《連續(xù)介質(zhì)力學(xué)講義》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《連續(xù)介質(zhì)力學(xué)講義（64頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1帝緒論 第1章緒論 §1.1連續(xù)介質(zhì)力學(xué)及其意義 1. 連續(xù)介質(zhì)力學(xué) 研究物質(zhì)的宏觀力學(xué)性質(zhì)：連續(xù)介質(zhì)的概念來(lái)門數(shù)學(xué)的一個(gè)連續(xù)實(shí)數(shù)系的集。 連續(xù)介質(zhì)包扌乩 固體、液體、氣體，在本課程中的假設(shè)為連續(xù)體。 連續(xù)介質(zhì)是本課程的堆本假設(shè) 以前：彈性體 m 彈性力學(xué) 粘彈性體 in 粘彈性力學(xué) 彈型性體 m 彈塑性力學(xué) 流體 m 流體力學(xué) 流變體 in 流變力學(xué) 這吐均是針對(duì)某一特殊物質(zhì)，建立一門特殊的力學(xué)。 現(xiàn)在：統(tǒng)稱為連續(xù)體，但不是將上述理論簡(jiǎn)的地加起來(lái)，而是做一般性的理論概括，在 高度概括的尿礎(chǔ)上，形成理論，又指導(dǎo)各門fl體力學(xué)理論。 2. 學(xué)

2、習(xí)本課程的目的和意義 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)把現(xiàn)實(shí)物體抽象成理論模型，把現(xiàn)實(shí)物體的運(yùn)動(dòng)抽象成理論模熨的運(yùn)動(dòng)， 利用數(shù)學(xué)和實(shí)驗(yàn)的方法，精確描述在外界作用卜，物怵的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。該課程既是前述力學(xué)課 程的高度概括，又具仃很強(qiáng)的理論指導(dǎo)意義。 具體的工程目的有: ① 雙卄線性工程問(wèn)題。如：金屬成住等。 ② 復(fù)雜條件、復(fù)雜介質(zhì)的本構(gòu)方程。如土壤等的本構(gòu)方程。 ③ 周體力學(xué)的新的學(xué)科分支。如：損傷力學(xué)（本構(gòu)方程隨損傷程度而變化）、生物力學(xué) 等。 ④ 進(jìn)入理性力學(xué)的境地。如理性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)。 ⑤ 溝通宏觀與微觀力學(xué)的橋梁。如斷裂力學(xué)中，缺陷前沿的裂紋擴(kuò)展是原子鍵的破壞, 現(xiàn)在時(shí)罐的是宏觀與和微觀結(jié)介的損傷

3、力學(xué)。 §1.2連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的“基元”——基本名詞和術(shù)語(yǔ) 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)以現(xiàn)實(shí)物體的理論模型作為研究對(duì)彖，并力求使它能在本質(zhì)上準(zhǔn)確地描寫 客觀物體的運(yùn)動(dòng)。為了描寫運(yùn)動(dòng)，石耍給出一些基本的名詞和術(shù)語(yǔ)，它們構(gòu)成連續(xù)介質(zhì)力學(xué) 的''棊?！?通過(guò)一些定律、理論和公式，把這些名詞和術(shù)常相互連系起來(lái),使構(gòu)成連續(xù)介 質(zhì)力學(xué)的理論體系。我們耍力求將這些名詞和術(shù)語(yǔ)說(shuō)得準(zhǔn)確些。 1. 物體 在某一確定的瞬時(shí)，物體其有一定的幾何形狀，并佝一定的質(zhì)量。同時(shí)物體還可具令 電確、熱容和變形等許多咆耍的性質(zhì)。 物體由質(zhì)點(diǎn)組成，質(zhì)點(diǎn)占據(jù)非常小的確定的空問(wèn)，貝冇非常小的確定的質(zhì)吊， 物體可以抽彖成各種模型：如質(zhì)點(diǎn)，

4、剛體、彈塑性體、流體、顆粒體等；按幾何性質(zhì)還 可分為質(zhì)點(diǎn)、一維的弦和桿、二維的板殼、三維的塊體等。若干個(gè)物體可以形成集合，組成 系統(tǒng)。系統(tǒng)外的物體構(gòu)成這個(gè)系統(tǒng)的環(huán)境或外界， 2. 質(zhì)量 質(zhì)屆是物體運(yùn)動(dòng)慣性的度昴，對(duì)冇限體或理想化的質(zhì)屆，它是一個(gè)冇限數(shù)。質(zhì)彊是物體 的壟本屬性，沒(méi)仃不JI質(zhì)駅的物體。 在Newton力學(xué)領(lǐng)域屮，質(zhì)彊是一個(gè)町加屆，即物體的總質(zhì)駅是其備部分質(zhì)磺的H接和。 質(zhì)帚服從質(zhì)杲守恆定律，不能被消滅，也不能無(wú)中牛有。 質(zhì)起可分為點(diǎn)質(zhì)起、線分布質(zhì)吊、面分布質(zhì)就和體分布質(zhì)鼠。單位為kg. 3. 時(shí)空系 時(shí)間和空間是運(yùn)動(dòng)物體的客觀存在形式，離開(kāi)空間和時(shí)間來(lái)討論物體的存在和運(yùn)

5、動(dòng)是沒(méi) 有意義的?？蘸伪?代物體的形狀、人小和相互位置的關(guān)系；時(shí)間農(nóng)示物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的順序。 標(biāo)架：作為描寫物體運(yùn)動(dòng)的基準(zhǔn)一時(shí)空系，稱為標(biāo)架。 位置變化是可逆的：時(shí)間變化是不可逆的。 但在討論「些理想化的可逆模型時(shí)，仃時(shí)時(shí)間也理想化成可逆的。 時(shí)空系之間可轉(zhuǎn)換. 4. 運(yùn)動(dòng) 物體狀態(tài)或各種參數(shù)隨時(shí)間的變化過(guò)程稱為運(yùn)動(dòng)。 物體的運(yùn)動(dòng)滿足某些一般的規(guī)律，如質(zhì)帚、動(dòng)吊、能靈和電荷等的守恒定律。 5. 動(dòng)量 動(dòng)磺是物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的度R。 質(zhì)點(diǎn)的線動(dòng)彊等J：某質(zhì)戰(zhàn)和運(yùn)動(dòng)速度的乘枳：動(dòng)吊??是欠彊，服從欠晟運(yùn)動(dòng)規(guī)則；物體的 總動(dòng)杲是各部分動(dòng)杲的矢杲和。 6. 力 物體線動(dòng)彊的變化率等J

6、：作用「?其上的合力，力是改變物體運(yùn)動(dòng)的原因。 根據(jù)力存在的性質(zhì)，力可分為：內(nèi)力和外力； 根據(jù)力的作用形式，力可分為：集屮力、線分布力、面力和體力等。 力的單位為：N或kN. 7. 功和能 力和沿力方向位移的乘積稱為功。 物體的動(dòng)能等J：其質(zhì)駅和速度平方乘積的一半。 功、能可互相轉(zhuǎn)換。 能昴是純錄，服從能吊守恒和轉(zhuǎn)化定律，不能無(wú)中生冇，也不能被消滅? 8. 溫度和熱 溫度是物體冷熱朽!度的度帚。 當(dāng)存在溫度差時(shí)，將會(huì)形成熱流，熱流有人小和方向，隨著熱流的存在，熱將從一個(gè)物 體流向另一個(gè)物體，并以能鼠形式表示出來(lái)。同時(shí)物體內(nèi)的受力也隨之變化。 9. 煩 爛是熱力學(xué)第二定

