《第三章大變形運動學與連續(xù)介質(zhì)力學(1)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《第三章大變形運動學與連續(xù)介質(zhì)力學(1)（42頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三章大變形運動學與連續(xù)介質(zhì)力學 小變形：包括彈性或塑性小變形，應變~0.1% Cauchy應變與位移是線性關系 幾何線性問題 勺=*(怙+ S) 大變形(有限變形): 應變大，有時達到100?200%,甚至更大 Cauchy應變不再適用——幾何非線性問題，需要建立新的變形描述理論 通常由純變形(stretch),剛體轉動(rigid body rotation)及剛體位移 (translation)組成 3.1運動與變形的描述 3.1.1構形及其描述 (1)構形的概念 構形(configuration)：物體中所有質(zhì)點的瞬時位置集合(所占據(jù)的空間區(qū)域) ——稱為物體在該瞬

2、時的構形。 物體運動與變形〈==〉構形隨時間T而變化 物休運動和變形的過程也就是構形隨時間連續(xù)變化的過程 初始構形：物體 R0 時刻的構形，initial (original, iindeformed) configuration?記為 心 現(xiàn)畤形(當前構形)= 所研究的瞬時i時刻的構形，cuirent. (deformed) configuration?記為c 參考構形=為度量物體運動和變形，需要選取一個特定的構形作為基準，所選擇的構形 稱為參考構形，記為0 ?要研究f時刻的變形問題，f以前的任一時刻的構形都可作為參考構形 ? 一般經(jīng)常選擇初始構形(戶0時刻未變

3、形的構形)為參考構形 (2)構形的描述 選擇兩個固定坐標系: 伉3窗3(用大寫字母，在參考構形C中使用，用于識別物體中的各物質(zhì)點 俶皿備(用小寫字母)：在現(xiàn)時構形亡中使用，用于描述f時刻質(zhì)點的空間位置 /X /\ 移轉張量(shifter) ； 3訂二&?Ej二Ej? 位移u： Ui = =UKEK ?纟=SiKUK U1 =E] = ukek ? JE[ = 5kIuk 通常取兩個完全重合的直角坐標系：=兔 則下標可不區(qū)分大小寫  參考構形中的質(zhì)點p,或質(zhì)點x (X/) 微小線元PQ記作向量宓 經(jīng)過運動與變形后，在f時刻： 構形C變?yōu)闃嬓蜟 質(zhì)點X/ (質(zhì)

4、點P)運動至Up,位移為“ p的空間坐標為x (兀) 線TtPQ變?yōu)閜q，dX變?yōu)閐x 質(zhì)點X (X/)的運動: x = x(X?r)，兀=坷(X；昇) ——質(zhì)點X；在f時刻所處的空間位置是匕 x-X + u , xi - 6.dXj + 氣 X = X(曲),X, = X/(◎昇) ——/時刻占據(jù)空間位置禺的是質(zhì)點X, X - x-u > X] = 5j]Xj-U[ X (Xj)是用于識別物質(zhì)點的，稱為物質(zhì)坐標或拉格朗日(Lagrange)坐標 以物質(zhì)坐標為自變量的描述方法稱為物質(zhì)描述(material description或Lagrange description) x

5、(兀)是用于表示空間位置的，稱為空間坐標或歐拉(Euler)坐標 以空間坐標為自變量的描述方法稱為空間描述(spatial description或Euler description) 3?1?2質(zhì)點的運動及物質(zhì)導數(shù) (1)質(zhì)點運動的Lagrange描述 質(zhì)點疋QXj)的在時刻的位移:瓊〕-X 速度：= 0 = 加速度:i) "(X, =壬it(X,i) (2)質(zhì)點運動的Eulei?描述 空間描述通常直接給出/時刻空間點x (七)的瞬時速度: v = v(x,t) ， q =Ui(Xj,t) 加速度: .di) V =——+——V 3l Sc &D =—+? gr

6、adf 物質(zhì)導數(shù)(Material derivative )、全導數(shù)： 物質(zhì)坐標X (X/)固定不變時對時間的導數(shù)，稱為物質(zhì)時間導數(shù) di di +t)grad(p 物質(zhì)導數(shù)為兩項之和：第一項表示在固定空間點上的時間導數(shù)，稱為局部(Local)導 數(shù)；第二項表示因質(zhì)點在空間的運動引起的導數(shù)，稱為遷移(Convective)導數(shù) 3丄3現(xiàn)時構形中的線元、面元及體元 (1)現(xiàn)時構形線元與參考構形線元之間的變換 ?線元描述 p點的空間坐標為：x=x(X,r) g點的空間坐標(作Taylor級數(shù)展開，略去高階小量) dx x(X + dXj)二 x(X,

