工程矩陣?yán)碚撛嚲順泳?0c 一、已知矩陣，的子集 1、證明：V是的子空間； 2、求V的一組基及V的維數(shù)； 3、證明，并求A在上小題所提基下的坐標(biāo)； 4、試給出的兩個(gè)不同的子空間及，使得 解：1、設(shè)， 所以，V對(duì)加法和數(shù)乘封閉，故V是的子空間。 2、設(shè) ，所以V的基為，2維。 3、，在下的坐標(biāo)為。 4、擴(kuò)充V的基為上的基,擴(kuò)充出來的向量生成的子空間即為的基。 V的基為，找兩組與、線性無關(guān)的向量。 容易看出，中的四個(gè)列向量線性無關(guān)，故 中的四個(gè)列向量也線性無關(guān)，故 二、假設(shè)3維線性空間V上的線性變換在V的基下的矩陣為。問：當(dāng)滿足什么條件時(shí)，存在V的一組基，使得的矩陣是？ 解： 、為同一線性變換下的矩陣，故∽，有相同的jordan 標(biāo)準(zhǔn)形，相同的特征值，相同的跡，相同的秩。 根據(jù)、跡相同(即主對(duì)角元素的和相同)得：，， ， 時(shí)，，求得 時(shí)， ， 或， 三、設(shè)矩陣，上的變換定義如下： 1、證明：是線性變換； 2、求在的基下的矩陣M； 3、求的值域及核子空間的基及它們的維數(shù)； 4、試求M的jordan標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出的最小多項(xiàng)式； 5、問：能否找到的基，使得的矩陣為對(duì)角陣？為什么？ 解： 1、證明：設(shè) 故關(guān)于加法和數(shù)乘封閉，為線性變換。 2、 3、，的基，，2維。 ，的基，，2維。 4、 5、不能找到 四、求下列矩陣的廣義逆矩陣： 1、； 解： 2、，其中，。 解： 故對(duì)B進(jìn)行滿秩分解， 五、已知矩陣A的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等，均為，給出可能的jordan標(biāo)準(zhǔn)形。 解： 根據(jù)矩陣A的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等，均為，可得 ： ∽∽ 當(dāng),則 ： 令， 求出代入，求出 ： 令， 求出代入，求出 六、矩陣函數(shù)： 1、設(shè)，求矩陣函數(shù)，并給出的特征多項(xiàng)式。 解：求： 令， 求的特征多項(xiàng)式： 的特征值為，的特征值即為，故的特征值為，。 2、設(shè)，試將表示成關(guān)于A的次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式，并求。 解：，當(dāng)時(shí)， 令 求出代入，求出 七、設(shè)的子空間，，求使得。 該題與“工程矩陣?yán)碚撛嚲順泳?0a”第三題類似，為找正投影問題。 八、證明題： 1、證明：若酉矩陣A滿足，則。 證明：令 ，為的化零多項(xiàng)式， 的特征值一定是的根，（重?cái)?shù)未知），（重?cái)?shù)未知）， 設(shè) （可能為0，也可能為1） 為酉矩陣，一定相似于，即∽，由此得的重?cái)?shù)為0， ，（只可能為0）， 得證。 2、設(shè)H陣A，B均是正定的，證明：AB的特征值均為正實(shí)數(shù)。 該題與“工程矩陣?yán)碚撛嚲順泳?0a”第七題第二小題相同。