中考數(shù)學 第七單元 三角形 第24課時 直角三角形和勾股定理復習課件.ppt
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第24課時直角三角形和勾股定理 1 2015 淮安 下列四組線段中 能組成直角三角形的是 A a 1 b 2 c 3B a 2 b 3 c 4C a 2 b 4 c 5D a 3 b 4 c 52 在Rt ABC中 C 90 B 30 斜邊AB的長為2cm 則AC長為 小題熱身 D C 3 2014 昆明 如圖24 1 在Rt ABC中 ACB 90 AB 10cm 點D為AB的中點 則CD cm 5 圖24 1 4 2015 永康模擬 如圖24 2為一圓柱體工藝品 其底面周長為60cm 高為25cm 從點A出發(fā)繞該工藝品側面一周鑲嵌一根裝飾線到點B 則該裝飾線最短長為 cm 圖24 2 65 一 必知3知識點1 直角三角形定義 有一個角是直角的三角形是直角三角形 直角三角形性質 1 直角三角形的兩個銳角 2 直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的 3 在直角三角形中 30 的角所對的邊等于斜邊的 直角三角形判定 有兩個角互余的三角形是 三角形 考點管理 互余 一半 一半 直角 2 勾股定理勾股定理 如果直角三角形的兩直角邊分別為a b 斜邊為c 那么a2 b2 c2 智慧錦囊 勾股定理的作用 1 已知直角三角形的兩條邊 求第三邊 2 已知直角三角形的一邊 確定另外兩邊的關系 3 證明帶有平方關系的問題 4 把實際問題轉化為直角三角形中應用勾股定理的問題 3 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長分別為a b c 滿足a2 b2 c2 那么這個三角形是 三角形 勾股數(shù) 能構成直角三角形的三條邊長的三個正整數(shù) 稱為勾股數(shù) 直角 智慧錦囊 勾股定理逆定理的應用 1 判斷三角形的形狀 2 證明兩條線段垂直 3 實際應用 二 必會2方法1 面積法用面積法證明是常用的技巧之一 勾股定理的證明通常用面積法 即利用某個圖形的多種面積求法或面積之間的和差關系列出等式 從而得到證明的結論 2 數(shù)形結合思想在一些實際問題中 如解決立體圖形側面兩點的距離問題 折疊問題 航海問題 梯子下滑問題等 常直接或間接運用勾股定理及其逆定理 在解決這些問題時 充分體現(xiàn)了數(shù)形結合思想 是中考的熱點考題 三 必明3易錯點1 在利用勾股定理時 確定所給的邊是直角邊還是斜邊 如果題中未說明 需要分類討論 2 在已知三角形三邊的前提下 判斷這個三角形是否為直角三角形 首先要確定三條邊中的最大邊 再根據勾股定理的逆定理來判定 解題時 往往受思維定式的影響 誤認為如果是直角三角形 則c是斜邊 從而造成誤解 3 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 這個性質定理常用于證明一條線段是另一條線段的一半的數(shù)量關系 注意直角三角形這一前提條件 類型之一直角三角形的性質的運用 2015 黃岡 如圖24 3 在 ABC中 C 90 B 30 邊AB的垂直平分線DE交AB于點E 交BC于點D CD 3 則BC的長為 圖24 3 C 解析 線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等 AD BD 可得 DAE 30 易得 ADC 60 CAD 30 則AD為 BAC的角平分線 由角平分線的性質得DE CD 3 再根據直角三角形30 角所對的直角邊等于斜邊的一半可得BD 2DE 6 所以BC 9 2015 湖北 如圖24 4 在 ABC中 B 30 BC的垂直平分線交AB于點E 垂足為D CE平分 ACB 若BE 2 則AE的長為 解析 在 ABC中 B 30 BC的垂直平分線交AB于E BE 2 BE CE 2 B DCE 30 CE平分 ACB 圖24 4 B ACE DCE 30 ACB 2 DCE 60 A 180 B ACB 90 在Rt CAE中 類型之二勾股定理的應用 2015 常州 如圖24 5是根據某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標系 公園的入口位于坐標原點O 古塔位于點A 400 300 從古塔出發(fā)沿射線OA方向前行300m是盆景園B 從盆景園B向左轉90 后直行400m到達梅花閣C 則點C的坐標是 400 800 圖24 5 解析 根據題意結合全等三角形的判定與性質得出 AOD ACB SAS 進而得出C A D也在一條直線上 求出CD的長即可得出C點坐標 如答圖 連結AC 由題意可得AB 300m BC 400m 在 AOD和 ACB中 例2答圖 AOD ACB SAS CAB OAD B O在一條直線上 C A D也在一條直線上 AC AO 500m 則CD AC AD 800m C點坐標為 400 800 2014 東營 如圖24 6 有兩棵樹 一棵高12m 另一棵高6m 兩樹相距8m 一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢 問小鳥至少飛行 m 解析 根據 兩點之間線段最短 可知 小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行 飛行的路程最短 運用勾股定理可將兩點之間的距離求出 如答圖 大樹高為AB 12m 小樹高為CD 6m 過C點作CE