二 一般形式的柯西不等式名稱名稱 形式形式 等號成立條件等號成立條件 三維形式三維形式柯西不等柯西不等式式 設(shè)設(shè)a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,b,b1 1,b,b2 2,b,b3 3R R則則_當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)b b1 1=b=b2 2=b=b3 3=0=0或或存 在 一 個 實(shí) 數(shù)存 在 一 個 實(shí) 數(shù) k k 使 得使 得_222222123123(aaa ) (bbb )(a(a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3) )2 2a ai i=kb=kbi i(i(i=1,2,3)=1,2,3)名稱名稱 形式形式 等號成立條件等號成立條件 一般形式一般形式柯西不等柯西不等式式 設(shè)設(shè) 是是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)，則 _當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)b bi i=0(i=1,2,=0(i=1,2,，n)n)或存在一個實(shí)或存在一個實(shí)數(shù)數(shù)k,k,使得使得_123na ,a ,a,a ,，123nb ,b ,b,b，n22212aaa22212nbbba ai i=kb=kbi i(i(i=1,2,n)=1,2,n)(a(a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2 +a+an nb bn n) )2 21.1.三維形式的柯西不等式中等號成立的條件寫成三維形式的柯西不等式中等號成立的條件寫成 可以嗎？可以嗎？提示：提示：不可以不可以. .因?yàn)槿舫霈F(xiàn)因?yàn)槿舫霈F(xiàn)b bi i=0(i=1,2,3)=0(i=1,2,3)的情況，則分式不的情況，則分式不成立了，但是，可以利用分式的形式來形象地記憶成立了，但是，可以利用分式的形式來形象地記憶. .312123aaabbb2 2已知已知a a，b b，c c大于大于0 0，且，且a ab bc c1 1，則，則a a2 2b b2 2c c2 2的最小的最小值為值為_._.【解析【解析】根據(jù)柯西不等式，有根據(jù)柯西不等式，有(a(a2 2b b2 2c c2 2)(1)(12 21 12 21 12 2)(a)(ab bc)c)2 21 1，所以，所以答案：答案：2221abc.3133.3.設(shè)設(shè)x,y,zRx,y,zR, ,且滿足且滿足x x2 2+y+y2 2+z+z2 2=5,=5,則則x+2y+3zx+2y+3z的最大值是的最大值是_._.【解析【解析】(x+2y+3z)(x+2y+3z)2 2(x(x2 2+y+y2 2+z+z2 2) )(1(12 2+2+22 2+3+32 2)=5)=514=70,14=70,所所以以答案：答案：max(x2y3z)70.+=701.1.對柯西不等式一般形式的理解對柯西不等式一般形式的理解一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣，其特點(diǎn)可類比二維形式的柯西不柯西不等式的歸納與推廣，其特點(diǎn)可類比二維形式的柯西不等式來總結(jié)，左邊是平方和的積等式來總結(jié)，左邊是平方和的積, ,右邊是積的和的平方右邊是積的和的平方. .在使在使用時，關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式用時，關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式2.2.柯西不等式的兩個變式柯西不等式的兩個變式(1)(1)設(shè)設(shè)a ai iR,bR,bi i0(i=1,2,0(i=1,2,n),n),當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)b bi i=a=ai i時時(1in)(1in)等號成立等號成立. .(2)(2)設(shè)設(shè)a ai i,b,bi i同號且不為同號且不為0(i=1,2,0(i=1,2,n),n),則則當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)b bi i=a=ai i時，等號成立時，等號成立. . n22in1i 1ni 1iii 1(a )a,bbn2inii 1ni 1iiii 1(a )a,ba b類型類型 一一 三維柯西不等式的應(yīng)用三維柯西不等式的應(yīng)用 【典型例題【典型例題】1.