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1、三角形與四邊形綜合題
04
三角形與四邊形綜合題
1.[2018·玉林] 如圖ZT4-1,點A,B在雙曲線y=3x(x>0)上.點C在雙曲線y=1x(x>0)上,若AC∥y軸,BC∥x軸,且AC=BC,則AB等于 ( )
圖ZT4-1
A.2 B.22 C.4 D.32
2.[2018·泰州] 如圖ZT4-2,在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ACD=∠ABC=90°,E,F分別為AC,CD的中點,∠D=α,則∠BEF的度數(shù)為 .(用含α的式子表示)?
圖ZT4-2
3.[2018·衢州] 如圖ZT4-3,點A,B是反比例函數(shù)y=kx(x>0
2、)圖象上的兩點,過點A,B分別作AC⊥x軸于點C,BD⊥x軸于點D,連接OA,BC.已知點C(2,0),BD=2,S△BCD=3,則S△AOC= .?
圖ZT4-3
4.[2018·陜西] 如圖ZT4-4,點O是?ABCD的對稱中心,AD>AB,E,F是AB邊上的點,且EF=12AB,G,H是BC邊上的點,且GH=13BC.若S1,S2分別表示△EOF和△GOH的面積,則S1與S2之間的等量關(guān)系是 .?
圖ZT4-4
5.如圖ZT4-5,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx(k≠0)經(jīng)過點(a,3a)(a>0),線段BC的兩個端點分別在x軸與直線y=kx上(點B,C均不
3、與原點O重合)滑動,且BC=2,分別作BP⊥x軸,CP⊥直線y=kx,交點為P.經(jīng)探究,在整個滑動過程中,P,O兩點間的距離為定值 .?
圖ZT4-5
6.如圖ZT4-6,在矩形ABCD中,E是AD上一點,PQ垂直平分BE,分別交AD,BE,BC于點P,O,Q,連接BP,EQ.
(1)求證:四邊形BPEQ是菱形;
(2)若AB=6,F為AB的中點,OF+OB=9,求PQ的長.
圖ZT4-6
7.[2017·湖州] 如圖ZT4-7,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB≥AC,D,E分別為AC,BC邊上的點(不包括端點),且DCBE
4、=ACBC=m,連接AE,過點D作DM⊥AE,垂足為點M,延長DM交AB于點F.
(1)如圖①,過點E作EH⊥AB于點H,連接DH.
①求證:四邊形DHEC是平行四邊形;
②若m=22,求證:AE=DF.
(2)如圖②,若m=35,求DFAE的值.
圖ZT4-7
8.[2018·涼山州] 如圖ZT4-8,在?ABCD中,E,F分別是AD,BC上的點,將?ABCD沿EF所在直線翻折,使點B與點D重合,且點A落在點A'處.
(1)求證:△A'ED≌△CFD;
(2)連接BE,若∠EBF=60°,EF=3,求四邊形BFDE的面積.
圖ZT4-8
5、
參考答案
1.B [解析] 點C在雙曲線y=1x上,AC∥y軸,BC∥x軸,設(shè)Ca,1a,則B3a,1a,Aa,3a.∵AC=BC,∴3a-1a=3a-a,解得a=1(a=-1舍去).∴C(1,1),B(3,1),A(1,3).∴AC=BC=2.在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=22.故選B.
2.270°-3α [解析] ∵∠ACD=90°,∴∠CAD=90°-∠D=90°-α.∵E,F分別為AC,CD的中點,∴EF∥AD.∴∠CEF=
∠CAD=90°-α.∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD=90°-α.∵∠ABC=90°,E為AC的中點,∴AE=BE.∴∠EB
6、A=
∠BAC=90°-α.∴∠BEC=180°-2α.∴∠BEF=∠CEF+∠BEC=270°-3α.
3.5
4.2S1=3S2S1=32S2,S2=23S1均正確
[解析] 如圖,連接AC,BD.
∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴AO=OC.∴S△AOB=S△BOC.
∵EF=12AB,∴S1=12S△AOB.
∴S△AOB=2S1.
∵GH=13BC,
∴S2=13S△BOC.
