(yīng)用因式分解簡化計(jì)算。 教學(xué)難點(diǎn)：因式分解綜合運(yùn)用。 教學(xué)過程 一、 問題 1、你學(xué)過哪些因式分解的方法？舉一個(gè)例子說明其中用到了哪些方法？ 2、你認(rèn)為分解因式與整式的乘法之間有什么關(guān)系？ 二、探究 1、下列哪些式子的變形是因式分解？ （1）x2–4y2=（x+2y）（x–2y） （2）x（3x+2y）=3x2+2xy （3）4m2–6mn+9n2 =2m（2m–3n）+9n2 （4）m2+6mn+9n2=（m+3n）2 2、把下列各式因式分解： （1）x2+14x+49 （2）7x2–63 （3）y2–9（x+y）2 （4）（x+y）2–14（x+y）+49 （5）16–（2a+3b）2 （6） （7）a4–8a2b2+16b4 （8）（a2+4）2–16a2 三、應(yīng)用 例1 分解因式： 思路導(dǎo)航：按照“一提二套三檢查”的步驟去分解因式. 解：原式= = 例2 分解因式： 思路導(dǎo)航：按照“一提二套三檢查”的步驟去分解因式. 解：原式= = = 例3 分解因式： 解：設(shè)， 則原式== = = 四、梳理 式子反復(fù)出現(xiàn)，可考慮把它視為一個(gè)整體用另一字母去表示，然后再按照“一提二套三檢查”的步驟去分解因式.這種方法叫換元法。 五、評(píng)價(jià) 計(jì)算： 1、32004–32003 2、（–2）101+（–2）100 3、已知x+y=1，求的值． 4、把下列各式因式分解： （1）x3y2–4x （2）a3–2a2b+ab2 （3）a3+2a2+a （4）（x–y）2–4（x+y）2 5、填空： （1）若一個(gè)正方形的面積是9x2+12xy+4y2，則這個(gè)正方形的邊長是 ； （2）當(dāng)k= 時(shí)，100x2–kxy+49y2是一個(gè)完全平方式； （3）計(jì)算：20062–2×6×2006+36= ； 6、利用因式分解計(jì)算：． 六、課后練習(xí)：課本第61頁復(fù)習(xí)題第2題； 第62頁第3題，第4題； 第62頁第9題． 思考題：課本第63頁聯(lián)系拓廣第13、14題（給學(xué)有余力的同學(xué)做） 教學(xué)反思 運(yùn)用分組分解法分解因式 教學(xué)目標(biāo)： （一）知識(shí)與技能： （1）使學(xué)生了解分組分解法分解因式的意義； （2）會(huì)用分組分解法進(jìn)行因式分解； （3）使學(xué)生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式或完全平方公式進(jìn)行分解因式，最后考慮分組分解法。 （二）能力目標(biāo)： （1）發(fā)展學(xué)生的觀察能力和綜合思維能力； （2）培養(yǎng)學(xué)生分組分解法的靈活運(yùn)用能力． （三）情感與態(tài)度： 通過觀察、推導(dǎo)，讓學(xué)生感受事物間的內(nèi)在聯(lián)系及因果關(guān)系． 培養(yǎng)學(xué)生的自查、自糾、自評(píng)能力以及互助合作的精神。 教學(xué)重點(diǎn)：掌握分組分解法的分組原則。 教學(xué)難點(diǎn)：合理選擇分組方法。 教學(xué)方法：講練結(jié)合 教學(xué)過程 一、問題 1.我們已學(xué)過的因式分解的方法有哪些？ 2、分解因式：(1) a2-ab (2) -10ay+5by (3) a(m+n)+b(m+n) (4) (x2-y2)+a(x+y) (5)(a-b)2-c2 (6) am+an (7) bm+bn 二、探究： 思考：已知多項(xiàng)式am+an+bm+bn （1）這個(gè)多項(xiàng)式有公因式嗎？如果有，是什么？ （2）這個(gè)多項(xiàng)式分組后有公因式嗎？應(yīng)怎樣分組？ （3）分組后能分解因式嗎？怎樣分解？ （4）本題還有沒有其他分組的辦法？若有，怎樣分組？ 思路導(dǎo)航： 法一：am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）= a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a +b） 法二：am+an+bm+bn=（ am +bm）+（an +bn）= m（a+b）+n（a+b）= （a +b）（m+n） 三、梳理 總結(jié)：利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。