7、0 + ——dX dX pq線元為:dx = x(X + dX,t) - x(X J)二一dX ex dx dX Grad x 則現(xiàn)時構形中pg線元可表示為: dx： = XjjdXj 了 、 dx ~dx/dX dx/dY dx/dZ~ 了 、 dX dy > — dy/dX dy/dY dy! dZ dY > dz dz/dX dz/dY dz/dZ dZ ?變形梯度張量(deformation gradient tensor ): 另外還有： 其中 dX旦 dx J=—= grad X dx OX dx 二

8、 F~[dx = fdx， dXj 二 XI jdxj = ~^~dxj = fijdxj f=xij=^- Ij “ dxj 并有：Ff = I F=f? 丿二 detF=|F|HO j = det/=|/|^0 J 二 j-1 線元還可表示為: Ou dx =點^(X + u)dX = (/ + ——)dX dxt — (% + J )dXj OX dA OA j ?位移梯度張量: 竺二 Grad —竺-Z dX dx "型飛「ad—空 dx dx hu = Uu = — =Sji- — = ^ji-Xij J “ dx： Jl dx: Jl 7,7 從而有

9、 dx 二(Z + H)dX , dx,二 J + HtJ )dXj dX = (Z-h)dx , dXj = (/〃 一 hIj)dxj （2）參考構形體元與現(xiàn)時構形體元之間的變換 dx=^dx Qx dx^—dX1 dX Qx dxu = —dX dX 在現(xiàn)時構形中六面休體元的休積為 dxi 不可壓縮: ?(bxc) = q“bjCk dx{ dx? dxg dx\ dx\ dx\ dx}\ dxl dxy\ dv dv - 做 dXj dXj dXK dv dV dXj dXk dXjdX\dX\ =\F\dV 的 de

10、tF=|F|= J detF=|F|=l （3）參考構形面元與現(xiàn)時構形面元之間的變換 面元dA法向方向余弦為N 面元da法向方向余弦為〃 (dx xdx\ = n-da - eijkdXjdxk (dX x dX 兀=NLdA = eLMNdXMdXN sxL dxt. % Qxk dX/XN t=> \F\dXMdXN = NLdA

11、 則有 z5Y nida=\F\-^NLdA=\F\XLiNLdA dxi NLclA=\F[l dx{ n{da =| f | xi Ln(da [nda =| F \ F~T Nd A =| F \ fr Nd A NdA =| F「Frnda =| f \ F1 nda X】 COS& 一 sin 0 0_ 『 、 X\ > — sin& COS& 0 > 4. 0 0 1 X- 現(xiàn)時構形c 3.2變形分析 小變形應變的局限性： 物體在xy平面上繞O點剛體轉動,轉角0 質(zhì)點X,運動后在現(xiàn)時構形中

12、的坐標： 質(zhì)點X/的位移： =X] _ X] = X] COS0 — X] — X2 sin <9 [u2 - x1-X1- sin 0 + X2 cos 6-X1 小變形Cauchy應變:% -，（％+%） =尸22 = cos& —1 若 0 = 90 ,貝I」 剛體轉動任意一點的應變都是0。只有當&兀0時應變公式才有足夠的精度 Cauchy應變不適用于大變形 3.2.1變形張量 （1）變形張量的概念 現(xiàn)時構形中線元長度的平方：ds2 = dxTdx = —dX = dX1 FrFdX ，Gj — FkIFkJ = xkIxkJ c = ftf 右變形張量（右

13、Cauchy-Green張量，right Cauchy-Green tensor ）: 5 參考構形中線元長度的平方： dS2 = dXTdX = dx\—)T —dx = dxTF-TF~[dx dx dx 左變形張量(左Cauchy-Green張量,left Cauchy-Green tensor): Bij ~ Wj，K QXk dXK 由于線元的平方恒為正值，所以變形張量C、巧皆為對稱正定張量 B = FFt =廣廠丁 dxi % （2）變形梯度的極分解 變形梯度可唯一地分解成一個正交張量（旋轉）與一個對稱張量（伸長）的乘積: F=RU = VR ,傷二丿二嶺人〃

14、 U = （F7 F）L 2 = Cl/2 右Cauchy-Green伸長張量（Cauchy-Green stretch tensor）,對稱正定 V = （jFF7）172 = Bl/1 左Cauchy-Green伸長張量，對稱正定） R = FU1 = y-lF 正交張量，代表純轉動，稱為旋轉張量 (3) 變形張量的主值 C、皆為對稱正定張量，且B = (FrylFTFFT = (FTyLCFr 二者具有相同的實特征值： 由于 U = Cm, V = 51/2,因此： ?"的主值是Q主值的開方，/的主值是丘主值的開方，二者育相同的主值4二凡，易，兔 ?"與C有相同的主方向叩)

