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商丘市一高2015-2016學年第二學期期末考試 高二數(shù)學（理科） 本試卷分試題卷和答題卡兩部分.試題卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），共4頁；答題卡共6頁。滿分為150分，考試時間為120分鐘.考生作答時，請按要求把答案涂、寫在答題卡規(guī)定的范圍內(nèi)，超出答題框或答在試題卷上的答案無效.考試結(jié)束只收答題卡。 第Ⅰ卷 （選擇題，共60分） 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） （1）已知全集，集合，則集合可以表示為 （A） （B） （C） （D） （2）設(shè)復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，且，則 （A） （B） （C） （D） （3）下列判斷錯誤的是 （A）“”是“”成立的充分不必要條件 （B）命題“”的否定是“” （C）“若，則直線和直線互相垂直”的逆否命題為真命題 （D）若為假命題，則均為假命題 （4）分配4名水暖工去3個不同的居民家里檢查暖氣管道. 要求4名水暖工都分配出去， 并每名水暖工只去一個居民家，且每個居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有 （A）種 （B）種 （C）種 （D）種 （5）某地市高三理科學生有15000名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學成績服從正態(tài)分布 ，已知，若按成績分層抽樣的方式取100份試 卷進行分析，則應(yīng)從120分以上的試卷中抽取 （A）份 （B）份 （C）份 （D）份 （6）已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，（為常數(shù)）， 則的值為 （A） （B） （C） （D） （7）若，則的值為 （A） （B） （C） （D） （8）已知直線與曲線相切，則的值為 （A） （B） （C） （D） （9）已知是函數(shù)的極小值點，則函數(shù)的極大值為 （A） （B）　 （C）　 （D） （10）給出下列四個結(jié)論： ①二項式的展開式中，常數(shù)項為； ②由直線和曲線及軸所圍成的圖形的面積是； ③已知隨機變量服從正態(tài)分布，則； ④設(shè)回歸直線方程為，當變量增加一個單位時，平均增加個單位． 其中正確結(jié)論的個數(shù)為 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （11）一臺型號自動機床在一小時內(nèi)不需要工人照看的概率為，有臺這種型號的自動機床各自獨立工作，則在一小時內(nèi)至多臺機床需要工人照看的概率是． （A） （B） （C） （D） （12）已知是定義在上的偶函數(shù)，其導函數(shù)為，若，且 ，，則不等式的解集為 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非選擇題，共90分） 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分） （13）已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍 是 ． （14）從裝有個紅球、個白球的袋中任取個球，則所取的個球中至少有個白球的概率 是 ． （15）設(shè)，則展開式的常數(shù)項為 . （16））觀察下列算式： ， ， ，，… … … … 若某數(shù)按上述規(guī)律展開后，發(fā)現(xiàn)等式右邊含有“”這個數(shù)，則 ． 三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） （17）（本小題滿分10分） 已知，（），且是的必要而不充分條件， 求實數(shù)的取值范圍． （18）（本小題滿分12分） 已知函數(shù). （Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值； （Ⅱ）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍. (19)(本小題滿分12分) 近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來篷布發(fā)展的新機遇，年雙期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達億人民幣.與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價體系.現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為，對服務(wù)的好評率為，其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為次． (Ⅰ)是否可以在犯錯誤概率不超過的前提下，認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？ (Ⅱ)若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全好評的 次數(shù)為隨機變量： ①求對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）； ②求的數(shù)學期望和方差. 