7、律的數(shù)學(xué)表述中引進(jìn)-個(gè)態(tài)函數(shù)。 爛是可加函數(shù)，系統(tǒng)的爛等各部分爛的和。 特性：系統(tǒng)的埔的變化永不小于系統(tǒng)由環(huán)境得到的熱量與得到（或放出）此一熱最時(shí)的 熱力學(xué)溫度的比值。 理性熱力學(xué)把爛看成無(wú)須用K它物理屆定義的“本原屆”。 §1.3連續(xù)介質(zhì)力學(xué)研究的內(nèi)容和方法 1. 內(nèi)容 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)研究連續(xù)介質(zhì)（包括固體、流體、松散介質(zhì)、顆粒體等）的變形和運(yùn)動(dòng), 也研究其破壞機(jī)理。 將力學(xué)屮的各個(gè)分支學(xué)科放在一起討論，看看哪些規(guī)律是它們共仃的，哪些規(guī)律互不 相同，進(jìn)而在統(tǒng)-的基礎(chǔ)上加以研究，這是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)研究的亜耍內(nèi)容。所以連續(xù)介質(zhì)力 學(xué)既可以看成各分支學(xué)科的出發(fā)點(diǎn)，也可看成是各學(xué)科分支的歸

8、宿。作為出發(fā)點(diǎn)，定給出了 并分支學(xué)科的骨架：而作為歸宿，它卻是冇血冇肉，用骨架支拶起來(lái)的客觀冇機(jī)體。 J1?體內(nèi)容為：（不針対某一見(jiàn)體物性的物體） 1） 有限變形（變形人小不限），研究其描述； 2） 應(yīng)力和應(yīng)變?cè)雎? 3） 連續(xù)介質(zhì)熱力學(xué)； 4） 本構(gòu)方程原理。 2. 方法 非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本方程含?物理壟本定律和材料本構(gòu)方程兩類： 1）物理?xiàng)幈径桑ㄟm用于所有材料〉 動(dòng)力學(xué)定律（牛頓定律）: 3 第I d緒論 質(zhì)量守恒定律（非相對(duì)論，牛頓力學(xué)觀點(diǎn)）; 能彊守恒（熱力學(xué)定律）； 有限變形及連續(xù)性條件（兒何方程）。 2）材料本構(gòu)方程 不同材料具冇不

9、同特性是材料屬性，這屈性稱為本構(gòu)屈性。本構(gòu)屬性的描述為本構(gòu)方 程。在本課程中,只討論本構(gòu)方程的框架（形式）。 具體本構(gòu)方程只右?通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出，本構(gòu)方程包含：①應(yīng)力、W變關(guān)系；②材料常數(shù)。 本課程中，研究本構(gòu)方程框架所應(yīng)用的基本理論為： ① 甚本連續(xù)介質(zhì)熱力學(xué)的內(nèi)變鼠理論： ② 廣丁?理性化公理的本構(gòu)方程原理。 所紂到的本構(gòu)方程框架旳本構(gòu)方程的指導(dǎo)原則。 非線性方面在卜面兩個(gè)方面反映： ① 有限變形一稱為兒何非線性。 ② 本構(gòu)方程II：線性一稱為物理（材料）非線性。 若同時(shí)占慮以上兩個(gè)方而的罪線性因索，則稱為雙罪線性問(wèn)題。 3. 本課程的特點(diǎn) ① 普遍性； ② 嚴(yán)密性（只

10、有一個(gè)基本假設(shè)，物理定律和公理作為依據(jù)）； ③ 溶入r連續(xù)介質(zhì)熱力學(xué)： ④ 對(duì)連續(xù)介質(zhì)的本構(gòu)方程作框架的理論研究。 §1.4固體力學(xué)的學(xué)習(xí)、應(yīng)用和研究 學(xué)習(xí)是為了應(yīng)用和研究，要求每一個(gè)學(xué)習(xí)固體力學(xué)的人都應(yīng)能應(yīng)用和研究。碩士生： 加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的訓(xùn)練，主要是學(xué)習(xí)，但為應(yīng)用和研究打卜?甚礎(chǔ)，并進(jìn)行初步的應(yīng)用和研究： 側(cè)上生：進(jìn)一步加強(qiáng)壟礎(chǔ)知識(shí)的訓(xùn)練，主要學(xué)習(xí)某一學(xué)科領(lǐng)域的前沿知識(shí)，培養(yǎng)應(yīng)用和研究 的能力。 學(xué)習(xí)固體力學(xué)（材料力學(xué)、彈性力學(xué)，非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)）容易，但W用和研究會(huì) 冇很人的難度? 應(yīng)用和研究是分不開(kāi)的，要做好應(yīng)用耍做到： 1） .讀好書(shū)（上述教材及某一領(lǐng)域的專業(yè)書(shū)籍）,

11、融會(huì)貫通,深入到理論的粘微Z處； 2） .消化文獻(xiàn)（不僅是看文獻(xiàn),而且要看懂）,借鑒前人的應(yīng)用和研究之道; 3） .實(shí)踐出克知，探索獨(dú)到之處，開(kāi)通創(chuàng)造之源。 上述過(guò)程氏實(shí)也是相互交錯(cuò)地進(jìn)行，碩士或購(gòu)士畢業(yè)也僅僅是應(yīng)用和研究的開(kāi)始。 第2章張雖分析 # 第2章張雖分析 第2章張量分析 § 2. 1矢量空間 1. 線性矢量空間 設(shè)有〃個(gè)欠吊wj = l,2,…它們構(gòu)成一個(gè)集合R,苴中每個(gè)欠昴何稱為R的一個(gè) 元索。若卩+5（心刀唯一地確定R的另一個(gè)元索，及如（R為標(biāo)啟）也給定R內(nèi)唯一確 定的兀素，則稱R為線性（矢量）空間。R中的零元素記為O,且具UO

12、a =O. 2. 空間的維數(shù) 設(shè)％為加個(gè)標(biāo)杲，若能選?。?,使得 工 a=0 （2.1.1） t=i 且y不全為零，則稱此/”個(gè)矢量線性相關(guān)，否則，稱為線性無(wú)關(guān)。 例1位J：同一平面內(nèi)的兩個(gè)矢呈何和佚（如圖 2.1.1）是線性無(wú)關(guān)的，即 aLaL + a2a2 # 0 （ q和冬可為任意值， 且不全為零）。 例2位同一平面內(nèi)的三個(gè)欠磺件，為是線 性相關(guān)的，即總可找到（不全為零〉使 + a2°2 + aiai = ° 如圖 2.1.2 所示，a2 = a[al + o 集介R內(nèi)線性無(wú)關(guān)尤索的最人個(gè)數(shù)稱為集介或空 間的維數(shù)。設(shè)R的維數(shù)為n ,則記為R“，歐氏空間為R、。

