綜合檢測一(標(biāo)準(zhǔn)卷) 考生注意： 1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁． 2．答卷前，考生務(wù)必用藍(lán)、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)填寫在相應(yīng)位置上． 3．本次考試時(shí)間120分鐘，滿分150分． 4．請?jiān)诿芊饩€內(nèi)作答，保持試卷清潔完整． 第Ⅰ卷(選擇題　共60分) 一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．已知集合M＝{2,3,4,5}，N＝{x|x2－5x＋4<0}，則M∩N為(　　) A．{2,3,4,5} B．{2,3} C．{3,4,5} D．{2,3,4} 答案　B 解析　∵N＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1<x<4}，M＝{2,3,4,5}， 則M∩N＝{2,3}． 2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1－i)z＝3＋i，則|z|等于(　　) A.B．2C．2D. 答案　D 解析　z＝＝＝1＋2i.所以|z|＝＝. 3．直線x－y＋m＝0與圓(x－1)2＋y2＝2有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件是(　　) A．－3<m<1 B．－4<m<2 C．0<m<1 D．m<1 答案　A 解析　圓(x－1)2＋y2＝2，圓心(1,0)到直線x－y＋m＝0的距離小于半徑， 由點(diǎn)到直線的距離公式得<， ∴－3<m<1. 4．若x，y滿足則z＝x＋2y的最大值為(　　) A．8B．7C．2D．1 答案　B 解析　作出題設(shè)約束條件可行域，如圖△ABC內(nèi)部(含邊界)，作直線l：x＋2y＝0，把直線l向上平移，z增加，當(dāng)l過點(diǎn)B(3,2)時(shí)，z＝3＋22＝7為最大值．故選B. 5．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　幾何體為一個(gè)四棱錐與一個(gè)半圓錐的組合體，四棱錐的高為，底面為邊長為2的正方形；半圓錐高為，底面為半徑為1的半圓，因此體積為22＋＝，故選B. 6．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是(　　) A．a(chǎn)n＝n B．a(chǎn)n＝n－1 C．a(chǎn)n＝n2 D．a(chǎn)n＝2n－1 答案　A 解析　由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1，∴＝， ∴數(shù)列是常數(shù)列．且＝＝1，∴an＝n，故選A. 7．若sin＝，則cos等于(　　) A.B．－C.D．－ 答案　B 解析　∵sin＝cos ＝cos＝， ∴cos＝2cos2－1＝2－1＝－.故選B. 8．如圖是一個(gè)算法的程序框圖，當(dāng)輸入的x的值為7時(shí)，輸出的y值恰好是－1，則“？”處應(yīng)填的關(guān)系式可能是(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝3－x C．y＝|x| D．y＝ 答案　A 解析　依題意，輸入的x的值為7，執(zhí)行4次循環(huán)體，x的值變?yōu)椋?，這時(shí)，如果輸出的y值恰好是－1，則函數(shù)關(guān)系式可能為y＝2x＋1. 9.函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象如圖所示，為了得到g(x)＝cosωx的圖象，則只要將f(x)的圖象(　　) A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度 C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度 答案　A 解析　由函數(shù)的圖象可得A＝1， 則＝＝－，可得ω＝2， 由圖象可得2＋φ＝kπ(k∈Z)， 又|φ|<，可得φ＝， 故函數(shù)的解析式為f(x)＝sin， 由f(x)＝sin＝cos ＝cos， 故將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度可得到g(x)＝cosωx的圖象． 10．球面上有三點(diǎn)A，B，C組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，其中AB＝6，BC＝8，AC＝10，球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半，則球的表面積為(　　) A.B．150πC.D. 答案　A 解析　∵AB2＋BC2＝AC2， ∴△ABC為直角三角形，其外接圓半徑為＝5，即截面的圓的半徑為r＝5， 又球心到截面的距離為d＝， ∴R2－2＝r2＝25，R＝，∴S＝4πR2＝. 11．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A和B分別為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．且滿足∠AFB＝120，過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為(　　) A.B．1C.D. 答案　D 解析　如圖所示，過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線AQ，BP，垂足分別為Q，P，設(shè)|AF|＝a，|BF|＝b，由拋物線的定義，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b，由余弦定理得：|AB|2＝a2＋b2－2abcos120＝a2＋b2＋ab，整理得|AB|2＝(a＋b)2－ab，因?yàn)閍b≤2，則(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－2＝(a＋b)2，即|AB|2≥(a＋b)2，所以≥＝3，所以≥，即≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，即|AF|＝|BF|時(shí)取等號(hào)，故選D. 12．