(20131.(2013湖南高考湖南高考) )已知已知a,b,cR,a+2b+3c=6,a,b,cR,a+2b+3c=6,則則a a2 2+4b+4b2 2+9c+9c2 2的最小值為的最小值為_._.2.2.ABCABC的三邊長為的三邊長為a,b,ca,b,c，其外接圓半徑為，其外接圓半徑為R R，求證：求證：2222222111(abc )()36R .sin Asin Bsin C【解題探究【解題探究】1.1.題題1 1中的條件中的條件a+2b+3ca+2b+3c與待求與待求a a2 2+4b+4b2 2+9c+9c2 2有何關(guān)系？有何關(guān)系？2.2.題題2 2中，待證的式子的左邊中，待證的式子的左邊 應(yīng)該如何轉(zhuǎn)化才能利用柯西不等式證明？應(yīng)該如何轉(zhuǎn)化才能利用柯西不等式證明？探究提示：探究提示：1.1.題題1 1中條件中條件a+2b+3ca+2b+3c與與a a2 2+4b+4b2 2+9c+9c2 2的關(guān)系是前者各項平方和為的關(guān)系是前者各項平方和為后者，根據(jù)三維形式的柯西不等式的特點(diǎn)可以構(gòu)造三維形式后者，根據(jù)三維形式的柯西不等式的特點(diǎn)可以構(gòu)造三維形式的柯西不等式進(jìn)行求解的柯西不等式進(jìn)行求解. . 222222111(abc )()sin Asin Bsin C2.2.分析待證式子的左右兩端可以發(fā)現(xiàn)右端不含有正弦，而含分析待證式子的左右兩端可以發(fā)現(xiàn)右端不含有正弦，而含有外接圓的半徑，所以需要借助正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利有外接圓的半徑，所以需要借助正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用柯西不等式證明用柯西不等式證明. .【解析【解析】1.1.因?yàn)橐驗(yàn)?1(12 2+1+12 2+1+12 2)(a)(a2 2+4b+4b2 2+9c+9c2 2)(a+2b+3c)(a+2b+3c)2 2=36=36，當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng)a=1,2b=1,3c=1a=1,2b=1,3c=1即即 時取時取“=”=”，所以，所以a a2 2+4b+4b2 2+9c+9c2 212.12.答案：答案：121211a1,b,c232.2.由三角形中的正弦定理得：由三角形中的正弦定理得： 所以所以同理同理于是左邊于是左邊asin A2R，22214Rsin Aa，22222214R14R.sin Bbsin Cc，2222222224R4R4R(abc )()abc222R2R2R(abc)36R .abc【互動探究【互動探究】題題1 1中，把題目改為中，把題目改為“a,b,cR,aa,b,cR,a2 2+4b+4b2 2+9c+9c2 2=27,=27,求求a+2b+3ca+2b+3c的最大值的最大值”. .【解析【解析】(a+2b+3c)(a+2b+3c)2 2(1(12 2+1+12 2+1+12 2)(a)(a2 2+4b+4b2 2+9c+9c2 2)=3)=327=81,27=81,當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c,a=2b=3c,即即 ( (負(fù)值舍去負(fù)值舍去) )時取等號，所以時取等號，所以a+2b+3c9.a+2b+3c9.3a3,b,c12【拓展提升【拓展提升】應(yīng)用柯西不等式需要掌握的方法與技巧應(yīng)用柯西不等式需要掌握的方法與技巧(1)(1)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以巧拆常數(shù)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以巧拆常數(shù). .(2)(2)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以重新安排各項的次構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以重新安排各項的次序序. .(3)(3)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件, ,可以改變式子的結(jié)構(gòu)可以改變式子的結(jié)構(gòu), ,從而達(dá)到使用柯西不等式的目的從而達(dá)到使用柯西不等式的目的. .