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2015-2016學年江蘇省揚州市七年級（下）期中數(shù)學試卷 一、選擇題：（每題3分，共24分） 1．已知三角形的三邊分別為2，a，4，那么a的取值范圍是（　?。? A．1＜a＜5 B．2＜a＜6 C．3＜a＜7 D．4＜a＜6 2．下列各式從左到右的變形，是因式分解的是（　?。? A．x2﹣9+6x=（x+3）（x﹣3）+6x B．（x+5）（x﹣2）=x2+3x﹣10 C．x2﹣8x+16=（x﹣4）2 D．6ab=2a?3b 3．若4a2+kab+9b2是完全平方式，則常數(shù)k的值為（　?。? A．6 B．12 C．6 D．12 4．下列計算正確的是（　　） A．a(chǎn)+a2=2a3 B．a(chǎn)2?a3=a6 C．（2a4）4=16a8 D．（﹣a）6a3=a3 5．下列各式能用平方差公式計算的是（　?。? A．（3a+b）（a﹣b） B．（﹣3a﹣b）（﹣3a+b） C．（3a+b）（﹣3a﹣b） D．（﹣3a+b）（3a﹣b） 6．如圖，AB∥CD，EG⊥AB，∠1=50，則∠E的度數(shù)等于（　?。? A．30 B．40 C．50 D．60 7．一個正多邊形的每個外角都等于40，則它的內(nèi)角和是（　?。? A．1000 B．1620 C．1260 D．1080 8．如圖所示，兩個正方形的邊長BC、CG在同一直線上，且BC=10，那么陰影部分（即△BDF）的面積是（　?。? A．50 B．100 C．200 D．無法確定 　 二、填空題（每題3分，共30分） 9．有一句諺語說：“撿了芝麻，丟了西瓜．”意思是說有些人辦事只抓一些無關(guān)緊要的小事，卻忽略了具有重大意義的大事．據(jù)測算，一粒芝麻重量約有0.0000021kg，將這一數(shù)據(jù)可以用科學記數(shù)法表示為　?。? 10．把多項式﹣16x3+40x2y提出一個公因式﹣8x2后，另一個因式是　?。? 11．三個數(shù)（）﹣1、（﹣2）0、（﹣3）2中，最小數(shù)與最大數(shù)的差是：　?。? 12．若ax=8，ay=3，則ax﹣y=　　． 13．計算（﹣a2b）3=　?。? 14．如圖，將含有45角的三角板的兩個頂點放在直尺的對邊上，如果∠1=20，那么∠2=　　． 15．如果（x﹣1）x+4=1成立，那么滿足它的所有整數(shù)x的值是 　?。? 16．在矩形ABCD中，放入六個形狀、大小相同的長方形，所標尺寸如圖所示，則圖中陰影部分的面積是　　cm2． 17．如圖，小亮從A點出發(fā)前10m，向右轉(zhuǎn)15，再前進10m，又向右轉(zhuǎn)15，…，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點A時，一共走了　　m． 18．如圖，D是△ABC的邊BC上任意一點，E、F分別是線段AD、CE的中點，且△ABC的面積為20cm2，則△BEF的面積是　　 cm2． 　 三、解答題（共96分）： 19．計算： ①30﹣2﹣3 ②（﹣2a2b3）4+（﹣a）8﹣（2b4）3 ③x（x﹣1）（x+3）﹣x2（x+1）+3x﹣1 ④（﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y） 20．把下列各式分解因式： （1）16t2﹣25 （2）4m（x﹣y）﹣2n（y﹣x） （3）81（a+b）2﹣25（a﹣b）2 （4）16x4﹣8x2y2+y4． 21．先化簡，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣5b）（a+3b），其中a=﹣1，b=1． 22．如圖，AB∥DE，∠A=∠D．AC與DF平行嗎？請說明理由． 23．如圖，AB∥CD，AE交CD于點C，DE⊥AE，垂足為E，∠A+∠1=74，求∠D的度數(shù)． 24．探究應用： （1）計算（a﹣2）（a2+2a+4）=　?。唬?x﹣y）（4x2+2xy+y2）=　?。? （2）上面的整式乘法計算結(jié)果很簡潔，你又發(fā)現(xiàn)一個新的乘法公式：　?。ㄕ堄煤琣．b的字母表示）． （3）下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計算的是　　． A．（a﹣3）（a2﹣3a+9）B．（2m﹣n）（2m2+2mn+n2） C．（4﹣x）（16+4x+x2） D．（m﹣n）（m2+2mn+n2） （4）直接用公式計算： （3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）=　?。? （2m﹣3）（4m2+6m+9）=　?。? 25．閱讀下列材料： 一般地，n個相同的因數(shù)a相乘：aaaa…a記作an，如222=23=8，此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為log28（即log28=3）．