13、 3. 空間的基和基元素 R”中任意“個(gè)線性元素?zé)o關(guān)元素的全體稱為R,, 的-個(gè)基?；拿總€(gè)尤索稱為基尤索，db J' Rn的〃個(gè)基尤素是線性無(wú)關(guān)的?！?是/?”內(nèi)任- 個(gè)元素尸可表示成基元素的線性組合。設(shè)a（i = l,2,…，町為心的任選的壟，則有 土如 h 0, a；為任意的不全為零的標(biāo)杲 /-I 但總可選取a°HO及％不全等于零，使得 n 嚀+工也=0 1=1 圖2.1.1平面匕兩個(gè)矢示線件無(wú)關(guān) 圖2丄2平而上三個(gè)矢昴線性相關(guān) 或者

14、 # 第2貫張獻(xiàn)分析 (2.1.2) ① 因?yàn)?工0耳不全等J：零，所以纟不全等丁零，J1為有限值。 ② 內(nèi)勺無(wú)限個(gè)基，但只有一個(gè)基是獨(dú)芒的，因?yàn)镽”內(nèi)至多只有/?個(gè)尤索是線性無(wú) 關(guān)的。設(shè)兀⑴及兀⑴是心的兩個(gè)基，則兀⑴中的每個(gè)某尤素都可用兀的線性組合來(lái)表示； 反之亦然，因此，/?“中的任兩個(gè)基尤之間存在唯一的變換關(guān)系。 ③ 對(duì)J?同-?個(gè)尤索r,采用不同的基時(shí)，其系數(shù)彳不同。 (2.1.3) 7 第2貫張獻(xiàn)分析 圖2.1.

15、3平面笛卡兒坐標(biāo)中位矢的表示 因?yàn)樨＂排c兀㈡間冇確定的變換關(guān)系，因此，《⑴與§嚴(yán)間亦冇確定的變換關(guān)系。 ④ 空間的肚往往與坐標(biāo)系相關(guān)連，每-?種坐標(biāo)系仃一個(gè)與Z對(duì)應(yīng)的確定的基，(2.1.2) 式中纟則是欠量尸在基叫或以?為坐標(biāo)方向的分鼠值。 ⑤ 空間的尤索若為欠屋，則基尤索稱為基矢。如前所述，不同坐標(biāo)系的基矢Z間存在 確定的變換關(guān)系，它是坐標(biāo)變換的基礎(chǔ)。 正交基：乞甚欠相互正交的皋，稱為正交基。 標(biāo)準(zhǔn)正交基：基欠為單位欠屆的正交基，稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基。 現(xiàn)以歐氏空間為例，歐氏空間為三維空間。 在歐氏空間內(nèi)，笛卡兒處標(biāo)系為標(biāo)準(zhǔn)正交某，記作?，在 此坐標(biāo)系內(nèi)，任一欠鼠尸(位矢)為 尸

16、二二兀尼+無(wú)冬+ 56 勺是不因坐標(biāo)位置而改變的 dr = S dv^ dr p =— ，dxi 當(dāng)只一個(gè)坐標(biāo)仃變化時(shí)，例如“仃變化 dr = dxlel 此時(shí)，dr| = dr = dx-,因此，勺為單位矢鼠。 1弓都等J J,且彼此正交，故笛卡兒坐標(biāo)系的肚為標(biāo)準(zhǔn) 正交J乩 正交曲線坐標(biāo)系的基亦為正交基，記作&??用0表不坐 圖2.1.4空間笛卡兒坐標(biāo)中位矢的表示 標(biāo)值?則某欠￡定義為 # 第2敢張就分析 # 第2敢張就分析 # 第2敢張就分析 # 第2敢張就分析 ①￡隨坐標(biāo)位置而變化

17、. ③ g,Z間相互正交。 因此￡是正交某，但不是標(biāo)準(zhǔn)正交某。 例如：在極坐標(biāo)系內(nèi) dr = + dO2g2 [0,1] q =廠0 = 0 dr = d/^ + d^2 其中|d^| = dr, ? |ft| = l, |d^2| = rd^,因此, |g:| = r o令\g] = Hi (拉梅系數(shù))及 # 第2敢張就分析 (2.1.4) # 第2敢張就分析 則Q為正交曲線W標(biāo)系的標(biāo)準(zhǔn)化正交基。 因此，顯然冇 # 第2敢張就分析 # 第2敢張就分析 § 2.

18、2字母指標(biāo)法 1. 字母標(biāo)號(hào)法(標(biāo)號(hào)：mdex or suffix ) 點(diǎn)位置:x,y,z (矢徑)-^x19x2,x3 -> x.(/= 1,2,3) 欠IS： (位移)一>心,“2川3 —>"(T，2,3) vx,vv,v.(速度)-> Vj,v2,V, -> v.(/ = 1,2,3) (w, V, W -> w,, u2, u5 -> u, (/ = 1,2,3)) 應(yīng)力(張量):6,巧,兀,島, T (/, J = 1,2,3) # 第2敢張就分析 #

19、 第2敢張就分析 應(yīng)變（張量）:乙灼，％%%，%% # 第2章張就分析 T 1,勺2，*33，"12，*21，*23，*32，6" *13 ->%(ij = 123) 微分符號(hào)：^-、^-、％ >? f Jj (^if) U = 1,2,3) av1 ox2 ox^ oxt d2f d2f d2f d2f 9 ' 7 ' 9 ' "ST dvf dxi dx； dxtx2 約定?? i,j,k,…英文字母下標(biāo)表示三維指標(biāo),取值1, 2, 3.在該約定下,上述簡(jiǎn)寫表 達(dá)式后的說(shuō)明（心123）或（/； j = l,2,3）在以后的寫法中將被略公。 2

20、. 求和約定： 首先考慮欠杲點(diǎn)枳的實(shí)例。 設(shè)攸。為兩欠杲，具分龜分別記為5切，則 (2.2.1) 3 a b = 0血 + a2b2 + a3b5 =工也一絲t ah （=1 啞標(biāo)：在農(nóng)達(dá)式的某項(xiàng)屮，若某拆標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)兩次，則衣示耍把該項(xiàng)指標(biāo)在取值范陽(yáng)內(nèi) 遍歷求和。該重復(fù)指標(biāo)稱為“啞標(biāo)”或“偽標(biāo)”。 啞標(biāo)的符號(hào)町以任意改變（僅表示求和）。如 # 第2章張就分析 # 第2章張就分析 再考居線性變換的實(shí)例。 (222) x[ = allxi + al2x2 + aI3x3 —> x； = x2 = a2lxk + a2l2x2 + a23x

21、3 -= aljxj} => x： = aijxi X； = + a52x2 + ①刑 ?； = a.jXj . 上式中，/為啞標(biāo)表示求和，m”在每項(xiàng)中只出現(xiàn)一次，稱為自由指標(biāo)。 自由指標(biāo)：在表達(dá)式的某項(xiàng)中，若某指標(biāo)只出現(xiàn)一次，若在取值范囤內(nèi)輪流取該指標(biāo)的 任-值時(shí)，關(guān)系式恒成立。該指標(biāo)稱為fl由拆標(biāo)。 口山指標(biāo)僅農(nóng)示為輪流取值，因此也對(duì)以換標(biāo)。如，（2?2?2）式可寫為 (2.2.3) 注意：①自由指標(biāo)必須整個(gè)表達(dá)式換標(biāo)。 ② 同項(xiàng)中出現(xiàn)兩對(duì)（或多對(duì)）不同啞標(biāo)表示多重求和。如 (2.2.4) 3 3 auX>XJ =工工陶X" f=l ③ 啞標(biāo)只能成對(duì)山現(xiàn)，否則要加上