(4)(4)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以添項構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以添項. . 【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】設(shè)設(shè)P P是是ABCABC內(nèi)的一點(diǎn)，內(nèi)的一點(diǎn)，x,y,zx,y,z是是P P到三邊的距到三邊的距離，離，R R是是ABCABC外接圓的半徑，外接圓的半徑，證明：證明：【證明【證明】由柯西不等式得，由柯西不等式得，記記S S為為ABCABC的面積，則的面積，則 故不等式成立故不等式成立. . 2221xyzabc .2R111111xyzaxbyczaxbycz.abcabcabcabcaxbycz2S2.4R2Rabcabbcca1xyzabbcca2Rabc2R2221abc ,2R類型類型 二二 柯西不等式的一般形式的應(yīng)用柯西不等式的一般形式的應(yīng)用 【典型例題【典型例題】1.(20131.(2013重慶高二檢測重慶高二檢測) )已知已知 則則a a1 1x x1 1a a2 2x x2 2a an nx xn n的最大值為的最大值為_._.2.2.已知已知a a1 1,a,a2 2,a,an n都是正實(shí)數(shù)，且都是正實(shí)數(shù)，且a a1 1+a+a2 2+a+an n=1,=1,求證：求證：22212naaa1 ，22212nxxx1 ，222212n 1n1223n 1nn1aaaa1.aaaaaaaa2【解題探究【解題探究】1.1.題題1 1中已知的兩個條件與中已知的兩個條件與a a1 1x x1 1a a2 2x x2 2a an nx xn n有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？2.2.題題2 2中應(yīng)該如何入手證明不等式成立？中應(yīng)該如何入手證明不等式成立？探究提示：探究提示：1.1.題題1 1中已知的兩個條件和中已知的兩個條件和a a1 1x x1 1a a2 2x x2 2a an nx xn n恰好是柯西不恰好是柯西不等式的一般形式中不等號的兩端等式的一般形式中不等號的兩端. .2.2.分析待證的不等式兩端，可見左端的形式是一個無限的形分析待證的不等式兩端，可見左端的形式是一個無限的形式，而右端是常數(shù)，所以需要從左端的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行入手，式，而右端是常數(shù)，所以需要從左端的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行入手，分析其形式對比柯西不等式的一般形式，進(jìn)行合理變形，結(jié)分析其形式對比柯西不等式的一般形式，進(jìn)行合理變形，結(jié)合已知條件中合已知條件中a a1 1+a+a2 2+ +a+an n=1=1利用柯西不等式轉(zhuǎn)化證明利用柯西不等式轉(zhuǎn)化證明. .【解析【解析】1.1.根據(jù)柯西不等式的一般形式可知：根據(jù)柯西不等式的一般形式可知：所以所以(a(a1 1x x1 1a a2 2x x2 2a an nx xn n) )2 21.1.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a ai i=kb=kbi i時取時取“=”.=”.即即a a1 1x x1 1a a2 2x x2 2a an nx xn n1.1.答案：答案：1 122222212n12naaa(xxx ) 21122nna xa xa x ，2.2.左邊左邊222212n 1n1223n 1nn1aaaaaaaaaaaa 1223n 1nn1 aaaaaaaa 222212n 1n1223n 1nn1aaaa1()()()() 2aaaaaaaa22221223n 1nn1( aa )( aa )( aa )( aa ) 222212n 1n1223n 1nn1aaaa1()()()() 2aaaaaaaa 右邊右邊, ,所以原不等式成立所以原不等式成立. .1212231223aa( aaaaaaaa2n 1nn 1nn1n 1nn1aa1aaaa)2aaaa212n11(aaa )22【拓展提升【拓展提升】應(yīng)用柯西不等式的注意事項應(yīng)用柯西不等式的注意事項(1)(1)對于利用柯西不等式證明不等式或求值等問題時對于利用柯西不等式證明不等式或求值等問題時, ,一般不一般不能直接應(yīng)用柯西不等式，需要對數(shù)學(xué)式子的形式進(jìn)行變化能直接應(yīng)用柯西不等式，需要對數(shù)學(xué)式子的形式進(jìn)行變化, ,拼拼湊出與一般形式的柯西不等式相似的結(jié)構(gòu)湊出與一般形式的柯西不等式相似的結(jié)構(gòu), ,才能應(yīng)用才能應(yīng)用. .