15、，F(xiàn)與丘苞相同的主方向碼㈤ 并有：咱二R時)二者的主方向相互之間作了旋轉 將胡罠戲嚴歸一化后，挫列成矩陣= 吩呼即即],呼斶砂)],則有: A v = nJ o 0 兔 0 0 u 二nJ 0 & Nr o o 人 變形后的線元: R 卩嚴方向 dx = FdX = RUdX = R^UdX) 主軸方向的線元dX^dx的變形過程， 分解為先作純變形卩，再作純轉動K的 兩種變換 dx=FdX=VRdX=V(RdX) 先作純轉動K，再作純變形7 322格林(Green)應變張量與阿爾曼西(Almansi)應變張量 (1) Green應變張量與Almansi應變張

16、量的定義 線元長度平方的改變量為： ds2 一 dS? = dXTCdX - dXTdX = dX\C-I)dX = dXT(2E)dX Green應變張量： E 二丄(C-7)二丄(FrF-I), —0lj) = 7■(也內(nèi)，丿 —兀) 當OX1X2X3與冰必力重合時: du： + —- ax,. 2 2 勺冷站譽瓷)弓礦gm 1 du{ du. duk duk dxt d:^ dxj 線元長度平方的改變量還可表示為: ds1 -dS1 - dxTdx - dxTB~[dx = dxT(I - B~[)dx - dxT(2e)dx Almans

17、i應變張量： e = |(Z-B-1) = |(Z-F-7F-L) E和纟都是對稱張量 對于剛體轉動情況，可以檢驗其所有Gfeen應變分量與Almansi應變分量都等于零 質(zhì)點上運動后在現(xiàn)時構形中的坐標: ?！? COS& 一 sin 0 0_ > 二 sin <9 COS& 0 < X" 、吃 0 0 1 可計算出變形梯度: cos 6 一 sin 0 O F = sinff COS0 0 _ 0 0 1 由于= 因此，C = B1=I,從而E = -(C-D = O,

18、^ = |(/--1) = 0 2 2 剛體運動時的各變形量： 剛體運動時，線元的長度均不變，W- ds2-dS2^dXT(FtF-I)dX = dXT(C-Z)dX = dXT(2E)dX 二 0 ds1 -dS2=dx\l-FTF^dx 二二 dx (2e)dx = 0 因此有： FtF = I detF = l , C 二礦 =I E = ^C-/) = O , e = -(I-B-[) = O 9 z z Green應變分量和與Alinansi應變分量不受剛體運動影響，可以度量大變形狀態(tài) 另外： _ U = V = 1, <7與P的主值都是1 (主方向的線元無伸長

19、變形) F = UR= RV = 從必必的變形過程，只包舍剛體移動及純轉動R (2)應變張量之間的關系 ? Green應變張量與Almansi應變張量的關系 EIJ = FkIFUekl = XkjXijS e = F-EF-1 = fTEf , eij ~ fKi fLj^KL X KjX l/kl ?與小變形應變的關系 小變形時：＞1 ^1 dXj 0 0 dxi dXi 微分運算不需要區(qū)分質(zhì)點在現(xiàn)時構形中的坐標和在參考構形中的坐標， 略去高階分量，Green應變和與Alinansi應變退化為小應變張量(Cauchy

20、應變)： r _ 1 z dui 加八 _ 1 / dUj 計 Q E.j — eu — —( 1 ) = 一 ( 1 ) “ 〃 2 8Xj dX/ 2 6x)dx/ (3)應變張量的主值 變形張量的主值為肥，由 =丄(C-Z), =丄(』—丘為可以看出: 2 2 ? Green應變張量E的主值為丄(肚一 1),其主方向與頁c相同為熬嚴 2 ? Alm ansi應變張量的主值為(1-昭)，其主右向與F、丘相同為砒 3.2.3廣義應變張量 ?利用右伸長張量可定義廣義Lagrange應變張量渥叫 羽叭=丄（uw-r） m 當m = 2時，就是Gr遜應變張墨 = - F

