《連續(xù)介質(zhì)力學講義》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《連續(xù)介質(zhì)力學講義（64頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1帝緒論 第1章緒論 §1.1連續(xù)介質(zhì)力學及其意義 1. 連續(xù)介質(zhì)力學 研究物質(zhì)的宏觀力學性質(zhì)：連續(xù)介質(zhì)的概念來門數(shù)學的一個連續(xù)實數(shù)系的集。 連續(xù)介質(zhì)包扌乩 固體、液體、氣體，在本課程中的假設為連續(xù)體。 連續(xù)介質(zhì)是本課程的堆本假設 以前：彈性體 m 彈性力學 粘彈性體 in 粘彈性力學 彈型性體 m 彈塑性力學 流體 m 流體力學 流變體 in 流變力學 這吐均是針對某一特殊物質(zhì)，建立一門特殊的力學。 現(xiàn)在：統(tǒng)稱為連續(xù)體，但不是將上述理論簡的地加起來，而是做一般性的理論概括，在 高度概括的尿礎(chǔ)上，形成理論，又指導各門fl體力學理論。 2. 學

2、習本課程的目的和意義 連續(xù)介質(zhì)力學把現(xiàn)實物體抽象成理論模型，把現(xiàn)實物體的運動抽象成理論模熨的運動， 利用數(shù)學和實驗的方法，精確描述在外界作用卜，物怵的運動響應。該課程既是前述力學課 程的高度概括，又具仃很強的理論指導意義。 具體的工程目的有: ① 雙卄線性工程問題。如：金屬成住等。 ② 復雜條件、復雜介質(zhì)的本構(gòu)方程。如土壤等的本構(gòu)方程。 ③ 周體力學的新的學科分支。如：損傷力學（本構(gòu)方程隨損傷程度而變化）、生物力學 等。 ④ 進入理性力學的境地。如理性連續(xù)介質(zhì)力學。 ⑤ 溝通宏觀與微觀力學的橋梁。如斷裂力學中，缺陷前沿的裂紋擴展是原子鍵的破壞, 現(xiàn)在時罐的是宏觀與和微觀結(jié)介的損傷

3、力學。 §1.2連續(xù)介質(zhì)力學中的“基元”——基本名詞和術(shù)語 連續(xù)介質(zhì)力學以現(xiàn)實物體的理論模型作為研究對彖，并力求使它能在本質(zhì)上準確地描寫 客觀物體的運動。為了描寫運動，石耍給出一些基本的名詞和術(shù)語，它們構(gòu)成連續(xù)介質(zhì)力學 的''棊兀”,通過一些定律、理論和公式，把這些名詞和術(shù)常相互連系起來,使構(gòu)成連續(xù)介 質(zhì)力學的理論體系。我們耍力求將這些名詞和術(shù)語說得準確些。 1. 物體 在某一確定的瞬時，物體其有一定的幾何形狀，并佝一定的質(zhì)量。同時物體還可具令 電確、熱容和變形等許多咆耍的性質(zhì)。 物體由質(zhì)點組成，質(zhì)點占據(jù)非常小的確定的空問，貝冇非常小的確定的質(zhì)吊， 物體可以抽彖成各種模型：如質(zhì)點，

4、剛體、彈塑性體、流體、顆粒體等；按幾何性質(zhì)還 可分為質(zhì)點、一維的弦和桿、二維的板殼、三維的塊體等。若干個物體可以形成集合，組成 系統(tǒng)。系統(tǒng)外的物體構(gòu)成這個系統(tǒng)的環(huán)境或外界， 2. 質(zhì)量 質(zhì)屆是物體運動慣性的度昴，對冇限體或理想化的質(zhì)屆，它是一個冇限數(shù)。質(zhì)彊是物體 的壟本屬性，沒仃不JI質(zhì)駅的物體。 在Newton力學領(lǐng)域屮，質(zhì)彊是一個町加屆，即物體的總質(zhì)駅是其備部分質(zhì)磺的H接和。 質(zhì)帚服從質(zhì)杲守恆定律，不能被消滅，也不能無中牛有。 質(zhì)起可分為點質(zhì)起、線分布質(zhì)吊、面分布質(zhì)就和體分布質(zhì)鼠。單位為kg. 3. 時空系 時間和空間是運動物體的客觀存在形式，離開空間和時間來討論物體的存在和運

5、動是沒 有意義的?？蘸伪?代物體的形狀、人小和相互位置的關(guān)系；時間農(nóng)示物體運動過程的順序。 標架：作為描寫物體運動的基準一時空系，稱為標架。 位置變化是可逆的：時間變化是不可逆的。 但在討論「些理想化的可逆模型時，仃時時間也理想化成可逆的。 時空系之間可轉(zhuǎn)換. 4. 運動 物體狀態(tài)或各種參數(shù)隨時間的變化過程稱為運動。 物體的運動滿足某些一般的規(guī)律，如質(zhì)帚、動吊、能靈和電荷等的守恒定律。 5. 動量 動磺是物體機械運動的度R。 質(zhì)點的線動彊等J：某質(zhì)戰(zhàn)和運動速度的乘枳：動吊??是欠彊，服從欠晟運動規(guī)則；物體的 總動杲是各部分動杲的矢杲和。 6. 力 物體線動彊的變化率等J

6、：作用「?其上的合力，力是改變物體運動的原因。 根據(jù)力存在的性質(zhì)，力可分為：內(nèi)力和外力； 根據(jù)力的作用形式，力可分為：集屮力、線分布力、面力和體力等。 力的單位為：N或kN. 7. 功和能 力和沿力方向位移的乘積稱為功。 物體的動能等J：其質(zhì)駅和速度平方乘積的一半。 功、能可互相轉(zhuǎn)換。 能昴是純錄，服從能吊守恒和轉(zhuǎn)化定律，不能無中生冇，也不能被消滅? 8. 溫度和熱 溫度是物體冷熱朽!度的度帚。 當存在溫度差時，將會形成熱流，熱流有人小和方向，隨著熱流的存在，熱將從一個物 體流向另一個物體，并以能鼠形式表示出來。同時物體內(nèi)的受力也隨之變化。 9. 煩 爛是熱力學第二定