如果把一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)分組并提出公因式后，它們的另一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以用先分組再提公因式的方法來分解因式，此種情況的分組一般是“二、二”分組。 四、應(yīng)用 例1：把下列各式分解因式：（1）a2-ab+ac-bc (2) 2ax-10ay+5by-bx 解：（1）a2-ab+ac-bc= (a2-ab)+(ac-bc)=a（a-b）+c (a-b)=(a-b)(a+c) (2)2ax-10ay+5by-bx=(2ax-10ay)+(5by-bx)=2a(x-5y)+b(5y-x)=2a(x-5y)- b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 思路導(dǎo)航：本例題重在訓(xùn)練“二、二”分組法,第一題可以把第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分在一組,第三項(xiàng)和第四項(xiàng)分在一組,也可以把第一項(xiàng)和第三項(xiàng)分在一組,第二項(xiàng)和第四組分在一組;第二題可以把第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分在一組,第三項(xiàng)和第四項(xiàng)分在一組,也可以把第一項(xiàng)和第四項(xiàng)分在一組,第二項(xiàng)和第三組分在一組. 例2：已知多項(xiàng)式m2-n2+am+an (1)這個(gè)多項(xiàng)式可以運(yùn)用先分組再提公因式的方法進(jìn)行分解嗎？ (2)若將m2-n2看做一組，am+an看做一組，各組應(yīng)該用什么辦法？ (3)試將此多項(xiàng)式分解。 思路導(dǎo)航：學(xué)生自主完成后，與同桌交流。估計(jì)學(xué)生在做“思考一”時(shí)會(huì)將第一項(xiàng)和第三項(xiàng)結(jié)合在一起,第二項(xiàng)和第四項(xiàng)結(jié)合在一起, 做“思考二”時(shí)會(huì)將第一項(xiàng)和第二項(xiàng)結(jié)合在一起,第三項(xiàng)和第四項(xiàng)結(jié)合在一起,這種結(jié)合方法只能進(jìn)行一步,不能繼續(xù)進(jìn)行下去,教師在巡回檢查時(shí)應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有預(yù)見性的分組. 例題3、分解因式： （1）m2-n2+am+an=（m2-n2）+（am+an） (2) a2-2ab+b2-c2= (a2-2ab+b2)-c2=(a-b)2- c2 總結(jié)：(1)有些四項(xiàng)式，經(jīng)“二、二”分組后，其中兩項(xiàng)符合“平方差”公式的特點(diǎn)，需用“平方差”公式進(jìn)行分解，另兩項(xiàng)需用“提公因式”法進(jìn)行分解，各自分解后再用“提公因式”法繼續(xù)分解。 （2）有些四項(xiàng)式，需進(jìn)行“一、三”分組，（板書：“一、三”分組）這就要求四項(xiàng)式具備以下條件：有三個(gè)平方項(xiàng)且符號(hào)不全相同，試著把其中同號(hào)的兩項(xiàng)與第四項(xiàng)括在一起，看能不能應(yīng)用“a2±2ab+b2=(a±b)2”公式，若能，下一步再應(yīng)用平方差公式即可分解。 四、評(píng)價(jià) 1. 按字母特征分組（1） （2） a2－ab＋ac－bc 2. 按系數(shù)特征分組（1） （2） 3. 按指數(shù)特點(diǎn)分組（1） （2） 4.按公式特點(diǎn)分組（1）a2－2ab＋b2－c2 （2） 五、課堂小結(jié) 從今天的課程中，你學(xué)到了哪些知識(shí)？ 掌握了哪些方法？你認(rèn)為分解因式中的分組分解法與前面所學(xué)方法有什么關(guān)系？ 注意 （1）有公因式則先提取公因式； （2）分組的原則是分組后出現(xiàn)公因式或能運(yùn)用公式 1.合理分組（2+2型）； 2.組內(nèi)分解（提公因式、平方差公式） 3.組間再分解（整體提因式） 4.