21、）= -（C-P） 2 2 當型TO時的極限稱為自然應變（對數(shù)應變、Hencky應變?nèi)? 曲=h m 鉀=h m-（7M-/） = ln7 M —>0 M—> 0 并g ?利用左伸長張重憶可定義廣義Euler應變張量/叫 m 當胺=-2時，就是Almansi應變張墨 才打=—丄（廠2 _孝=丄（孑_礦1） 2 2 當然TO時的極限就是對數(shù)應變： 豪)=litnd^ =lim-(FM - J) = InF =-llnB1 M—> 0 m—>0 ^2 2 【例】圓桿單向拉伸均勻塑性大變形（忽略彈性變形）問題的變形與應變 質(zhì)點（x, y, z）變形后的坐標 條件）為：

22、（結合體積不變 2 變形梯度為: QI 0 0 張量C及U : c = ftf= 0 (///of 0 0 0 l小一 ~lQ/I 0 0 ■ 張量B及 b = fft = 0 ("G2 0 0 0 IJl 旋轉張量: R = FU-1 = VXF = 1 u = c1/2 = PM 0 0 0 ///。 0 0 一 0 仏//)1: 「仏〃嚴 0 0 _ V 二 b1/2 = 0 ///o 0 0 0 仏//)"[

23、 0 0 0 -2--1 0 0 0 0 0 -2--1 0 0 Green應變張量: G2 f0 0 -1 0 0 衛(wèi)一1 Alinansi應變張量: V2 對數(shù)應變: 於）二 In?二 111 — 質(zhì)點（X，匕Z）的位移: 小變形應變: uY = x- X ^y=y~Y 1。 uz = Z-Z = —Z 1—一 I。 0 A///o 0 1-(

24、 【例】簡單剪切變形間題.求f7f-\c7c-\b7b- 質(zhì)點（X, y, Z）變形后的坐標為： X] ― X ] + 、 X)= X)? 變形梯度: ",dx 1 5 0 F =—= 0 1 0 ex 0 0 1 Cauchy-Green 張量 C 及 : Green應變張量: F1 dX dx C = F1 F = 5 6 1+& 1 E⑵二丄（c_z）二丄（5 2 2

25、 0 5 1 + J2 0 0_ 0 1」 1 0 0 Alinansi應變張量：嚴=扣-礦上冬。1 0 0 0 1 Xqe * Deformed square 0 _ 1 —6 o- 0 Bl = FTFl = —5 1+尸 0 1 0 0 1 o oi ro 1 0)步 0 1 0 6 81 0 ~ 1 -8 o ■ "0

26、6 0_ -8 1+尸 0 )=I 8 -81 0 0 0 1 0 0 0 3.2.4變形率與應變速率張量 1.速度梯度及其分解 質(zhì)點p相對于質(zhì)點p的相對速度為： dv = ^dx du. - o.(x. + AXpZ)-u(XpZ)=——-dx., 速度梯度張量(Euler速度梯度張量)： id". ,J dXj ’ —ado dx dq = IqdXj , dv = Idx 也可定義速度對物質(zhì)坐標的梯度: du. ax? - % dv_ dX Grad v 速度梯度張量是非對稱張量，可做如下分解: 黠繪+

27、③T等③吩屮)申" du. 1 dv. Ou) 1 du. Ou ： 1 1 f 寸芯+藥)+血一訐 n 4+G+1 s _ G 變形率張量(rate of deformation tensor ): dv -sym—— dx =syniZ = —(Z + Zr) 旋轉（旋率）張量（spin tensor）: iv = asyin — = asym2 = —(Z-/r), 一 dx 2 心7 + w dx dij + Wij dv = (d+ w)dx ‘ dq = (d“ + wij)dxj 旋轉

28、張量佃可用速度辺的旋度（渦旋矢量）― curl v = rot v = ,憶 =~eijkwjk^i curl v = rot v = 血冷譽+等）承+ W.二丄（匹_叫）=丄（厶._仁） % 2込 dx/ 2-" —軸矢量表不: （2）參考構形中的變形率張量與旋轉張量 速度梯度張量Z、變形率張量〃及旋轉張量w都是在現(xiàn)時構形中定義的，它們都和現(xiàn)時 構形中的速度及其導數(shù)有關，通過變形梯度可將它們與參考構形聯(lián)系起來 F = RU => F^RU + RU 由F = 可得 i = （Ru+nuyr-1

29、 = 曲"+衛(wèi)療礦】圧】=g+rUu"疋 如=喩+爲込。刀^血冬邂 相對旋率張量：彳=血=加,3 g址 = Rif = 0 丈是反對稱張量 rf = l（Z + Zr） = ij?（f7礦】+礦方）疋 如=盡丈（葛曠\^ +曠?九）乞 2 2 Z 初=*@-廠）=X2+扌2?（療礦1 -礦方）疋 ％ 2 + 土?、偕偃?曠人％）% Q不僅和旋率有關，而且和純變形有關 僅當7 = 0時，種和Q才相同 2.變形梯度及其行列式的物質(zhì)導數(shù) 變形梯度尸及其行列式deLF (|F|)的物質(zhì)導數(shù)就是它們隨時間的變化率 物質(zhì)變形梯度F的物質(zhì)導數(shù): ^=l(Gradx)=Grad^^^