此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為log28（log28=3）．一般地，若an=b，則n叫做以a為底的b的對數(shù)，記為logab=n，如34=81，則4叫做以3為底的81的對數(shù)，記為log381=4． （1）下列各對數(shù)的值：log24=　??；log216=　??；log264=　　； （2）觀察（1）中三數(shù)4，16，64之間滿足怎樣的關(guān)系式，寫出log24，log216，log264滿足的關(guān)系式　??； （3）由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個一般性的結(jié)果嗎？logaM+logaN=　?。唬╝＞0且a≠1，M＞0，N＞0） （4）根據(jù)上述結(jié)論解決下列問題： 已知，loga2=0.3，求loga4和loga8的值．（a＞0且a≠1） 26．如圖1的圖形，像我們常見的風箏．我們不妨把這樣圖形叫做“箏形”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢？ 下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題： 觀察“箏形”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由； 請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題： ①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A=58，則∠ABX+∠ACX=　?。? ②如圖3，已知DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=60，∠DBE=150，則∠DCE=　??； ②如圖4，已知∠ABD，∠ACD 的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC=140，∠B G1C=77，則∠A=　　． 　  2015-2016學年江蘇省揚州市教育學院附屬中學七年級（下）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：（每題3分，共24分） 1．已知三角形的三邊分別為2，a，4，那么a的取值范圍是（　　） A．1＜a＜5 B．2＜a＜6 C．3＜a＜7 D．4＜a＜6 【考點】三角形三邊關(guān)系． 【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，即可求解． 【解答】解：由于在三角形中任意兩邊之和大于第三邊， ∴a＜2+4=6， 任意兩邊之差小于第三邊， ∴a＞4﹣2=2， ∴2＜a＜6， 故選B． 　 2．下列各式從左到右的變形，是因式分解的是（　?。? A．x2﹣9+6x=（x+3）（x﹣3）+6x B．（x+5）（x﹣2）=x2+3x﹣10 C．x2﹣8x+16=（x﹣4）2 D．6ab=2a?3b 【考點】因式分解的意義． 【分析】根據(jù)分解因式就是把一個多項式化為幾個整式的積的形式的定義，利用排除法求解． 【解答】解：A、右邊不是積的形式，故A選項錯誤； B、是多項式乘法，不是因式分解，故B選項錯誤； C、是運用完全平方公式，x2﹣8x+16=（x﹣4）2，故C選項正確； D、不是把多項式化成整式積的形式，故D選項錯誤． 故選：C． 　 3．若4a2+kab+9b2是完全平方式，則常數(shù)k的值為（　?。? A．6 B．12 C．6 D．12 【考點】完全平方式． 【分析】先根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項即可確定k的值． 【解答】解：∵4a2+kab+9b2=（2a）2+kab+（3b）2， ∴kab=2?2a?3b， 解得k=12． 故選：D． 　 4．下列計算正確的是（　?。? A．a(chǎn)+a2=2a3 B．a(chǎn)2?a3=a6 C．（2a4）4=16a8 D．（﹣a）6a3=a3 【考點】同底數(shù)冪的除法；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方． 【分析】利用合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方、冪的乘方以及同底數(shù)冪的除法的知識求解即可求得答案．注意排除法在解選擇題中的應用． 【解答】解：A、a與a2不能合并，故本選項錯誤； B、a2?a3=a5，故本選項錯誤； C、（2a4）4=16a16，故本選項錯誤； D、（﹣a）6a3=a6a3=a3，故本選項正確． 故選D． 　 5．下列各式能用平方差公式計算的是（　　） A．（3a+b）（a﹣b） B．（﹣3a﹣b）（﹣3a+b） C．（3a+b）（﹣3a﹣b） D．（﹣3a+b）（3a﹣b） 【考點】平方差公式． 