《東南大學《工程矩陣理論》試卷樣卷及答案(修改)2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《東南大學《工程矩陣理論》試卷樣卷及答案(修改)2（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、工程矩陣理論試卷樣卷10c 一、已知矩陣，的子集 1、證明：V是的子空間； 2、求V的一組基及V的維數(shù)； 3、證明，并求A在上小題所提基下的坐標； 4、試給出的兩個不同的子空間及，使得 解：1、設， 所以，V對加法和數(shù)乘封閉，故V是的子空間。 2、設 ，所以V的基為，2維。 3、，在下的坐標為。 4、擴充V的基為上的基,擴充出來的向量生成的子空間即為的基。 V的基為，找兩組與、線性無關的向量。 容易看出，中的四個列向量線性無關，故 中的四個列向量也線性無關，故 二、假設3維線性空間V上的線性變換在V的基下的矩陣為。問：當滿足什么條件時

2、，存在V的一組基，使得的矩陣是？ 解： 、為同一線性變換下的矩陣，故∽，有相同的jordan?標準形，相同的特征值，相同的跡，相同的秩。 根據(jù)、跡相同(即主對角元素的和相同)得：，， ， 時，，求得 時， ， 或， 三、設矩陣，上的變換定義如下： 1、證明：是線性變換； 2、求在的基下的矩陣M； 3、求的值域及核子空間的基及它們的維數(shù)； 4、試求M的jordan標準形，并寫出的最小多項式； 5、問：能否找到的基，使得的矩陣為對角陣？為什么？ 解： 1、證明：設 故關于加法和數(shù)乘封閉，為線性變換。 2、 3、，的基

3、，，2維。 ，的基，，2維。 4、 5、不能找到 四、求下列矩陣的廣義逆矩陣： 1、； 解： 2、，其中，。 解： 故對B進行滿秩分解， 五、已知矩陣A的特征多項式與最小多項式相等，均為，給出可能的jordan標準形。 解： 根據(jù)矩陣A的特征多項式與最小多項式相等，均為，可得 ： ∽∽ 當,則 ： 令， 求出代入，求出 ： 令，

4、 求出代入，求出 六、矩陣函數(shù)： 1、設，求矩陣函數(shù)，并給出的特征多項式。 解：求： 令， 求的特征多項式： 的特征值為，的特征值即為，故的特征值為，。 2、設，試將表示成關于A的次數(shù)不超過2的多項式，并求。 解：，當時， 令 求出代入，求出 七、設的子空間，，求使得。 該題與“工程矩陣理論試卷樣卷10a”第三題類似，為找正投影問題。 八、證明題： 1、證明：若酉矩陣A滿足，則。 證明：令 ，為的化零多項式， 的特征值一定是的根，（重數(shù)未知），（重數(shù)未知）， 設 （可能為0，也可能為1） 為酉矩陣，一定相似于，即∽，由此得的重數(shù)為0， ，（只可能為0）， 得證。 2、設H陣A，B均是正定的，證明：AB的特征值均為正實數(shù)。 該題與“工程矩陣理論試卷樣卷10a”第七題第二小題相同。