參考數(shù)據(jù)及公式如下： 高二數(shù)學理科 總4頁 第4頁 （，其中） A B D C P (第20題圖) （20）(本小題滿分12分) 在四棱錐中，平面，∥， ，． (Ⅰ) 證明：平面； (Ⅱ) 若二面角的大小為60，求的值． （21）（本小題滿分12分） 已知△的頂點在橢圓上，點在直線：，且∥. （Ⅰ）當邊通過坐標原點時，求的長及△的面積； （Ⅱ）當，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程． （22）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）當 時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若對任意實數(shù)，當時，函數(shù)的最大值為，求的取 值范圍． 商丘市一高2015—2016學年第二學期期末考試參考答案 高二數(shù)學（理科） 一、選擇題 （1）C （2）B （3）D （4）B （5）C （6）A （7）A （8）B （9）D （10）C （11）D （12）A 二、填空題 （13） （14） (15) （16） 三、解答題 （17）（本小題12分） 解：由得，或，……………3分 由得（）， 或，………………………6分 是的必要而不充分條件，∴，………………………7分 即，解得………………………10分 （18）（本小題滿分12分） 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為.…………………………………1分 當時， …………………2分 當變化時，的變化情況如下： - 0 + 極小值 的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是.……………4分 極小值是，無極大值……………………………………6分 （Ⅱ）由，得……………………………8分 又函數(shù)為上的單調(diào)減函數(shù), 則在上恒成立. ………10分 所以在恒成立,所以的取值范圍是.………… 12分 （19）（本小題滿分12分） 解：(Ⅰ) 由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評價的列聯(lián)表： 對服務(wù)好評 對服務(wù)不滿意 合計 對商品好評 80 40 120 對商品不滿意 70 10 80 合計 150 50 200 ， 可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān).………4分 (Ⅱ) 每次購物時，對商品和服務(wù)都好評的概率為，且的取值可以是 . ……………5分 其中； ； ； ； ； . 的分布列為： 0 1 2 3 4 5 ………………………10分 由于，則； . …………………………………12分 （20）(本小題滿分12分) 解：(Ⅰ) 設(shè)為與的交點，作⊥于點． 由四邊形是等腰梯形得 ，， ∴， 從而得， ∴，即 由⊥平面得，∴⊥平面．………………5分 方法一： (Ⅱ) 作于點，連接． 由(Ⅰ)知⊥平面，故． ∴⊥平面，從而得，． 故是二面角的平面角，∴．………………8分 在Rt△中，由，得． ………………9分 在Rt△中，．設(shè)，可得．………………11分 解得，即． ………………12分 方法二： (Ⅱ) 由(Ⅰ)知．以為原點，所在直線為x，y軸， 建立空間直角坐標系，如圖所示．………………6分 由題意知各點坐標如下：，，， ．………………7分 由⊥平面，得∥軸， 故設(shè)點()． 設(shè)為平面的法向量， 由，，得 取，得． ………………10分 又平面的法向量為，于是 ． 解得， 即． ………………12分 （21）（本小題滿分12分） 解：(Ⅰ)∵∥，且邊通過點，∴所在直線的方程為，……1分 設(shè)兩點坐標分別為． 由，得， .………………2分 ∴.………………3分 又∵邊上的高等于原點到直線的距離，∴， .………………5分 (Ⅱ)設(shè)所在直線的方程為， 由，得. ∵在橢圓上， ∴，解得. ………………6分 設(shè)兩點坐標分別為． 則，， ∴.………………8分 又∵的長等于點到直線的距離，即. ∴.………………10分 ∵， ∴當時，邊最長． 此時所在直線的方程為. ………………12分 （22）（本小題滿分12分） 解：（Ⅰ）當時，， 則， …………………………1分 令得或；令得， ∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和， 單調(diào)遞減區(qū)間為. ………………………4分 （Ⅱ）由題意， （1）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時，不存在實數(shù)，使得當時，函數(shù)的最大值為. ………………………6分 （2）當時，令，有，， ①當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增， 顯然符合題意. ………………………7分 ②當即時，函數(shù)在和上單調(diào)遞 增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，且， 要使對任意實數(shù)，當時，函數(shù)的最大值為，只需，解得，又， 所以此時實數(shù)的取值范圍是 . ……………9分 ③當即時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減，要存在實數(shù)，使得當時， 函數(shù)的最大值為，需， 代入化簡得，① 令，因為恒成立， 故恒有，所以時，①式恒成立， 綜上，實數(shù)的取值范圍是. ………………………12分