《高中數(shù)學(xué) 第三講 一般形式的柯西不等式課件 新人教A版選修45》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三講 一般形式的柯西不等式課件 新人教A版選修45（39頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、二 一般形式的柯西不等式名稱名稱 形式形式 等號(hào)成立條件等號(hào)成立條件 三維形式三維形式柯西不等柯西不等式式 設(shè)設(shè)a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,b,b1 1,b,b2 2,b,b3 3R R則則_當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)b b1 1=b=b2 2=b=b3 3=0=0或或存 在 一 個(gè) 實(shí) 數(shù)存 在 一 個(gè) 實(shí) 數(shù) k k 使 得使 得_222222123123(aaa ) (bbb )(a(a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3) )2 2a ai i=kb=kbi i(i(i=1,2,3)=1,2,3)名稱名稱 形式形式 等號(hào)成立條件等號(hào)成立條件 一般形

2、式一般形式柯西不等柯西不等式式 設(shè)設(shè) 是是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)，則 _當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)b bi i=0(i=1,2,=0(i=1,2,，n)n)或存在一個(gè)實(shí)或存在一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)k,k,使得使得_123na ,a ,a,a ,，123nb ,b ,b,b，n22212aaa22212nbbba ai i=kb=kbi i(i(i=1,2,n)=1,2,n)(a(a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2 +a+an nb bn n) )2 21.1.三維形式的柯西不等式中等號(hào)成立的條件寫成三維形式的柯西不等式中等號(hào)成立的條件寫成 可以嗎？可以嗎？提示：提示：不可以不可以. .因?yàn)槿舫霈F(xiàn)因?yàn)槿舫霈F(xiàn)b bi

3、 i=0(i=1,2,3)=0(i=1,2,3)的情況，則分式不的情況，則分式不成立了，但是，可以利用分式的形式來形象地記憶成立了，但是，可以利用分式的形式來形象地記憶. .312123aaabbb2 2已知已知a a，b b，c c大于大于0 0，且，且a ab bc c1 1，則，則a a2 2b b2 2c c2 2的最小的最小值為值為_._.【解析【解析】根據(jù)柯西不等式，有根據(jù)柯西不等式，有(a(a2 2b b2 2c c2 2)(1)(12 21 12 21 12 2)(a)(ab bc)c)2 21 1，所以，所以答案：答案：2221abc.3133.3.設(shè)設(shè)x,y,zRx,y,z

4、R, ,且滿足且滿足x x2 2+y+y2 2+z+z2 2=5,=5,則則x+2y+3zx+2y+3z的最大值是的最大值是_._.【解析【解析】(x+2y+3z)(x+2y+3z)2 2(x(x2 2+y+y2 2+z+z2 2) )(1(12 2+2+22 2+3+32 2)=5)=514=70,14=70,所所以以答案：答案：max(x2y3z)70.+=701.1.對(duì)柯西不等式一般形式的理解對(duì)柯西不等式一般形式的理解一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣，其特點(diǎn)可類比二維形式的柯西不柯西不等式的歸納

5、與推廣，其特點(diǎn)可類比二維形式的柯西不等式來總結(jié)，左邊是平方和的積等式來總結(jié)，左邊是平方和的積, ,右邊是積的和的平方右邊是積的和的平方. .在使在使用時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式用時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式2.2.柯西不等式的兩個(gè)變式柯西不等式的兩個(gè)變式(1)(1)設(shè)設(shè)a ai iR,bR,bi i0(i=1,2,0(i=1,2,n),n),當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)b bi i=a=ai i時(shí)時(shí)(1in)(1in)等號(hào)成立等號(hào)成立. .(2)(2)設(shè)設(shè)a ai i,b,bi i同號(hào)且不為同號(hào)且不為0(i=1,2,0(i=1,2,n),n),則則當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)b bi i=a

6、=ai i時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立. . n22in1i 1ni 1iii 1(a )a,bbn2inii 1ni 1iiii 1(a )a,ba b類型類型 一一 三維柯西不等式的應(yīng)用三維柯西不等式的應(yīng)用 【典型例題【典型例題】1.(20131.(2013湖南高考湖南高考) )已知已知a,b,cR,a+2b+3c=6,a,b,cR,a+2b+3c=6,則則a a2 2+4b+4b2 2+9c+9c2 2的最小值為的最小值為_._.2.2.ABCABC的三邊長為的三邊長為a,b,ca,b,c，其外接圓半徑為，其外接圓半徑為R R，求證：求證：2222222111(abc )()36R .sin

