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成才之路 數(shù)學 路漫漫其修遠兮吾將上下而求索 北師大版 選修2 1 常用邏輯用語 第一章 1 3全稱量詞與存在量詞 第一章 1 全稱量詞和全稱命題 1 全稱量詞 短語 所有的 任意一個 在邏輯中通常叫做 并用符號 表示 2 全稱命題 含有 的命題叫做全稱命題 全稱命題 對M中任意一個x 有p x 成立 可用符號簡記為 讀作 對任意x屬于M 有p x 成立 全稱量詞 全稱量詞 x M p x 2 存在量詞和特稱命題 1 存在量詞 短語 存在一個 至少有一個 在邏輯中通常叫做 并用符號 表示 2 特稱命題 含有 的命題叫做特稱命題 特稱命題 存在M中的一個x0 使p x0 成立 可用符號簡記為 讀作 存在M中的一個元素x0 使p x0 成立 3 全稱命題的否定是 命題 特稱命題的否定是 命題 存在量詞 存在量詞 x0 M p x0 特稱 全稱 1 必須明確存在量詞和全稱量詞的含義及表示符號 明確全稱命題與特稱命題的含義 任意x M p x 通俗說就是對集合M中所有元素x 都有p x 成立 存在x M q x 通俗說存在集合M中的元素x 使q x 成立 2 全稱命題與特稱命題的否定全稱命題的否定是特稱命題 特稱命題的否定是全稱命題 即它們互為否定形式 在寫出兩種命題的否定時 要掌握形式上的兩個變化 全稱量詞與特稱量詞的變化 條件p x 與其否定的變化 要判定一個特稱命題為真 只要在給定集合中找到一個元素x 使命題p x 為真 否則命題為假 要判定一個全稱命題為真 必須對給定的集合中每一個元素x p x 都為真 但要判定一個全稱命題為假 只要在給定的集合內找到一個x0 使p x0 為假即可 對于含有一個量詞的命題的否定 先對量詞進行變化 全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~ 存在量詞變?yōu)槿Q量詞 然后把結論p x 否定 3 同一個全稱命題或特稱命題 由于自然語言的不同 可以有不同的表述方法 在應用中可以靈活選擇 4 否定命題時 要注意特殊的詞 如 全 都 等 常見關鍵詞及其否定形式如下表 1 命題 所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù) 的否定是 A 所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)B 所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)C 存在一個不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)D 存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù) 答案 D 解析 全稱命題的否定 所有變?yōu)榇嬖?且否定結論 所以原命題的否定是 存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù) 答案 C 解析 任意 改為 存在 改為 3 下列命題為特稱命題的是 A 偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱B 正四棱柱都是平行六面體C 不相交的兩條直線是平行直線D 存在實數(shù)大于等于3 答案 D 4 下列命題中的假命題是 A x0 R logx0 0B x0 R tanx0 1C x R x3 0D x R 2x 0 答案 C 6 命題 某些平行四邊形是矩形 的否定是 A 某些平行四邊形不是矩形B 任何平行四邊形是矩形C 每一個平行四邊形都不是矩形D 以上都不對 答案 C 解析 特稱命題的否定是把存在量詞變?yōu)槿Q量詞 然后否定結論 判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題 并判斷真假 1 對任意實數(shù)x 都有x2 3 0 2 每一個指數(shù)函數(shù)都是增函數(shù) 3 至少有一個自然數(shù)小于1 4 存在一個實數(shù)x 使得x2 2x 2 0 全稱命題與特稱命題的判斷 總結反思 1 要確定一個全稱命題是真命題 必須對所有元素驗證 即給出嚴格的證明 要確定一個全稱命題是假命題 