AB于E 則四邊形EBDC是矩形 連結AC 10 圖24 6 EB 6m EC 8m AE AB EB 6 m 故小鳥至少飛行10m 變式跟進答圖 類型之三勾股定理與拼圖 2015 株洲 如圖24 7是 趙爽弦圖 ABH BCG CDF和 DAE是四個全等的直角三角形 四邊形ABCD和EFGH都是正方形 如果AB 10 EF 2 那么AH等于 解析 設DE為a 由四個直角三角形全等可得DF DE 2 AE AD2 AE2 DE2 a2 a 2 2 100 a 6 a 8 舍去 AH 6 圖24 7 6 1 如圖24 8是一株美麗的勾股樹 其中所有的四邊形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 若正方形A B C D的面積分別為2 5 1 2 則最大的正方形E的面積是 解析 根據勾股定理的幾何意義 可得A B的面積和為S1 C D的面積和為S2 S1 S2 S3 即S3 2 5 1 2 10 圖24 8 10 2 如圖24 9 四邊形ABCD EFGH NHMC都是正方形 邊長分別為a b c A B N E F五點在同一條直線上 則c 用含有a b的代數(shù)式表示 圖24 9 3 2015 煙臺 如圖24 10 正方形ABCD的邊長為2 其面積標記為S1 以CD為斜邊作等腰直角三角形 以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形 其面積標記為S2 按照此規(guī)律繼續(xù)下去 則S2015的值為 圖24 10 C 解析 根據題意 第一個正方形的邊長為2 點悟 勾股定理既反映了直角三角形三邊關系 同時也反映了以直角三角形三邊為正方形的面積關系 是勾股定理另一種表現(xiàn)形式 類型之四平面展開最短線段問題 2015 資陽 如圖24 11 透明的圓柱形容器 容器厚度忽略不計 的高為12cm 底面周長為10cm 在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒 此時一只螞蟻正好在容器外壁 且離容器上沿3cm的點A處 則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是 A 圖24 11 解析 如答圖 將容器側面展開 建立A關于EF的對稱點A 根據兩點之間線段最短可知A B的長度即最短路徑 如答圖 高為12cm 底面周長為10cm 在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒 此時螞蟻正好在容器外壁 離容器上沿3cm與飯粒相對的點A處 A D 5cm BD 12 3 AE 12cm 將容器側面展開 作A關于EF的對稱點A 連結A B 則A B即為最短距離 例4答圖 1 2015 杭州模擬 如圖24 12是一塊長 寬 高分別是6cm 4cm和3cm的長方體木塊 一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處 沿著長方體的表面到長方體上和A點相對的頂點B處吃食物 那么它需要爬行的最短路徑的長是 圖24 12 C 解析 如答圖 AB就是螞蟻爬的最短路線 但有三種情況 當AD 3 DB 4 6 10 變式跟進1答圖 2 2014 濰坊 我國古代有這樣一道數(shù)學問題 枯木一根直立地上 高二丈 周三尺 有葛藤自根纏繞而上 五周而達其頂 問葛藤之長幾何 題意是 如圖24 13所示 把枯木看作一個圓柱體 因一丈是十尺 則該圓柱的高為20尺 底面周長為3尺 有葛藤自點A處纏繞而上 繞五周后其末端恰好到達點B處 則問題中葛藤的最短長度是 尺 25 圖24 13 解析 如答圖 一條直角邊 即枯木的高 長20尺 另一條直角邊長5 3 15 尺 故答案為25 點悟 在求幾何體表面上兩點之間的最短距離時 可以通過把立體圖形展開成平面圖形 利用勾股定理求出幾何體表面上兩點之間的距離 變式跟進2答圖 類型之五勾股定理中的逆定理如圖24 14 點E是正方形ABCD內的一點 連結AE BE CE 將 ABE繞點B順時針旋轉90 到 CBE 的位置 若AE 1 BE 2 CE 3 則 BE C 解析 首先根據旋轉的性質得出 EBE 90 BE BE 2 AE E C 1 進而根據勾股定理的逆定理求出 EE C是直角三角形 進而得出答案 135 圖24 14 如答圖 連結EE 將 ABE繞點B順時針旋轉90 到 CBE 的位置 AE 1 BE 2 CE 3 EBE 90 BE BE 2 AE E C 1 E E2 E C2 8 1 9 EC2 9 E E2 E C2 EC2 EE C是直角三角形 EE C 90 BE C 135 例5答圖 如圖24 15 已知AB 4 BC 3 AD 12 DC 13 B 90 則四邊形ABCD的面積為 解析 連結AC B 90 AC2 AB2 BC2 16 9 25 AD2 144 DC2 169 AC2 AD2 DC2 CA AD 36 變式跟進答圖 圖24 15 概念理解誤區(qū) c2 a2 b2 0或a b 0 c2 a2 b2或a b 則 ABC為等腰三角形或直角三角形 故答案為等腰三角形或直角三角形 錯因 已知等式左邊為兩個非負數(shù)之和 根據兩非負數(shù)之和為0 兩非負數(shù)同時為0 可得出c2 a2 b2且a b 利用勾股定理的逆定理可得出 C為直角 進而確定出三角形ABC為等腰直角三角形 正解 等腰直角三角形- 配套講稿:
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