已知函數(shù)f(x)＝，t∈R，若對(duì)任意的x∈[1,2]，f(x)>－xf′(x)恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(　　) A．(－∞，) B. C．(－∞，3) D. 答案　B 解析　∵f′(x)＝， ∴對(duì)任意的x∈[1,2]，f′(x)x＋f(x)＞0恒成立?對(duì)任意的x∈[1,2]，＞0恒成立 ?對(duì)任意的x∈[1,2]，2x2－2tx＋1＞0恒成立?t＜＝x＋＝x＋恒成立，令g(x)＝x＋， 又g(x)＝x＋在[1,2]上單調(diào)遞增，∴g(x)min＝g(1)＝， ∴t＜. 第Ⅱ卷(非選擇題　共90分) 二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 13．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影為3，則a與b的夾角為________． 答案　 解析　∵b在a上的投影為3，∴|b|cos〈a，b〉＝|b|＝＝3，m＝，cos〈a，b〉＝＝＝，∵0≤〈a，b〉≤π，∴向量a與b的夾角為. 14．定義在R上函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)<－的解集為________． 答案　 解析　當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)＝2x－1<－，∴2x<?x<－1；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)＝|x－3|－1<－?<x<，∴不等式f(x)<－的解集為 . 15．已知圓O：x2＋y2＝1與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A，P為直線3x＋4y－a＝0上一點(diǎn)，過P作圓O的切線，切點(diǎn)為T，若|PA|＝2|PT|，則a的最大值為________． 答案　 解析　易知A(－1,0)，設(shè)P(x，y)，由|PA|＝2|PT|，可得(x＋1)2＋y2＝4(x2＋y2－1)，化簡得2＋y2＝，可轉(zhuǎn)化為直線3x＋4y－a＝0與圓2＋y2＝有公共點(diǎn)，所以d＝≤，解得－≤a≤.故a的最大值為. 16．已知函數(shù)f(x)＝－2x2＋lnx(a>0)，若函數(shù)f(x)在[1,2]上為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是____________． 答案　∪[1，＋∞) 解析　f′(x)＝－4x＋， 若函數(shù)f(x)在[1,2]上為單調(diào)函數(shù)， 即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0 在[1,2]上恒成立， 即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立． 令h(x)＝4x－，則h(x)在[1,2]上單調(diào)遞增， 所以≥h(2)或≤h(1)， 即≥或≤3， 又a＞0，所以0＜a≤或a≥1. 三、解答題(本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(12分)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足b2＋c2＝bc＋a2. (1)求角A的大??； (2)若等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1cosA＝1，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，求的前n項(xiàng)和Sn. 解　(1)∵b2＋c2＝bc＋a2， ∴cosA＝＝＝， 又A∈(0，π)，∴A＝. (2)設(shè){an}的公差為d，由已知得a1＝＝2，且a＝a2a8， ∴(2＋3d)2＝(2＋d)(2＋7d)．又d不為零，∴d＝2， ∴an＝2n， ∴＝＝－， ∴Sn＝＋＋…＋ ＝1－＝. 18．(12分)為選拔選手參加“全市高中數(shù)學(xué)競賽”，某中學(xué)舉行了一次“數(shù)學(xué)競賽”活動(dòng)，為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù)，滿分為100分)作為樣本(樣本容量為n)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在[50,60)，[90,100]的數(shù)據(jù))． (1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y的值； (2)在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上(含80分)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加“全市高中數(shù)學(xué)競賽”，求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90,100]內(nèi)的概率． 解　(1)由題意可知，樣本容量n＝＝50， y＝＝0.004，x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030. (2)由題意可知，分?jǐn)?shù)在[80,90)內(nèi)的學(xué)生有5人，記這5人分別為a1，a2，a3，a4，a5，分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的學(xué)生有2人，記這2人分別為b1，b2.抽取的2名學(xué)生的所有情況有21種，分別為： (a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)． 其中2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)都不在[90,100]內(nèi)的情況有10種，分別為： (a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)． ∴所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90,100]內(nèi)的概率P＝1－＝. 