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第23講尺規(guī)作圖,考點一,考點二,考點三,考點一尺規(guī)作圖1.尺規(guī)的含義(1)幾何中,直尺沒有刻度,它的作用是:連接、畫直線、畫射線;(2)圓規(guī)的作用是:截取、畫弧、畫圓.2.五種基本作圖(1)作一條線段等于已知線段;(2)作一個角等于已知角;(3)作已知角的平分線;(4)作已知線段的垂直平分線;(5)過一點作已知直線的垂線.3.尺規(guī)作圖的一般步驟(1)已知;(2)求作;(3)作法;(4)證明.,考點一,考點二,考點三,考點二根據(jù)已知的三個條件作三角形(1)已知兩邊及夾角作三角形;(2)已知兩個角及夾邊作三角形;(3)已知三邊作三角形.,考點一,考點二,考點三,考點三三角形的外接圓和內(nèi)切圓(1)過一點的圓有無數(shù)多個;(2)過兩點的圓有無數(shù)多個,它們的圓心都在這兩點連線段的垂直平分線上;(3)過不在同一直線上的三點的圓(即三角形的外接圓)的圓心是三邊中垂線的交點,半徑是這個交點到一個頂點的距離;(4)三角形的內(nèi)切圓:三角形內(nèi)切圓的圓心是三個角的平分線的交點,半徑是這個交點到一邊的距離.,考法1,考法2,考法3,考法4,利用基本作圖,解決簡單實際問題常用的基本作圖包括:作一條線段等于已知線段、作一個角等于已知角、作已知角的平分線、作已知線段的垂直平分線、過一點作已知直線的垂線、過直線外一點作已知直線的平行線、過不在同一直線上的三點作圓等.,考法1,考法2,考法3,考法4,例1(2018安徽)如圖,☉O為銳角三角形ABC的外接圓,半徑為5.(1)用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線,并標(biāo)出它與劣弧的交點E(保留作圖痕跡,不寫作法);(2)若(1)中的點E到弦BC的距離為3,求弦CE的長.,考法1,考法2,考法3,考法4,解:(1)如圖,AE為所作;(2)連接OE交BC于點F,連接OC,如圖,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE,,方法點撥(1)利用基本作圖作AE平分∠BAC;(2)連接OE交BC于點F,連接OC,根據(jù)圓周角定理得到,再根據(jù)垂徑定理得到OE⊥BC,則EF=3,OF=2,然后在Rt△OCF中利用勾股定理計算出CF=,在Rt△CEF中利用勾股定理可計算出CE.,考法1,考法2,考法3,考法4,根據(jù)已知的三個條件作三角形能作出確定的三角形的條件有:已知兩邊及夾角、已知兩個角及夾邊、已知兩個角及其中一個角的對邊、已知三邊、已知斜邊和一條直角邊等.,考法1,考法2,考法3,考法4,例2(2018廣西貴港)尺規(guī)作圖(只保留作圖痕跡,不要求寫出作法).如圖,已知∠α和線段a,求作△ABC,使∠A=∠α,∠C=90,AB=a.分析:根據(jù)作一個角等于已知角,線段截取以及垂線的尺規(guī)作法即可求出答案.,考法1,考法2,考法3,考法4,解:如圖所示,△ABC為所求作的三角形.方法點撥解決本題的關(guān)鍵是掌握作一個角等于已知角的基本作圖方法.,考法1,考法2,考法3,考法4,作三角形的外接圓確定一個圓的關(guān)鍵是:確定圓心和半徑.三角形外接圓的圓心是三邊中垂線的交點,半徑是這點與某一個頂點之間的距離.例3(2017江蘇無錫)如圖,已知等邊三角形ABC,請用直尺(不帶刻度)和圓規(guī),按下列要求作圖(不要求寫作法,但要保留作圖痕跡):(1)作△ABC的外心O;.(2)設(shè)D是AB邊上一點,在圖中作出一個正六邊形DEFGHI,使點F,點H分別在邊BC和AC上.,考法1,考法2,考法3,考法4,分析:(1)根據(jù)垂直平分線的作法作出AB,AC的垂直平分線交于點O即為所求;(2)過D點作DI∥BC交AC于I,分別以D,I為圓心,DI長為半徑作圓弧交AB于E,交AC于H,過E點作EF∥AC交BC于F,過H點作HG∥AB交BC于G,六邊形DEFGHI即為所求正六邊形.,考法1,考法2,考法3,考法4,解:(1)如右圖所示:點O即為所求.(2)如圖所示:六邊形DEFGHI即為所求正六邊形.,考法1,考法2,考法3,考法4,例4如圖,△ABC是直角三角形,∠ACB=90.(1)實踐與操作利用尺規(guī)按下列要求作圖并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母(保留作圖痕跡,不寫作法):①作△ABC的外接圓,圓心為O;②以線段AC為一邊,在AC的右側(cè)作等邊△ACD;③連接BD交☉O于點E,連接AE.