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第二章 推理與證明 章末檢測試卷(二) (時間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．根據偶函數定義可推得“函數f(x)＝x2在R上是偶函數”的推理過程(　　) A．歸納推理 B．類比推理 C．演繹推理 D．以上答案都不對 考點　演繹推理的含義與方法 題點　演繹 答案　C 解析　根據演繹推理的定義知，推理過程是演繹推理． 2．下面是一段“三段論”推理過程：若函數f(x)在(a，b)內可導且單調遞增，則在(a，b)內，f′(x)>0恒成立．因為f(x)＝x3在(－1,1)內可導且單調遞增，所以在(－1,1)內，f′(x)＝3x2>0恒成立．以上推理中(　　) A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．結論正確 D．推理形式錯誤 考點　“三段論”及其應用 題點　大前提錯誤導致結論錯誤 答案　A 解析　f(x)在(a，b)內可導且單調遞增，則在(a，b)內，f′(x)≥0恒成立，故大前提錯誤，故選A. 3．設a，b，c都是非零實數，則關于a，bc，ac，－b四個數有以下說法： ①四個數可能都是正數； ②四個數可能都是負數； ③四個數中既有正數又有負數． 以上說法中正確的個數為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 答案　B 解析　可用反證法推出①②不正確，因此③正確． 4．在等差數列{an}中，若an<0，公差d>0，則有a4a6>a3a7，類比上述性質，在等比數列{bn}中，若bn>0，q>1，則下列有關b4，b5，b7，b8的不等關系正確的是(　　) A．b4＋b8>b5＋b7 B．b5＋b7>b4＋b8 C．b4＋b7>b5＋b8 D．b4＋b5>b7＋b8 考點　類比推理的應用 題點　等差數列與等比數列之間的類比 答案　A 5．已知＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，…，依照以上各式的規(guī)律可得(　　) A.＋＝2 B.＋＝2 C.＋＝2 D.＋＝2 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數對(組)中的應用 答案　A 解析　從各個等式可以看出，等式的右端均為2，左端為兩個式子的和，且兩個式子的分子之和恒等于8，分母為相應分子減去4，所以可得＋＝2. 6．設{an}，{bn}是兩個等差數列，若cn＝an＋bn，則{cn}也是等差數列，類比上述性質，設{sn}，{tn}是等比數列，則下列說法正確的是(　　) A．若rn＝sn＋tn，則{rn}是等比數列 B．若rn＝sntn，則{rn}是等比數列 C．若rn＝sn－tn，則{rn}是等比數列 D．以上說法均不正確 考點　類比推理的應用 題點　等差數列與等比數列之間的類比 答案　B 解析　在由等差數列的運算性質類比推理到等比數列的運算性質時：加減運算類比推理為乘除運算，累加類比為累乘．故由“{an}，{bn}是兩個等差數列，若cn＝an＋bn，則{cn}是等差數列”，類比推理可得：“設{sn}，{tn}是等比數列，若rn＝sntn，則{rn}是等比數列”．故選B. 7．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證0 B．a－c<0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0 考點　分析法及應用 題點　尋找結論成立的充分條件 答案　C 解析　要證明0，即證(a－c)(2a＋c)>0，即證(a－c)(a－b)>0. 8．某同學在紙上畫出如下若干個三角形： △▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲…… 若依此規(guī)律，得到一系列的三角形，則在前2 015個三角形中▲的個數是(　　) A．62 B．63 C．64 D．61 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在圖形中的應用 答案　A 解析　前n個▲中所包含的所有三角形的個數是1＋2＋3＋…＋n＋n＝，由＝2 015，解得n＝62. 9．已知1＋23＋332＋433＋…＋n3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值為(　　) A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝ C．a＝0，b＝c＝ D．不存在這樣的a，b，c 考點　數學歸納法定義及原理 題點　數學歸納法第一步：歸納奠基 答案　A 解析　令n＝1,2,3， 得 所以a＝，b＝c＝. 10．用反證法證明命題“＋是無理數”時，假設正確的是(　　) A．假設是有理數 B．假設是有理數 C．假設或是有理數 D．假設＋是有理數 考點　反證法及應用 題點　如何正確進行反設 答案　D 解析　應對結論進行否定，則＋不是無理數， 即＋是有理數． 11．