7、律的數(shù)學表述中引進-個態(tài)函數(shù)。 爛是可加函數(shù)，系統(tǒng)的爛等各部分爛的和。 特性：系統(tǒng)的埔的變化永不小于系統(tǒng)由環(huán)境得到的熱量與得到（或放出）此一熱最時的 熱力學溫度的比值。 理性熱力學把爛看成無須用K它物理屆定義的“本原屆”。 §1.3連續(xù)介質(zhì)力學研究的內(nèi)容和方法 1. 內(nèi)容 連續(xù)介質(zhì)力學研究連續(xù)介質(zhì)（包括固體、流體、松散介質(zhì)、顆粒體等）的變形和運動, 也研究其破壞機理。 將力學屮的各個分支學科放在一起討論，看看哪些規(guī)律是它們共仃的，哪些規(guī)律互不 相同，進而在統(tǒng)-的基礎(chǔ)上加以研究，這是連續(xù)介質(zhì)力學研究的亜耍內(nèi)容。所以連續(xù)介質(zhì)力 學既可以看成各分支學科的出發(fā)點，也可看成是各學科分支的歸

8、宿。作為出發(fā)點，定給出了 并分支學科的骨架：而作為歸宿，它卻是冇血冇肉，用骨架支拶起來的客觀冇機體。 J1?體內(nèi)容為：（不針対某一見體物性的物體） 1） 有限變形（變形人小不限），研究其描述； 2） 應力和應變增率: 3） 連續(xù)介質(zhì)熱力學； 4） 本構(gòu)方程原理。 2. 方法 非線性連續(xù)介質(zhì)力學的基本方程含?物理壟本定律和材料本構(gòu)方程兩類： 1）物理棊本定律（適用于所有材料〉 動力學定律（牛頓定律）: 3 第I d緒論 質(zhì)量守恒定律（非相對論，牛頓力學觀點）; 能彊守恒（熱力學定律）； 有限變形及連續(xù)性條件（兒何方程）。 2）材料本構(gòu)方程 不同材料具冇不

9、同特性是材料屬性，這屈性稱為本構(gòu)屈性。本構(gòu)屬性的描述為本構(gòu)方 程。在本課程中,只討論本構(gòu)方程的框架（形式）。 具體本構(gòu)方程只右?通過實驗得出，本構(gòu)方程包含：①應力、W變關(guān)系；②材料常數(shù)。 本課程中，研究本構(gòu)方程框架所應用的基本理論為： ① 甚本連續(xù)介質(zhì)熱力學的內(nèi)變鼠理論： ② 廣丁?理性化公理的本構(gòu)方程原理。 所紂到的本構(gòu)方程框架旳本構(gòu)方程的指導原則。 非線性方面在卜面兩個方面反映： ① 有限變形一稱為兒何非線性。 ② 本構(gòu)方程II：線性一稱為物理（材料）非線性。 若同時占慮以上兩個方而的罪線性因索，則稱為雙罪線性問題。 3. 本課程的特點 ① 普遍性； ② 嚴密性（只

10、有一個基本假設，物理定律和公理作為依據(jù)）； ③ 溶入r連續(xù)介質(zhì)熱力學： ④ 對連續(xù)介質(zhì)的本構(gòu)方程作框架的理論研究。 §1.4固體力學的學習、應用和研究 學習是為了應用和研究，要求每一個學習固體力學的人都應能應用和研究。碩士生： 加強基礎(chǔ)知識的訓練，主要是學習，但為應用和研究打卜?甚礎(chǔ)，并進行初步的應用和研究： 側(cè)上生：進一步加強壟礎(chǔ)知識的訓練，主要學習某一學科領(lǐng)域的前沿知識，培養(yǎng)應用和研究 的能力。 學習固體力學（材料力學、彈性力學，非線性連續(xù)介質(zhì)力學）容易，但W用和研究會 冇很人的難度? 應用和研究是分不開的，要做好應用耍做到： 1） .讀好書（上述教材及某一領(lǐng)域的專業(yè)書籍）,

11、融會貫通,深入到理論的粘微Z處； 2） .消化文獻（不僅是看文獻,而且要看懂）,借鑒前人的應用和研究之道; 3） .實踐出克知，探索獨到之處，開通創(chuàng)造之源。 上述過程氏實也是相互交錯地進行，碩士或購士畢業(yè)也僅僅是應用和研究的開始。 第2章張雖分析 # 第2章張雖分析 第2章張量分析 § 2. 1矢量空間 1. 線性矢量空間 設有〃個欠吊wj = l,2,…它們構(gòu)成一個集合R,苴中每個欠昴何稱為R的一個 元索。若卩+5（心刀唯一地確定R的另一個元索，及如（R為標啟）也給定R內(nèi)唯一確 定的兀素，則稱R為線性（矢量）空間。R中的零元素記為O,且具UO

12、a =O. 2. 空間的維數(shù) 設％為加個標杲，若能選取％ ,使得 工 a=0 （2.1.1） t=i 且y不全為零，則稱此/”個矢量線性相關(guān)，否則，稱為線性無關(guān)。 例1位J：同一平面內(nèi)的兩個矢呈何和佚（如圖 2.1.1）是線性無關(guān)的，即 aLaL + a2a2 # 0 （ q和冬可為任意值， 且不全為零）。 例2位同一平面內(nèi)的三個欠磺件，為是線 性相關(guān)的，即總可找到（不全為零〉使 + a2°2 + aiai = ° 如圖 2.1.2 所示，a2 = a[al + o 集介R內(nèi)線性無關(guān)尤索的最人個數(shù)稱為集介或空 間的維數(shù)。設R的維數(shù)為n ,則記為R“，歐氏空間為R、。

13、 3. 空間的基和基元素 R”中任意“個線性元素無關(guān)元素的全體稱為R,, 的-個基。基的每個尤索稱為基尤索，db J' Rn的〃個基尤素是線性無關(guān)的?！?是/?”內(nèi)任- 個元素尸可表示成基元素的線性組合。設a（i = l,2,…，町為心的任選的壟，則有 土如 h 0, a；為任意的不全為零的標杲 /-I 但總可選取a°HO及％不全等于零，使得 n 嚀+工也=0 1=1 圖2.1.1平面匕兩個矢示線件無關(guān) 圖2丄2平而上三個矢昴線性相關(guān) 或者

14、 # 第2貫張獻分析 (2.1.2) ① 因為%工0耳不全等J：零，所以纟不全等丁零，J1為有限值。 ② 內(nèi)勺無限個基，但只有一個基是獨芒的，因為R”內(nèi)至多只有/?個尤索是線性無 關(guān)的。設兀⑴及兀⑴是心的兩個基，則兀⑴中的每個某尤素都可用兀的線性組合來表示； 反之亦然，因此，/?“中的任兩個基尤之間存在唯一的變換關(guān)系。 ③ 對J?同-?個尤索r,采用不同的基時，其系數(shù)彳不同。 (2.1.3) 7 第2貫張獻分析 圖2.1.