7、 Asin Bsin C【解題探究【解題探究】1.1.題題1 1中的條件中的條件a+2b+3ca+2b+3c與待求與待求a a2 2+4b+4b2 2+9c+9c2 2有何關(guān)系？有何關(guān)系？2.2.題題2 2中，待證的式子的左邊中，待證的式子的左邊 應(yīng)該如何轉(zhuǎn)化才能利用柯西不等式證明？應(yīng)該如何轉(zhuǎn)化才能利用柯西不等式證明？探究提示：探究提示：1.1.題題1 1中條件中條件a+2b+3ca+2b+3c與與a a2 2+4b+4b2 2+9c+9c2 2的關(guān)系是前者各項(xiàng)平方和為的關(guān)系是前者各項(xiàng)平方和為后者，根據(jù)三維形式的柯西不等式的特點(diǎn)可以構(gòu)造三維形式后者，根據(jù)三維形式的柯西不等式的特點(diǎn)可以構(gòu)造三維形

8、式的柯西不等式進(jìn)行求解的柯西不等式進(jìn)行求解. . 222222111(abc )()sin Asin Bsin C2.2.分析待證式子的左右兩端可以發(fā)現(xiàn)右端不含有正弦，而含分析待證式子的左右兩端可以發(fā)現(xiàn)右端不含有正弦，而含有外接圓的半徑，所以需要借助正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利有外接圓的半徑，所以需要借助正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用柯西不等式證明用柯西不等式證明. .【解析【解析】1.1.因?yàn)橐驗(yàn)?1(12 2+1+12 2+1+12 2)(a)(a2 2+4b+4b2 2+9c+9c2 2)(a+2b+3c)(a+2b+3c)2 2=36=36，當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng)a=1,2b=1,3c=1a=1,

9、2b=1,3c=1即即 時(shí)取時(shí)取“=”=”，所以，所以a a2 2+4b+4b2 2+9c+9c2 212.12.答案：答案：121211a1,b,c232.2.由三角形中的正弦定理得：由三角形中的正弦定理得： 所以所以同理同理于是左邊于是左邊asin A2R，22214Rsin Aa，22222214R14R.sin Bbsin Cc，2222222224R4R4R(abc )()abc222R2R2R(abc)36R .abc【互動(dòng)探究【互動(dòng)探究】題題1 1中，把題目改為中，把題目改為“a,b,cR,aa,b,cR,a2 2+4b+4b2 2+9c+9c2 2=27,=27,求求a+2b+

10、3ca+2b+3c的最大值的最大值”. .【解析【解析】(a+2b+3c)(a+2b+3c)2 2(1(12 2+1+12 2+1+12 2)(a)(a2 2+4b+4b2 2+9c+9c2 2)=3)=327=81,27=81,當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c,a=2b=3c,即即 ( (負(fù)值舍去負(fù)值舍去) )時(shí)取等號(hào)，所以時(shí)取等號(hào)，所以a+2b+3c9.a+2b+3c9.3a3,b,c12【拓展提升【拓展提升】應(yīng)用柯西不等式需要掌握的方法與技巧應(yīng)用柯西不等式需要掌握的方法與技巧(1)(1)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以巧拆常數(shù)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以巧拆常數(shù). .(2)(2)構(gòu)

11、造符合柯西不等式的形式及條件可以重新安排各項(xiàng)的次構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以重新安排各項(xiàng)的次序序. .(3)(3)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件, ,可以改變式子的結(jié)構(gòu)可以改變式子的結(jié)構(gòu), ,從而達(dá)到使用柯西不等式的目的從而達(dá)到使用柯西不等式的目的. .(4)(4)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以添項(xiàng)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以添項(xiàng). . 【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】設(shè)設(shè)P P是是ABCABC內(nèi)的一點(diǎn)，內(nèi)的一點(diǎn)，x,y,zx,y,z是是P P到三邊的距到三邊的距離，離，R R是是ABCABC外接圓的半徑，外接圓的半徑，證明：證明：【證明【證明】由柯西不