22、求和兮或特別指出。 3 如： 工心切仃不能寫為a^Cj. i=l ④ 宙aibi = aici不能得出5 =5 ⑤ 若重復(fù)出現(xiàn)的標(biāo)號(hào)不求和，應(yīng)特別聲明。 1. 町符號(hào)(kionechei delta ) 哲符號(hào)定義為 (23.1) 6 =!1 為 i = j IJ [0 當(dāng) iwj q符號(hào)的性質(zhì) (23.2) ① 対稱性 ② 町進(jìn)行換標(biāo)或運(yùn)算 (233) 哲符巧的應(yīng)用 ①欠龜與代數(shù)運(yùn)算 ②微分運(yùn)算 aijxj-Ajci=(aij-ASij)xj dXj (23.4) (23.5) (2.3.6) (2?3.7) (23.8) 11

23、 第2貫張就分析 (23.9) 2. 排列符號(hào)(置換符號(hào))eijk ( Peimutatisn Symbol) 排列符號(hào)的定義 1當(dāng)為順循環(huán) eijk =< -1當(dāng)為逆循環(huán) 0當(dāng)不循環(huán) 其循環(huán)方向如圖2.3.1所示。 排列符右％的性質(zhì) (23.10) 循壞方向 圖2.3.1排列符號(hào)的循環(huán)方向 eiik = 一％ = _(_ 幺紺)=% (23.11) (2.3.11)式農(nóng)明，標(biāo)號(hào)改變奇次位置時(shí)改變正、負(fù)號(hào)：標(biāo)號(hào)改變偶數(shù)次位置時(shí)不改變符 排列符號(hào)切的應(yīng)用 (2.3.12) (2.3.13) 5 5 5 =%嘰皿或=?心"5 (23.14)

24、 # 第2貫張就分析 # 第2貫張就分析 3?％ ~巧之關(guān)系(恒等式) 因?yàn)? ax(bxc) = (ac)b-(a ? b)c (2.3.15) # 第2貫張就分析 # 第2貫張就分析 是一個(gè)欠員恒等式。 役 a = akek b = bses c = c(et,反復(fù)運(yùn)用(2.3.13)式，仃 ax(bxc) = (aek)x(弓上占)? = (eislakbsct)ek x弓 =eijkeistak^sCte j (2.3.16) # 第2貫張就分析 # 第2貫張就分析 另

25、一方面,反復(fù)運(yùn)用(2.3?6)式，有 (2.3.17) (〃 c)b-(a b)c = (akck)bjei-(cikbk)c.ej =[(巧易一氐島)兔也]勺 將(2.3.16)式和(2.3.17)式代入欠彊恒等式(2.3.15)式，令(矢吊「恒等則欠吊的各分就應(yīng)相 等) ^ijkeist)akbsc, =(6血一兀hWkbe (2.3.18) 由于對(duì)任意的代,?,c”(2.3.18)式均成立,則 eijkeiit = -幾耳 (2.3.19) 若將(2.3.19)式中的卜標(biāo)s換為J,有 % % = 6 ?気-如? Sjt = 2 気 (2.3.20) 若將

26、(2.3.19)式中的卜標(biāo)和分別換為厶R,有 eijkeijk = 2§妹=6 = 3! (23.21) (2.3.19)式至(2.3.21)式為呦與列么間的關(guān)系。 § 2.4坐標(biāo)變換 設(shè)O - "入"3為老坐標(biāo)系，対應(yīng)的川 矢為 el9e29e3. 設(shè)o-x{x2x\為新坐標(biāo)系，対丿衛(wèi)的皋 矢為 新老兩坐標(biāo)軸夾角的方向余眩用Lkl 表示，且 A = =cos(x；,xj (2.4.1) 厶U構(gòu)成一個(gè)二階張杲ZJL Z = LW

27、的性質(zhì) ①?gòu)堉恪瓴皇菍澐Q張杲 因?yàn)?Lkl = e[ -et,而 Lik = e\ -ek,所以 (2.4.2) 張彊Z的轉(zhuǎn)置記為 ②張帚I是正交張屆 根據(jù)定義(2.4.1)式和 (2.4.3) (2. 4.3)式，有 (2.4.4) (2.4.5) L 於= 因?yàn)?2. 4.1)式的卜面兩種寫法是等價(jià)的 Lki = h Lki = ere，k 將(2.4.5)式屮的第一式兩邊乘以j,有 13 第2敢張園分析 ek= 5 勺 將（2.4.5）式中的第二式兩邊乘以＜ ,Yj- ei = Lkie，k 「?是

28、n = M3 “ = Lkg 將（2.4.8）式代入（2.4.4）式，有 L^=Shlle[^em=I 張彊工是正交張鼠得證。 張磺Z的應(yīng)用 ① 欠最的坐標(biāo)變換 設(shè)在兩坐標(biāo)系卜的同一個(gè)欠駅可分別寫為 u =也,u = u[e[ 將（2.4.7）式代入（2.4.10）式中的第一式，仃 將（2.4.6）式代入（2.4.10）式中的第二式，有 “厶冋 將（2.4. 12）式和（2.4.11）式分別與（2.4. 10）式中的第一式和第 "；=協(xié)4 或 II k = L/aW； 將（2.4.13）式寫為矢最形式為 u = Lu u = L! u ② 二階張彊的坐標(biāo)變換 設(shè)

29、在兩坐標(biāo)系卜的同一個(gè)二階抿駁町分別寫為 / =人局?et 與上同樣推導(dǎo),可得 \nn = Lmk L戒 Ar A”” =厶^厶”九 （2. 1.11）式的張戰(zhàn)寫法為 A=LA L1 (2. 4.6) (2. 4.7) (2.4.7) (2.4.8) (2. 4.9) (2.4. 10) (2.4. 11) (2. 4. 12) 式進(jìn)行比較,有 (2.4. 13) (2.4. 14) (2.4. 15) (2. 4. 16) (2.4. 17) A = l! A L §2.5張量的代數(shù)運(yùn)算 1. 張量的坐標(biāo)系不變性及其記法 客觀磺都是與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)（

30、坐標(biāo)系只是人為的選擇工幾，如長(zhǎng)度是不變的，但測(cè)最長(zhǎng)度 町用不同的l：H）o若張彊與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)，則張晟反映了一個(gè)客觀彊。 a、小寫字母表示欠杲；表示笛卡兒坐標(biāo)系卜?的基矢；2,表示標(biāo)準(zhǔn)化的正交曲 線坐標(biāo)卜的阜欠： <,表示對(duì)應(yīng)J：標(biāo)準(zhǔn)化的正交曲線坐標(biāo)卜的欠乗的分吊，則任一欠吊w在 不同坐標(biāo)系卜可寫為 (2.5.1) a = aei = alel + a2e2 + a3e3 =dei = a[e[ + ci2e\ + 心； = acb I I 由j:矢彊么是一個(gè)客觀彊，它的人小和方向是不變的。 而（2.5.1）式中的 ①與a；與時(shí)是不同的，但它們之間有 一定的變換關(guān)系（即坐標(biāo)變換公