如果一個(gè)多項(xiàng)式中有三項(xiàng)是一個(gè)完全平方式或通過提取負(fù)號(hào)是一個(gè)完全平方式，一般就 選用“三一分組”的方法進(jìn)行分組分解。因此在分組分解過程中要特別注意符號(hào)的變化. 六、課后練習(xí)： 1．填空： （1）ax＋ay－bx－by=(ax＋ay)－ ( ) =( ) ( ) （2） x2－2y－4y2＋x= ( )＋( ) =( ) ( ) （3）4a2－b2－4c2＋4bc= ( )－( ) =( ) ( ) 2.分解下列因式 （1）ac+bc+2a+2b （2）5m(a+b)-a-b （3）x2-9y2+2x-6y （4）4x2+12xy+9y2-25 （5）(z2-x2-y2)2-4x2y2 3．把下列各式分解因式 （4）9m2－6m＋2n－n2 （5）4x2－4xy－a2＋y2 （6）1―m2―n2 教學(xué)反思 十字相乘法分解因式 教學(xué)目標(biāo)： （一）知識(shí)與技能： 1．使學(xué)生掌握通過代換方法，進(jìn)行可以轉(zhuǎn)化為x2＋(a＋b)x＋ab型的多項(xiàng)式因式分解，領(lǐng)會(huì)整體代換、字母表示式和化歸等數(shù)學(xué)方法。理解運(yùn)用十字相乘法分解因式的關(guān)鍵。 2．通過問題設(shè)計(jì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力；訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性、層次性，逐步提高學(xué)生運(yùn)用變量代換思想和化歸思想解決問題的能力。 （二）能力目標(biāo)： （1）進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生對(duì)因式分解的應(yīng)用能力，提高解決問題的能力； （2）注重學(xué)生對(duì)因式分解的理解，發(fā)展學(xué)生分析問題的能力和推理能力． （三）情感與態(tài)度： 通過因式分解綜合練習(xí)和開放題練習(xí)，提高學(xué)生觀察、分析問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的開放意識(shí)；通過認(rèn)識(shí)因式分解在實(shí)際生活中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)． 教學(xué)重點(diǎn)：靈活運(yùn)用十字相乘法分解因式，理解運(yùn)用十字相乘法分解因式的關(guān)鍵。 教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確分拆系數(shù)。 教學(xué)過程 一、 問題 回憶課本所學(xué)分解因式的一般步驟 思考問題：如何把多項(xiàng)式x2－3x + 2分解因式?！? x －１ x －２ 解： x2－3x + 2 ＝ (x－１) (x－２) 像這種借助于畫十字交叉線分解因式的方法叫做十字相乘法。 提問：是不是所有的二次三項(xiàng)式都能用十字相乘法分解因式？ 答：不是，（反例：x2 +３x－2）。 提問：形如x2＋px＋q的二次三項(xiàng)式滿足什么條件時(shí)可以用十字相乘法分解因式？ 請(qǐng)同學(xué)總結(jié)：x2＋px＋q 當(dāng)q＝ab，p ＝a＋b時(shí)， 　　　　　　 x2＋px＋q = (x＋a) (x＋b) （*） 再提問：在將首項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，你認(rèn)為要注意什么？ 答：試分解后要及時(shí)檢驗(yàn)，縱向相乘得首項(xiàng)，末項(xiàng)；交叉相乘得中間項(xiàng)。應(yīng)該注意的是一次項(xiàng)的系數(shù)和末項(xiàng)的系數(shù)都是包含了符號(hào)的。 如果常數(shù)項(xiàng)q是正數(shù)，那么把它分解成兩個(gè)同號(hào)因數(shù)的積，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)相同。 　　