【分析】運用平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2時，關(guān)鍵要找相同項和相反項，其結(jié)果是相同項的平方減去相反項的平方． 【解答】解：A、中不存在互為相反數(shù)的項， B、﹣3a是相同的項，互為相反項是b與﹣b，符合平方差公式的要求； C、D中不存在相同的項； 因此A、C、D都不符合平方差公式的要求． 故選B． 　 6．如圖，AB∥CD，EG⊥AB，∠1=50，則∠E的度數(shù)等于（　?。? A．30 B．40 C．50 D．60 【考點】平行線的性質(zhì)． 【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EFG的度數(shù)，然后利用直角三角形兩銳角互余求得∠E的度數(shù)即可． 【解答】解：∵∠A=50，AB∥CD， ∴∠EFG=50， ∵EG⊥AB， ∴∠E=90﹣∠EFG=90﹣50=40， 故選B． 　 7．一個正多邊形的每個外角都等于40，則它的內(nèi)角和是（　　） A．1000 B．1620 C．1260 D．1080 【考點】多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】根據(jù)任何多邊形的外角和都是360，利用360除以外角的度數(shù)就可以求出多邊形的邊數(shù)；n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180，把多邊形的邊數(shù)代入公式，就得到多邊形的內(nèi)角和． 【解答】解：36040=9，則它是九邊形； 內(nèi)角和是：（9﹣2）?180=1260度． 故選C． 　 8．如圖所示，兩個正方形的邊長BC、CG在同一直線上，且BC=10，那么陰影部分（即△BDF）的面積是（　　） A．50 B．100 C．200 D．無法確定 【考點】整式的混合運算． 【分析】由兩正方形面積之和減去三角形ABD與三角形BFG面積之和即可確定出陰影部分面積． 【解答】解：設(shè)正方形EFGC邊長為a， 根據(jù)題意得：102+a2+a（10﹣a）﹣102﹣a（a+10）=100+a2+5a﹣a2﹣50﹣a2﹣5a=50， 故選A 　 二、填空題（每題3分，共30分） 9．有一句諺語說：“撿了芝麻，丟了西瓜．”意思是說有些人辦事只抓一些無關(guān)緊要的小事，卻忽略了具有重大意義的大事．據(jù)測算，一粒芝麻重量約有0.0000021kg，將這一數(shù)據(jù)可以用科學記數(shù)法表示為　2.110﹣6?。? 【考點】科學記數(shù)法—表示較小的數(shù)． 【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a10﹣n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定． 【解答】解：0.0000021=2.110﹣6， 故答案為：2.110﹣6． 　 10．把多項式﹣16x3+40x2y提出一個公因式﹣8x2后，另一個因式是　2x﹣5y?。? 【考點】因式分解-提公因式法． 【分析】根據(jù)提公因式法分解因式解答即可． 【解答】解：﹣16x3+40x2y =﹣8x2?2x+（﹣8x2）?（﹣5y） =﹣8x2（2x﹣5y）， 所以另一個因式為2x﹣5y． 故答案為：2x﹣5y． 　 11．三個數(shù)（）﹣1、（﹣2）0、（﹣3）2中，最小數(shù)與最大數(shù)的差是：　8?。? 【考點】實數(shù)大小比較；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪． 【分析】根據(jù)乘方，可得冪，根據(jù)有理數(shù)的大小比較，可得最大數(shù)、最小數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的減法，可得答案． 【解答】解；（）﹣1=6，（﹣2）0=1，（﹣3）2=9， 9﹣1=8， 故答案為：8． 　 12．若ax=8，ay=3，則ax﹣y=　　． 【考點】同底數(shù)冪的除法． 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，可得答案． 【解答】解：ax﹣y=axay=83=， 故答案為：． 　 13．計算（﹣a2b）3=　﹣a6b3?。? 【考點】冪的乘方與積的乘方． 【分析】根據(jù)積的乘方的運算方法：（ab）n=anbn，求出（﹣a2b）3的值是多少即可． 【解答】解：（﹣a2b）3=?（a2）3?b3=﹣a6b3． 故答案為：﹣a6b3． 　 14．如圖，將含有45角的三角板的兩個頂點放在直尺的對邊上，如果∠1=20，那么∠2=　25?。? 【考點】平行線的性質(zhì)． 【分析】利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等作答． 【解答】解：根據(jù)題意可知，兩直線平行，內(nèi)錯角相等， ∴∠1=∠3， ∵∠3+∠2=45， ∴∠1+∠2=45 ∵∠1=20， ∴∠2=25． 