15、3平面笛卡兒坐標中位矢的表示 因為兀⑴與兀㈡間冇確定的變換關(guān)系，因此，《⑴與§嚴間亦冇確定的變換關(guān)系。 ④ 空間的肚往往與坐標系相關(guān)連，每-?種坐標系仃一個與Z對應的確定的基，(2.1.2) 式中纟則是欠量尸在基叫或以?為坐標方向的分鼠值。 ⑤ 空間的尤索若為欠屋，則基尤索稱為基矢。如前所述，不同坐標系的基矢Z間存在 確定的變換關(guān)系，它是坐標變換的基礎(chǔ)。 正交基：乞甚欠相互正交的皋，稱為正交基。 標準正交基：基欠為單位欠屆的正交基，稱為標準正交基。 現(xiàn)以歐氏空間為例，歐氏空間為三維空間。 在歐氏空間內(nèi)，笛卡兒處標系為標準正交某，記作?，在 此坐標系內(nèi)，任一欠鼠尸(位矢)為 尸

16、二二兀尼+無冬+ 56 勺是不因坐標位置而改變的 dr = S dv^ dr p =— ，dxi 當只一個坐標仃變化時，例如“仃變化 dr = dxlel 此時，dr| = dr = dx-,因此，勺為單位矢鼠。 1弓都等J J,且彼此正交，故笛卡兒坐標系的肚為標準 正交J乩 正交曲線坐標系的基亦為正交基，記作&??用0表不坐 圖2.1.4空間笛卡兒坐標中位矢的表示 標值?則某欠￡定義為 # 第2敢張就分析 # 第2敢張就分析 # 第2敢張就分析 # 第2敢張就分析 ①￡隨坐標位置而變化

17、. ③ g,Z間相互正交。 因此￡是正交某，但不是標準正交某。 例如：在極坐標系內(nèi) dr = + dO2g2 [0,1] q =廠0 = 0 dr = d/^ + d^2 其中|d^| = dr, ? |ft| = l, |d^2| = rd^,因此, |g:| = r o令\g] = Hi (拉梅系數(shù))及 # 第2敢張就分析 (2.1.4) # 第2敢張就分析 則Q為正交曲線W標系的標準化正交基。 因此，顯然冇 # 第2敢張就分析 # 第2敢張就分析 § 2.

18、2字母指標法 1. 字母標號法(標號：mdex or suffix ) 點位置:x,y,z (矢徑)-^x19x2,x3 -> x.(/= 1,2,3) 欠IS： (位移)一>心,“2川3 —>"(T，2,3) vx,vv,v.(速度)-> Vj,v2,V, -> v.(/ = 1,2,3) (w, V, W -> w,, u2, u5 -> u, (/ = 1,2,3)) 應力(張量):6,巧,兀,島, T (/, J = 1,2,3) # 第2敢張就分析 #

19、 第2敢張就分析 應變（張量）:乙灼，％%%，%% # 第2章張就分析 T 1,勺2，*33，"12，*21，*23，*32，6" *13 ->%(ij = 123) 微分符號：^-、^-、％ >? f Jj (^if) U = 1,2,3) av1 ox2 ox^ oxt d2f d2f d2f d2f 9 ' 7 ' 9 ' "ST dvf dxi dx； dxtx2 約定?? i,j,k,…英文字母下標表示三維指標,取值1, 2, 3.在該約定下,上述簡寫表 達式后的說明（心123）或（/； j = l,2,3）在以后的寫法中將被略公。 2

20、. 求和約定： 首先考慮欠杲點枳的實例。 設攸。為兩欠杲，具分龜分別記為5切，則 (2.2.1) 3 a b = 0血 + a2b2 + a3b5 =工也一絲t ah （=1 啞標：在農(nóng)達式的某項屮，若某拆標重復出現(xiàn)兩次，則衣示耍把該項指標在取值范陽內(nèi) 遍歷求和。該重復指標稱為“啞標”或“偽標”。 啞標的符號町以任意改變（僅表示求和）。如 # 第2章張就分析 # 第2章張就分析 再考居線性變換的實例。 (222) x[ = allxi + al2x2 + aI3x3 —> x； = x2 = a2lxk + a2l2x2 + a23x

21、3 -= aljxj} => x： = aijxi X； = + a52x2 + ①刑 ?； = a.jXj . 上式中，/為啞標表示求和，m”在每項中只出現(xiàn)一次，稱為自由指標。 自由指標：在表達式的某項中，若某指標只出現(xiàn)一次，若在取值范囤內(nèi)輪流取該指標的 任-值時，關(guān)系式恒成立。該指標稱為fl由拆標。 口山指標僅農(nóng)示為輪流取值，因此也對以換標。如，（2?2?2）式可寫為 (2.2.3) 注意：①自由指標必須整個表達式換標。 ② 同項中出現(xiàn)兩對（或多對）不同啞標表示多重求和。如 (2.2.4) 3 3 auX>XJ =工工陶X" f=l ③ 啞標只能成對山現(xiàn)，否則要加上

22、求和兮或特別指出。 3 如： 工心切仃不能寫為a^Cj. i=l ④ 宙aibi = aici不能得出5 =5 ⑤ 若重復出現(xiàn)的標號不求和，應特別聲明。 1. 町符號(kionechei delta ) 哲符號定義為 (23.1) 6 =!1 為 i = j IJ [0 當 iwj q符號的性質(zhì) (23.2) ① 対稱性 ② 町進行換標或運算 (233) 哲符巧的應用 ①欠龜與代數(shù)運算 ②微分運算 aijxj-Ajci=(aij-ASij)xj dXj (23.4) (23.5) (2.3.6) (2?3.7) (23.8) 11