如果常數(shù)項(xiàng)q是負(fù)數(shù)，那么把它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù)的積，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)相同。（根據(jù)情況，可選擇數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述） 二、探究 引導(dǎo)問題設(shè)計(jì)，把可以轉(zhuǎn)化為x2＋(a＋b)x＋ab型的多項(xiàng)式分解因式，滲透分類討論、整體代換和化歸思想方法。公式里的字母不僅可以表示數(shù)，也可以表示式，我們把這個(gè)想法用到十字相乘法的因式分解中去，想一想，怎樣分解下面的因式： ⑴　y6－3y3+2； 　 ⑵ (a+b) 2－3(a+b)+2； ⑴中設(shè)“y3 ”為 “x”, ⑵中設(shè)“(a+b)”為 “x”;這兩道題可化歸為例１進(jìn)行分解。 　　請(qǐng)同學(xué)體會(huì)，引入輔助元“x”，培養(yǎng)整體代換和化歸思想方法?？梢詭椭覀兝檬窒喑朔ǎ`活進(jìn)行較復(fù)雜多項(xiàng)式的分解因式） 　　引導(dǎo)同學(xué)對(duì)問題中 ⑵ (a+b) 2 －3 (a+b)+2；進(jìn)行變式設(shè)計(jì) （分解因式：⑴(a+b -3) (a+b)+2；） 理解：（*）式中“x”只能是單獨(dú)的字母嗎？ 答：單項(xiàng)式，多項(xiàng)式，整式(單項(xiàng)，多項(xiàng)式的統(tǒng)稱)， 代數(shù)式（如不是整式，雖不是因式分解，但仍可以進(jìn)行代數(shù)式的恒等變形） [試一試，仿例題，將“x”可能的情況分類，然后設(shè)計(jì)題目，訓(xùn)練整體代換和化歸思想方法的運(yùn)用。 *表揚(yáng)有創(chuàng)意的設(shè)計(jì)，請(qǐng)同學(xué)解題，分析，進(jìn)一步理解運(yùn)用十字相乘法分解因式的注意點(diǎn)。] 2.提問：（*）式中“末項(xiàng)”只能是常數(shù)嗎？ 答：單項(xiàng)式，多項(xiàng)式 三、梳理 公式里的字母不僅可以表示數(shù)，也可以表示式，把握整體代換和化歸思想方法的運(yùn)用 四、應(yīng)用 例1分解下列因式 ⑴ x2＋6xy＋8y2； ⑵(a+1) 2 －3 (a+1)b + 2b2； 分析：⑴把x2＋6xy＋8y2看成是x的二次三項(xiàng)式，這里常數(shù)項(xiàng)是8y2， 　　　一次項(xiàng)系數(shù)是6y，把8y2分解成2y與4y的積，2y＋4y＝6y， 　　　正好等于一次項(xiàng)系數(shù)。 　⑴解：　 x2＋6xy＋8y2＝(x＋2y)(x＋4y)　 ⑵解：(a+1) 2 －3 (a+1)b + 2b2； =(a-b+1) (a-2b+1) 例2：把(x2-3x＋2) (x2-3x-4)－72分解因式； 解法1：設(shè)“(x2-3x＋2)”為 “y”, 解法2：設(shè)“(x2-3x-4)”為 “y”, 解法3：“(x2-3x)”為 “y”。 略 變式：⑴(x-1 )(x+1) (x－2) (x－4)-72； ⑵(x2-5x＋4) (x2-x-2)－72 四、評(píng)價(jià) 分解下列因式 (1) a2－7a+6； (2)8x2+6x－35； (3)18x2－21x+5； (4) 20－9y－20y2； (5)6y2+19y+10； (6) 2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2； 五、課堂小結(jié) 知識(shí)方面： 數(shù)學(xué)思想方面： 六、課后練習(xí) 1.分解因式 (1)10x2－21x+2； (2)8m2－22m+15； (3)4n2+4n－15； (4)6a2+a－35； (5)5x2－8x－13； (6)4x2+15x+9； (7)7(x－1) 2+4(x－1)－20； 2.求值題 ⑴已知x2＋2x=3，求代數(shù)式x2＋6x的值； ⑵已知（x2＋y2 ）（x2＋y2 -1）-6=0，求代數(shù)式x2＋y2的值； ⑶已知3x2＋xy-2y2=0，求代數(shù)式x2- y2 +x-y2的值； 教學(xué)反思  THANKS !!! 致力為企業(yè)和個(gè)人提供合同協(xié)議，策劃案計(jì)劃書，學(xué)習(xí)課件等等 打造全網(wǎng)一站式需求 歡迎您的下載，資料僅供參考 -可編輯修改-