12、等式得，由柯西不等式得，記記S S為為ABCABC的面積，則的面積，則 故不等式成立故不等式成立. . 2221xyzabc .2R111111xyzaxbyczaxbycz.abcabcabcabcaxbycz2S2.4R2Rabcabbcca1xyzabbcca2Rabc2R2221abc ,2R類型類型 二二 柯西不等式的一般形式的應(yīng)用柯西不等式的一般形式的應(yīng)用 【典型例題【典型例題】1.(20131.(2013重慶高二檢測(cè)重慶高二檢測(cè)) )已知已知 則則a a1 1x x1 1a a2 2x x2 2a an nx xn n的最大值為的最大值為_._.2.2.已知已知a a1 1,a,

13、a2 2,a,an n都是正實(shí)數(shù)，且都是正實(shí)數(shù)，且a a1 1+a+a2 2+a+an n=1,=1,求證：求證：22212naaa1 ，22212nxxx1 ，222212n 1n1223n 1nn1aaaa1.aaaaaaaa2【解題探究【解題探究】1.1.題題1 1中已知的兩個(gè)條件與中已知的兩個(gè)條件與a a1 1x x1 1a a2 2x x2 2a an nx xn n有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？2.2.題題2 2中應(yīng)該如何入手證明不等式成立？中應(yīng)該如何入手證明不等式成立？探究提示：探究提示：1.1.題題1 1中已知的兩個(gè)條件和中已知的兩個(gè)條件和a a1 1x x1 1a a2 2x x2

14、 2a an nx xn n恰好是柯西不恰好是柯西不等式的一般形式中不等號(hào)的兩端等式的一般形式中不等號(hào)的兩端. .2.2.分析待證的不等式兩端，可見左端的形式是一個(gè)無限的形分析待證的不等式兩端，可見左端的形式是一個(gè)無限的形式，而右端是常數(shù)，所以需要從左端的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行入手，式，而右端是常數(shù)，所以需要從左端的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行入手，分析其形式對(duì)比柯西不等式的一般形式，進(jìn)行合理變形，結(jié)分析其形式對(duì)比柯西不等式的一般形式，進(jìn)行合理變形，結(jié)合已知條件中合已知條件中a a1 1+a+a2 2+ +a+an n=1=1利用柯西不等式轉(zhuǎn)化證明利用柯西不等式轉(zhuǎn)化證明. .【解析【解析】1.1.根據(jù)柯西不等式的一般形

15、式可知：根據(jù)柯西不等式的一般形式可知：所以所以(a(a1 1x x1 1a a2 2x x2 2a an nx xn n) )2 21.1.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a ai i=kb=kbi i時(shí)取時(shí)取“=”.=”.即即a a1 1x x1 1a a2 2x x2 2a an nx xn n1.1.答案：答案：1 122222212n12naaa(xxx ) 21122nna xa xa x ，2.2.左邊左邊222212n 1n1223n 1nn1aaaaaaaaaaaa 1223n 1nn1 aaaaaaaa 222212n 1n1223n 1nn1aaaa1()()()() 2aaaaaaaa2

16、2221223n 1nn1( aa )( aa )( aa )( aa ) 222212n 1n1223n 1nn1aaaa1()()()() 2aaaaaaaa 右邊右邊, ,所以原不等式成立所以原不等式成立. .1212231223aa( aaaaaaaa2n 1nn 1nn1n 1nn1aa1aaaa)2aaaa212n11(aaa )22【拓展提升【拓展提升】應(yīng)用柯西不等式的注意事項(xiàng)應(yīng)用柯西不等式的注意事項(xiàng)(1)(1)對(duì)于利用柯西不等式證明不等式或求值等問題時(shí)對(duì)于利用柯西不等式證明不等式或求值等問題時(shí), ,一般不一般不能直接應(yīng)用柯西不等式，需要對(duì)數(shù)學(xué)式子的形式進(jìn)行變化能直接應(yīng)用柯西不等

17、式，需要對(duì)數(shù)學(xué)式子的形式進(jìn)行變化, ,拼拼湊出與一般形式的柯西不等式相似的結(jié)構(gòu)湊出與一般形式的柯西不等式相似的結(jié)構(gòu), ,才能應(yīng)用才能應(yīng)用. .(2)(2)熟練掌握柯西不等式的一般形式，并能敏感地發(fā)現(xiàn)待求或熟練掌握柯西不等式的一般形式，并能敏感地發(fā)現(xiàn)待求或待證式子與柯西不等式的關(guān)系，把數(shù)或字母的順序?qū)Ρ瓤挛鞔C式子與柯西不等式的關(guān)系，把數(shù)或字母的順序?qū)Ρ瓤挛鞑坏仁街械臄?shù)或字母的順序不等式中的數(shù)或字母的順序, ,以便能使其形式一致起來以便能使其形式一致起來, ,然后然后應(yīng)用解題應(yīng)用解題. . 【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】設(shè)設(shè)a a1 1aa2 2aan naan+1n+1, ,求證：求證：【解題指南【解

