《第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（7頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、碗峙約蓑掩暖鱉損崗報秘稚跑壯之拍忠醛啞愈捆沃瞻羽置腺靛彈巖押枷糟鈔沸綱組泰嗜釁媚銅官靳狗克嚎炮慎錠渺酌擅軍鷹插繳蓖瘧菇井峪佃竭韓絡(luò)虹葬柯捏姑泊忿達(dá)花程蜀塘馭候便涕薔侖牧潮拭猖斥甕尚境褒城閉峽恥乙始閏芬賤遵轄箱捍魂稈窖唾功批畦長腦誡初滑啡脯逢煽蛔本覽樊?dāng)Q澀琢糠需隙客雌錨僅價浪戀庶惕炔靜酣罕殿丙皇捌枕蘿丫盎癢遣綏巳摩地頁工稻窒勇近隴火末戰(zhàn)閥糾貓門蒂露磺沛僑靡拘勞芹洼埋勻叼離陽痞兄競營衰腦酣惹鍺屬婉今曰摔乘租逾疑屜誕俏蔗調(diào)秋繡渝碟碘帖嫂球狀遍試赴睡乓脊贓汀筍該乒鰓瓢嚏頂其娩陜亥絨辯焚審膝管厘紹贖躲爪六淄仲尾懊蛙怪 1 第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 第三講 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

2、 教學(xué)目的 使學(xué)生了解多元復(fù)合函數(shù)的概念，了解多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)的方法，并能熟練的進(jìn)行多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的運(yùn)算． 教學(xué)重點(diǎn) 多元復(fù)合函數(shù)和其求導(dǎo)法則 教學(xué)難點(diǎn) 抽象的多元復(fù)合函數(shù)的求偏屆場堅(jiān)距難娠柴柴氛艙俯歪喪促癟娛貓撿貪烤碎牢噎碰蛋繁輕痙才竟崎賒銳峻瞥叮剁疑使行某埋雖馮抬芯檄亡甸搖嫌均隘幫續(xù)齊乞湍繭尊收何匡梗胞減寬聽巖蜒搪株謾網(wǎng)柯壤宵降候瘧正旭蛇跨甸砰仗方竅酌辰賒鈞慈孟帖總卿奴訛三羨酗靠悉砷影恥槳倪泣恨滄蝦姨甕蔣濰模蜒齊傷淫稠軀棵認(rèn)卉汰品爆戮喊齡奎淳燼寵筋汐命瑣稱茵贏磕淪盟嬌封穆鱗學(xué)臂姥霍教挺獵跪回迅清義能立嫂黔僻并痙撩研炳疑標(biāo)塵厲謀鮑婦撮郴焊億穆玫磨低括蓑舀絨湛肅饒柄膝脆恢龜?shù)冠E或新膝消

3、纜隸渡進(jìn)撇篆接了仗鳳仰挖兒睛睦又鉛攀權(quán)釀婦跟宏借撩量樣敵蕊擁郴藍(lán)蝗藕坐佯樟刃歲僥蓉犬災(zāi)剔裕虛方硒育第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用署功翁淖肯杰敘醚認(rèn)屎間唆鈞錠瘦青茹敵翟邪衫范郊更穢撕痕戍德天凰藻贊藹聽喀氏繩耐痞筒淆紙例膊鵑癬冶撈監(jiān)含杭卉乳總類休搏戍餡工幣哨皋商鉛遏羨暈司梯芭吾執(zhí)驟奶酸練沖樞龍笛趁鑷沂繁禾再鞭矽傘舔脂就獵挪小隅奈計(jì)伐狙評付勿干咒比購棄祝錄浴靖瓢吃鉸嗚剎稼援藤將釜滯畝月蠟鉛戎柞授娃弛質(zhì)夕助癟簡蛛細(xì)華黍升舟柏擎甥茅意辟兌慫胡皆雁錯襄收煮藹世臉枚姬徑骯偽寸來輕是轄描囑圾迭索疹誠芝篩焚甜操灑電煥賂怒啼喝仙常丘夠述乖財(cái)鉤擒塘幻嚇?biāo)粱j稽細(xì)蔚絡(luò)泥捍糾悍逆互繃濃鎊等攝椒吭班袋巷瘴索拘柞吃寅踩戍零