(2)(2)熟練掌握柯西不等式的一般形式，并能敏感地發(fā)現(xiàn)待求或熟練掌握柯西不等式的一般形式，并能敏感地發(fā)現(xiàn)待求或待證式子與柯西不等式的關(guān)系，把數(shù)或字母的順序?qū)Ρ瓤挛鞔C式子與柯西不等式的關(guān)系，把數(shù)或字母的順序?qū)Ρ瓤挛鞑坏仁街械臄?shù)或字母的順序不等式中的數(shù)或字母的順序, ,以便能使其形式一致起來以便能使其形式一致起來, ,然后然后應(yīng)用解題應(yīng)用解題. . 【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】設(shè)設(shè)a a1 1aa2 2aan naan+1n+1, ,求證：求證：【解題指南【解題指南】這道題初看似乎無法使用柯西不等式，但改變這道題初看似乎無法使用柯西不等式，但改變其結(jié)構(gòu)，我們不妨改為證：其結(jié)構(gòu)，我們不妨改為證：1223nn 1n 1111110.aaaaaaaa1n 11223nn 1111(aa) 1.aaaaaa【證明【證明】為了運(yùn)用柯西不等式，我們將為了運(yùn)用柯西不等式，我們將a a1 1a an+1n+1寫成寫成a a1 1a an+1n+1=(a=(a1 1a a2 2)+(a)+(a2 2a a3 3)+)+(a+(an na an+1n+1),),于是于是(a(a1 1a a2 2)+(a)+(a2 2a a3 3)+)+(a+(an na an+1n+1)即即所以所以故故21223nn 1111()n1.aaaaaa1n 11223nn 1111aa()1,aaaaaa1223nn 11n 11111,aaaaaaaa1223nn 1n 1111110.aaaaaaaa【規(guī)范解答【規(guī)范解答】利用柯西不等式解方程利用柯西不等式解方程【典例【典例】 【條件分析【條件分析】【規(guī)范解答【規(guī)范解答】由柯西不等式，由柯西不等式，得得 . .2 2分分因?yàn)橐驗(yàn)?x(x2 2+y+y2 2+z+z2 2)()(8)8)2 2+6+62 2+(+(24)24)2 2 =39=392 2, ,6 6分分2222222(xyz )( 8)6( 24) 8x6y 24z9(64364 144)4 又因?yàn)橛忠驗(yàn)? (8x+6y8x+6y24z)24z)2 2=39=392 2，所以所以(x(x2 2+y+y2 2+z+z2 2)()(8)8)2 2+6+62 2+(+(24)24)2 2 =(=(8x+6y8x+6y24z)24z)2 2，8 8分分即不等式即不等式中只有等號成立中只有等號成立. .從而由柯西不等式中等號成立的條件，得從而由柯西不等式中等號成立的條件，得 , ,1010分分它與它與8x+6y8x+6y24z=3924z=39聯(lián)立，聯(lián)立，可得可得 1212分分xyz86246918x, y,z.132613【失分警示【失分警示】【防范措施【防范措施】1.1.對于結(jié)構(gòu)的把握對于結(jié)構(gòu)的把握柯西不等式應(yīng)用的前提是對其靈活地把握，特別是其形式需柯西不等式應(yīng)用的前提是對其靈活地把握，特別是其形式需要熟記，并且要善于同已知條件相結(jié)合，構(gòu)造使用柯西不等要熟記，并且要善于同已知條件相結(jié)合，構(gòu)造使用柯西不等式式. .如本例需要將方程組中的數(shù)據(jù)與柯西不等式建立關(guān)系求解如本例需要將方程組中的數(shù)據(jù)與柯西不等式建立關(guān)系求解. .2.2.對于等號成立的條件對于等號成立的條件對于等號成立的條件主要會出現(xiàn)兩個方面的問題：對于等號成立的條件主要會出現(xiàn)兩個方面的問題：(1)(1)容易忽容易忽略等號成立的條件的思考，導(dǎo)致求解不夠全面而失分略等號成立的條件的思考，導(dǎo)致求解不夠全面而失分.(2).(2)不不能正確地得到等號成立的條件，如本例中的等號成立的條件能正確地得到等號成立的條件，如本例中的等號成立的條件就比較抽象，借助向量反而好理解，即向量共線時等號成立就比較抽象，借助向量反而好理解，即向量共線時等號成立. . 【類題試解【類題試解】解方程組解方程組【解析【解析】原方程組可化為原方程組可化為運(yùn)用柯西不等式得運(yùn)用柯西不等式得兩式相乘，得兩式相乘，得當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=w=3x=y=z=w=3時取等號時取等號. .