23、 第2貫張就分析 (23.9) 2. 排列符號(置換符號)eijk ( Peimutatisn Symbol) 排列符號的定義 1當為順循環(huán) eijk =< -1當為逆循環(huán) 0當不循環(huán) 其循環(huán)方向如圖2.3.1所示。 排列符右％的性質(zhì) (23.10) 循壞方向 圖2.3.1排列符號的循環(huán)方向 eiik = 一％ = _(_ 幺紺)=% (23.11) (2.3.11)式農(nóng)明，標號改變奇次位置時改變正、負號：標號改變偶數(shù)次位置時不改變符 排列符號切的應用 (2.3.12) (2.3.13) 5 5 5 =%嘰皿或=?心"5 (23.14)

24、 # 第2貫張就分析 # 第2貫張就分析 3?％ ~巧之關(guān)系(恒等式) 因為 ax(bxc) = (ac)b-(a ? b)c (2.3.15) # 第2貫張就分析 # 第2貫張就分析 是一個欠員恒等式。 役 a = akek b = bses c = c(et,反復運用(2.3.13)式，仃 ax(bxc) = (aek)x(弓上占)? = (eislakbsct)ek x弓 =eijkeistak^sCte j (2.3.16) # 第2貫張就分析 # 第2貫張就分析 另

25、一方面,反復運用(2.3?6)式，有 (2.3.17) (〃 c)b-(a b)c = (akck)bjei-(cikbk)c.ej =[(巧易一氐島)兔也]勺 將(2.3.16)式和(2.3.17)式代入欠彊恒等式(2.3.15)式，令(矢吊「恒等則欠吊的各分就應相 等) ^ijkeist)akbsc, =(6血一兀hWkbe (2.3.18) 由于對任意的代,?,c”(2.3.18)式均成立,則 eijkeiit = -幾耳 (2.3.19) 若將(2.3.19)式中的卜標s換為J,有 % % = 6 ?気-如? Sjt = 2 気 (2.3.20) 若將

26、(2.3.19)式中的卜標和分別換為厶R,有 eijkeijk = 2§妹=6 = 3! (23.21) (2.3.19)式至(2.3.21)式為呦與列么間的關(guān)系。 § 2.4坐標變換 設O - "入"3為老坐標系，対應的川 矢為 el9e29e3. 設o-x{x2x\為新坐標系，対丿衛(wèi)的皋 矢為 新老兩坐標軸夾角的方向余眩用Lkl 表示，且 A = =cos(x；,xj (2.4.1) 厶U構(gòu)成一個二階張杲ZJL Z = LW

27、的性質(zhì) ①張帚￡不是対稱張杲 因為 Lkl = e[ -et,而 Lik = e\ -ek,所以 (2.4.2) 張彊Z的轉(zhuǎn)置記為 ②張帚I是正交張屆 根據(jù)定義(2.4.1)式和 (2.4.3) (2. 4.3)式，有 (2.4.4) (2.4.5) L 於= 因為(2. 4.1)式的卜面兩種寫法是等價的 Lki = h Lki = ere，k 將(2.4.5)式屮的第一式兩邊乘以j,有 13 第2敢張園分析 ek= 5 勺 將（2.4.5）式中的第二式兩邊乘以＜ ,Yj- ei = Lkie，k 「?是

28、n = M3 “ = Lkg 將（2.4.8）式代入（2.4.4）式，有 L^=Shlle[^em=I 張彊工是正交張鼠得證。 張磺Z的應用 ① 欠最的坐標變換 設在兩坐標系卜的同一個欠駅可分別寫為 u =也,u = u[e[ 將（2.4.7）式代入（2.4.10）式中的第一式，仃 將（2.4.6）式代入（2.4.10）式中的第二式，有 “厶冋 將（2.4. 12）式和（2.4.11）式分別與（2.4. 10）式中的第一式和第 "；=協(xié)4 或 II k = L/aW； 將（2.4.13）式寫為矢最形式為 u = Lu u = L! u ② 二階張彊的坐標變換 設

29、在兩坐標系卜的同一個二階抿駁町分別寫為 / =人局?et 與上同樣推導,可得 \nn = Lmk L戒 Ar A”” =厶^厶”九 （2. 1.11）式的張戰(zhàn)寫法為 A=LA L1 (2. 4.6) (2. 4.7) (2.4.7) (2.4.8) (2. 4.9) (2.4. 10) (2.4. 11) (2. 4. 12) 式進行比較,有 (2.4. 13) (2.4. 14) (2.4. 15) (2. 4. 16) (2.4. 17) A = l! A L §2.5張量的代數(shù)運算 1. 張量的坐標系不變性及其記法 客觀磺都是與坐標系無關(guān)（

30、坐標系只是人為的選擇工幾，如長度是不變的，但測最長度 町用不同的l：H）o若張彊與坐標系選擇無關(guān)，則張晟反映了一個客觀彊。 a、小寫字母表示欠杲；表示笛卡兒坐標系卜?的基矢；2,表示標準化的正交曲 線坐標卜的阜欠： <,表示對應J：標準化的正交曲線坐標卜的欠乗的分吊，則任一欠吊w在 不同坐標系卜可寫為 (2.5.1) a = aei = alel + a2e2 + a3e3 =dei = a[e[ + ci2e\ + 心； = acb I I 由j:矢彊么是一個客觀彊，它的人小和方向是不變的。 而（2.5.1）式中的 ①與a；與時是不同的，但它們之間有 一定的變換關(guān)系（即坐標變換公

31、式），通過基欠的變換來導 出它們之間的變換關(guān)系。 ?稱為一階基（由三個欠量構(gòu)成的基）。 張量的階數(shù)及描述 ① 欠最是一階張量 欠最可用一個方向來確定。 ② 應力應變等是二階張量 圖2.5.2單元體及其應力描述 有些最不能只利用一個方向來確定。如應力：它與兩個 方向有關(guān)，常用的應力單元體也是如此。 如圖2. 5. 1所示，在/!方向（"為作用而的法欠），應力 矢為p異而在*方向，應力矢為龍?這說明應力矢本身有方 l?J, ifiilL還與其作用方向有關(guān)，必須用兩個方向才能描述應力 矢。 如圖2. 5. 2所示，每一個應力分帚也必須用兩個方向才能 描述，第-個方向為應力作用而的方