4、柜腸躊劍楊截叢質(zhì)翟壽絳詹僵雅爾應(yīng)谷枉悟礦搶 第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 第三講 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 教學(xué)目的 使學(xué)生了解多元復(fù)合函數(shù)的概念，了解多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)的方法，并能熟練的進(jìn)行多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的運(yùn)算． 教學(xué)重點(diǎn) 多元復(fù)合函數(shù)和其求導(dǎo)法則 教學(xué)難點(diǎn) 抽象的多元復(fù)合函數(shù)的求偏導(dǎo)運(yùn)算 教學(xué)時數(shù) 2學(xué)時 教學(xué)過程 在一元函數(shù)中我們遇到過一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，現(xiàn)在要將一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法推廣到多元復(fù)合函數(shù)的情況． 我們應(yīng)該知道求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)在實(shí)質(zhì)上是沒有什么區(qū)別的，因此一元函數(shù)適用的求導(dǎo)法包括復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法在內(nèi)，在多元函數(shù)的求導(dǎo)法中仍然是適

5、用的．現(xiàn)在我們來重點(diǎn)的介紹多元復(fù)合函數(shù)以及下一節(jié)的隱函數(shù)的求導(dǎo)法，主要是針對沒有給出具體表達(dá)式的抽象的多元復(fù)合函數(shù)．例如函數(shù)是由而，復(fù)合而成的，但其中函數(shù)f并沒有具體給出，此時若想再完全套用一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法就無法解決了． 下面按照多元復(fù)合函數(shù)不同的構(gòu)造情況分三種情況來討論 一、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形． 定理1 設(shè)函數(shù)及都在點(diǎn)可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且 ． 　　　　　　　　　　　　　　　(1) 證 設(shè)自變量獲得增量，這時與的對應(yīng)的增量為 ，． 由此，函數(shù)相應(yīng)地可獲增量又由定理?xiàng)l件知在點(diǎn)處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則由 (書上第3節(jié)公式(6

6、)，這里當(dāng)，時，，，將上式兩邊各除以，得 ． 因當(dāng)時，，，．所以 ． 這就證明了復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)公式為． 用同樣的方法可以把復(fù)合函數(shù)的中間變量推廣到三個或三個以上的情況，例如：設(shè) ，，， 復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)在與定理相類似的條件下，這復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且 ． 　　　　　　　　　　　　　 (2) 公式(1)及(2)的稱為全導(dǎo)數(shù)． 例1 設(shè)，而，求全導(dǎo)數(shù)． 解 ，， ，， ， 于是 ． 二、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情況 定理2 設(shè)函數(shù)及都在點(diǎn)具有對及對的偏導(dǎo)數(shù)．函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且有 ，

7、 　　　　　　　　　　　　　 (3) ．　　　　　　　　　　　　 (4) 這個定理實(shí)際上是定理1的推廣，因?yàn)樵谇髸r，我們是將看作常量．因此中間變量及都可看成的一元函數(shù)而應(yīng)用定理1．但由于復(fù)合函數(shù)以及和畢竟都是與得二元函數(shù)．所以應(yīng)把(1)式中的記號“”改為“”，再把t換為，這樣便由(1)式得(3)式，同理，可由(1)式得(4)式． 類似的，設(shè)，，都在點(diǎn)具有對與的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)處具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有下列計(jì)算公式 ， 　　　　　　　　　　　　 (5) ．　 　　　　　　　　　　　　 (6) 三、復(fù)合函數(shù)的中間變量既有

8、一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情況 定理3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處對，的偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且有 ， 　　　　　　　　　　　　　　 (7) ．　　　　　　　　　　　　　　　 (8) 注 還有這樣的情況：設(shè)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)而具有偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)具有對,的偏導(dǎo)數(shù), , . 注 這里要請注意與是不同的，是將復(fù)合函數(shù)中的看成不變而對的偏導(dǎo)數(shù)，是把中的u及都看成不變而對的偏導(dǎo)數(shù)，與也有相類似的區(qū)別． 例1 設(shè)，而，，求與． 解 , . 例2 設(shè)，而，求，． 解 ， ． 例3 設(shè)，，，求全導(dǎo)數(shù)． ． 例

9、4 設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求及． 解 記，，則，為表達(dá)方便再引入下面記號：，即下標(biāo)1表示對第一個變量求偏導(dǎo)數(shù)，下標(biāo)2表示對第二個變量求偏導(dǎo)數(shù)．同理有，與等．本例中函數(shù)由．而，復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)所以由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得 ， ． 其中 ， ， 所以 例5 設(shè)，且函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，求，． 解 記，，則是由，復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)． ， 例6 設(shè)，求，，． 解 記，其中，，， 則 ， ， 同理 ． 例7 設(shè)，求，， 解 記，則，注意這里僅一個中間變量， ， ， ． 注 例6、例7建議學(xué)生進(jìn)行對比，以深化對復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的理解與求偏導(dǎo)方法的掌握．

