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《平行四邊形的性質》典型例題 例1 一個平行四邊形的一個內角是它鄰角的3倍，那么這個平行四邊形的四個內角各是多少度？ 例2 已知：如圖，的周長為60cm，對角線AC、BD相交于點O，的周長比的周長多8cm，求這個平行四邊形各邊的長. 例3 已知：如圖，在中，交于點O，過O點作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，說明理由. 例4 已知：如圖，點E在矩形ABCD的邊BC上，且，垂足為F.求證： D C A B 例5 O是ABCD對角線的交點，的周長為59，，，則________，若與的周長之差為15，則______，ABCD的周長=______. 例6 已知：如圖，ABCD的周長是，由鈍角頂點D向AB，BC引兩條高DE，DF，且，.求這個平行四邊形的面積. 例7 如圖，已知：ABCD中，于E，于F，若，，. 求：AB、BC的長和ABCD的面積. 參考答案 例1 分析 根據(jù)平行四邊形的對角相等，鄰角互補可以求出四個內角的度數(shù). 解 設平行四邊形的一個內角的度數(shù)為x，則它的鄰角的度數(shù)為3x，根據(jù)題意，得，解得，∴ ∴這個平行四邊形的四個內角的度數(shù)分別為45，135，45，135. 例2 分析 由平行四邊形對邊相等，可知平行四邊形周長的一半＝30cm，又由的周長比的周長多8cm，可知cm，由此兩式，可求得各邊的長. 解 ∵四邊形為平行四邊形，∴ ，∴ ，∴ ∴ 答：這個平行四邊形各邊長分別為19cm，11cm，19cm，11cm. 說明：學習本題可以得出兩個結論：（1）平行四邊形兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半.（2）平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形周長之差等于鄰邊之差. 例3 分析 觀察圖形，，從而可說明 證明 在中，交于O，∴ ，∴， ∴，∴ 例4 分析 觀察圖形，與都是直角三角形，且銳角，斜邊，因此這兩個直角三角形全等。在這個圖形中，若連結AE，則與全等，因此可以確定圖中許多有用的相等關系。 證明 ∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴ ，∴， 又，∴?！? 例5 解答 ABCD中，，. ∴ 的周長 ∴ . 在ABCD中，. ∴ 的周長－的周長 ∴ ∴ ABCD的周長 說明：本題考查平行四邊形的性質，解題關鍵是將與的周長的差轉化為兩條線段的差. 例6 解答 設. ∵ 四邊形ABCD為平行四邊形， ∴ . 又∵四邊形ABCD的周長為36，∴ ① ∵ ， ∴ ∴ ② 解由①，②組成的方程組，得. ∴. 說明：本題考查平行四邊形的性質及面積公式，解題關鍵是把幾何問題轉化為方程組的問題. 例7 分析 由已知條件，在四邊形AECF中，可求出. 從而可知，所以. 因此，在直角三角形ABE和直角三角形ADF中，可分別求出AB、AD長，從而也可求出AE、AF的長，則容易求出ABCD的面積. 解答 在四邊形AECF中， （垂直定義），（已知）， ∴ . 在ABCD中， ∵， ∴， ∴ 在中，，， ∴， ∴ 同理，可求出. 在中，根據(jù)勾股定理， ∴