32、向，第一個方向為應力作 用的方向。 J：是引入二階基：?0?。 從數(shù)學上說，可引入e1?e2?-?en n階基,n階基中有3”個基矢. 與“階呈相關(guān)連的就稱為〃階張昴。°時為標// = 1時為欠駅；〃 時為二階 張量（簡稱張量:）。 張磺的記法如表2.5.1。 * 2.5.1張量記法衰 直接記法 矩陣記法 （0階、一階、二階張雖） （抽象記法） 分晝記法 標帚: a / ? / a 何如 二階張吊 T 6［如 宜接記法與坐標系選擇無關(guān)，只用J：描繪公式，不能進行計算。分帚中標最稱為偽標鳳 因為該標員與坐標選擇冇關(guān)。 學生應該較熟悉

33、學握分吊記法和ri接記法z間的變化關(guān)系。 2. 張量的外乘 張量的外乘,也稱為并乘,外積,并積。用記號?表示。其定義為 a?B \= aiei ?8jkei ?e, = aiBikei?ei?e, 'Jk 1 J k （2.5.2） =C cijk = ai^jk （2.5.3） 這里，〃為欠G（階張彊），B為二階弓長駁，（7為三階張璉。 〃個張晟外乘，結(jié)果仍為張舄，新張晟的階數(shù)為"個張鼠階數(shù)Z和。 B?a^a?B 不適「?交換率，與秩序白關(guān)。 例：a?b = a：b尼 = C cij = aibJ 分起的組介冇9個，該9個為一.階張員的分鼠。 3. 張量的

34、內(nèi)乘 張彊的內(nèi)乘，也稱為點乘，內(nèi)積，點積。用記號“?”表示。其定義為 B a = B占 ? 勺? akek = B .a^ ? e ek （2.5.4） =BE h C尼=C 這里，〃為二階張最，Q為矢最，6?也為欠最。 張吊的內(nèi)乘法結(jié)果仍為張杲，具階數(shù)為二個張杲的階數(shù)之和再減去點乘的次數(shù)乘2。 例1：二階張屆與二階張甌的內(nèi)乘 17 第2敢張園分析 # 第2敢張園分析 A-B = A.ei?eJ-Bklek?el = AijBjlei?el 其中,C為二階張量,且Cii=AijBji° 例2：二階張帚的左右兩邊都與欠竜內(nèi)乘 aBb =

35、 c 其中,C為標量,且c = aiBijbjc 4.張量的縮并 張彊的縮并的定義為（不能變換順序） ? ? = Cljklei-eJ?ek^el =5坯 =A 其中，人対=C陶? 張砒的縮并也町特別定義為 ? ? ? = 5 e^e^e^e, = cijuej?ek =B (2.5.5) (2.5.6) 其中,B-k = Cljkl. 但A^B o 張量的縮并還可特別定義為 ? ? ? f /—A—\ / A \ C = A?B = Aiy et Bklek ?et =D (2.5.7) 其屮，Dji = AjjBj! 張看的縮并仍為張最，其

36、階數(shù)等「原張吊「的階數(shù)減去縮并數(shù)x2. 張彊的縮并的慣用定義為 # 第2敢張園分析 19 第2敢張園分析 y :=俎叫小 %…切"9 0勺0??g ?en <2.5.8) 這里，/表示縮并，S表示縮并次數(shù)，慣川為般靠近的縮并。耍求rJ>So J$次縮并幾體 記為 一次縮并 Cl（A^B） =

37、A B = C （2.5.0） 其中5 =人述紂。 二次縮并 C\A?B） = AB=C （2.5.10） 也稱為雙點乘,其中S都為二階張量。進一步有 三次縮并 四次縮并 (2.5.11) (2.5.12) 5.求跡 求跡（gee）就是求矩陣對角線上的尤素之和。即定義為 trA = A； (2.5.13) 6?若干結(jié)論 ① 商法則（也稱為張量識別定理,也可以說是張量的另外定義） 設已知B和C為張杲.H.滿足 "（好…”后 % &… =°（士7刃? (2.5.14) 則A亦為張駅，IL為廠階，（C的階數(shù)減去B的階數(shù)+2S）。 特別是，當/ = S即B的指標與

38、zl的指標全部依次 相同，則X的階數(shù)為C的階數(shù)加1.〃的階數(shù)。 如圖2. 5. 3所示，兀是一階張鼠（點的位逐矢），有 圖253點的位於欠及其農(nóng)示 # 第2匣張就分析 AjXj =易 根據(jù)上血分析，則町知5“為二階張最分炭（單位張杲），記為2。 町的矩陣記法為單位矩陣 A I = A 又axb = c = eijkabke.t 即 q =句 則q茯為三階張鼠，記為“w ” ② 二階張最可視為一個變換.把一個矢最變換為另一個欠杲。即 B? a = a 二?-? —? (2.5.15) 一?般情況Va 與〃的人小不同、方向不同。 ③一階、二階張最的運

39、算,可用矩陣的運算方法（下面均指二階張量） 張最寫法 B = C Ctj = AikBkJ (2.5.16a) 矩陣寫法 [C] = [A][B] (2.5.16b) 同樣 求 a^at [aY (2.5.17) [AY[ A2=A A T [A][A] 類似 An =>[A]n (2.5.18) 特別地 a) B a = c^>{c} = (2.5.19) a-B =(f^>{a}T[B] = 24d9guoke414r (2.5.20) a? B $ B a (2.5.21) a b^> {a}1  = abt (2.5

40、.22) b) (Ba)\Ab) = c =>{國何和國何} =何丁 [町[好卩} ^=> a Br ? A b (B a)\A b) = a-B' -A-b = c c) A:B = AijBij = c=AIjiBij 4 B = 4 B筋 ?ef = C C.. = Aik B甘 tr(AB) = trC = Cti = Aik Bki 則 A B = tr(Ar B) = tr(A Br) A B = B A = tr(B AT) = tr(Br ? A) 進一步 tr(A B C) = (A B):Cr = CT :(A B) = tr(C - A B)

41、§2.6特殊張量 張量函數(shù)(二階張量) 1. 對稱和反對稱張量 (與矩陣的對稱和反對稱意義相同) 定義： ① 設s為二階張屋，若仃s = L；s帀二則稱s為對稱張址 ② 設力為二階張晟，若有A = -At：碼=_綣，則稱A為反對稱張鼠 特性， ① 對稱張最弓反對稱張吊:之雙點積為零，即 ￡:力三0 證：S :A = tr(S7 - A) = tr(S ? A) = S : AT =-S : A 又S:/總為標最，則S:A = Q 一般張彊總可以分解為對稱張屆與反對稱張駅Z和，即 丁 = % + 花) 心產(chǎn)扣+巧 (S =扭+?) (2.5.23) (2.5.24)