故原方程組的解為故原方程組的解為x=y=z=w=3.x=y=z=w=3.42222222xyz9xw6xx (yzw )w (yz )486. ，22222xyz9,xw6,(xyz )(xw )486, 222222296(xyz )27, xw18,3222222(xyz ) (xw )486,1 1已知已知a a2 2b b2 2c c2 21 1，x x2 2y y2 2z z2 21 1，t taxaxbybyczcz，則，則t t的取值范圍為的取值范圍為 ( )( )A A(0,1) B(0,1) B( (1,1) C1,1) C(-1(-1，0) D0) D1,11,1【解析【解析】選選D.D.設(shè)設(shè)因?yàn)橐驗(yàn)橛捎?得得|t|1.|t|1.所以所以t t的取值范圍是的取值范圍是1,11,1222222abc1xyz1， ，(abc)=(xyz).， ， ， ，| | 2 2已知已知x x2 23y3y2 24z4z2 22 2，則，則|x|x3y3y4z|4z|的最大值為的最大值為 ( )( )A.2 B.4 C.6 D.8A.2 B.4 C.6 D.8【解析【解析】選選B.B.由柯西不等式知由柯西不等式知(x(x2 23y3y2 24z4z2 2)(1)(13 34)(x4)(x3y3y4z)4z)2 2. .又因?yàn)橛忠驗(yàn)閤 x2 23y3y2 24z4z2 22 2，所以，所以2 28(x8(x3y3y4z)4z)2 2，所以所以|x|x3y3y4z|4.4z|4.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 即即 時取等號時取等號. .3y2zx,231xyz23.3.若若a,b,cRa,b,cR+ +，且，且a+b+ca+b+c=1,=1,則則 的最大的最大值為值為 ( )( )A.3 B. C.18 D.9A.3 B. C.18 D.9【解析【解析】選選B.B.由柯西不等式得由柯西不等式得=3=33(a+b+c)+33(a+b+c)+3=3=36=18.6=18.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 即即 時取等號時取等號. .3a13b13c1 3 22( 3a13b13c1) 2(13a1 13b1 13c1) 222222(111 ) ( 3a1)( 3b1)( 3c1)3a13b13c1,1abc34.4.設(shè)設(shè)x x，y y，z Rz R，2x + 2y + z + 8 = 02x + 2y + z + 8 = 0，則，則(x - 1)(x - 1)2 2 + + (y + 2) (y + 2)2 2 + (z - 3) + (z - 3)2 2的最小值為的最小值為_._.【解析【解析】2x + 2y + z + 8 = 02x + 2y + z + 8 = 02(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3) = - 92(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3) = - 9，考慮以下兩組向量考慮以下兩組向量u= (2,2,1) = (2,2,1) ，v=(x-1,y+2,z-3) =(x-1,y+2,z-3) ，根據(jù)柯西不等式可得：根據(jù)柯西不等式可得：2222()| |2(x 1) 2(y 2) (z 3) u vuv222222 x 1 (y 2) (z 3) (2 2 1 ),()當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 即即x=-1,y=-4,z=2x=-1,y=-4,z=2時取等號時取等號. .可得：可得：答案：答案：9 9x1y2z3,2212222( 9)(x 1) (y 2) (z 3) 9.95.5.若若x,y,zRx,y,zR+ +, ,且且x+y+zx+y+z=1=1，則，則 的最小值是的最小值是_._.【解析【解析】當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 即即 時等號成立時等號成立. .答案：答案：3636149xyz149149(xyz)()xyzxyz2123( xyz)36,xyz22211xyz ,49111x,y,z6326.6.求求 的最大值與最小值的最大值與最小值. .【解析【解析】令向量令向量由柯西不等式由柯西不等式 | |ab| | |a|b| |得：得：所求最大值為所求最大值為 最小值為最小值為2sin 3cos sin cos cos (2sin 3cos cos )(1sin cos ) ，ab| 2sin 3cos sin cos cos | 222224sin3coscos1 sincos22224(sincos)(1 sincos)2 2 ，2 2，2 2.