31、式），通過(guò)基欠的變換來(lái)導(dǎo) 出它們之間的變換關(guān)系。 ?稱為一階基（由三個(gè)欠量構(gòu)成的基）。 張量的階數(shù)及描述 ① 欠最是一階張量 欠最可用一個(gè)方向來(lái)確定。 ② 應(yīng)力應(yīng)變等是二階張量 圖2.5.2單元體及其應(yīng)力描述 有些最不能只利用一個(gè)方向來(lái)確定。如應(yīng)力：它與兩個(gè) 方向有關(guān)，常用的應(yīng)力單元體也是如此。 如圖2. 5. 1所示，在/!方向（"為作用而的法欠），應(yīng)力 矢為p異而在*方向，應(yīng)力矢為龍?這說(shuō)明應(yīng)力矢本身有方 l?J, ifiilL還與其作用方向有關(guān)，必須用兩個(gè)方向才能描述應(yīng)力 矢。 如圖2. 5. 2所示，每一個(gè)應(yīng)力分帚也必須用兩個(gè)方向才能 描述，第-個(gè)方向?yàn)閼?yīng)力作用而的方

32、向，第一個(gè)方向?yàn)閼?yīng)力作 用的方向。 J：是引入二階基：?0?。 從數(shù)學(xué)上說(shuō)，可引入e1?e2?-?en n階基,n階基中有3”個(gè)基矢. 與“階呈相關(guān)連的就稱為〃階張昴?！銜r(shí)為標(biāo)// = 1時(shí)為欠駅；〃 時(shí)為二階 張量（簡(jiǎn)稱張量:）。 張磺的記法如表2.5.1。 * 2.5.1張量記法衰 直接記法 矩陣記法 （0階、一階、二階張雖） （抽象記法） 分晝記法 標(biāo)帚: a / ? / a 何如 二階張吊 T 6［如 宜接記法與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)，只用J：描繪公式，不能進(jìn)行計(jì)算。分帚中標(biāo)最稱為偽標(biāo)鳳 因?yàn)樵摌?biāo)員與坐標(biāo)選擇冇關(guān)。 學(xué)生應(yīng)該較熟悉

33、學(xué)握分吊記法和ri接記法z間的變化關(guān)系。 2. 張量的外乘 張量的外乘,也稱為并乘,外積,并積。用記號(hào)?表示。其定義為 a?B \= aiei ?8jkei ?e, = aiBikei?ei?e, 'Jk 1 J k （2.5.2） =C cijk = ai^jk （2.5.3） 這里，〃為欠G（階張彊），B為二階弓長(zhǎng)駁，（7為三階張璉。 〃個(gè)張晟外乘，結(jié)果仍為張舄，新張晟的階數(shù)為"個(gè)張鼠階數(shù)Z和。 B?a^a?B 不適「?交換率，與秩序白關(guān)。 例：a?b = a：b尼 = C cij = aibJ 分起的組介冇9個(gè)，該9個(gè)為一.階張員的分鼠。 3. 張量的

34、內(nèi)乘 張彊的內(nèi)乘，也稱為點(diǎn)乘，內(nèi)積，點(diǎn)積。用記號(hào)“?”表示。其定義為 B a = B占 ? 勺? akek = B .a^ ? e ek （2.5.4） =BE h C尼=C 這里，〃為二階張最，Q為矢最，6?也為欠最。 張吊的內(nèi)乘法結(jié)果仍為張杲，具階數(shù)為二個(gè)張杲的階數(shù)之和再減去點(diǎn)乘的次數(shù)乘2。 例1：二階張屆與二階張甌的內(nèi)乘 17 第2敢張園分析 # 第2敢張園分析 A-B = A.ei?eJ-Bklek?el = AijBjlei?el 其中,C為二階張量,且Cii=AijBji° 例2：二階張帚的左右兩邊都與欠竜內(nèi)乘 aBb =

35、 c 其中,C為標(biāo)量,且c = aiBijbjc 4.張量的縮并 張彊的縮并的定義為（不能變換順序） ? ? = Cljklei-eJ?ek^el =5坯 =A 其中，人対=C陶? 張砒的縮并也町特別定義為 ? ? ? = 5 e^e^e^e, = cijuej?ek =B (2.5.5) (2.5.6) 其中,B-k = Cljkl. 但A^B o 張量的縮并還可特別定義為 ? ? ? f /—A—\ / A \ C = A?B = Aiy et Bklek ?et =D (2.5.7) 其屮，Dji = AjjBj! 張看的縮并仍為張最，其

36、階數(shù)等「原張吊「的階數(shù)減去縮并數(shù)x2. 張彊的縮并的慣用定義為 # 第2敢張園分析 19 第2敢張園分析 y :=俎叫小 %…切"9 0勺0??g ?en <2.5.8) 這里，/表示縮并，S表示縮并次數(shù)，慣川為般靠近的縮并。耍求rJ>So J$次縮并幾體 記為 一次縮并 Cl（A^B） =

37、A B = C （2.5.0） 其中5 =人述紂。 二次縮并 C\A?B） = AB=C （2.5.10） 也稱為雙點(diǎn)乘,其中S都為二階張量。進(jìn)一步有 三次縮并 四次縮并 (2.5.11) (2.5.12) 5.求跡 求跡（gee）就是求矩陣對(duì)角線上的尤素之和。即定義為 trA = A； (2.5.13) 6?若干結(jié)論 ① 商法則（也稱為張量識(shí)別定理,也可以說(shuō)是張量的另外定義） 設(shè)已知B和C為張杲.H.滿足 "（好…”后 % &… =°（士7刃? (2.5.14) 則A亦為張駅，IL為廠階，（C的階數(shù)減去B的階數(shù)+2S）。 特別是，當(dāng)/ = S即B的指標(biāo)與

38、zl的指標(biāo)全部依次 相同，則X的階數(shù)為C的階數(shù)加1.〃的階數(shù)。 如圖2. 5. 3所示，兀是一階張鼠（點(diǎn)的位逐矢），有 圖253點(diǎn)的位於欠及其農(nóng)示 # 第2匣張就分析 AjXj =易 根據(jù)上血分析，則町知5“為二階張最分炭（單位張杲），記為2。 町的矩陣記法為單位矩陣 A I = A 又axb = c = eijkabke.t 即 q =句 則q茯?yàn)槿A張鼠，記為“w ” ② 二階張最可視為一個(gè)變換.把一個(gè)矢最變換為另一個(gè)欠杲。即 B? a = a 二?-? —? (2.5.15) 一?般情況Va 與〃的人小不同、方向不同。 ③一階、二階張最的運(yùn)

39、算,可用矩陣的運(yùn)算方法（下面均指二階張量） 張最寫法 B = C Ctj = AikBkJ (2.5.16a) 矩陣寫法 [C] = [A][B] (2.5.16b) 同樣 求 a^at [aY (2.5.17) [AY[ A2=A A T [A][A] 類似 An =>[A]n (2.5.18) 特別地 a) B a = c^>{c} = (2.5.19) a-B =(f^>{a}T[B] = 24d9guoke414r (2.5.20) a? B $ B a (2.5.21) a b^> {a}1  = abt (2.5