42、 (2.5.25) (2.5.26) (2. 6. 1) (2. 6. 2) 仃?何兩張吊?的雙點積為兩張吊?的對稱部分與反対稱部分的雙點積之和，即 21 第2貫張就分析 C =(〃(s)+ “⑷)?(C(s)+ °(勾) =%): C(S) + "(A) ： C(A) ② 設B為反對稱張杲，則可找一個欠杲Q,使(W為置換張鼠) -ib = _eae$ej = B 即 Bjj = -eijkbk , Bj. = -eJlkbk = elJkbk =_B『 由(2.6.4)式可知：任意欠吊#與置換張吊疋的點乘積為一個反対稱張吊, 求解張最方程(2.6.4)式，

43、即一￡ b = B,可求出b = ? 因為ee= 21 將(2.6.4)式兩邊雙點乘W,有一 則-2b=e:Bf T是有 b = 一丄w:〃 2 稱〃與b互為對偶。 設B利爐均為反對稱張量,。和⑷分別為它們的對偶矢量,則 B - W = w 0 />-(￡> ? ip)Z 反對稱張起與反對稱張杲點積是一個張翁，但不一定為反対稱張翁。 證：B W = tr(Br ") = -tr(B W) = -tr[(w ^b)-(b w)I] = w’bf t = F Fq = b

44、 = -(b w-3b- w) = 2bw 因為U\B W)WO,所以〃"不是反対稱張駅。 2. 偏(斜)張量和球張量 定義： 設D為張彊，若三0,則稱Q為偏斜張量。 1 0 0_ 設P為張杲，若P= pl，則稱P為球張量.P= p 0 1 0 0 0 1 (263) (2.6.4) (2.6.5) (2.6.6) 特性: D:P = O 證：因為"Q = D“=O,則 D .P = tr(D P ) = tr(D: P) = tr{D ? pl) =ptr(D I) = ptr(D) = 0 任何張斎於，都町分解為偏斜張杲和球張帚Z和 B = B(d)+

45、B(P) 瓦中 為=￡-*尊 任何兩嫌磺的雙點積為兩張屆的偏斜張屆部分與球張屆部分的雙點積z和, C = (B(D) + B(p)): (C(°)+ C(p)) = B(d)- C(°)+ B{p): C{p) 在彈性力學中，有 ￡ =扛為=*(S局.+ +他廠扌％) 3. 正交張量(代數(shù)中正交矩陣[A,][AJr=[J,]) 定義： 設有張吊-0 ,與任意矢量a，則有Q ? a = a* 如果 a a = a a (即a = a ) 則稱0為正交張疑(Q的變換稱為正交變換或剛體變換) 特性： ① 正常正交張駅與非正常正交張帚 根據(jù)定義，a ' a = {Q a)

46、(Q a) = a Q1 ? Q a = a a 又由JF為任意的，則Q「Q = I,所以 Q~[ = Q1 (2.6.7) (2.6.8) (2.6.9) OP (2.6.10) (2.6.11) (2.6.12) 「?是/] det??r ? (?) = det(7) = 1 det(07 )- det(C) = 1 且 det(0r ) = det((?) 23 第2敢張凰分析 # 第2敢張凰分析 正常正交張帚 非常正交張量 相為丁剛體轉(zhuǎn)動 相當丁?鏡射 (2.6.13) 則(det(C))2=l,所以 # 第2

47、敢張凰分析 # 第2敢張凰分析 圖2. 6.1右F坐標系示意圖 若0為正常正交張鼠，則匚與￡之間為旋轉(zhuǎn)（仍為右手 坐標系）。 若0為非常正交張彊，則匚與0；Z間為鏡射（將右手系變?yōu)樽笫窒担? ② 變換后的分彊在不同坐標系卜?相同（矢彊連同卑一起剛性轉(zhuǎn)動） 因為 Q a = a a = a 又 a = atet 宀 a：e： e： = Q a" = a： a： = Q ? a = Q ? aiei = a.Q ? et = *： (2.6.14) a2=a2 圖2.6.2矢示正交變換示意圖 ③ 保也變換（既是剛體轉(zhuǎn)動，應是保角的） a b =

48、a b （2.6.15） 若等式（2.6.13）式成丄 則保證角度不變，即兩欠危的夾角不變。 a ? b = (Q ? a)?(Q? b) = a ? Q—Q ? b = a ? b (a ? b* = a b n ab* cos O' = ab cos &=>&' = &) 4. 相似張量 定義： 設仃二個張〃和矢^a\a.燈 a = b , B-a - b (2.6.16) 如果a =Q a, 〃為任意，F(xiàn)l X =Q b，則稱〃與/為相似張量。 特性： ① 同於之間的關(guān)系： b = B ? a b = Qb 則 B a = b* = Q b B?Qa = QB

49、 a 又由Jf為任意的，則有B Q = Q B 又C1 = Qr ,將上式兩邊右乘q7,有 衣=Q B Q1 (2.6.17) ② 張吊連同基■起剛性轉(zhuǎn)動 設6 = 0 ? et且 B、= B；e： ?e*, (2.6.18) B = Bt]et ?e (2.6.19) 又 B = QBQr 則 B = QBQ1 = QBijei ?e= Bi.(Q ei)?(Q ej)= Bire* 與(2.6.18)式比 較,有 B；j = Bq (2.6.20) 相似張屆Z -存在新呈上的分彊等J' ft-相似張吊在原族上的分駅。 R9 圖2.6 3不同基上相似張蛍分厳相同

50、 欠駅正交變換Qa=a 張駅正交變換 Q B QT = ByB = Q「B* Q 27 第2貫張就分析 ③ 相似張量的行列式值相同 (2.6.21) (2.6.22) dets' = detB 證：det = det(0 B Q1 ) = det 0 ? det B ? det07 乂 det Qr ? det C = (det Q)2 = 1,所以 det = det B ④ 相似張員的跡相同 tr(B) = tr(B) 證明：= tr(Q B Qr) = tr(QT Q B) = tr(B) 上兩個特性證明了不變帚與坐標選擇無關(guān) 一次：tr(B) 二次：t