∴S△BOC=3S2.∴2S1=3S2.
5.433 [解析] ∵直線y=kx(k≠0)經(jīng)過點(a,3a)(a>0),∴3a=ka,k=3.∴∠BOC=60°.由題意可知,∠PCO
7、=∠PBO=90°,∴∠PCO+∠PBO=180°.∴O,B,P,C四點共圓,OP為直徑,如圖.設(shè)圓心為D,分別連接CD和BD,過點D作DE⊥BC于點E,則BE=12BC=1.∵∠BDC=2∠BOC=120°,∴∠BDE=60°,在Rt△BDE中,sin∠BDE=BEDB,∴BD=132=233,∴OP=2BD=433.
6.解:(1)證明:∵PQ垂直平分BE,∴PB=PE,OB=OE.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴∠PEO=∠QBO.在△EOP和△BOQ中,∠PEO=∠QBO,OE=OB,∠POE=∠QOB,∴△EOP≌△BOQ(ASA).∴PE=QB.又∵AD∥BC,∴四邊
8、形BPEQ是平行四邊形.又∵PB=PE,∴四邊形BPEQ是菱形.
(2)∵O,F分別為PQ,AB的中點,∴AE+BE=2OF+2OB=18.設(shè)AE=x,則BE=18-x.在Rt△ABE中,62+x2=(18-x)2,解得x=8,BE=18-x=10.∴OB=12BE=5.設(shè)PE=y,則AP=8-y,BP=PE=y.在Rt△ABP中,62+(8-y)2=y2,解得y=254.在Rt△BOP中,PO=(254)?2-52=154.∴PQ=2PO=152.
7.解:(1)①證明:∵EH⊥AB,∠BAC=90°,∴EH∥CA,
∴△BHE∽△BAC.∴BEBC=HEAC.∵DCBE=ACBC,∴
9、BEBC=DCAC.∴HEAC=DCAC.∴HE=DC,∵EH∥DC,∴四邊形DHEC是平行四邊形.
②∵ACBC=22,∠BAC=90°,∴AC=AB.∵DCBE=22,HE=DC,∴HEBE=22.∵∠BHE=90°,∴BH=HE.∵HE=DC.∴BH=CD.∴AH=AD.∵DM⊥AE,EH⊥AB,∴∠EHA=∠AMF=90°.∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°.∴∠HEA=∠AFD.又∵∠EHA=
∠FAD=90°,∴△HEA≌△AFD.∴AE=DF.
(2)如圖,過點E作EG⊥AB于點G.∵∠BAC=90°,∴EG∥CA.∴△EGB∽△CAB.∴EGCA=BEB
10、C.∴EGBE=CABC=35.∵CDBE=35,∴EG=CD.設(shè)EG=CD=3x,AC=3y,則BE=5x,BC=5y.∴BG=4x,AB=4y.∵∠EGA=∠AMF=90°,∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM,
∴∠AFM=∠AEG.又∵∠FAD=∠EGA=90°,∴△FAD∽△EGA.∴DFAE=ADAG=3y-3x4y-4x=34.
8.解:(1)證明:由翻折的性質(zhì)可知,A'D=AB,∠DEF=∠BEF,∠BFE=∠DFE,∠A=∠A'.
∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴AB=CD,∠C=∠A,AD∥BC.
∴A'D=CD,∠A'=∠C,∠DEF=∠BFE.
∴∠D
11、EF=∠BFE=∠BEF=∠EFD.
∴180°-(∠DEF+∠BEF)=180°-(∠BFE+∠EFD),
即∠AEB=∠DFC.
又∵∠AEB=∠A'ED,∴∠DFC=∠A'ED.
在△A'ED和△CFD中,∠A'ED=∠CFD,∠A'=∠C,A'D=CD,
∴△A'ED≌△CFD(AAS).
(2)過點E作EH⊥BC于點H.
∵∠EBF=60°,∠BEF=∠BFE,EF=3,
∴△EBF是等邊三角形.
∴FH=32,EH=EF2-FH2=32 3.
由折疊可知△DEF≌△BEF,
∴四邊形BFDE的面積=2S△BEF=BF·EH=3×32 3=92 3.
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