我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體．下列幾何體中，一定屬于相似體的有(　　) ①兩個球體；②兩個長方體；③兩個正四面體；④兩個正三棱柱；⑤兩個正四棱錐． A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 考點　類比推理的應用 題點　平面幾何與立體幾何之間的類比 答案　C 解析　類比相似形中的對應邊成比例知，①③一定屬于相似體． 12．設函數f(x)定義如下表，數列{xn}滿足x0＝5，且對任意的自然數均有xn＋1＝f(xn)，則x2 016等于(　　) x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2 A.1 B．2 C．4 D．5 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數列中的應用 答案　D 解析　x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，x6＝f(2)＝1，x7＝f(1)＝4，x8＝f(4)＝5，x9＝f(5)＝2，…，所以數列{xn}是周期為4的數列，所以x2 016＝x4＝5，故選D. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．用數學歸納法證明“1＋2＋3＋…＋n2＝”時，從n＝k到n＝k＋1，等式左端需要增加的代數式為________________________． 考點　數學歸納法定義及原理 題點　數學歸納法第二步：歸納遞推 答案　(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 解析　當n＝k時，等式的左端為1＋2＋3＋…＋k2，當n＝k＋1時，等式的左端為1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 14．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，則m，n的大小關系是________． 考點　綜合法及應用 題點　利用綜合法解決不等式問題 答案　m>n 解析　ab>0?>0?a＋b＋2>a＋b?(＋)2>()2?＋>?>?lg>lg. 15．古埃及數學中有一個獨特現(xiàn)象：除了用一個單獨的符號表示以外，其他分數都要寫成若干個分數和的形式，例如＝＋.可以這樣來理解：假定有2個面包，要平均分給5個人，每人分將剩余，再將這分成5份，每人分得，這樣每人分得＋.同理可得＝＋，＝＋，…，按此規(guī)律，則＝________，＝________(n＝5,7,9,11，…)． 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數對(組)中的應用 答案?。。? 解析　由＝＋，＝＋，＝＋得，當n＝5,7,9時，等號右邊第一個分數的分母分別為3,4,5，第二個分數的分母分別是等號左邊分數的分母與等號右邊第一個分數分母的乘積． 16.現(xiàn)有一個關于平面圖形的命題：如圖，同一平面內有兩個邊長都是a的正方形，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，有兩個棱長為a的正方體，其中一個的某頂點在另一個中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為________． 考點　類比推理的應用 題點　平面幾何與立體幾何之間的類比 答案　 解析　解法的類比(特殊化)，可得兩個正方體重疊部分的體積為. 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)1，，2能否為同一等差數列中的三項？說明理由． 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 解　假設1，，2能為同一等差數列中的三項，但不一定是連續(xù)的三項，設公差為d，則1＝－md,2＝＋nd，m，n為兩個正整數，消去d得m＝(＋1)n. ∵m為有理數，(＋1)n為無理數． ∴左邊為有理數，右邊為無理數，m＝(＋1)n不成立，矛盾． ∴假設不成立，即1，，2不可能為同一等差數列中的三項． 18．(12分)已知a>0，b>0,2c>a＋b，求證：c－a2＋ab，因為a>0，所以只需證2c>a＋b. 因為2c>a＋b已知，所以原不等式成立． 19．(12分)已知A，B都是銳角，且A＋B≠90，(1＋tan A)(1＋tan B)＝2.求證：A＋B＝45. 考點　綜合法及應用 題點　利用綜合法解決函數問題 證明　因為(1＋tan A)(1＋tan B)＝2， 展開化簡為tan A＋tan B＝1－tan Atan B. 因為A＋B≠90，tan(A＋B)＝＝1， 又因為A，B都是銳角， 所以01.41，∴2>2.82，∴＋<2. (2)一般結論為：若n∈N*， 則＋<2，證明如下： 要證＋<2， 只需證(＋)2<(2)2， 即證2n＋2＋2<4n＋4， 即證

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