(2)綜合與運用在你所作的圖中,如果AB=4,BC=2,那么AD與☉O的位置關(guān)系是.,考法1,考法2,考法3,考法4,解:(1)如圖:(2)相切方法點撥△ABC是直角三角形,作△ABC的外接圓關(guān)鍵是找到圓心,我們可以作AB的垂直平分線與AB的交點即為圓心O,以點O為圓心以AO為半徑作圓,即得到△ABC的外接圓.分別以點A,C為圓心、以AC為半徑畫弧,兩弧交于點D,即為等邊△ACD.判斷AD與☉O的位置關(guān)系,關(guān)鍵是判斷OA與AD是否垂直.,考法1,考法2,考法3,考法4,作三角形的內(nèi)切圓三角形內(nèi)切圓的圓心是三條角平分線的交點,半徑是這個交點到某一邊的距離.用圓規(guī)、直尺作圖,不寫作法,但要保留作圖痕跡.例5(2017浙江嘉興)如圖,已知ΔABC,∠B=40.(1)在圖中,用尺規(guī)作出ΔABC的內(nèi)切圓O,并標(biāo)出☉O與邊AB,BC,AC的切點D,E,F(保留痕跡,不必寫作法);(2)連接EF,DF,求∠EFD的度數(shù).分析:(1)直接利用基本作圖即可得出結(jié)論;(2)利用四邊形的性質(zhì),三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)即可得出結(jié)論.,考法1,考法2,考法3,考法4,解:(1)如圖1,☉O即為所求.,圖1圖2(2)如圖2,連接OD,OE,∴OD⊥AB,OE⊥BC,∴∠ODB=∠OEB=90,∵∠B=40,∴∠DOE=140,∴∠EFD=70.,考法1,考法2,考法3,考法4,例6為美化校園,學(xué)校準(zhǔn)備在如圖所示的三角形(△ABC)空地上修建一個面積最大的圓形花壇,請在圖中畫出這個圓形花壇.解:面積最大的圓形花壇即△ABC的內(nèi)切圓.如圖,分別作∠BAC和∠ACB的平分線,交于點O,以O(shè)為圓心,以O(shè)到BC的距離為半徑畫圓即得.,考法1,考法2,考法3,考法4,方法點撥1.設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,周長為p,則其面積S=pr,這個公式在關(guān)于三角形內(nèi)切圓的有關(guān)計算中有重要的地位.2.三角形能覆蓋的最大的圓即其內(nèi)切圓.,1.(2017甘肅武威)如圖,已知△ABC,請用圓規(guī)和直尺作出△ABC的一條中位線EF(不寫作法,保留作圖痕跡).,2.(2016甘肅蘭州)如圖,已知☉O,用尺規(guī)作☉O的內(nèi)接正四邊形ABCD.(寫出結(jié)論,不寫做法,保留作圖痕跡),解:如圖,四邊形ABCD即為所求.,3.(2015甘肅武威)如圖,已知在△ABC中,∠A=90.(1)請用圓規(guī)和直尺作出☉P,使圓心P在AC邊上,且與AB,BC兩邊都相切(保留作圖痕跡,不寫作法和證明).(2)若∠B=60,AB=3,求☉P的面積.解:(1)如圖所示,則☉P為所求作的圓.(2)∵∠B=60,BP平分∠ABC,∴∠ABP=30,,4.(2017甘肅蘭州)在數(shù)學(xué)課上,同學(xué)們已經(jīng)探究過“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程:已知:直線l和l外一點P,求作:直線l的垂線,使它經(jīng)過點P.作法:如圖:(1)在直線l上任取兩點A,B;(2)分別以點A,B為圓心,AP,BP長為半徑畫弧,兩弧相交于點Q;(3)作直線PQ.,參考以上材料作圖的方法,解決以下問題:(1)以上材料作圖的依據(jù)是.(2)已知:直線l和l外一點P,求作:☉P,使它與直線l相切.(尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡),解:(1)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等.,5.(2015甘肅慶陽)如圖,在△ABC中,∠C=60,∠A=40.(1)用尺規(guī)作圖作AB的垂直平分線,交AC于點D,交AB于點E(保留作圖痕跡,不要求寫作法和證明);(2)求證:BD平分∠CBA.,(1)解:如圖1所示.(2)證明:連接BD,如圖2所示:∵∠C=60,∠A=40,∴∠CBA=80,∵DE是AB的垂直平分線,∴∠A=∠DBA=40,∴∠DBA=∠CBA,∴BD平分∠CBA.,6.(2018甘肅)如圖,在△ABC中,∠ABC=90.(1)作∠ACB的平分線交AB邊于點O,再以點O為圓心,OB的長為半徑作☉O;(要求:不寫做法,保留作圖痕跡)(2)判斷(1)中AC與☉O的位置關(guān)系.,解:(1)如圖所示:(2)相切;過O點作OD⊥AC于D點,∵CO平分∠ACB,∴OB=OD,即d=r,∴☉O與直線AC相切.,