故答案為25． 　 15．如果（x﹣1）x+4=1成立，那么滿足它的所有整數(shù)x的值是 　﹣4，0，2?。? 【考點】零指數(shù)冪． 【分析】分情況討論：當x+4=0時；當x﹣1=1時，分別討論求解．還有﹣1的偶次冪都等于1． 【解答】解：如果（x﹣1）x+4=1成立，則x+4=0或x﹣1=1 即x=﹣4或x=2 當x=0時，（﹣1）4=1 故本題答案為：﹣4、2或0． 　 16．在矩形ABCD中，放入六個形狀、大小相同的長方形，所標尺寸如圖所示，則圖中陰影部分的面積是　44　cm2． 【考點】二元一次方程組的應用． 【分析】設(shè)小長方形的長、寬分別為xcm，ycm，根據(jù)圖示可以列出方程組，然后解這個方程組即可求出小長方形的面積，接著就可以求出圖中陰影部分的面積． 【解答】解：設(shè)小長方形的長、寬分別為xcm，ycm， 依題意得， 解之得， ∴小長方形的長、寬分別為8cm，2cm， ∴S陰影部分=S四邊形ABCD﹣6S小長方形=1410﹣628=44cm2． 　 17．如圖，小亮從A點出發(fā)前10m，向右轉(zhuǎn)15，再前進10m，又向右轉(zhuǎn)15，…，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點A時，一共走了　240　m． 【考點】多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】由題意可知小亮所走的路線為正多邊形，根據(jù)多邊形的外角和定理即可求出答案． 【解答】解：∵小亮從A點出發(fā)最后回到出發(fā)點A時正好走了一個正多邊形， ∴根據(jù)外角和定理可知正多邊形的邊數(shù)為n=36015=24， 則一共走了2410=240米． 故答案為：240． 　 18．如圖，D是△ABC的邊BC上任意一點，E、F分別是線段AD、CE的中點，且△ABC的面積為20cm2，則△BEF的面積是　5　 cm2． 【考點】三角形的面積． 【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形解答即可． 【解答】解：∵點E是AD的中點， ∴S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ADC， ∴S△ABE+S△ACE=S△ABC=20=10cm2， ∴S△BCE=S△ABC=20=10cm2， ∵點F是CE的中點， ∴S△BEF=S△BCE=10=5cm2． 故答案為：5． 　 三、解答題（共96分）： 19．計算： ①30﹣2﹣3 ②（﹣2a2b3）4+（﹣a）8﹣（2b4）3 ③x（x﹣1）（x+3）﹣x2（x+1）+3x﹣1 ④（﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y） 【考點】整式的混合運算． 【分析】①分別根據(jù)0指數(shù)冪及負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則、數(shù)的乘方法則計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)混合運算的法則進行計算即可； ②分別根據(jù)冪的乘方與積的乘方法則計算出各數(shù)即可； ③、④先算乘方，再算乘法，最后算加減即可． 【解答】解：①原式=1﹣+9﹣4 =5； ②原式=16a8b12+a8﹣8b12； ③原式=（x2﹣x）（x+3）﹣x3﹣x2+3x﹣1 =x3+3x﹣x2﹣3x﹣x3﹣x2+3x﹣1 =6x﹣2x2﹣1； ④原式=+y2﹣xy﹣（x2﹣y2） =+y2﹣xy﹣x2+y2 =y2﹣xy． 　 20．把下列各式分解因式： （1）16t2﹣25 （2）4m（x﹣y）﹣2n（y﹣x） （3）81（a+b）2﹣25（a﹣b）2 （4）16x4﹣8x2y2+y4． 【考點】提公因式法與公式法的綜合運用． 【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式即可； （2）直接提取公因式2（x﹣y），進而分解因式即可； （3）直接利用平方差公式分解因式得出答案； （4）直接利用完全平方公式分解因式，進而利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（1）16t2﹣25 =（4t+5）（4t﹣5）； （2）4m（x﹣y）﹣2n（y﹣x） =2（x﹣y）（2m+n）； （3）81（a+b）2﹣25（a﹣b）2 =[9（a+b）﹣5（a﹣b）][9（a+b）﹣5（a﹣b）] =4（7a+2b）（2a+7b）； （4）16x4﹣8x2y2+y4 =（4y2﹣y2）2 =（2x+y）2（2x﹣y）2． 　 21．先化簡，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣5b）（a+3b），其中a=﹣1，b=1． 【考點】整式的混合運算—化簡求值． 