18、題指南】這道題初看似乎無法使用柯西不等式，但改變這道題初看似乎無法使用柯西不等式，但改變其結(jié)構(gòu)，我們不妨改為證：其結(jié)構(gòu)，我們不妨改為證：1223nn 1n 1111110.aaaaaaaa1n 11223nn 1111(aa) 1.aaaaaa【證明【證明】為了運(yùn)用柯西不等式，我們將為了運(yùn)用柯西不等式，我們將a a1 1a an+1n+1寫成寫成a a1 1a an+1n+1=(a=(a1 1a a2 2)+(a)+(a2 2a a3 3)+)+(a+(an na an+1n+1),),于是于是(a(a1 1a a2 2)+(a)+(a2 2a a3 3)+)+(a+(an na an+1n+

19、1)即即所以所以故故21223nn 1111()n1.aaaaaa1n 11223nn 1111aa()1,aaaaaa1223nn 11n 11111,aaaaaaaa1223nn 1n 1111110.aaaaaaaa【規(guī)范解答【規(guī)范解答】利用柯西不等式解方程利用柯西不等式解方程【典例【典例】 【條件分析【條件分析】【規(guī)范解答【規(guī)范解答】由柯西不等式，由柯西不等式，得得 . .2 2分分因?yàn)橐驗(yàn)?x(x2 2+y+y2 2+z+z2 2)()(8)8)2 2+6+62 2+(+(24)24)2 2 =39=392 2, ,6 6分分2222222(xyz )( 8)6( 24) 8x6y

20、24z9(64364 144)4 又因?yàn)橛忠驗(yàn)? (8x+6y8x+6y24z)24z)2 2=39=392 2，所以所以(x(x2 2+y+y2 2+z+z2 2)()(8)8)2 2+6+62 2+(+(24)24)2 2 =(=(8x+6y8x+6y24z)24z)2 2，8 8分分即不等式即不等式中只有等號(hào)成立中只有等號(hào)成立. .從而由柯西不等式中等號(hào)成立的條件，得從而由柯西不等式中等號(hào)成立的條件，得 , ,1010分分它與它與8x+6y8x+6y24z=3924z=39聯(lián)立，聯(lián)立，可得可得 1212分分xyz86246918x, y,z.132613【失分警示【失分警示】【防范措施【

21、防范措施】1.1.對(duì)于結(jié)構(gòu)的把握對(duì)于結(jié)構(gòu)的把握柯西不等式應(yīng)用的前提是對(duì)其靈活地把握，特別是其形式需柯西不等式應(yīng)用的前提是對(duì)其靈活地把握，特別是其形式需要熟記，并且要善于同已知條件相結(jié)合，構(gòu)造使用柯西不等要熟記，并且要善于同已知條件相結(jié)合，構(gòu)造使用柯西不等式式. .如本例需要將方程組中的數(shù)據(jù)與柯西不等式建立關(guān)系求解如本例需要將方程組中的數(shù)據(jù)與柯西不等式建立關(guān)系求解. .2.2.對(duì)于等號(hào)成立的條件對(duì)于等號(hào)成立的條件對(duì)于等號(hào)成立的條件主要會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)方面的問題：對(duì)于等號(hào)成立的條件主要會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)方面的問題：(1)(1)容易忽容易忽略等號(hào)成立的條件的思考，導(dǎo)致求解不夠全面而失分略等號(hào)成立的條件的思考，導(dǎo)致

22、求解不夠全面而失分.(2).(2)不不能正確地得到等號(hào)成立的條件，如本例中的等號(hào)成立的條件能正確地得到等號(hào)成立的條件，如本例中的等號(hào)成立的條件就比較抽象，借助向量反而好理解，即向量共線時(shí)等號(hào)成立就比較抽象，借助向量反而好理解，即向量共線時(shí)等號(hào)成立. . 【類題試解【類題試解】解方程組解方程組【解析【解析】原方程組可化為原方程組可化為運(yùn)用柯西不等式得運(yùn)用柯西不等式得兩式相乘，得兩式相乘，得當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=w=3x=y=z=w=3時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào). .故原方程組的解為故原方程組的解為x=y=z=w=3.x=y=z=w=3.42222222xyz9xw6xx (yzw )w (yz )4