只需舉出一個反例 2 要確定一個特稱命題是真命題 只需找到一個滿足要求的特例 要確定一個特稱命題是假命題 需要嚴格證明對所有元素均不符合要求 判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題 并判斷其真假 1 對數(shù)函數(shù)都是單調函數(shù) 2 至少有一個整數(shù) 它既能被2整除 又能被5整除 3 任意x x x是無理數(shù) x2是無理數(shù) 4 存在x x x Z log2x 0 寫出下列全稱命題的否定 1 p 所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù) 2 p 每一個四邊形的四個頂點共圓 3 p 對任意的x Z x2的個位數(shù)字不等于3 分析 全稱命題的否定 其模式是固定的 即相應的全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~ 后面進行否定 全稱命題的否定 總結反思 全稱命題的否定是特稱命題 對省略全稱量詞的全稱命題可補上量詞后進行否定 判斷下列命題是否為全稱命題 并寫出命題的否定 1 所有的矩形都是平行四邊形 2 數(shù)列1 2 3 4 5中的每一項都是偶數(shù) 3 所有的a b R 方程ax b都有惟一解 4 可以被5整除的整數(shù) 末位是0 解析 1 是全稱命題 其否定 存在一個矩形 不是平行四邊形 2 是全稱命題 其否定 數(shù)列1 2 3 4 5中至少有一項不是偶數(shù) 3 是全稱命題 其否定 存在a b R 使方程ax b的解不惟一 4 是全稱命題 其否定 存在被5整除的整數(shù) 末位不是0 分析 特稱命題的否定是全稱命題 特稱命題的否定 解析 1 p的否定 所有的x R x2 2x 2 0 2 p的否定 所有的三角形都不是等邊三角形 3 p的否定 每一個素數(shù)都不含三個正因數(shù) 寫出下列命題的否定 1 存在x 1 使x2 2x 3 0 2 p 有些棱臺的底面是梯形 3 p 有些平行四邊形不是矩形 解析 1 p的否定 所有的x 1 x2 2x 3 0 假 2 p的否定 所有的棱臺的底面都不是梯形 3 p的否定 所有的平行四邊形都是矩形 對于滿足0 p 4的一切實數(shù) 不等式x2 px 4x p 3恒成立 試求x的取值范圍 分析 本題看上去是一個不等式的問題 但是經過等價轉化 確定適當?shù)淖兞亢蛥?shù) 把它轉化為一個簡單的一次函數(shù) 并借助函數(shù)圖像建立一個關于x的不等式組 從而求得x的取值范圍 利用全稱命題與特稱命題求參數(shù)的取值范圍 總結反思 全稱命題的考查在試題中經常出現(xiàn) 如 恒成立 問題就屬于這一題型 其命題方向往往是求式子中某個參數(shù)的取值范圍 而存在性命題常常以適合某種條件的結論 存在 不存在 是否存在 求出相應的參數(shù)的取值范圍 解題時的依據(jù)是 假設存在 利用條件進行推理論證 若導出合理結論 則存在性隨之解決 若導致矛盾 則可否定存在性 命題 不等式x2 2y y2 2y a 恒成立 則實數(shù)a的取值范圍是 答案 2 解析 將命題中的不等式轉化為 x 1 2 y 1 2 2 a恒成立 當x R y R時 x 1 2 y 1 2的最小值為0 0 2 a 即a 2 a的取值范圍是 2 總結反思 本題中的不等式是一個恒成立的不等式 可將原問題轉化為求最小值的問題 從而使問題迎刃而解 誤解 p的否定 方程x2 5x 6 0有兩個不相等的實數(shù)根 正解 p的否定 方程x2 5x 6 0沒有兩個相等的實數(shù)根 迷津點撥 命題p的結論為 有兩個相等的實數(shù)根 所以 p的否定 應否定 有 而不能否定 相等 迷津點撥 該命題是特稱命題 其否定是全稱命題 但誤解 1 中得到的 p的否定 仍是特稱命題 顯然只對結論進行了否定 而沒有對存在量詞進行否定 誤解 2 中只對存在量詞進行了否定 而沒有對結論進行否定 誤解 1 不相交的兩條直線不是平行直線 2 奇函數(shù)的圖象不關于y軸對稱 正解 1 存在不相交的兩條直線不是平行直線 2 存在一個奇函數(shù)的圖象不關于y軸對稱 迷津點撥 以上錯誤解答在于沒有看出這兩個命題都是全稱命題 對于一些量詞不明顯或不含有量詞 但其實質只是在文字敘述上省略了某些量詞的命題 要特別引起注意