40、.22) b) (Ba)\Ab) = c =>{國(guó)何和國(guó)何} =何丁 [町[好卩} ^=> a Br ? A b (B a)\A b) = a-B' -A-b = c c) A:B = AijBij = c=AIjiBij 4 B = 4 B筋 ?ef = C C.. = Aik B甘 tr(AB) = trC = Cti = Aik Bki 則 A B = tr(Ar B) = tr(A Br) A B = B A = tr(B AT) = tr(Br ? A) 進(jìn)一步 tr(A B C) = (A B):Cr = CT :(A B) = tr(C - A B)

41、§2.6特殊張量 張量函數(shù)(二階張量) 1. 對(duì)稱和反對(duì)稱張量 (與矩陣的對(duì)稱和反對(duì)稱意義相同) 定義： ① 設(shè)s為二階張屋，若仃s = L；s帀二則稱s為對(duì)稱張址 ② 設(shè)力為二階張晟，若有A = -At：碼=_綣，則稱A為反對(duì)稱張鼠 特性， ① 對(duì)稱張最弓反對(duì)稱張吊:之雙點(diǎn)積為零，即 ￡:力三0 證：S :A = tr(S7 - A) = tr(S ? A) = S : AT =-S : A 又S:/總為標(biāo)最，則S:A = Q 一般張彊總可以分解為對(duì)稱張屆與反對(duì)稱張駅Z和，即 丁 = % + 花) 心產(chǎn)扣+巧 (S =扭+?) (2.5.23) (2.5.24)

42、 (2.5.25) (2.5.26) (2. 6. 1) (2. 6. 2) 仃?何兩張吊?的雙點(diǎn)積為兩張吊?的對(duì)稱部分與反対稱部分的雙點(diǎn)積之和，即 21 第2貫張就分析 C =(〃(s)+ “⑷)?(C(s)+ °(勾) =%): C(S) + "(A) ： C(A) ② 設(shè)B為反對(duì)稱張杲，則可找一個(gè)欠杲Q,使(W為置換張鼠) -ib = _eae$ej = B 即 Bjj = -eijkbk , Bj. = -eJlkbk = elJkbk =_B『 由(2.6.4)式可知：任意欠吊#與置換張吊疋的點(diǎn)乘積為一個(gè)反対稱張吊, 求解張最方程(2.6.4)式，

43、即一￡ b = B,可求出b = ? 因?yàn)閑e= 21 將(2.6.4)式兩邊雙點(diǎn)乘W,有一 則-2b=e:Bf T是有 b = 一丄w:〃 2 稱〃與b互為對(duì)偶。 設(shè)B利爐均為反對(duì)稱張量,。和⑷分別為它們的對(duì)偶矢量,則 B - W = w 0 />-(￡> ? ip)Z 反對(duì)稱張起與反對(duì)稱張杲點(diǎn)積是一個(gè)張翁，但不一定為反対稱張翁。 證：B W = tr(Br ") = -tr(B W) = -tr[(w ^b)-(b w)I] = w’bf t = F Fq = b

44、 = -(b w-3b- w) = 2bw 因?yàn)閁\B W)WO,所以〃"不是反対稱張駅。 2. 偏(斜)張量和球張量 定義： 設(shè)D為張彊，若三0,則稱Q為偏斜張量。 1 0 0_ 設(shè)P為張杲，若P= pl，則稱P為球張量.P= p 0 1 0 0 0 1 (263) (2.6.4) (2.6.5) (2.6.6) 特性: D:P = O 證：因?yàn)?Q = D“=O,則 D .P = tr(D P ) = tr(D: P) = tr{D ? pl) =ptr(D I) = ptr(D) = 0 任何張斎於，都町分解為偏斜張杲和球張帚Z和 B = B(d)+

45、B(P) 瓦中 為=￡-*尊 任何兩嫌磺的雙點(diǎn)積為兩張屆的偏斜張屆部分與球張屆部分的雙點(diǎn)積z和, C = (B(D) + B(p)): (C(°)+ C(p)) = B(d)- C(°)+ B{p): C{p) 在彈性力學(xué)中，有 ￡ =扛為=*(S局.+ +他廠扌％) 3. 正交張量(代數(shù)中正交矩陣[A,][AJr=[J,]) 定義： 設(shè)有張吊-0 ,與任意矢量a，則有Q ? a = a* 如果 a a = a a (即a = a ) 則稱0為正交張疑(Q的變換稱為正交變換或剛體變換) 特性： ① 正常正交張駅與非正常正交張帚 根據(jù)定義，a ' a = {Q a)

46、(Q a) = a Q1 ? Q a = a a 又由JF為任意的，則Q「Q = I,所以 Q~[ = Q1 (2.6.7) (2.6.8) (2.6.9) OP (2.6.10) (2.6.11) (2.6.12) 「?是/] det??r ? (?) = det(7) = 1 det(07 )- det(C) = 1 且 det(0r ) = det((?) 23 第2敢張凰分析 # 第2敢張凰分析 正常正交張帚 非常正交張量 相為丁剛體轉(zhuǎn)動(dòng) 相當(dāng)丁?鏡射 (2.6.13) 則(det(C))2=l,所以 # 第2

47、敢張凰分析 # 第2敢張凰分析 圖2. 6.1右F坐標(biāo)系示意圖 若0為正常正交張鼠，則匚與￡之間為旋轉(zhuǎn)（仍為右手 坐標(biāo)系）。 若0為非常正交張彊，則匚與0；Z間為鏡射（將右手系變?yōu)樽笫窒担? ② 變換后的分彊在不同坐標(biāo)系卜?相同（矢彊連同卑一起剛性轉(zhuǎn)動(dòng)） 因?yàn)?Q a = a a = a 又 a = atet 宀 a：e： e： = Q a" = a： a： = Q ? a = Q ? aiei = a.Q ? et = *： (2.6.14) a2=a2 圖2.6.2矢示正交變換示意圖 ③ 保也變換（既是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，應(yīng)是保角的） a b =

48、a b （2.6.15） 若等式（2.6.13）式成丄 則保證角度不變，即兩欠危的夾角不變。 a ? b = (Q ? a)?(Q? b) = a ? Q—Q ? b = a ? b (a ? b* = a b n ab* cos O' = ab cos &=>&' = &) 4. 相似張量 定義： 設(shè)仃二個(gè)張〃和矢^a\a.燈 a = b , B-a - b (2.6.16) 如果a =Q a, 〃為任意，F(xiàn)l X =Q b，則稱〃與/為相似張量。 特性： ① 同於之間的關(guān)系： b = B ? a b = Qb 則 B a = b* = Q b B?Qa = QB

49、 a 又由Jf為任意的，則有B Q = Q B 又C1 = Qr ,將上式兩邊右乘q7,有 衣=Q B Q1 (2.6.17) ② 張吊連同基■起剛性轉(zhuǎn)動(dòng) 設(shè)6 = 0 ? et且 B、= B；e： ?e*, (2.6.18) B = Bt]et ?e (2.6.19) 又 B = QBQr 則 B = QBQ1 = QBijei ?e= Bi.(Q ei)?(Q ej)= Bire* 與(2.6.18)式比 較,有 B；j = Bq (2.6.20) 相似張屆Z -存在新呈上的分彊等J' ft-相似張吊在原族上的分駅。 R9 圖2.6 3不同基上相似張蛍分厳相同