【分析】先根據(jù)平方差公式和多項式乘以多項式法則算乘法，再合并同類項，最后代入求出即可． 【解答】解：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣5b）（a+3b） =a2﹣4b2﹣a2﹣3ab+5ab+15b2 =11b2+2ab， 當a=﹣1，b=1時，原式=9． 　 22．如圖，AB∥DE，∠A=∠D．AC與DF平行嗎？請說明理由． 【考點】平行線的判定與性質(zhì)． 【分析】先利用平行線的性質(zhì)和等量代換證明∠D=∠EGC，再利用平行線的判定說明． 【解答】解：平行． ∵AB∥DE ∴∠A=∠EGC．（兩直線平行，同位角相等） ∵∠A=∠D，（已知） ∴∠D=∠EGC．（等量代換） ∴AC∥DF．（同位角相等，兩直線平行） 　 23．如圖，AB∥CD，AE交CD于點C，DE⊥AE，垂足為E，∠A+∠1=74，求∠D的度數(shù)． 【考點】平行線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)由AB∥CD得到∠1=∠A=74=37，再根據(jù)對頂角相等得∠ECD=∠1=37，由DE⊥AE得到∠DEC=90，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算∠D的度數(shù)． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1=∠A， ∵∠A+∠1=74， ∴∠1=74=37， ∴∠ECD=∠1=37， ∵DE⊥AE， ∴∠DEC=90， ∴∠D=90﹣37=53． 　 24．探究應用： （1）計算（a﹣2）（a2+2a+4）=　a3﹣8　；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）=　8x3﹣y3?。? （2）上面的整式乘法計算結(jié)果很簡潔，你又發(fā)現(xiàn)一個新的乘法公式：?。╝﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3　（請用含a．b的字母表示）． （3）下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計算的是　C　． A．（a﹣3）（a2﹣3a+9）B．（2m﹣n）（2m2+2mn+n2） C．（4﹣x）（16+4x+x2） D．（m﹣n）（m2+2mn+n2） （4）直接用公式計算： （3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）=　27x3﹣8y3??； （2m﹣3）（4m2+6m+9）=　8m3﹣27　． 【考點】整式的混合運算． 【分析】（1）本題先根據(jù)多項式乘多項式法則，計算出兩式的值即可解答． （2）根據(jù)上題所給的結(jié)果推理即可得到公式； （3）在四個選項中分析哪一個最符合題意即可解答； （4）步直接套用公式即可． 【解答】解：（1）①（a﹣2）（a2+2a+4）， =a3+2a2+4a﹣2a2﹣4a﹣8， =a3﹣8； ②（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）， =8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3 =8x3﹣y3； （2）如②中，（2x）3=8x3，y3=y3，2xy=﹣（2x?y）， 所以發(fā)現(xiàn)的公式為：（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3； （3）C符合公式，選C； （4）根據(jù)公式：（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）=（3x）3﹣（2y）3=27x3﹣8y3； （2m﹣3）（4m2+6m+9）=（2m）3﹣33=8m3﹣27． 故答案為：a3﹣8；8x3﹣y3；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；C；27x3﹣8y3；8m3﹣27． 　 25．閱讀下列材料： 一般地，n個相同的因數(shù)a相乘：aaaa…a記作an，如222=23=8，此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為log28（即log28=3）．此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為log28（log28=3）．一般地，若an=b，則n叫做以a為底的b的對數(shù)，記為logab=n，如34=81，則4叫做以3為底的81的對數(shù)，記為log381=4． （1）下列各對數(shù)的值：log24=　2?。籰og216=　4?。籰og264=　6??； （2）觀察（1）中三數(shù)4，16，64之間滿足怎樣的關(guān)系式，寫出log24，log216，log264滿足的關(guān)系式　log24+log216=log264??