51、r(B) tr(B2)t 三次det(B) ⑤ 兩相似張磺的雙點枳相同 B ：A =B ：A (2.6.23) 證： B : A = tr(B'T A*) = t)\Q Br Qr Q A Q1 ) = tr(B' A) = B A 特別地:B = 即:B；B；j = BgBjj 定義： B 的范數(shù)=厲瓦=y/B .B (2.6.24) 記為||引，則 曆| = |網(wǎng) 兩相似張屆的范數(shù)相等。 5. 張量函數(shù) 以張屆為變吊的函數(shù)稱為張量函數(shù) 如：A = f S 功為張最旳數(shù)； 6j = 6&)或T t(€) 本構(gòu)關(guān)系為張駅函數(shù)； w^ = —cr.￡. =—T.s 應變能

52、為張51函數(shù)。 2 v v 2 (1)標fit值的張量函數(shù) a) 表達法 Y = Y(B),設B為二階張最 例：Y = L B = L“Bu，此處Z為給定的二階張員(相當「詡數(shù)的系數(shù))。 b) 線性甫數(shù) Y(aB) = ciY(B) (2.6.25) c) 求導 dY(B) d/ = — dBn (2.6.26) 遇 ，J 根據(jù)縮并定理，c = C2（A?B）則 ?_血為張駅分鼠。 定義， 6B 廠的階數(shù)等于變帚的階數(shù)。 （2）張杲值張龜函數(shù) a） Y = Y（B）（為II體化，設Y和B為二階張址） 例：Y = L:B, Z為給定的四階張駅（相為J：p為數(shù)系數(shù)

53、） (2.6.27) b） 線性函數(shù) c） 求導 嶺=LjjijBki Y(aB) = aY(B) (2.6.28) dy = dY(B) dB° (2.6.29) 同樣根據(jù)縮并定理 空凹為四階張帚分杲。 定義： ■ wr r =—為-個四階張吊-導數(shù)的階數(shù)■函數(shù)的階數(shù)+變磺的階數(shù)。 dB j T 例：T = T（s） ——=E d￡ dT = E :ds E—彈性張鼠（四階） 6. 各向同性張量函數(shù) Y = /（Z）,設幾Z為任意階張?：, 為卩和Z的正交變換。 若①y. N為標砒，＜jy = y\z = z?: ② 7,Z為矢鼠，有Y'=Q Y

54、Z" = 0 Z； ③ F、Z 為二階張彊，{{Y =Q Y Qt Z=QZQrt 如果對于任意的Q,有下列關(guān)系 卩= /（Z） (2.630) (2.6.31) k = /（r） 29 第3底冇限變形 /的形式不變，則稱Y=f(Z)為各向同性張量函數(shù) 例：①因為r = r\z = z*冇y = y(z),所以標鳳兩數(shù)為各向同性西數(shù)。 ② r,F* = C F, Z=QZ (F和0為矢磺)，則 y-=e.y = /(e.Z) = 0 /(Z) 所以 f(QZ) = Qf(Z) (2.6.32) 即滿足左邊條件的為各向同性矢帚換數(shù)。這也是矢最值欠杲兩數(shù)為齊向

55、同性換數(shù)的條件。 ③ 二階張最函數(shù) Y = f(Z) F* = n(0 Z 0 ) Y* Y Q7 f(Z) Q1 r是 /(0 Z ^) = C /(Z)(2.6.33) 這也是娠屆值張吊函數(shù)為各向同性兇數(shù)的條件。 在力學中，Qr) = Q f⑹為齊向同性材料的本構(gòu)方程。 設F = a^I + axB + azBz aQyara2是B的不變最函數(shù)，有 Y =a0Q I Q1 B Q1 +a.Q B Ql Q B Q1 =a&+a@?B?0r + a2QB2 Qr + a2QB2 Qr =<2(a°Z + a" + a屮：)(?/ = QYQt 比較，有 T = aQI

56、 + 0^ + 0^ (2. 6. 34) 為雖-?般的??向同性材料本構(gòu)關(guān)系。 第3章有限變形 §3.1有限變形 這里說的變形，除連續(xù)性條件外，沒何疑余任何條件。 小變形：小位移，小轉(zhuǎn)動，小應變。 1 冇限變形：人位移，人轉(zhuǎn)動，人應變。 対丁?一個微小六面體，小變形卜變?yōu)橐粋€平行六面體； 有限變形卜仍變?yōu)橐粋€平行六面體。 這一條件不變。 從變形幾何學方而來研究變形。 耍解決的四個問題： 1） 記錄； 2） 什么辦法來描述； 3） 怎么度量。 4） 仃沒冇辦法將變形分解 § 3. 2物體的構(gòu)形和坐標系 物體：連續(xù)介質(zhì)，變形前用K。代衣，變形后用心代衣。

57、Ko：變形前物體，物質(zhì)點的集合； K,：變形后的物體： P ：物質(zhì)點； P：空間點，物質(zhì)點在空間所占的位直。 初始坐標系O-X|X||X川 現(xiàn)時坐標系 構(gòu)形：毎一瞬時與物質(zhì)點對W的空間點的集合。 t = 0瞬時，初始構(gòu)形 K。 f任意瞬時，現(xiàn)時構(gòu)形 Kt K。：初始構(gòu)形，X點的坐標（ ?：現(xiàn)時構(gòu)形，（瞬時f的構(gòu)形），x點的坐標（柿九 # 第3貫冇限變形 全部采用n角坐標系。 圖321物體的構(gòu)形9坐標系 §3.3描寫物體運動和變形的方法 1) Lagrange 描述法 用物質(zhì)坐標作門變吊(描述物體的運動和變形)，即 x = x(X,t) 或 x

58、k = xk(XKJ) (3.3.1) 研究物質(zhì)點X在不同時刻所對應的空間點(著眼點：跟蹤物質(zhì)點運動狀況)。 2) Eiilei描述法 用空間坐標兀作門變吊(描述物體的運動和變形)，即 圖331物體運動和變形的描述 X = X(xJ) 或 XK = XK(xk,t) (3.3.2) 研究空間點x處在不同時刻流經(jīng)這一空間的物質(zhì)點(著眼點：跟蹤在一個空間點上，不同 時刻對應的物質(zhì)點)。 (前者?跟蹤同一個人，不同晚上睡不同的床位，后音跟蹤同一張床，不同晚上由不同的人 去睡)? 位移矢：" U = d x — X (3.3.3) 其屮〃不隨時間而變，X也與/無關(guān)。 速度