50、 欠駅正交變換Qa=a 張駅正交變換 Q B QT = ByB = Q「B* Q 27 第2貫張就分析 ③ 相似張量的行列式值相同 (2.6.21) (2.6.22) dets' = detB 證：det = det(0 B Q1 ) = det 0 ? det B ? det07 乂 det Qr ? det C = (det Q)2 = 1,所以 det = det B ④ 相似張員的跡相同 tr(B) = tr(B) 證明：= tr(Q B Qr) = tr(QT Q B) = tr(B) 上兩個(gè)特性證明了不變帚與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān) 一次：tr(B) 二次：t

51、r(B) tr(B2)t 三次det(B) ⑤ 兩相似張磺的雙點(diǎn)枳相同 B ：A =B ：A (2.6.23) 證： B : A = tr(B'T A*) = t)\Q Br Qr Q A Q1 ) = tr(B' A) = B A 特別地:B = 即:B；B；j = BgBjj 定義： B 的范數(shù)=厲瓦=y/B .B (2.6.24) 記為||引，則 曆| = |網(wǎng) 兩相似張屆的范數(shù)相等。 5. 張量函數(shù) 以張屆為變吊的函數(shù)稱為張量函數(shù) 如：A = f S 功為張最旳數(shù)； 6j = 6&)或T t(€) 本構(gòu)關(guān)系為張駅函數(shù)； w^ = —cr.￡. =—T.s 應(yīng)變能

52、為張51函數(shù)。 2 v v 2 (1)標(biāo)fit值的張量函數(shù) a) 表達(dá)法 Y = Y(B),設(shè)B為二階張最 例：Y = L B = L“Bu，此處Z為給定的二階張員(相當(dāng)「詡數(shù)的系數(shù))。 b) 線性甫數(shù) Y(aB) = ciY(B) (2.6.25) c) 求導(dǎo) dY(B) d/ = — dBn (2.6.26) 遇 ，J 根據(jù)縮并定理，c = C2（A?B）則 ?_血為張駅分鼠。 定義， 6B 廠的階數(shù)等于變帚的階數(shù)。 （2）張杲值張龜函數(shù) a） Y = Y（B）（為II體化，設(shè)Y和B為二階張址） 例：Y = L:B, Z為給定的四階張駅（相為J：p為數(shù)系數(shù)

53、） (2.6.27) b） 線性函數(shù) c） 求導(dǎo) 嶺=LjjijBki Y(aB) = aY(B) (2.6.28) dy = dY(B) dB° (2.6.29) 同樣根據(jù)縮并定理 空凹為四階張帚分杲。 定義： ■ wr r =—為-個(gè)四階張吊-導(dǎo)數(shù)的階數(shù)■函數(shù)的階數(shù)+變磺的階數(shù)。 dB j T 例：T = T（s） ——=E d￡ dT = E :ds E—彈性張鼠（四階） 6. 各向同性張量函數(shù) Y = /（Z）,設(shè)幾Z為任意階張?：, 為卩和Z的正交變換。 若①y. N為標(biāo)砒，＜jy = y\z = z?: ② 7,Z為矢鼠，有Y'=Q Y

54、Z" = 0 Z； ③ F、Z 為二階張彊，{{Y =Q Y Qt Z=QZQrt 如果對(duì)于任意的Q,有下列關(guān)系 卩= /（Z） (2.630) (2.6.31) k = /（r） 29 第3底冇限變形 /的形式不變，則稱Y=f(Z)為各向同性張量函數(shù) 例：①因?yàn)閞 = r\z = z*冇y = y(z),所以標(biāo)鳳兩數(shù)為各向同性西數(shù)。 ② r,F* = C F, Z=QZ (F和0為矢磺)，則 y-=e.y = /(e.Z) = 0 /(Z) 所以 f(QZ) = Qf(Z) (2.6.32) 即滿足左邊條件的為各向同性矢帚換數(shù)。這也是矢最值欠杲兩數(shù)為齊向

55、同性換數(shù)的條件。 ③ 二階張最函數(shù) Y = f(Z) F* = n(0 Z 0 ) Y* Y Q7 f(Z) Q1 r是 /(0 Z ^) = C /(Z)(2.6.33) 這也是娠屆值張吊函數(shù)為各向同性兇數(shù)的條件。 在力學(xué)中，Qr) = Q f⑹為齊向同性材料的本構(gòu)方程。 設(shè)F = a^I + axB + azBz aQyara2是B的不變最函數(shù)，有 Y =a0Q I Q1 B Q1 +a.Q B Ql Q B Q1 =a&+a@?B?0r + a2QB2 Qr + a2QB2 Qr =<2(a°Z + a" + a屮：)(?/ = QYQt 比較，有 T = aQI

56、 + 0^ + 0^ (2. 6. 34) 為雖-?般的??向同性材料本構(gòu)關(guān)系。 第3章有限變形 §3.1有限變形 這里說(shuō)的變形，除連續(xù)性條件外，沒(méi)何疑余任何條件。 小變形：小位移，小轉(zhuǎn)動(dòng)，小應(yīng)變。 1 冇限變形：人位移，人轉(zhuǎn)動(dòng)，人應(yīng)變。 対丁?一個(gè)微小六面體，小變形卜變?yōu)橐粋€(gè)平行六面體； 有限變形卜仍變?yōu)橐粋€(gè)平行六面體。 這一條件不變。 從變形幾何學(xué)方而來(lái)研究變形。 耍解決的四個(gè)問(wèn)題： 1） 記錄； 2） 什么辦法來(lái)描述； 3） 怎么度量。 4） 仃沒(méi)冇辦法將變形分解 § 3. 2物體的構(gòu)形和坐標(biāo)系 物體：連續(xù)介質(zhì)，變形前用K。代衣，變形后用心代衣。

57、Ko：變形前物體，物質(zhì)點(diǎn)的集合； K,：變形后的物體： P ：物質(zhì)點(diǎn)； P：空間點(diǎn)，物質(zhì)點(diǎn)在空間所占的位直。 初始坐標(biāo)系O-X|X||X川 現(xiàn)時(shí)坐標(biāo)系 構(gòu)形：毎一瞬時(shí)與物質(zhì)點(diǎn)對(duì)W的空間點(diǎn)的集合。 t = 0瞬時(shí)，初始構(gòu)形 K。 f任意瞬時(shí)，現(xiàn)時(shí)構(gòu)形 Kt K。：初始構(gòu)形，X點(diǎn)的坐標(biāo)（ ?：現(xiàn)時(shí)構(gòu)形，（瞬時(shí)f的構(gòu)形），x點(diǎn)的坐標(biāo)（柿九 # 第3貫冇限變形 全部采用n角坐標(biāo)系。 圖321物體的構(gòu)形9坐標(biāo)系 §3.3描寫物體運(yùn)動(dòng)和變形的方法 1) Lagrange 描述法 用物質(zhì)坐標(biāo)作門變吊(描述物體的運(yùn)動(dòng)和變形)，即 x = x(X,t) 或 x

58、k = xk(XKJ) (3.3.1) 研究物質(zhì)點(diǎn)X在不同時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的空間點(diǎn)(著眼點(diǎn)：跟蹤物質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀況)。 2) Eiilei描述法 用空間坐標(biāo)兀作門變吊(描述物體的運(yùn)動(dòng)和變形)，即 圖331物體運(yùn)動(dòng)和變形的描述 X = X(xJ) 或 XK = XK(xk,t) (3.3.2) 研究空間點(diǎn)x處在不同時(shí)刻流經(jīng)這一空間的物質(zhì)點(diǎn)(著眼點(diǎn)：跟蹤在一個(gè)空間點(diǎn)上，不同 時(shí)刻對(duì)應(yīng)的物質(zhì)點(diǎn))。 (前者?跟蹤同一個(gè)人，不同晚上睡不同的床位，后音跟蹤同一張床，不同晚上由不同的人 去睡)? 位移矢：" U = d x — X (3.3.3) 其屮〃不隨時(shí)間而變，X也與/無(wú)關(guān)。 速度