； （3）由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個一般性的結(jié)果嗎？logaM+logaN=　logaMN?。唬╝＞0且a≠1，M＞0，N＞0） （4）根據(jù)上述結(jié)論解決下列問題： 已知，loga2=0.3，求loga4和loga8的值．（a＞0且a≠1） 【考點】同底數(shù)冪的乘法． 【分析】根據(jù)題目給出的定義即可求出答案． 【解答】解：（1）∵22=4，24=16，26=64 ∴l(xiāng)og24=2；log216=4，log264=6 （2）log24+log216=log2（416）=log264 （3）logaM+logaN=logaMN （4）loga2+loga2=loga4=0.3+0.3=0.6， loga2+loga4=loga8=0.6+0.3=0.9 故答案為：（1）2；4；6 （2）log24+log216=log264 （3）logaMN 　 26．如圖1的圖形，像我們常見的風箏．我們不妨把這樣圖形叫做“箏形”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢？ 下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題： 觀察“箏形”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由； 請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題： ①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A=58，則∠ABX+∠ACX=　32　； ②如圖3，已知DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=60，∠DBE=150，則∠DCE=　105?。? ②如圖4，已知∠ABD，∠ACD 的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC=140，∠B G1C=77，則∠A=　70　． 【考點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠3=∠B+∠1，∠4=∠2+∠C，然后把兩式相加即可得到∠BDC=∠A+∠B+∠C； ①由前面的結(jié)論得∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，所以∠ABX+∠ACX=90﹣58=32； ②由前面的結(jié)論得到∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC，∠DBE=∠DCE+∠BDC+∠BEC，再根據(jù)角平分線的定義得∠ADC=∠BDC，∠ACE=∠BEC，所以∠DBE﹣∠DCE=∠DCE﹣∠A，然后把∠DAE=60，∠DBE=150代入計算即可； ③由前面的結(jié)論得∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，∠BG1C=∠A+∠ABG1+∠ACG1，而∠ABD，∠ACD 的10等分線相交于點G1、G2…、G9，則∠ABG1=∠ABD，∠ACG1=∠ACD，所以10∠BG1C=10∠A+∠ABD+∠ACD，利用等式的性質(zhì)得到10∠BG1C﹣∠BDC=9∠A，即有∠A=（1077﹣140）=70． 【解答】解：∠BDC=∠A+∠B+∠C．理由如下： 作射線AD，如圖， ∵∠3=∠B+∠1，∠4=∠2+∠C， ∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠B+∠C， 即∠BDC=∠A+∠B+∠C； ①∵∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX， ∴∠ABX+∠ACX=90﹣58=32； ②∵∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC，∠DBE=∠DCE+∠BDC+∠BEC， ∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB， ∴∠ADC=∠BDC，∠ACE=∠BEC， ∴∠DBE﹣∠DCE=∠DCE﹣∠A， ∴∠DCE=（∠DBE+∠A）==105； ③∵∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，∠BG1C=∠A+∠ABG1+∠ACG1， 而∠ABD，∠ACD 的10等分線相交于點G1、G2…、G9， ∴∠ABG1=∠ABD，∠ACG1=∠ACD， ∴10∠BG1C=10∠A+∠ABD+∠ACD， ∴10∠BG1C﹣∠BDC=9∠A， ∴∠A=（1077﹣140）=70． 故答案為32，105，70．