19．(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB＝2AD＝2，PD＝BD＝AD，且PD⊥底面ABCD. (1)證明：BC⊥平面PBD； (2)若Q為PC的中點(diǎn)，求三棱錐A－PBQ的體積． (1)證明　∵AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD， ∵AD∥BC，∴BC⊥BD. 又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC. ∵PD∩BD＝D，PD，BD?平面PBD， ∴BC⊥平面PBD. (2)解　三棱錐A－PBQ的體積VA－PBQ與三棱錐A－QBC的體積相等， 而VA－QBC＝VQ－ABC＝VP－ABC＝VP－ABCD＝1＝. ∴三棱錐A－PBQ的體積VA－PBQ＝. 20．(12分)已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)和橢圓C2：＋y2＝1的離心率相同，且點(diǎn)(，1)在橢圓C1上． (1)求橢圓C1的方程； (2)設(shè)P為橢圓C2上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線交橢圓C1于A，C兩點(diǎn)，且P恰為弦AC的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，試問△AOC的面積是否為常數(shù)，若是，請求出此常數(shù)，若不是，請說明理由． 解　(1)由題知，＋＝1，且＝，即a2＝4，b2＝2， 橢圓C1的方程為＋＝1. (2)是．?、佼?dāng)直線AC的斜率不存在時(shí)，必有P(，0)，此時(shí)|AC|＝2，S△AOC＝. ②當(dāng)直線AC的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，點(diǎn)P(x0，y0)，則AC：y－y0＝k(x－x0)，直線AC與橢圓C1聯(lián)立，得(1＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(y0－kx0)2－4＝0，設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)， 則x0＝＝－，即x0＝－2ky0， 又x＋2y＝2，∴y＝， S△AOC＝ ＝ ＝ ＝|y0|＝. 綜上，△AOC的面積為常數(shù). 21．(12分)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ax，a∈R. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)若函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，且≥e2，求證：(x1－x2)f′(x1＋x2)>. (1)解　函數(shù)f(x)＝lnx＋ax，a∈R的定義域?yàn)閧x|x>0}，f′(x)＝＋a， ①當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； ②當(dāng)a<0時(shí)，令f′(x)＝＋a>0,0<x<－，∴f(x)在上單調(diào)遞增； 令f′(x)＝＋a<0，x>－，∴f(x)在上單調(diào)遞減． (2)證明　∵lnx1＋ax1＝0，lnx2＋ax2＝0， ∴l(xiāng)nx2－lnx1＝a(x1－x2)， (x1－x2)f′(x1＋x2)＝(x1－x2)＝＋a(x1－x2) ＝＋ln＝＋ln， 令＝t(t≥e2)，令φ(t)＝＋lnt，則φ′(t)＝>0， ∴φ(t)在[e2，＋∞)上單調(diào)遞增，φ(t)≥φ(e2)＝1＋>1＋＝. 請?jiān)诘?2～23題中任選一題作答． 22．(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)，0≤α<π)． (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)為M(2,2)，求α. 解　(1)曲線C：ρ＝，即ρsin2θ＝4cosθ， 于是有ρ2sin2θ＝4ρcosθ， 化為直角坐標(biāo)方程為y2＝4x. (2)方法一　?(2＋tsinα)2＝4(2＋tcosα)， 即t2sin2α＋(4sinα－4cosα)t－4＝0. 由AB的中點(diǎn)為M(2,2)，得t1＋t2＝0，有4sinα－4cosα＝0，所以k＝tanα＝1， 由0≤α<π得α＝. 方法二　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ?(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)， ∵y1＋y2＝4，∴k＝tanα＝＝1， 由0≤α<π得α＝. 方法三　設(shè)A，B(y1<y2)， 則由M(2,2)是AB的中點(diǎn)，得 ? ∵y1<y2，∴y1＝0，y2＝4，知A(0,0)，B(4,4)， ∴k＝tanα＝1，由0≤α<π得α＝. 方法四　依題意設(shè)直線l：y－2＝k(x－2)，與y2＝4x聯(lián)立得y－2＝k， 即ky2－4y－8k＋8＝0. 由y1＋y2＝＝4，得k＝tanα＝1， 因?yàn)?≤α<π，所以α＝. 23．(10分)已知函數(shù)f(x)＝m－|x＋4|(m>0)，且f(x－2)≥0的解集為[－3，－1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c都是正實(shí)數(shù)，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9. (1)解　依題意f(x－2)＝m－|x＋2|≥0，即|x＋2|≤m?－m－2≤x≤－2＋m， ∴m＝1. (2)證明　∵＋＋＝1(a，b，c>0)， ∴a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) ＝3＋＋＋≥9， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝3c，即a＝3，b＝，c＝1時(shí)取等號(hào)．