59、和加速度：分兩種農(nóng)述方法 1） Lagrange 法 V = u=比（Xa」） dt ?? 03（X2） a = v = u = _- dt- 2） Euler JI：（研究流體的流動等） (33.4) (33.5) d 。=才（3）= 內(nèi)(x“/) dv dxk dt dxk dt 那（皿） dt (33.6) 圖332流場中空間點流體速度 物質(zhì)導數(shù)=屬部導數(shù)+遷移導數(shù) v = v（xkJ） 流場 # 第3貫冇限變形 # 第3貫冇限變形 §3.4變形梯度 有限變形的“記錄”（構(gòu)形）「描述” {;）已經(jīng)在上兩節(jié)中研究過

60、，本節(jié)研究“度彊” 變形后dx（方向，長度） # 第3貫冇限變形 # 第3貫冇限變形 圖3 4.1變形的度就 物體的仃限變形的研究，離不開一點的鄰域，或取一個線尤。 變形前線元：PQ = dX = dXK^EK 變形后線元：pq = dx = dxk ek dX Tdr經(jīng)歷了一個長度的變化和方向的變化（它們的駅都可能是很人的）。 1） Lagrange法（物質(zhì)坐標X人， 門變屆，/作參變吊） # 第3版冇限變形 p 點：xk = xk(XKJ) q點：無+dq = ^(“人+dX?J) 為求dr,有 (3.4.1)

61、 % = x上(Xk + dXK.t)- xk(XK,t)= # 第3版冇限變形 # 第3版冇限變形 上式表示&和dX的關(guān)系（可見一^的重耍性）。一產(chǎn)稱為物質(zhì)變形梯度張量F （稱為 0X 尺 dX K “物質(zhì)”的理由是物質(zhì)坐標下的）.即 (3.4.2) 所以 dx = FdX 或 dxk =FkK6XK (3.4.3) # 第3版冇限變形 # 第3版冇限變形 為變形前后線元之間的關(guān)系（包金了長度和方向）。 卜面驗證F是一個二階張最 因為 IflJ 6X” (3.4.4) # 第3版冇

62、限變形 # 第3版冇限變形 類似有7^77- = Qkm，則(3.4.4)式寫為 % (3.4.5) F =q F Q1 這里仆0為坐標變換正交張看，所以F為二階張杲。由關(guān)系到兩個坐標系，所以稱為 (3.4.6) F對應「?一個線性變換（從（3.4.3）式看）.包含了方向和長度的變換。由此可見，F(xiàn) (3.4.7) 包禽了全部的仃限變形信息。 所以稱為變形“梯度”。 F的務種不同的寫法： F=FkKek^EK F' = qFQi 2） Euler法（用空間坐標無一口變駁，f作參變最） P點（與"對應的物質(zhì)點）：XK =XK（xk,

63、t） 0點（與g対應的物質(zhì)點）：Xk + dXA, = XK （xk + dq J） (3.4.8) 37 第3版冇限變形 知道現(xiàn)在線尤，倒冋去查原來的線尤。對應「一個由dq到dX&的線性變換。 定義： 空間變形梯度張量 F 1 （因為以空間坐標為門變宣），且 (3.4.9) 嚴=^ = gradX =^Ek = XK kEK 翠 dx dxk 其實，F(xiàn)與互逆，所以用FT來定義。 §3.5變形張量 變形梯度張吊「： F dx = FdX包金了變形的全部信息. 變形張彊只研究其長度改變的信息（不包含方向改變）。 1）Lagrange描述法（作為口變戰(zhàn)

64、） 變形前dX的長度為d厶： （d厶亍=dXK?dXK 變形后 dx 的長度為 dl: （d/）2 = dLq ? d.\;_ = Sudxk ? d.vz 上述dXK hV該是C知的，dq是可求出的。則 （d/）~ =瓦（F坎d%x）（FLdX￡）=幾F訂dXL =^klXk.K XhL^ K ?耿7 # 第3貫冇限變形 # 第3貫冇限變形 (dl)?=xk^Kxk^LdX KdX L (3.5.1) # 第3貫冇限變形 # 第3貫冇限變形 定義 (3.5.2) (3.5.3) 變形張最C

65、 (稱為Green變形張最)，C為止定的((d/)2>0).且 5l = Xk,KXk,L C為對稱張磧.且 c = ftf C = Xk,KXk,LEK^EL 通過C可直接算出長度的變化(優(yōu)點)。 2) Euler描述法(忑作為自變量) 變形厲的長度d/: (d/)2 = cLi; - (作為已知的) 變形前的長度也： (dL)2 =dXK-dXK = SKLdXKdXL = SKLXKJcX^dxkdxL = X KJiX LJdxkdxt 定義 Cauchy變形張磺 (3.5.4) 1 = X—Xx用 B~l = (F~l)r(F~l) 通過變形梯度張屆可求

66、出Cauchy變形張駅o §3.6變形梯度張量的極分解 仍考察變形梯度張tFo若F是一個可逆張量,即存在，則F可寫為 F=R U 或 F=V R (3.6.1) 右極分解 左極分解 上述分解存在且是唯一的，其屮R是正常正交張吊，表示轉(zhuǎn)動，所以記為R , t；和V 是対稱、正定張磺。 1.右極分解的證明 若F = R U成立，fLR為正交張最，U為對稱正定張杲。 FJ =(R Uf =U7 RT =U R7 則 FTF =(U RJ)(R U) = U U 內(nèi)為F1F=C為正定的，對稱的，所以，由F可找到U,且U為正定、對稱的。 又R = F U ', 疋=曠尸，則 RJR = U~l F1 F U U U U~l = 1 2.右極分解的唯一性 設 F = R U = R' Uf U' = R"F = R'T R U U,2 = UV' = U'JU' = (URTR)(R"RU) = U' 丁?是U' = t/,由此可推得R' = R 3) 左右極分解中的R是相同的。 F =RU 乂 F =VR4 F =VR'= (/?* ? R J)V 疋=R