59、和加速度：分兩種農(nóng)述方法 1） Lagrange 法 V = u=比（Xa」） dt ?? 03（X2） a = v = u = _- dt- 2） Euler JI：（研究流體的流動(dòng)等） (33.4) (33.5) d 。=才（3）= 內(nèi)(x“/) dv dxk dt dxk dt 那（皿） dt (33.6) 圖332流場(chǎng)中空間點(diǎn)流體速度 物質(zhì)導(dǎo)數(shù)=屬部導(dǎo)數(shù)+遷移導(dǎo)數(shù) v = v（xkJ） 流場(chǎng) # 第3貫冇限變形 # 第3貫冇限變形 §3.4變形梯度 有限變形的“記錄”（構(gòu)形）「描述” {;）已經(jīng)在上兩節(jié)中研究過(guò)

60、，本節(jié)研究“度彊” 變形后dx（方向，長(zhǎng)度） # 第3貫冇限變形 # 第3貫冇限變形 圖3 4.1變形的度就 物體的仃限變形的研究，離不開(kāi)一點(diǎn)的鄰域，或取一個(gè)線尤。 變形前線元：PQ = dX = dXK^EK 變形后線元：pq = dx = dxk ek dX Tdr經(jīng)歷了一個(gè)長(zhǎng)度的變化和方向的變化（它們的駅都可能是很人的）。 1） Lagrange法（物質(zhì)坐標(biāo)X人， 門變屆，/作參變吊） # 第3版冇限變形 p 點(diǎn)：xk = xk(XKJ) q點(diǎn)：無(wú)+dq = ^(“人+dX?J) 為求dr,有 (3.4.1)

61、 % = x上(Xk + dXK.t)- xk(XK,t)= # 第3版冇限變形 # 第3版冇限變形 上式表示&和dX的關(guān)系（可見(jiàn)一^的重耍性）。一產(chǎn)稱為物質(zhì)變形梯度張量F （稱為 0X 尺 dX K “物質(zhì)”的理由是物質(zhì)坐標(biāo)下的）.即 (3.4.2) 所以 dx = FdX 或 dxk =FkK6XK (3.4.3) # 第3版冇限變形 # 第3版冇限變形 為變形前后線元之間的關(guān)系（包金了長(zhǎng)度和方向）。 卜面驗(yàn)證F是一個(gè)二階張最 因?yàn)? IflJ 6X” (3.4.4) # 第3版冇

62、限變形 # 第3版冇限變形 類似有7^77- = Qkm，則(3.4.4)式寫為 % (3.4.5) F =q F Q1 這里仆0為坐標(biāo)變換正交張看，所以F為二階張杲。由關(guān)系到兩個(gè)坐標(biāo)系，所以稱為 (3.4.6) F對(duì)應(yīng)「?一個(gè)線性變換（從（3.4.3）式看）.包含了方向和長(zhǎng)度的變換。由此可見(jiàn)，F(xiàn) (3.4.7) 包禽了全部的仃限變形信息。 所以稱為變形“梯度”。 F的務(wù)種不同的寫法： F=FkKek^EK F' = qFQi 2） Euler法（用空間坐標(biāo)無(wú)一口變駁，f作參變最） P點(diǎn)（與"對(duì)應(yīng)的物質(zhì)點(diǎn)）：XK =XK（xk,

63、t） 0點(diǎn)（與g対應(yīng)的物質(zhì)點(diǎn)）：Xk + dXA, = XK （xk + dq J） (3.4.8) 37 第3版冇限變形 知道現(xiàn)在線尤，倒冋去查原來(lái)的線尤。對(duì)應(yīng)「一個(gè)由dq到dX&的線性變換。 定義： 空間變形梯度張量 F 1 （因?yàn)橐钥臻g坐標(biāo)為門變宣），且 (3.4.9) 嚴(yán)=^ = gradX =^Ek = XK kEK 翠 dx dxk 其實(shí)，F(xiàn)與互逆，所以用FT來(lái)定義。 §3.5變形張量 變形梯度張吊「： F dx = FdX包金了變形的全部信息. 變形張彊只研究其長(zhǎng)度改變的信息（不包含方向改變）。 1）Lagrange描述法（作為口變戰(zhàn)

64、） 變形前dX的長(zhǎng)度為d厶： （d厶亍=dXK?dXK 變形后 dx 的長(zhǎng)度為 dl: （d/）2 = dLq ? d.\;_ = Sudxk ? d.vz 上述dXK hV該是C知的，dq是可求出的。則 （d/）~ =瓦（F坎d%x）（FLdX￡）=幾F訂dXL =^klXk.K XhL^ K ?耿7 # 第3貫冇限變形 # 第3貫冇限變形 (dl)?=xk^Kxk^LdX KdX L (3.5.1) # 第3貫冇限變形 # 第3貫冇限變形 定義 (3.5.2) (3.5.3) 變形張最C

65、 (稱為Green變形張最)，C為止定的((d/)2>0).且 5l = Xk,KXk,L C為對(duì)稱張磧.且 c = ftf C = Xk,KXk,LEK^EL 通過(guò)C可直接算出長(zhǎng)度的變化(優(yōu)點(diǎn))。 2) Euler描述法(忑作為自變量) 變形厲的長(zhǎng)度d/: (d/)2 = cLi; - (作為已知的) 變形前的長(zhǎng)度也： (dL)2 =dXK-dXK = SKLdXKdXL = SKLXKJcX^dxkdxL = X KJiX LJdxkdxt 定義 Cauchy變形張磺 (3.5.4) 1 = X—Xx用 B~l = (F~l)r(F~l) 通過(guò)變形梯度張屆可求

66、出Cauchy變形張駅o §3.6變形梯度張量的極分解 仍考察變形梯度張tFo若F是一個(gè)可逆張量,即存在，則F可寫為 F=R U 或 F=V R (3.6.1) 右極分解 左極分解 上述分解存在且是唯一的，其屮R是正常正交張吊，表示轉(zhuǎn)動(dòng)，所以記為R , t；和V 是対稱、正定張磺。 1.右極分解的證明 若F = R U成立，fLR為正交張最，U為對(duì)稱正定張杲。 FJ =(R Uf =U7 RT =U R7 則 FTF =(U RJ)(R U) = U U 內(nèi)為F1F=C為正定的，對(duì)稱的，所以，由F可找到U,且U為正定、對(duì)稱的。 又R = F U ', 疋=曠尸，則 RJR = U~l F1 F U U U U~l = 1 2.右極分解的唯一性 設(shè) F = R U = R' Uf U' = R"F = R'T R U U,2 = UV' = U'JU' = (URTR)(R"RU) = U' 丁?是U' = t/,由此可推得R' = R 3) 左右極分解中的R是相同的。 F =RU 乂 F =VR4 F =VR'= (/?* ? R J)V 疋=R