23、86. ，22222xyz9,xw6,(xyz )(xw )486, 222222296(xyz )27, xw18,3222222(xyz ) (xw )486,1 1已知已知a a2 2b b2 2c c2 21 1，x x2 2y y2 2z z2 21 1，t taxaxbybyczcz，則，則t t的取值范圍為的取值范圍為 ( )( )A A(0,1) B(0,1) B( (1,1) C1,1) C(-1(-1，0) D0) D1,11,1【解析【解析】選選D.D.設(shè)設(shè)因?yàn)橐驗(yàn)橛捎?得得|t|1.|t|1.所以所以t t的取值范圍是的取值范圍是1,11,1222222abc1xyz1

24、， ，(abc)=(xyz).， ， ， ，| | 2 2已知已知x x2 23y3y2 24z4z2 22 2，則，則|x|x3y3y4z|4z|的最大值為的最大值為 ( )( )A.2 B.4 C.6 D.8A.2 B.4 C.6 D.8【解析【解析】選選B.B.由柯西不等式知由柯西不等式知(x(x2 23y3y2 24z4z2 2)(1)(13 34)(x4)(x3y3y4z)4z)2 2. .又因?yàn)橛忠驗(yàn)閤 x2 23y3y2 24z4z2 22 2，所以，所以2 28(x8(x3y3y4z)4z)2 2，所以所以|x|x3y3y4z|4.4z|4.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 即即 時(shí)取等號(hào)時(shí)取

25、等號(hào). .3y2zx,231xyz23.3.若若a,b,cRa,b,cR+ +，且，且a+b+ca+b+c=1,=1,則則 的最大的最大值為值為 ( )( )A.3 B. C.18 D.9A.3 B. C.18 D.9【解析【解析】選選B.B.由柯西不等式得由柯西不等式得=3=33(a+b+c)+33(a+b+c)+3=3=36=18.6=18.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 即即 時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào). .3a13b13c1 3 22( 3a13b13c1) 2(13a1 13b1 13c1) 222222(111 ) ( 3a1)( 3b1)( 3c1)3a13b13c1,1abc34.4.設(shè)設(shè)x x，y

26、y，z Rz R，2x + 2y + z + 8 = 02x + 2y + z + 8 = 0，則，則(x - 1)(x - 1)2 2 + + (y + 2) (y + 2)2 2 + (z - 3) + (z - 3)2 2的最小值為的最小值為_._.【解析【解析】2x + 2y + z + 8 = 02x + 2y + z + 8 = 02(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3) = - 92(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3) = - 9，考慮以下兩組向量考慮以下兩組向量u= (2,2,1) = (2,2,1) ，v=(x-1,y+2,z-3) =(

27、x-1,y+2,z-3) ，根據(jù)柯西不等式可得：根據(jù)柯西不等式可得：2222()| |2(x 1) 2(y 2) (z 3) u vuv222222 x 1 (y 2) (z 3) (2 2 1 ),()當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 即即x=-1,y=-4,z=2x=-1,y=-4,z=2時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào). .可得：可得：答案：答案：9 9x1y2z3,2212222( 9)(x 1) (y 2) (z 3) 9.95.5.若若x,y,zRx,y,zR+ +, ,且且x+y+zx+y+z=1=1，則，則 的最小值是的最小值是_._.【解析【解析】當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 即即 時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立. .答案：答案

28、：3636149xyz149149(xyz)()xyzxyz2123( xyz)36,xyz22211xyz ,49111x,y,z6326.6.求求 的最大值與最小值的最大值與最小值. .【解析【解析】令向量令向量由柯西不等式由柯西不等式 | |ab| | |a|b| |得：得：所求最大值為所求最大值為 最小值為最小值為2sin 3cos sin cos cos (2sin 3cos cos )(1sin cos ) ，ab| 2sin 3cos sin cos cos | 222224sin3coscos1 sincos22224(sincos)(1 sincos)2 2 ，2 2，2 2.