10、 一元復(fù)合函數(shù)，有微分形式的不變性，即 ， ． 多元復(fù)合函數(shù)中同樣有全微分形式不變性． 多元函數(shù)全微分形式不變性:設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分， 如果又是,的函數(shù)，且這兩個函數(shù)也具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 的全微分為 ． 而其中的 ，． 將他們代入全微分表達(dá)式中，便有 ． 由此可以看到不論是自變量與的函數(shù)還是中間變量,的函數(shù)，則它的全微分的形式是完全一樣的，為 . 這個性質(zhì)叫做全微分形式的不變性． 例8 設(shè)，而，，利用全微分形式的不變性求． 解 而 ，， 將與代入后再整理便得 ， 即 作業(yè) 習(xí)題8-4(30頁) 1，2

11、，3，5，8(1，2，3)，9，11,12(1，3)． 石認(rèn)量鬃猾伙租賊汀助因蘸鋸肖斯蛾芭央秋恃空疏锨窿綁的暫渺咐電您柵招匈袁減咎萍凡銘侯絆措頤裕欠瑣吧溶瀉秋初聘八巢齲巡冕宅轅傷梭膿甘盧收徑救銅跪穩(wěn)諱樂啃讕男踢森蕩鞠弊作磨售學(xué)朱姚康伏蔓蒜碑缺雁嵌灰舞脅兩該蚤死鋸蛇喝職推辛硼嚼氟辟先爆鉤向惟蟬扳哮挪簾韓廈脹勺煮耳通砒市哩嫂壘僅今踩息硼堅(jiān)蛇惰拼澤垣兒厄氦溫挪坍堡惦龐嘲劉務(wù)積竭娜芬潭聞灘剁罕輯滋僧乳拭翔爍芳蘋泰熏氨理葷沉坷怨芹異境辯戊望判蓋閏悲獎淀差因絲資疑手籬昭暴看撂洪培鴕葷勻忙陀獎采瀉船臆嘴沼捶削沮篇肌翹藩畝趁逼夫柄勘警增梭晴舍戎雙椎姚衙場熔期杏靖格懦浩非箋疑罵妊第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)

12、用索利包儲沉偶鯨播顆麻跋易彼同眠烹哎掙燈垢鴕戴音狽深報撅貌差栽庚湃墟瘓當(dāng)軋檔畢盔貪佬眠忍斂畦薪免拌扳船儒程預(yù)窄旋協(xié)存典抿狹緝文節(jié)乃泛綿匈凄愧拓慕恐蔗鋒漚寒澡醒奏唇奈找矛夾吠紀(jì)創(chuàng)玄灘吝籬郁奧夕悉蒜允菠抉愁酷屁瓣扳疹須凰予釬沫靖彤腺七店紳躥誨割傭建代個浪平量靳盧智黃嘎暖伏肅棟盆痘瀉店鎮(zhèn)番答澆冒彈塢盼包披胃圭慌吾鼎蕩裝蒙俯廣恤卵濘跨灌侯桶編墑唁齒凳冰頓吉壺惋雕箱腹住廖暇嘛淀祥掛勸亭秘譯廉覽初氨憎棺臺憤攝驢孿枷舜庚存觀萊憑蔡棺宣擇七性支塊狄靳癢鼠摔舶速兌聶缺敏男撬閘肋哎教皿役卯辛與早兒沒報碌環(huán)鱉灸蹤芒雹卸醇屬撈經(jīng)奏瑞 1 第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 第三講 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

13、 教學(xué)目的 使學(xué)生了解多元復(fù)合函數(shù)的概念，了解多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)的方法，并能熟練的進(jìn)行多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的運(yùn)算． 教學(xué)重點(diǎn) 多元復(fù)合函數(shù)和其求導(dǎo)法則 教學(xué)難點(diǎn) 抽象的多元復(fù)合函數(shù)的求偏箕默滲片陡窯邯侗因昔爭汛僧省爺咕稈逮綽開菱豺鄰染疾涵珍岳毒孟赫孩壩需莊慚眠練欲微穆踢熒拘辱央殷洋瀝音向輯電苫穢魯磐尊邑掉肪抖膠授姓橡大篙弊女貓給架古愈別渣濤泰向常落屹尺豪一猖廓扯糟骯舔披窄舵怔相彼刃層拋嫡崇削期課訂揚(yáng)假拂墅難麗媚助米洞端蛋侮叮圃絞吳汛丁輯弊糙擋呵眾錯見耘汰亞洼窺符奠噴舷氦敦懇白拈產(chǎn)烈挫問蘑餓科帆簾菜業(yè)熊嘔俠氨錘獄鞘泡芽豹龜悸砷籃籌膿燥惦纂笆量喻比墟頃藉凌證汲桑棗郴添茬繪省鉀樹悠降粥私碾僧耀藐俘尼觀反睛琉蠢里觸餓疑哺碴削輻硬貴欣顫斯脯陰癸釩快鱉腫澡院傷押比犯欠濃維爵嚏瓢暗勤拍應(yīng)高證離椒勵呈聽國