30、= di di 8k 又有:1 = grad v = FF_1 空間變形梯度f=F1的物質(zhì)導數(shù): 利用關系F宀f,可得 軌 Y = 一尸如=-F-grad v = -F-1/ S "鬻簽"3 變形梯度行列式IFI的物質(zhì)導數(shù)： 勺尸|二| F |叫=| F | lkk 亠畑巧二生電電)"曲西埜電+西壘電+生坐電) di di dX, dX j dX^ dX, dXj dXx dX, dX3 dXK dX, dXj dXK 西dx2 dx3 呢3i?2 3乓 曲3込昵 湛湛% *近嘰湛辺*湛忍盹辺 Qq dXj dx2 dx3 _ dvY dxv dx2 dx3 Qq dx

31、2 dx2 dx3 Qq dx3 dx2 dx3 =€ Ukr ( 1 1 ) 說 dX1 dXj dXK IJK dx, dX/ dXy dXK dx2 dX1 dXy dXK dx3 dX1 dXy dXK dxv dvY dx{ dx2 8X3 ~dx^e,JK dX{ dXj dXK 3.應變速率張量 (1) Green應變速率張量 E=-^- (F* = - (FrF + FtF) = -1{1F)tF + FtIF]=-Ft (f +T)F = FTdF 2dt 2 2 2 Green應變速率張量左是自變量為X (.Xj)的對■稱張

32、:量 線元長度平方的變化率: — (ds1 —dS2) = — (ds2) = — {dx1 dx) — —(dx7dx) = dv1 dx + dx1 dv dt dt dt dt =dxT[(—)T +—]dx = 2dxrddx = 2dX 丁dF )dX dx dx — (ds2)= 2d .dx.dx.二 2d..———— dX.dX. dt ) y z 7 J OX^Xj 1 J 線元d$的伸長率：冬/山=也 dt J ds ds 剛體運動時線元的長度不變，4山則E =0 變總率區(qū)和GrEen應變速率應2剛體運動無關，只和物體的純變形率有關 (2) Alma

33、nsi應變速率張量 "空=_丄 彷」 丄竺 r 1 * f_t d_ i di 2dl 2 dt dt =—丄[(_尸『嚴i + 尸氣—嚴] +B~1l) =l[Zr(Z- 2e) + (Z- 2e)l]=d-(fe + el) 2 診）=* @打+%）-您金+骸％ J 貝I」：\d = e+fe+el 剛陳運動時, *備 雖然在山 但若住芒0,貝I」& = 一（嚴住+刃）芒0 Almansi應變速率&與剛體運動有■關 4.彈塑性變形的分解 (1)加性分解(和分解，additive decom

34、posion) 在小變形時通常把變形率分為彈性部分和塑性部分：〃 =〃 + dp Green應變率也可分為彈性部分和塑性部分：E = Ee+Ep posion) (2)乘性分解(multiplicative decom 設想存在一個中間無應力和無彈性變形的構形, 由X到x的彈塑變形設想為，由X到z的純塑變 形和由z到x的純彈性變形 塑性變形梯度(plastic defoniiation giadient): QX 彈性變形梯度(elastic deformation gradient): Qx Qy F 二 F"F" , F 二 F" Fp 二 ◎ iJ ioc a J

35、 九OXj 變形速度梯度: I = FF1 = — 少審”尸=F€(Fyl + FeFp dt ie = F\Feyl=de + ("] “艸[滬理尸] ^ = l[r-(rf]=aSym[FW1] 尹=滬（嚴尸=尹+加 /=］［〃+（巧『］=sym［戸％歹戸尸］ 2 腫=丄［嚴—（尹/ ］= asym［F?（嚴尸］ 2 變形率張量分解為:d - sym I = — (Z +廠)=(T + d p 旋轉張量分解為：w = asym Z =丄(Z -廠)=w" + w*" 由于拭*羊心，所以，d^de+d? 門=嚴嚴（嚴尸二. 護+ （呼 w^=l［p-（p）r +Q ]=sym[滬尹(嚴尸] ] = asym[F^(F?)-1] 只有當彈性變形很小，d*時，才有 d = +（嚴）『］，常于鋁伸F二* ［嚴_（嚴）『］